Campos Conservativos no Plano

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CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO
Ricardo Bianconi
Primeiro Semestre de 2008
Resumo
Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conser-
vativos e forma do domı´nio de definic¸a˜o desses campos no plano. Em
particular, estudaremos os obsta´culos para que um campo irrotacional
seja conservativo.
1 Introduc¸a˜o
Para os fins deste texto, todos os campos vetoriais sera˜o presumidos de
classe C1, ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem de suas func¸o˜es
coordenadas sera˜o assumidas cont´ınuas. Vamos restringir este texto a cam-
pos definidos em regio˜es do plano, pois as contas ficam mais simples e os
conceitos mais fa´ceis de serem visualizados.
Lembramos que um campo vetorial F(x, y) = P (x, y) i +Q(x, y) j e´ con-
servativo na regia˜o D ⊆ R2 se, para toda curva γ : [a, b] → D, de classe
C1 por partes1, temos que a integral de linha
∫
γ f dr so´ depende do ponto
inicial γ(a) e final γ(b) da curva, sendo i = (1, 0) e j = (0, 1) os vetores que
formam a base canoˆnica de R2.
Isto equivale a
∮
γ F dr = 0, para toda curva simples e fechada
2 γ :
[a, b] → D, e tambe´m e´ equivalente a` existeˆncia de uma func¸a˜o (que sera´
forc¸osamente de classe C2 e que e´ chamada de potencial de F) f : D → R,
tal que F = ∇f (o gradiente de f).
1Isto e´, podemos dividir o intervalo [a, b] em subintervalos [xi, xi+1], de modo que γ e´
de classe C1 em seu interior ]xi, xi+1[ e existem os limites
γ(xi
+) = lim
t→xi+
γ(t) e γ(xi+1
−) = lim
t→xi+1−
γ(t),
para todo i.
2Ou seja, γ(a) = γ(b) e γ(t0) 6= γ(t1), se a < t0 < t1 ≤ b.
1
Ricardo Bianconi - Campos Conservativos 2
Lembramos tambe´m que o campo F e´ irrotacional se, para todo (x, y) ∈
D,
∂Q
∂x
(x, y)− ∂P
∂y
(x, y) = 0,
ou seja, considerando a extensa˜o natural de F a um campo em R3, o seu
rotacional deve anular-se (veja o texto sobre o rotacional).
Se F = ∇f , com f de classe C2, enta˜o rot F = rot∇f = 0. Assim,
todo campo conservativo e´ irrotacional, mas nem todo campo irrotacional e´
conservativo.
2 Um campo irrotacional e na˜o conservativo
Um campo irrotacional e na˜o conservativo, que pode ser considerado t´ıpico,
e´ o campo
F(x, y) =
−yi + xj
x2 + y2
,
definido em D = R2 \ {(0, 0)} = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0)}, que e´
irrotacional (fac¸a a conta), mas∮
γ
F dr = 2pi 6= 0,
se γ(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2pi], uma curva simples e fechada.
Esse campo representa um (mu´ltiplo do) campo magne´tico gerado por
uma corrente constante passando por um fio perpendicular ao plano pela
origem, ou tambe´m um (mu´ltiplo do) campo de velocidades de um fluido
viscoso sujeito a` ac¸a˜o de um eixo cil´ındrico centrado na origem e rodando
em sentido anti-hora´rio.
Ele admite as seguintes variac¸o˜es:
F1 =
−yi + xj
a2x2 + b2y2
, com a > 0, b > 0;
F2 =
−(y − y0)i + (x− x0)j
(x− x0)2 + (y − y0)2 ;
ou mesmo uma mistura dos dois,
F3 =
−(y − y0)i + (x− x0)j
a2(x− x0)2 + b2(y − y0)2 , a > 0, b > 0.
Ricardo Bianconi - Campos Conservativos 3
Verifique que cada um desses campos e´ irrotacional, mas na˜o conserva-
tivo.
Observe-se que o campo F(x, y) = (−yi + xj)/(x2 + y2), restrito ao
domı´nio D = {(x, y) : y 6= 0 ou (y = 0 e x > 0} (R2 menos o semi-eixo
negativo dos x), pode ser escrito como o gradiente de
f(x, y) =

arctg (y/x) se x > 0
pi
2 − arctg (x/y) se y > 0
−pi2 − arctg (x/y) se y < 0
que e´ a func¸a˜o f(x, y) = θ(x, y) o aˆngulo que o segmento de (0, 0) a (x, y) faz
com o semi-eixo positivo dos x, medido em radianos e orientado no sentido
anti-hora´rio (verifique que f esta´ bem definida, ou seja, que se x > 0 e
y > 0, enta˜o arctg (y/x) = (pi/2) − arctg (x/y) e que, se x > 0 e y < 0,
enta˜o arctg (y/x) = −(pi/2) − arctg (x/y)). Isto quer dizer que esse campo
e´ conservativo nesse domı´nio mais restrito. Vamos explorar essa ide´ia na
sec¸a˜o seguinte.
3 Domı´nios Simplesmente Conexos
A Topologia e´ uma a´rea da Matema´tica que estuda, entre outros to´picos,
propriedades dos subconjuntos de Rn, principalmente se tais propriedades
causam alguma obstruc¸a˜o para resolvermos problemas de Ca´lculo. No caso
que estamos estudando, e´ dado um campo irrotacional F, e queremos resolver
em f a equac¸a˜o (ou melhor, o sistema de equac¸o˜es)∇f = F, o que e´ o mesmo
que dizer que o campo e´ conservativo e calcularmos seu potencial.
Observemos que o campo F(x, y) = (−yi + xj)/(x2 + y2), apesar de na˜o
ser conservativo em seu domı´nio ma´ximo D = R2 \ {(0, 0)}, passa a seˆ-lo,
se restringimos o seu domı´nio, retirando toda uma semi-reta partindo da
origem. Na verdade, a grande obstruc¸a˜o para que ele seja conservativo e´
podermos dar uma volta em torno da origem sem sair de D, isto e´, existem
curvas simples e fechadas em D envolvendo a origem. No domı´nio mais
restrito (R2 menos a semi-reta), isto e´ imposs´ıvel.
Pelo Teorema de Green, se uma curva em D, simples e fechada, envolve
uma regia˜oD′ ⊂ D, e o campo e´ irrotacional, enta˜o sua circulac¸a˜o (ou in-
tegral nessa curva) sera´ nula. Assim, se toda curva simples e fechada em
D envolver uma regia˜o D′ ⊂ D, enta˜o o campo sera´ conservativo em D.
Por outro lado, se existir alguma curva simples e fechada em D que envolva
algum ponto fora de D, mesmo que o campo seja irrotacional, ele pode na˜o
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ser conservativo (no caso em que a circulac¸a˜o do campo nessa curva na˜o for
nula).
Desta forma, vemos que a propriedade crucial do domı´nio D que implica
que todo campo irrotacional tambe´m seja conservativo e´ que toda curva
simples e fechada em D envolva uma regia˜o D′ ⊂ D, e na˜o deˆ volta em torno
de nenhum ponto fora de D. Tais regio˜es D chamam-se simplesmente
conexas.
Portanto, pelo Teorema de Green, temos o crite´rio:
O campo F, definido num domı´nio simplesmente conexo D, e´
conservativo se, e somente se3, o campo e´ irrotacional.
Para o caso de D na˜o ser simplesmente conexo, mas o seu complemento
contiver uma quantidade finita de componentes (ou pedac¸os), em volta das
quais existirem curvas simples e fechadas em D, digamos γi (em volta da
i-e´sima componente limitada do complemento de D), 1 ≤ i ≤ n, novamente
pelo Teorema de Green temos o crite´rio:
O campo F e´ conservativo em D (como acima descrito) se, e
somente se, rot F = 0 e
∮
γi
F dr = 0, para 1 ≤ i ≤ n.
Observe tambe´m que, pelo Teorema de Green, o crite´rio e´ va´lido para
qualquer escolha das curvas γi.
Por fim, escolha (arbitrariamente) um ponto pi = (xi, yi) na i-e´sima
componente do complemento de D, 1 ≤ i ≤ n, e curvas γi como acima
descrito (orientadas no sentido anti-hora´rio). Seja G um campo irrotacional
em D e, para 1 ≤ i ≤ n, sejam
Fi(x, y) =
−(y − yi)i + (x− xi)j
(x− xi)2 + (y − yi)2 ,
µi =
1
2pi
∮
γi
G dr.
Enta˜o o campo H = G−∑n1 µiFi e´ conservativo (use o segundo crite´rio).
Isto quer dizer que os campos Fi (variantes do campo F(x, y) = (−yi +
xj)/(x2+y2)) codificam em si toda a obstruc¸a˜o para que G seja conservativo.
A teoria matema´tica que faz essa correlac¸a˜o chama-se Cohomologia de de
Rham (do matema´tico franceˆs que a desenvolveu, Georges de Rham), mas
isto e´ tema para outra ocasia˜o.
3Isto que dizer, que e´ equivalente a.