Aula 05 geometria de via permanente

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Aula 04
Engº., MSc. Jean Carlo Trevizolo de Souza
jeantrs@hotmail.com
Disciplina: 
Optativa em Transportes
FERROVIAS
2013/02
Geometria de Via 
Permanente
AULA PASSADA
Sublastro
Lastro
Dormente
Trilho
Soldas
AULA DE HOJE
Geometria de Via Permanente
Superlargura
Superelevação
Concordância Vertical e Horizontal
Raio de Curva
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
RAIO MÍNIMO
O raio mínimo para uma via férrea é estabelecido por normas e/ou projeto
e deve permitir a inscrição da base rígida dos truques dos carros e
locomotivas, além de limitar o escorregamento entre roda e trilho.
Exemplo: EFVM: raio mínimo 195 m
EFC: raio mínimo: 860 m
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Superelevação consiste em elevar o nível do trilho externo de uma
curva. Esta técnica reduz o desconforto gerado pela mudança de
direção, diminui o desgaste no contato metal-metal e o risco de
tombamento devido à força centrífuga que aparece nas curvas.
A velocidade máxima de projeto de um determinado trecho (que possui
em geral mais de uma curva) será definida considerando o raio de
curva mais fechada.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Trilho 
interno da 
curva
Trilho 
exter
no da 
curva
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Superelevação prática máxima e velocidade de projeto:
A velocidade máxima de projeto de uma via é prevista para trens de
passageiros. Entretanto, esta mesma via é utilizada por veículos mais
lentos, como trens de carga e veículos de manutenção. Como a
velocidade desses veículos é menor, a componente da força centrífuga
também é menor. Aparece portanto, o risco de tombamento do veículo
mais lento para dentro da curva e de excesso de desgaste do trilho
interno, caso a superelevação da mesma tenha sido dimensionada pelo
critério teórico. Além disso, mesmo o trem de passageiros pode, por
algum motivo, parar na curva.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Superelevação prática máxima e velocidade de projeto:
A superelevação máxima admissível é definida como aquela que
seguramente não provoca o tombamento do trem para o lado
interno da curva quando este está parado sobre ela. Queremos
determinar qual a velocidade máxima que um dado trem (com
características definidas, como peso, altura do centro de gravidade, etc.)
pode descrever uma curva que tenha superelevação máxima.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
A superelevação teórica somente poderia ser adotada em sistemas
onde fosse possível garantir velocidades perfeitamente homogêneas
para todos os trens, em ambos os sentidos.
Entretanto, na operação ferroviária, esta situação raramente se
materializa, em virtude particularmente dos condicionantes do traçado
da via.
Se adotarmos uma superelevação com um valor muito elevado,
poderemos ocasionar o tombamento para o lado interno das curvas dos
trens lentos ou que precisem parar, por qualquer motivo, e depois
retomar seu movimento.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
1º passo: Com os dados do
veículo crítico (peso, altura do CG,
etc.) verificamos qual o máximo
valor da superelevação que pode
ser aplicado com segurança numa
curva para que, estando o veículo
parado sobre ela, não venha tombar
para o interior da mesma.
2o passo: De posse do valor
máximo admissível da
superelevação para uma curva,
calculamos as velocidades máximas
que podem ser atingidas por esse
veículo segundo dois critérios:
conforto e segurança. Adota-se o
menor dos dois valores como
velocidade máxima de projeto no
trecho
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Como os tipos de veículos que utilizam a via são variados (carga,
passageiros, manutenção, ...), deve-se calcular a superelevação prática
máxima para cada um deles e adotar o menor dos resultados.
H
bitola
deslocamento do CG
B
α
hmax
altura do CG
força peso
d
d:
H:
B:
α
• d = deslocamento do centro de
gravidade (~0,1 m);
• H: altura do centro de
gravidade em relação aos trilhos.
É função da geometria dos
diversos tipos de veículos, da
ordem de 1,5 m para locomotivas
diesel-elétricas e 1,8 para vagões
fechados carregados até o teto;
1o_Superelevação Prática Máxima
• B = 1.60 m hmax = 16 cm;
• B = 1.00 m hmax = 10 cm;
Método Empírico (Normas ferroviárias):












 d
B
Pd
B
PMe
22
cos
  H
B
h
PHPMi  sen
MinMe 
H
B
h
Pnd
B
P max
2






 







 d
B
nH
B
h
2
max
Método Racional:
Momento estabilizador : 
Momento instabilizador:
Equilíbrio:
onde n é coeficiente de 
segurança: 
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
2º a) _Cálculo de Vmax pelo critério do conforto:
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Como geralmente a superelevação prática (hprático) é menor que a
superelevação teórica (hteórico), aparecerá uma componente da
aceleração não compensada pela superelevação (η).
O desconforto aumenta com o distanciamento de hprático com relação a
h-teórico, isto é, aumento de η.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
• V: velocidade máxima com conforto
• B: bitola
• R: raio da curva mais “fechada” do trecho considerado
• α: ângulo da superelevação
• hprat Max: superelevação prática máxima
• η: componente da aceleração centrífuga não compensada 
R
B
g
B
h
V 











 



max
max 127
Fazendo-se os devidos ajustes para
que a velocidade possa ser obtida em
km/h.
 bitola métrica : η = 0,45 m/s2
 bitola normal : η = 0,60 m/s2
 bitola larga: η = 0,65 m/s2
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Cada Companhia adota o seu.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
2ob) _Cálculo de Vmax pelo critério da segurança:
Concentra-se em verificar qual a velocidade máxima de descrição da
curva para a qual não há o risco do trem de passageiros tombar para o
lado externo numa superelevação hprat max.
Considera também o efeito da aceleração não compensada sobre o
deslocamento do centro de gravidade do trem (devido à maior contração
das molas de um lado).
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
2ob) _Cálculo de Vmax pelo critério da segurança:
Fazendo-se as devidas modificações para que V possa ser obtido
em km/h, considerando cos α = 1 e Fc . sen α = 0, temos:
Momento instabilizador:

R
V
g
P
R
V
mFc
22 e, para V dado em km/h, 
R
V
g
P
Fc


2
2
6,3
Assim,
  H
B
hP
R
VP
HPFcMi
p











 









81.996,12
sen
2
Momento estabilizador:
Equilíbrio:












 d
B
Pd
B
PMe
22
cos
MinMe 
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
H
B
hP
R
VP
nd
B
P
p











 















1272
2
R
nH
d
B
B
h
V 














 2127 maxmax
Esta é a velocidade máxima (dada em km/h) com a qual o trem pode
percorrer a curva de superelevação máxima hmax (dada em metros) sem
correr o risco de tombar para o lado de fora da curva.
B = 1.00 m 
RV 2.4max 
B = 1.60 m 
RV 8.4max 
η = 0,45 m/s2, hmax = 0,115 m, n = 5, H = 2 m, d = 0,1m 
Velocidade máximapara as bitolas métrica e larga:
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Vmax também pode ser calculada por métodos empíricos:
a) Adotar para velocidade diretriz V = 0,67VMAX;
b) Adotar para velocidade diretriz V = 0,75VMAX;
c) Critério Belga: Para linhas onde predominam trens de carga é
comumente adotada como velocidade diretriz para o cálculo da
superelevação a raiz quadrada da velocidade ponderada pelo volume de
carga em cada velocidade;
d) Critério Italiano: Adota-se uma velocidade diretriz em que a força
centrífuga seja a média das forças centrífugas produzidas pelas
velocidades máxima e mínima;
e) Critério mais utilizado nas ferrovias brasileiras (hp = 0,67hT).
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
Numa demonstração semelhante à do cálculo da velocidade máxima
pelo critério da segurança, temos:
R
nH
d
B
B
h
Vmín 














 2127 max
• TR-57, bitola larga B = 1,60 + 0,07 = 1,67 m;
• n = 5;
• d = 0,10 m;
• H = 2 m;
• hmax = 0,204 m
RVmín  3,2
hkmVmín /40hkmVmáx /83
• para Rmin = 300 m
As forças de reação dos trilhos serão iguais (~P/2) se a superelevação
tiver sido calculada pelo método teórico e a velocidade de tráfego for a
de projeto, ou seja, força centrífuga equilibrada;
O trilho externo sofrerá solicitação maior se a curva possuir
superelevação prática e o veículo trafegar na velocidade de projeto;
Para velocidades de tráfego abaixo da de projeto e superelevação
teórica, o trilho interno será mais solicitado que o externo (o mesmo
pode acontecer para superelevação prática no caso de menores
velocidades).
Situações possíveis:
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERELEVAÇÃO
No caso de curva circular há três possibilidades para a distribuição da
superelevação sem o uso da curva de transição:
 Metade na tangente e metade na curva circular;
 Total na curva;
Problemas: limita a velocidade e o comprimento da curva pode ser
insuficiente.
 Total na tangente;
Problemas: grande deslocamento do centro de gravidade do
vagão.
Nenhuma das hipóteses satisfaz tecnicamente, pois não resolvem a
questão da brusca variação da curvatura. Esta somente será resolvida se
houver uma variação contínua de C = 0 até C = R.
Assim, a superelevação é implantada totalmente na curva de transição
variando de 0 até hprát, enquanto o raio varia de infinito até R.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERLARGURA
A superlargura consiste no aumento de bitola para facilitar a inscrição
dos veículos ferroviários nas curvas e reduzir o escorregamento das
rodas.
Os valores de superlargura variam geralmente de 1 a 2 cm. O trilho
deslocado é o interno, pois o externo guia a roda.
A distribuição da superlargura é feita antes da curva circular ou
durante a transição, numa taxa de 1mm/m em vias convencionais ou
0.5mm/m em vias de alta velocidade.
012.0
6

R
S
)2( cmS 
5
6000

R
S
)2( cmS 
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERLARGURA
Para desenvolvermos a expressão que relaciona o raio da curva de transição
num dado ponto com a distância percorrida nessa curva, definimos:
 lM: comprimento da curva de transição do trecho tangente até M;
 l : comprimento total da curva de transição;
 hM : superelevação no ponto M;
 h : superelevação a ser implantada;
 α é o ângulo de inclinação do plano dos trilhos correspondente à
superelevação final da curva, quando o raio vale R;
αM é o ângulo de inclinação do plano dos trilhos correspondente à 
superelevação no ponto M da curva de transição caracterizado pelo raio r; 
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
SUPERLARGURA
Assim,
l
l
tgtg
tg
tg
tgB
tgB
l
l
h
h
l
l M
M
MMMMM 


 
Como 
R
V
tggFgm Mc
2
cossen  
temos:
rr tgg
lV
l
l
l
tg
g
V
M
M
.
22 


l e tg α são variáveis com o raio r.
Entretanto, são variáveis na mesma proporção e
tg
l é constante.a relação
Dessa forma,
Ml
k
r
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
VERTICAL
Iv
Iv
ACv
ACv
PTv
PCv
PIv
PIv
PTv
PCv
Rv
Rv
Concordância vertical
• PCv : Ponto de curva vertical
• PTv : Ponto de tangente vertical
• PIv : Ponto de intersecção vertical
• ACv : Ângulo central vertical
• Rv : Raio de curva vertical
As curvas em geral são parábolas do segundo grau, curvas circulares,
elipses ou ainda parábolas cúbicas.
Nas curvas circulares, a Europa adota raios que variam de 5000m a 10000m,
enquanto o Brasil adota raios da ordem de 1500m. Raios grandes melhoram a
qualidade do traçado da via, permitindo maior conforto. Obviamente, o custo
também cresce.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
VERTICAL
As curvas parabólicas de segundo grau são muito adotadas
no Brasil e nos EUA. O coeficiente c é tabelado e varia em função
da classe da via e do tipo de curva vertical, se é côncava ou
convexa.
Nos trechos tangentes, a inclinação varia de 1% a 2%,
podendo chegar a 4% nas linhas do Metrô e TGV (Train Grude
Vitesse – Trem de Grande Velocidade). Outro detalhe importante é
evitar que a curva vertical coincida com o Aparelho de Mudança
de Via (AMV), dispositivo que será abordado mais adiante.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
VERTICAL
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
O eixo de uma ferrovia pode ser caracterizado, para fins de projeto
geométrico, como sendo constituído por uma poligonal aberta, orientada,
cujos alinhamentos são concordados, nos vértices, por curvas horizontais.
Assim, o eixo compreenderá trechos retos (tangentes) e curvas. Como o
eixo é orientado, tem um ponto de origem e um sentido de percurso
definidos, as curvas horizontais podem ser à direita ou à esquerda,
conforme sentido de desenvolvimento das curvas.
As ferrovias têm exigências mais restritas de concordância nas curvas do
que as rodovias, em função principalmente da aderência nas rampas, da
solidariedade rodas-eixo e do paralelismo dos eixos de mesmo truque,
resultando na necessidade de raios mínimos maiores.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
Para fins de caracterização dos elementos que constituirão a ferrovia,
torna-se necessário ter sua geometria definida em pontos sucessivos
ao longo do eixo, que serão inclusive utilizados posteriormente para
materialização do eixo no campo. Estes pontos, denominados estacas,
são marcados a cada 20 metros de distância a partir do ponto de início
do projeto e numerados sequencialmente.
O ponto de início do projeto constitui a Estaca 0 (zero), com as demais
estacas, inteiras ou fracionárias, sendo marcadas em seqüência
(Estaca 1, Estaca 2, Estaca 2+10).
A marcação das estacas ao longo das tangentes não oferece grandes
dificuldades, não ocorrendo perda de precisão teórica quando se
medem distâncias ao longo das retas.
ESTAQUEAMENTO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
Já nos trechos em curva, ocorre normalmente uma perda de precisão em
função das distâncias de projeto entre as estacas corresponderem a
comprimentos de arcos de curvas, enquanto as medidas de distâncias no
campo, quando da marcação das estacas, são definidas ao longo de
segmentos retos (corda).
Assim, objetivando minimizar estes erros de mensuração e
referenciamento, utiliza-se a marcação de outros pontos, além das
estacas inteiras, sendo denominados estacas intermediárias. Este
procedimento mostra-se bastante útil na melhora da precisão na
caracterização do eixo nas curvas.
No caso da marcação das curvas com raios superiores a 600 metros,
utilizam-se cordas de 20 metros. As curvas com raio entre 100 e 600
metros são marcadas com cordas de 10 metros. Já as curvas com raios
inferiores a 100 metros sãomarcadas com cordas de 5 metros para
aumentar sua precisão.
ESTAQUEAMENTO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
PI - Ponto de Interseção das Tangentes
PC - Ponto de Curva
PT - Ponto de Tangência
AC - Ângulo Central
R - Raio da Curva
l - Ângulo de deflexão
D - Desenvolvimento (Comprimento do Arco)
Te - tangente Exterior
A concordância das curvas é realizada por meio de arcos de
circunferência que ligam diretamente as tangentes.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
GRAU DA CURVA
O grau da curva (G) consiste no
ângulo central correspondente a uma
corda de 20,0 m.
sen (G/2) = 10/R , então G = 2. arc sen 10/R ... para R dado em metros 
DEFLEXÃO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
A deflexão de uma curva circular (d), do ponto B ao ponto A, para uma
determinada corda, consiste no ângulo formado entre a referida corda e a
tangente à curva em uma das extremidades da corda.
Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz perpendicular à
corda, o ângulo de deflexão resulta em um valor numericamente sempre
igual à metade do ângulo central correspondente à corda (α).
d = α / 2;
Se a corda for igual a 20 metros
(distância usual entre estacas), o
ângulo central é o próprio grau da
curva;
d = G / 2.
DEFLEXÃO
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
Na locação de uma curva circular, é freqüente a necessidade de se determinar
valores de deflexão da curva para arcos fracionários, não coincidentes com os
valores inteiros usuais (5, 10 e 20 metros). Assim, objetivando facilitar o cálculo das
deflexões para os arcos fracionários, define-se a deflexão por metro (dm) como
sendo o valor da deflexão para o arco (corda) de 1 metro.
dm = d / c
Onde d representa a deflexão e c o comprimento da corda.
Este valor, embora teoricamente inexato, em virtude dos arredondamentos
realizados, resulta em diferenças desprezíveis em relação ao valor correto, nos
casos práticos.
- A deflexão por metro:
dm = G/2 x 1/20 ...... dm = G / 40
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
A adoção do traçado de uma ferrovia com concordância direta por
meio de curvas circulares resulta em alguns problemas nos pontos
de curva (PC) e de tangência (PT), particularmente nos segmentos
cuja utilização de raios menores torna-se necessária.
Dentre estes fatores podem ser destacados:
 A variação brusca da curvatura repercute, de forma insatisfatória,
sobre passageiros, cargas, veículos e via;
 Dificuldades para distribuição da superlargura e da superelevação.
 Caso seja especificada a utilização de curvas circulares, existem três
possibilidades de distribuição da superelevação:
• Metade na tangente e metade na curva;
• Total na curva (Limita a velocidade e o comprimento da curva
pode ser insuficiente);
• Total na tangente (Grande deslocamento do centro de gravidade).
Assim, para se evitar o choque dinâmico ocasionado pela passagem
instantânea de traçado em tangente (raio infinito e força centrífuga nula)
para traçado em curva circular (raio limitado e força centrífuga
constante), são introduzidas curvas especiais de transição entre estes
segmentos.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
A curvatura (C) é definida como o inverso do raio da curva. C = 1 / R
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
O raio de uma curva pode ser calculado em função da corda e da 
flecha da curva.
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
Marcação de pontos no trilho externo da curva, preferencialmente de 20 m em 20 m,
do PC ao PT. Estes pontos marcados definem cordas ao longo da curva, cuja a parte
central, distanciada a 10 m do ponto precedente, trata-se do local onde será medida
em campo, utilizando-se uma trena, a flecha que deverá ser devidamente anotada.
Como exemplo, no ponto “T” da figura, é marcado o 1, e o que o precede é o ponto 0.
A corda, em fio de aço ou nylon, é estendida entre o 0 e o 2, a qual dará a flecha 1;
entre os pontos 1 e 3, dará a flecha 2 e assim sucessivamente.
Métodos das 
flechas
Diagrama teórico das flechas em uma curva circular sem transição:
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
Métodos das 
flechas
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
Métodos das 
flechas
GEOMETRIA DA VIA PERMANENTE
CONCORDÂNCIA
HORIZONTAL
Métodos das 
flechas
FIM!
jeantrs@hotmail.com