Introdução a Física

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Movimento em 1D
Objetivos:
● Descrever o movimento de um corpo em 1 
dimensão;
● Resolver problemas de movimento em 1D a 
aceleração constante.
 
Movimento em 1D
Limitações do problema tratado:
● o corpo não possui forma ou dimensões, é 
um ponto;
● a causa do movimento não será abordada 
aqui;
● o movimento ocorre apenas ao longo de um 
único eixo.
 
Posição (x)
Considere o movimento de um corpo pontual 
se deslocando ao longo de um eixo horizontal:
0 1 2 3 4-1-2 x (m)
t =
 0
t =
 1
s
t =
 2
s
t =
 3
s
Tempo (s) Posição (m)
0,0 2,0
1,0 4,0
2,0 -2,0
3,0 2,0
 
Posição (x)
● A posição somente é conhecida nos instante 
em que esta é medida. 
● Nada se pode afirmar sobre a posição deste 
corpo entre duas medidas quaisquer.
● ou seja, no intervalo 0 a 1s nada indica que 
o corpo esteja entre as posições 2,0m e 
4,0m
Algumas observações sobre este movimento:
 
Variação da 
Posição (Δx)
Definição:
Δ x=x f−x i
Observações:
● Na simbologia matemática é de praxe usar a letra grega delta 
(Δ) para expressar a variação de uma grandeza;
● Como uma notação pessoal usarei os colchetes, [ ], para 
simbolizar a extração das unidades das grandezas em seu 
interior.
Unidade:
[Δ x ]=[x f−xi]=m
 
Variação da 
Posição (Δx)
Calculando as variações de Posição:
0 1 2 3 4-1-2 x (m)
Intervalo: 0 – 1s Δ x01=x1−x0=4−2=+ 2,0m
Intervalo: 1s – 2s Δ x12=x2−x1=−2−4=−6,0m
Intervalo: 2s – 3s Δ x23=x3−x2=2−(−2)=+ 4,0m
Intervalo: 0 – 3s Δ x03=x3−x0=2−2=0,0m
Δ x01=+ 2,0mΔ x12=−6,0mΔ x23=+ 4,0mΔ x04=0,0
 
Velocidade Média (vm)
Definição:
vm ou v̄=
Δ x
Δ t
Unidade:
[v ]=[Δ x ]
[Δ t ]
=m
s
=m/ s
v̄=
x f−xi
t f−t i
 
Velocidade Média (vm)
Calculando as velocidades médias em alguns 
intervalos:
Intervalo 0 – 1s: v̄01=
Δ x01
Δ t01
=
x1−x0
t1−t0
=
(4−2)
(1−0)
=+ 2,0m/ s
Intervalo 1s – 2s: v̄12=
Δ x12
Δ t12
=
x2−x1
t2−t1
=−2−4
2−1
=−6,0m/ s
Intervalo 1s – 3s: v̄13=
Δ x13
Δ t13
=
x3−x1
t 3−t1
=2−4
3−1
=−1,0m / s
Intervalo 0 – 3s: v̄03=
Δ x03
Δ t 03
=
x3−x0
t3−t0
=2−2
3−0
=0,0m/ s
 
Equação do movimento
Considere o movimento de um corpo onde sua 
posição, em qualquer instante, é conhecida 
por meio de uma expressão matemática, com 
no exemplo a segui:
A posição de um corpo é dado pela equação:
x (t )=5 t2−20 t+ 15
onde x é dado em metros e t em segundos.
 
Equação do movimento
Para este movimento responda: 
(a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2; 
3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do 
movimento)
(b) sua velocidade média nos intervalos:
i. 0 a 1s;
ii.1 a 4s;
iii.2 a 4s
(c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s?
 
Equação do movimento
t (s) x (m)
0 15
1 0
2 -5
3 0
4 15
x (0)=5⋅02−20⋅0+ 15=15m
x (1)=5⋅12−20⋅1+ 15=0
x (2)=5⋅22−20⋅2+ 15=−5m
x (3)=5⋅32−20⋅3+ 15=0
x (4)=5⋅42−20⋅4+ 15=15m
(a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2; 
3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do 
movimento)
 
Equação do movimento
(a) sua velocidade média nos intervalos: ...
Intervalo 0 – 1s: v̄01=
Δ x01
Δ t01
=
x1−x0
t1−t0
=
(0−15)
(1−0)
=−15,0m/s
Intervalo 1s – 4s: v̄14=
Δ x14
Δ t14
=
x4−x1
t4−t1
=15−0
4−1
=5,0m/ s
Intervalo 2s – 4s: v̄24=
Δ x24
Δ t24
=
x4−x2
t4−t2
=
15−(−5)
4−2
=10,0m / s
 
Velocidade (v)
(c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s?
Como calcular a velocidade instantânea (em um 
instante) se a definição que se dispões necessita de 
dois instantes diferentes?
v̄ ii=
Δ x ii
Δ t ii
=
x i−xi
t i−t i
=0
0
indeterminado !
 
Velocidade (v)
Uma boa forma de resolver este problema é 
representando graficamente a velocidade do gráfico 
espaço tempo .
Primeiro vou calcular algumas velocidades média, 
tomando como ponto final sempre o instante 3s, e 
como inicial os instantes: 
0; 1s; 2s; 2,5s; 2,9s; 2,99s; 2,999s; … 
ou seja um instante sempre menor que 3s, mas se 
aproxima indefinidamente de 3s.
 
Velocidade (v)
ti (s) xi (m) tf (s) xf (m) Δt (s) Δx (m) vm (m/s)
0 15 3 0 3 -15 -5
1 0 3 0 2 0 0
2 -5 3 0 1 5 5
2,5 -3,75 3 0 0,5 3,75 7,5
2,9 -0,95 3 0 0,1 0,95 9,5
2,99 -0,0995 3 0 0,01 0,0995 9,95
2,999 -0,009995 3 0 0,001 0,009995 9,995
A tabela a segui apresenta os cálculos destas 
velocidades:
 
Em seguida estas velocidades serão marcadas no 
gráfico espaço x tempo, representados por uma reta 
que liga o instante inicial ao final.
Velocidade (v)
v̄1s−3s v̄2s−3sv̄2,5 s−3sv̄2,9s−3sv̄2,99 s−3s
v̄0−3s
Graficamente percebe-se que: 
● a velocidade média é a inclinação da reta que liga 
o instante inicial ao final, no gráfico “espaço x 
tempo” 
● a velocidade instantânea é a inclinação no gráfico 
“espaço x tempo”, no instante desejado.
Graficamente percebe-se que: 
● a velocidade média é a inclinação da reta que liga 
o instante inicial ao final, no gráfico “espaço x 
tempo” 
● a velocidade instantânea é a inclinação no gráfico 
“espaço x tempo”, no instante desejado.
 
Velocidade (v)
No limite em que Δt → 0 a velocidade média se torna 
a velocidade instantânea
v= lim
Δ t→0
Δ x
Δ t
v=d x
d t
v= d
d t
xou
Como um operador que atua sobre a posição e me 
gera a velocidade instantânea. 
 
A derivada
A seguir é apresentado a fórmula da derivada de 
polinômios:
d
d t
(t n)=nt n−1
d
d t
(t3)=3 t3−1=3 t2
com n um número real qualquer, diferente de 0
Alguns exemplos:
d
d t
(t5)=5 t5−1=5 t 4
 
A derivada
d
d t
(t )= d
d t
(t1)=1 t1−1=1
Mais alguns exemplos:
d
d t
(6)=0
d
d t
(6 t 2)=6 d
d t
(t2)=6⋅2 t2−1=12 t
d
d t
(3 t2+ 5 t+ 20)=3 d
d t
(t 2)+ 5 d
d t
(t)+ 0=3⋅2 t+ 5=6 t+ 5
Derivada de uma constante 
é sempre nulo.
 
Velocidade (v)
v=d x
d t
= d
d t
(5 t2−20 t+15 )=5 d t
2
d t
−20 d t
d t
+ d 15
d t
Retornando ao problema, a velocidade em 3s pode 
ser facilmente encontrada:
v=5⋅2 t2−1−20⋅1 t 1−1+0=10 t−20
v (t)=10 t−20 Esta é equação para a velocidade, deste corpo, em qualquer instante!
v (3s)=10⋅3−20 ⇒ v (3s)=10m/ s
 
Aceleração Média (am)
ā=Δ v
Δ t
Como feito com a velocidade, a definição da 
aceleração começa pela aceleração média:
Unidade:
[a ]=[Δ v ]
[Δ t ]
=m/ s
s
=m/s2
Observe que as velocidades que aparecem nesta 
equação são instantâneas!
ā=
v f−vi
t f−ti
abrindo a expressão:
 
Aceleração (a)
a= lim
Δ t→ 0
Δ v
Δ t
A aceleração instantânea é definida a partir da 
aceleração média como:
Ou, através da derivada:
a=d v
d t
 
Aceleração (a)
Continuando o exercício anterior, responda:
(d) qual a aceleração média deste corpo no 
intervalo de 1s a 4s?
(e) qual a sua aceleração em 3s?
 
Aceleração (a)
(d) qual a aceleração média deste corpo no 
intervalo de 1s a 4s?
ā=Δ v
Δ t
=
v f−vi
t f−t i
t i=1s ⇒ v i=v (1s)=10⋅1−20=−10m / s
v (t )=10 t−20onde, para este problema:
t f=4s ⇒ v f=v (4s)=10⋅4−20=20m /s
ā=
20−(−10)
4−1
=30
3
=10m /s2
 
Aceleração (a)
(d) qual a sua aceleração em 3s?
a=d v
d t
= d
d t
(10 t−20)=10 d
d t
(t )+ d
d t
(20)=10m/ s2
a=10m / s2 ⇒constante !
Isto ocorre pois a equação da posição é um polinômio 
de segundo grau e a cada derivação este polinômio 
decresce seu grau.
x (t)=5 t2−20 t+ 15 ⇒ v (t )=10 t−20 ⇒a=10m /s2
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