CSim-04 - Geometria Plana 2 - Resumo de Arcos, _ngulos e Pot_ncia de Ponto (1)

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Geometria Plana 02 
 Prof. ValdirProf. ValdirProf. ValdirProf. Valdir 
 
θ 
E 
C 
D 
B 
A 
θ 
α β 
 
VI – ÂNGULOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
1. ÂNGULO CENTRAL 
É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da 
circunferência. 
A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que seus 
lados delimitam na circunferência cujo centro coincide com o seu 
vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ÂNGULO INSCRITO 
É todo ângulo cujo vértice pertence à uma circunferência e os 
seus lados são retas secantes desta. 
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do 
arco que seus lados delimitam na circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Ou seja, 
se um triângulo é inscrito numa semicircunferência, então ele é 
retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. ÂNGULO DE SEGMENTO 
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo que 
um de seus lados é uma secante e o outro tangente à circunferência 
num dos pontos onde a secante corta a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. ÂNGULO ENTRE DUAS CORDAS (vértice interno) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. ÂNGULO ENTRE DUAS SECANTES (vértice externo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do quadrilátero inscritível 
“Se um quadrilátero é inscrito em um círculo, então seus ângulos 
opostos são suplementares”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
�ABC
2
α = e 
�ADC
2
β = 
Como �ABC + �ADC = 360º, então: α + β = 180º 
Observação: 
 “Em todo quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual 
à soma dos produtos dos lados opostos”. (Teorema de Hiparco). 
 
Demonstração: 
 Consideremos as diagonais AC e BD e um segmento de reta AE, 
com extremidade E na diagonal BD, tal que α = β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, teremos ∆ABC ∼ ∆ADE. Logo, podemos afirmar que: 
 
AC BC
AD ED
= ⇒ AC.ED = AD.BC (I) 
O 
B 
A 
α 
α = med�AB 
 
α 
V 
B 
A 
C 
D 
� �AB+ CD
=
2
α 
� �AB - CD
α =
2
 α 
A
B 
V 
C 
D 
B 
C 
A 
α 
α = 
�ABmed
2
 
O – centro 
O 
A 
D 
C 
B 
β 
α 
A 
B 
α 
O 
α = 
�ABmed
2
 
 
 
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Da mesma forma, teremos ∆ABE ∼ ∆ADC. Daí, teremos: 
 
AC CD
AB BE
= ⇒ AC.BE = AB.CD (II) 
 
Adicionando, membro a membro, as igualdades (I) e (II), vem: 
 
 AC.(BE + ED) = AB.CD + AD.BC 
 
Como BE + ED = BD, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
01. Na figura a seguir, os arcos AB e CD medem respectivamente, 60° 
e 90°. Determine a medida do ângulo α entre as cordas AC e BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Sabemos que 
� �AB + CD
α =
2
. Então, teremos: 
 
 
� �AB + CD
α =
2
 ⇒ 
90° + 60°
α =
2
 ⇒ α = 75° 
Resposta: 75° 
 
 
 
03. Na figura a seguir, os arcos AB e CD medem, respectivamente, 
100° e 60°. Determine a medida α do ângulo entre as secantes VA e 
VB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Sabemos que 
� �AB - CD
α =
2
. Então, teremos: 
 
 
� �AB - CD
α =
2
 ⇒ 
100° - 60°
α =
2
 ⇒ α = 20° 
 
Resposta: 20° 
 
 
 
 
02. Na figura a seguir, os pontos A, B, C, D e E pertencem à 
circunferência de centro O. Assim, calcule a medida do ângulo x 
assinalado. 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Da figura temos: 
 �BE = 2.25° ⇒ �BE = 50° ⇒ ˆEDB = 25º 
Como ˆCBD é ângulo externo do triângulo ABD, temos: 
 ˆCBD = 40° + 25° ⇒ ˆCBD = 65° 
Como x é medida de um ângulo externo do triângulo BCF, temos: 
 x = 65° + 25° ⇒ x = 90° 
 
Resposta: x = 90° 
 
 
 
 
VII – POTÊNCIA DE UM PONTO 
 
1. DUAS SECANTES COM O PONTO INTERIOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: O triângulo APB é semelhante ao triângulo PCD 
 
 
2. DUAS SECANTES COM O PONTO EXTERIOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: O triângulo PAC é semelhante ao triângulo PBD. 
 
 
3. UMA SECANTE E UMA TANGENTE 
A reta que passa por A e P é tangente à circunferência no ponto A. 
Observe que AO ⊥ PA, sendo AO o raio da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: Como no caso 2, temos PA.PA = PB.PC. 
 
 
 
 
AC.BD = AB.CD + AD.BC 
A 
O 
 C 
(PA)
2
 = PB.PC 
P 
B 
B 
 
A 
P 
C 
D 
PA.PD = PB.PC O 
 D 
 
P PA.PC = PB.PD 
B 
A 
C 
D 
40º 
25º 
C 
B 
E 
x 
O 
A F 
 
α 
V 
B 
A 
C 
D 
60° 
90° 
α 
A
B 
V 
C 
D 
60° 100° 
 
 
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4. DUAS RETAS TANGENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Nesse caso PA = PB. 
 
Teorema do quadrilátero circunscritível. 
“Se um quadrilátero ABCD é circunscritível em um círculo, então 
 AB + CD = BC + AD”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
Sejam P, Q, R e S os pontos de tangência aos lados AB, BC, CD e DA, 
respectivamente. Assim, teremos: 
 
AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR) 
 
Como: AP = AS, BP = BQ, CQ = CR e DR = DS, temos: 
 
 AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS) 
 AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC 
 
Assim, fica provado que: AB + CD = BC + AD. 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
01. Na figura a seguir, os segmentos de reta PA, PB e PC, medem, 
respectivamente 6 cm, 3 cm e 4 cm. Determine a medida do 
segmento de reta PD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Aplicando pontência do ponto P em relação à circunferência, 
teremos: 
 
PA.PC = PB.PD ⇒ 6 . 4 = 3 . PD ⇒ PD = 8 cm. 
 
Resposta: PD = 8 cm 
 
 
 
02. Na figura a seguir, os segmentos de reta PA e PB medem, 
respectivamente, 6 cm e 4 cm. Determine a medida do segmento de 
reta BC, sabendo-se que a reta PA é tangente à circunferência no 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Aplicando pontência do ponto P em relação à circunferência, 
teremos: 
(PA)
2
 = PB.PC ⇒ 6
2
 = 4.(4 + BC) ⇒ 36 = 16 + 4.BC ⇒ BC = 5 cm 
 
Resposta: 5 cm 
 
 
03. (ITA) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os 
segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, 
e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o 
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, 
calcule o comprimento do segmento GF. 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Fazendo GC = x, da potência do ponto E, temos: 
 4.(7 + x) = 5.12 ⇒ 7 + x = 15 ⇒ x = 8 cm 
Fazendo GF = y, da potência do ponto G, temos: 
 y.6 = 3.8 ⇒ y = 4 cm 
 
Resposta: GF = 4 cm 
 
 
 
 
 
 
A 
O 
(PA)
2
 = (PB)
2 
P 
B 
A 
B 
A P 
C D 
Q 
R 
S 
7 
E 
A 
D 
B 
C G 
F 
5 
4 
3 
6 
 D 
 
P 
B 
A 
C 
 6 cm 
 
 3 cm 
 
 4 cm 
 
A 
O 
 C 
P 
B 
 4 cm 
 
 6 cm