Funções Vetoriais - Cálculo III

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CÁLCULO III
AULA 1 – FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Conteúdo Programático
1. Introdução 
2. Aplicações
3. Definição
4. Operações com as funções vetoriais
5. Limite e Continuidade
6. Derivada
7. Curvas Parametrizadas
8. Reta Tangente
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
INTRODUÇÃO
Função vetorial → domínio é um conjunto de números 
reais e cuja imagem é um conjunto de vetores
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
funções vetoriais de uma variável
Função f(t), onde t é uma variável real
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃO
Movimento de uma partícula no Espaço
Podemos associar uma partícula no espaço como sendo um 
ponto no espaço.
Observe que o deslocamento deste ponto em cada instante 
de tempo t descreverá uma curva. 
x = x(t), y = y(t) e z = z(t)
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), definidos no intervalo I, I  , com 
valores em 3, t  I.
Exemplo:(t) = (t2 , cos t, t3) então x(t) = t2 , y(t) = cos t e 
z(t) = t3
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃO
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CÁLCULO III
DEFINIÇÃO
Função vetorial de uma variável real t é definida num 
intervalo I, onde para cada t  I associamos um vetor 
do espaço. 
Notação: 
f

)(tff


     

 ktfjtfitftf 321)(
Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e 
cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função 
vetorial. 
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CÁLCULO III
Se considerarmos um ponto P(x,y,z) qualquer no espaço, 
o vetor

 kzjyixv
É chamado vetor posição do ponto P. 
x
y
z
P(x,y,z)
v
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1. Movimento de uma partícula sobre uma circunferência
EXEMPLOS
 

 jsentittf cos
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CÁLCULO III
2. Função vetorial preço
Podemos considerar 3 produtos onde o primeiro tem preço 
t2 , o segundo tem preço t + 5 e o terceiro tem preço dado 
pela soma dos preços das duas primeiras. 
EXEMPLOS
   5,5, 22 

tttttP
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CÁLCULO III
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
       
        Itktgjtgitg
ektfjtfitf
tg
tf




,321
321
  
  
 
 
 
 
 
 
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
a h t f t g t
b w t f t g t
c v t p t f t p t é uma função escalar
d h t f t g t função escalar
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CÁLCULO III
LIMITE E CONTINUIDADE
Definição: 
       










tztytxtf
tttttttt 1111
lim,lim,limlim
Ou seja, o limite de um vetor f(t) quando t se aproxima 
de t1 é definido por: 
 


 atf
tt 1
lim
Se os limites individuais existirem
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CÁLCULO III
1. Considere a função vetorial 
EXEMPLOS
 

 2 3( ,cos , )f t t t t
Veja que o limite da função será determinado do seguinte 
modo: 
     0,1,0lim,coslim,limlim 3
00
2
00




ttt
tttt
tf
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EXEMPLOS
2. Considere a função vetorial 
 
 


3
2
8
( ,cos , )
4
t
f t t t
t
Vamos analisar o valor do limite da função quando t → 2.
  










 2
3
2222 4
8
lim,coslim,limlim
t
t
tt
tttt
tf
Podemos usar a regra de L’Hospital para 
resolver esse limite
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CÁLCULO III
Usando a regra de L’Hospital
 
3
2
23
2
3
2
3
4
8
lim
2
2
3
2







t
t
t
t
t
t
Outro modo de resolver esse limite
  
  
   
3
4
12
22
2224
2
24
22
222
2
2
4
8
lim
22
22
22
33
2
3
2

















t
tt
tt
ttt
t
t
t
t
t
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CÁLCULO III
CONCLUSÃO
  










 2
3
2222 4
8
lim,coslim,limlim
t
t
tt
tttt
tf
   3,2cos,2lim
2



tf
t
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
3. Vamos calcular o 









kjtit
t
2)1(lim 22
2
     

















kji
kjtitkjtit
tttt
232
2lim1limlim2)1(lim
2
2
2
2
2
22
2
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CÁLCULO III
CONTINUIDADE
Definição:
A função vetorial é contínua em t  I se, e 
somente se x(t), y(t) e z(t) são contínuas em t.
Segundo o critério de continuidade de uma função, a 
função será contínua, caso o limite e a função no ponto 
em estudo existam e sejam iguais, isto é, 
   1
1
lim tftf
tt



 

f t
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
1. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no 
ponto indicado.
 
   
   cos , 0f t sent i t j k t
 
   
    

     
       
 
      
0
lim cos 0, 1,1
0 cos 0, 1,1
t
sent i t j k j k ou
f sent i t j k j k ou
Veja:
Portanto a função é contínua no ponto t = 0.
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
2. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no 
ponto t1 = 0.
 
 

 

 
 
  
, 0
2 , 0
sent
i j t
tg t
i j t
Veja que o
   

 
   
 0
lim
t
sent
i j i j
t
e     0 2g i j
Portanto a função dada não é contínua no ponto indicado.
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CÁLCULO III
DERIVADA
Definição:
A derivada da função vetorial , t  I, é a função 
vetorial denotada por e definida por:
 

f t
 

`f t
 
   
 


  


` lim
t t
f t t f t
f t
t
Para todo t, tal que o limite existe. 
Se a derivada da função existe em todos os pontos do 
intervalo I, então podemos dizer que a função é derivável em 
I.
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CÁLCULO III
Considere a função vetorial 
     

 ktfjtfitftf 321)(
Ela é derivável em um ponto t se, e somente se, as três 
funções escalares 
     tftftf 321 ,,
São deriváveis em t. 
Logo podemos escrever
       
      
  1 2 3` ` ` `f t f t i f t j f t k
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
Vamos determinar a derivada das seguintes funções 
vetoriais:
 
 
   
   
    
   
2) cos (5 1)
` 2 5
a f t t i t j k k
f t t i sent j k
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
   
   
 
  

  

 

   
     
  
3 5
2 5
2 5
) 2 3
` 3 2 3 .2 .( 5)
6 2 3 5
t
t
t
b h t t i e j
h t t i e j
t i e j
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CÁLCULO III
Observação:
A interpretação geométrica de derivada continua valendo 
para função vetorial, portanto será o vetor tangente à 
curva no ponto P.
 

`f t
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CÁLCULO IIIDeterminar o vetor tangente da seguinte função, no ponto 
indicado.
EXEMPLO
)1,1,1(),,,()( 32 

Pttttf
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t 
que satisfaz a curva.
11
1,11
1
33
2



ttz
tconsiderarvamostty
ttx
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CÁLCULO III
Agora calculamos a derivada.
)3,2,1()1´(
1),3,2,1()´( 0
2




f
f tttt
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CÁLCULO III
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA
Considere uma partícula em movimento no espaço. Vamos 
supor que no tempo t, representa o vetor posição da 
partícula. A medida que t varia, a extremidade livre do 
vetor descreve a trajetória C da partícula.
 

s t
 

s t
Quando 
   
 
's t v t
é derivável, a velocidade instantânea da
partícula é dada por
 

s t
Quando 
 

v t
é derivável, a aceleração da partícula é
partícula é dada por
   
 
'v t a t
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
CURVAS PARAMETRIZADAS
Foi visto anteriormente que um ponto P do vetor 
descreverá uma curva C em 3 quando for contínua 
para todo t no intervalo I. 
Portanto definimos a equação = (x(t),y(t),z(t)) 
como a parametrização da curva C e as componentes
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
são chamadas de equações paramétricas da curva C e t 
é chamado parâmetro.
 

f t
 

f t
 

f t
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CÁLCULO III
Observação:
Chamamos CURVA o conjunto de todos os pontos (x, y, z) 
determinados por estas equações. 
Exemplos
1. A equação vetorial   

 ktjtittf
Representa uma reta, cujas equações paramétricas são
x(t) = t
y(t) = t
z(t) = t
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
2. As equações paramétricas 
x = 2cost
y = 2sent
z = 3t
Representam uma curva no espaço chamada hélice circular. 
A equação vetorial é representada por
 

 ktjsentittf 32cos2
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Parametrização para a hélice circular - curva descrita por
um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z
mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo.
Simultaneamente o ponto P se move paralelamente ao eixo
z de modo que sua terceira componente é proporcional ao
ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠
0. Consideramos o início do movimento em P = (0,0,0).
f(t) = (r cos , r sen , b) , 
onde   .
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE ALGUMAS CURVAS
Parametrização Natural
Será a parametrização do tipo f(t) = (t , f( t)).
Exemplo
A equação da reta y = 6x + 9 pode ser parametrizada
considerando a parametrização natural → f(t) = (t ,6t+9).
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Podemos também determinar a equação cartesiana
correspondente a equação paramétrica de uma curva.
Exemplo
Seja x = 3t – 4 e y = 6 – 2t . Vamos determinar a equação
da reta.
Procedimento → isolar em uma das equações o
parâmetro t e depois substituir na outra, ou isolar o
parâmetro t em ambas e igualar as equações.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Veja:
 1
3
4
43


x
ttx
Agora vamos substituir (1) em y = 6 – 2t
)(
3
102
3
4
.2626 reduzidaequação
x
y
x
yty






 

)(01023
3
102
retadageralequaçãoxy
x
y 


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CÁLCULO III
Parametrização de uma reta
Equação vetorial da reta → , onde v é o
vetor direção, t o parâmetro real e P é um ponto que
pertence a reta.
 

 ptvtr
 tr

= (vx, vy,vz)t + (x0, y0,z0), t 
=(vxt + x0, vyt + y0, vzt + z0)
 tr

FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
1. Determinar uma representação paramétrica da reta
que passa pelo ponto A(2,1,-1) na direção do vetor
 

 kjitr 32
Temos
 

 ktjtittr )1()31()22(
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
2. Determinar uma representação paramétrica da reta
que passa pelo ponto A(2,0,1) e B(-1, 3,0).
O vetor v será dado por: v = (-1, 3,0) - (2,0,1) = (-3, 3, -1)
Portanto, o vetor r(t) = (2,0,1) + t(-3, 3,-1)
 

 ktjtittr )1(3)32(
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
3. Determinar o vetor direção da reta para a curva
 

 3 2( , , )r t t t t
Nesse caso verificamos que o ponto P = (0,0,0) e a direção 
v = (1,1,1).
A reta r será representada por r(t) = (1,1,1) t + (0, 0,0)
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Parametrização da circunferência
Seja C a circunferência no plano xy de centro (a, b) e
raio r, definimos a parametrização de C como:
Circunferência com centro na origem (0,0):
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLO
Vamos obter as equações paramétricas da circunferência 
x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0 no plano z = 3.
Completando os quadrados da equação 
x2 + y2 – 6x + 9 – 4y + 4 = 9
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 9
x(t) = 3 + 3cost
y(t) = 2 + 3sent
z(t) = 3 0 ≤ t ≤ 2π
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CÁLCULO III
Parametrização da ciclóide
curva plana descrita por um ponto P sobre uma 
circunferência quando esta gira ao longo de uma reta.
r (t) = (r ( – sen ), r (1 – cos )) , 
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Reta Tangente a trajetória de f(t) no ponto f(t0 )
Exemplo
Calcular a reta tangente para a curva
Identificando o valor do parâmetro t que satisfaz a curva 
observamos que o único valor é t = 1. 
Derivamos a função vetorial dada. 
)1,1,1(),,,()( 23 Pttttf 

FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
1),1,2,3()´( 0
2 

ttttf
Esta função nos leva ao vetor diretor (vetor tangente a 
curva), ou seja, o vetor v = (3,2,1).
A reta tangente será:
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CÁLCULO III
RESUMINDO
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III