P2_Gabarito_2013

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Me
âni
a - 4300151
Noturno, primeiro semestre de 2013
Segunda prova � Gabarito
24/06/2013
NOME:
Justi�que todas as suas respostas, deixando 
laro o seu ra
io
ínio e as 
ontas que o levaram a suas respostas. Há uma folha
extra para ras
unho no �nal, que não será 
orrigida e não deve ser desta
ada. Adote, sempre que ne
essário, a a
eleração
da gravidade g = 10 m/s2. Se o problema for literal, a resposta deve ser dada em função de g mesmo. Tempo de
prova: 90 minutos.
1. (1,5) Considere a situação des
rita na �gura:
Um 
orpo de massa m, preso a uma 
orda ideal de 
ompri-
mento ℓ, des
reve um movimento 
ir
ular num plano verti
al,
no sentido indi
ado no desenho. Responda às três questões
abaixo, justi�
ando suas respostas.
m
l
v
(a) Quando o 
orpo está na passando pela posição da �gura, atuam no 
orpo (i) a força peso, que é verti
al
e aponta para baixo, (ii) a tração da 
orda, que é radial e aponta para o 
entro do 
ír
ulo e (iii) a força
entrífuga, que também é radial mas tem sentido oposto ao da tração, ou seja, do 
entro para o 
orpo.
Falso ( X ) Verdadeiro ( )
Justi�
ativa:
Não há a força 
entrífuga; essa é uma força �
tí
ia ou força de inér
ia, que deve ser 
olo
ada quando
um problema de dinâmi
a é estudado em um referen
ial não iner
ial que gira � sem ela a segunda lei de
Newton deixa de valer nesses sistemas de referên
ia.
(b) A resultante das forças que atuam no 
orpo tem ne
essariamente a direção radial, pois o movimento
é 
ir
ular.
Falso ( X ) Verdadeiro ( )
Justi�
ativa:
Em ummovimento 
ir
ular a resultante tem a direção radial apenas se o módulo da velo
idade for 
onstante,
ou seja, se o movimento 
ir
ular for uniforme. Nos demais 
asos (
omo do exemplo a
ima), a resultante
tem, além da 
omponente radial (
entrípeta) uma 
omponente tangen
ial.
(
) Além da força peso e da tração, há ne
essariamente uma força atuando na direção tangen
ial no sentido
indi
ado pela �e
ha no desenho.
Falso ( X ) Verdadeiro ( )
Justi�
ativa:
Só a força peso e a tração apli
ada pela 
orda atuam neste 
orpo. Não hã ne
essidade de uma força no
sentido do movimento. Muitos 
orpos se movem em direções diferentes das forças resultantes, pois é o
vetor a
eleração, não o vetor velo
idade que tem a direção (e sentido) da resultante.
1
2. (1,0) Suponha que um vaso 
aia do alto de um edifí
io e se espatife sobre o 
hão. Responda as questões
abaixo e justi�que suas respostas.
(a) No momento do impa
to, o solo exer
e uma força sobre o blo
o (responsável por freá-lo
e eventualmente quebrá-lo) e o vaso exer
e uma força sobre o solo. Embora a massa desses
orpos (vaso e Terra) seja muito diferente, o módulo dessas forças é igual.
Falso ( ) Verdadeiro ( X )
Justi�
ativa:
Essas forças são um par ação e reação, portanto tem o mesmo módulo.
(b) Analisando as imagens de um �lme gravadas por a
aso a partir do 
elular de um
morador que estava na janela do prédio no momento que o vaso 
aiu, a polí
ia 
on
luiu
que a velo
idade do vaso era 
onstante. Há 
ertamente algo errado 
om a 
on
lusão da
polí
ia, pois a força peso age o tempo todo no 
orpo, a
elerando-o para baixo.
Falso ( X ) Verdadeiro ( )
Justi�
ativa:
A força peso não é a úni
a força a agir no 
orpo. Há a força de resistên
ia do ar. A
velo
idade 
onstante não signi�
a que não há forças atuando, mas que a resultante destas
é nula. Neste 
aso, o módulo da força de resistên
ia do ar deve ser igual ao da força peso,
e estas forças devem ter a mesma direção mas sentidos 
ontrários.
2
3. (2,0) Considere os 
orpos de massas m1 = 1 kg, m2 = 3 kg e m3 = 6 kg, amarrados um ao outro através
de uma 
orda inextensível e de massa desprezível, 
omo mostra a �gura abaixo. O atrito entre os blo
os e
a superfí
ie de apoio é desprezível, assim 
omo a massa da polia.
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
������������������������
1
3 2
(a) Desenhe 
ada um dos 
orpos e indique as forças que atuam em
ada um deles. Quais dessas forças são pares ação e reação?
3
N 3
p3
T2 2
p
2
N 2
T1T2 1
T1
p
1
+
+
+
São pares ação e reação as forças
~T2 e ~T ′2 que atuam nos blo
os 2 e 3 respe
tivamente. Na maior parte
dos livros-texto as forças
~T1 e ~T ′1 também são apresentadas 
omo um par ação - reação. No entanto o
aluno mais atento notará que neste 
aso, embora estas forças tenham o mesmo módulo, não tem a mesma
direção e sentidos opostos, 
omo previsto pela ter
eira lei de Newton. Justi�
a-se em geral essa 
ontradição
dizendo que a 
orda tem a função de mudar a direção da força, e, em sendo ideal, não muda o seu módulo.
Vo
ê verá no 
urso de dinâmi
a de 
orpos rígidos e �uidos que, nesse 
aso, a polia também deve ser ideal,
ou seja, ter massa desprezível perto das demais massas do sistema. Em uma situação real, na qual a massa
da polia é diferente de zero, além das direções diferentes, | ~T1| 6= | ~T
′
1
| e estas forças 
laramente não são um
par ação - reação. Como no nosso 
aso a massa da polia é desprezível (≈ 0), | ~T1| = | ~T ′1|.
(b) Aplique a segunda lei de Newton a 
ada um dos 
orpos e es
reva as equações que de�nem o movimento
de 
ada um deles.
p1 − T1 = m1 a (1)
T1 − T2 = m2 a (2)
T2 = m3 a (3)
N2 = p2 (4)
N3 = p3 (5)
(
) Resolva as equações do item (b) e en
ontre a a
eleração do 
onjunto e a tensão na 
orda que une o
orpo 2 ao 
orpo 3.
As equações (4) e (5) de�nem o valor das forças normais: N2 = 30 N e N3 = 60 N.
Somando as equações (1), (2) e (3) en
ontramos a; substituind a em (3) en
ontramos T2:
p1 = m1 g = (m1 +m2 +m3) a =⇒ a = 1 m/s
2
(6)
T2 = m3 a =⇒ T2 = 6 N. (7)
(d) Se o 
orpo de massa m3 fosse su�
ientemente pesado, é possível que o sistema �que parado? Justi�que.
Não. Se m3 → 0, a→
m1
m1 +m2
g que é sempre 6= 0.
3
4. (1,5) Um 
orpo de massaM = 2 kg está suspenso por uma 
orda que passa por uma polia 
omo é mostrado
na �gura abaixo. Determine a força resultante no blo
o (módulo, direção e sentido!) e a tensão na 
orda
em 
ada uma das situações abaixo, justi�
ando suas respostas:
(a) O 
orpo sobe 
om velo
idade 
onstante de 4 m/s.
(b) O 
orpo sobe 
om a
eleração 
onstante de 4 m/s
2
.
(
) O 
orpo des
e 
om a
eleração 
onstante de 4 m/s
2
.
m
(a) Se a velo
idade do 
orpo é 
onstante, a resultante das forças que nele atuam é zero, portanto
T = M g = 20 N.
(b) Se o 
orpo sobe 
om a
eleração 
onstante igual a 4 m/s
2
, a resultante das forças é verti
al e aponta
para 
ima; seu módulo é:
T −M g = M a =⇒ T = M (g + a) = 28 N.
(
) Se o 
orpo des
e 
om a
eleração 
onstante igual a 4 m/s
2
, a resultante das forças é verti
al e aponta
para baixo; seu módulo é:
M g − T = M a =⇒ T = M (g − a) = 12 N.
4
5. (2,0) Uma 
as
a 
ilíndri
a de raio R = 2 m gira em torno de seu eixo verti
al 
om velo
idade 
onstante
ω = 3 rad/s. Uma 
aixa de massa M = 0, 36 kg está apoiada sobre a superfí
ie do 
ilindro, girando junto
om ele, de forma solidária.
(a) Desenhe todas as forças que atuam na 
aixa.
(b) Qual o módulo da força normal que a parede do 
ilindro exer
e
sobre a 
aixa?
(
) Qual o valor do módulo da força de atritopara que o blo
o não
es
orregue?
(d) Determine o valor mínimo de ω para que a 
aixa �que presa à
parede do 
ilindro, sem es
orregar, sabendo que o 
oe�
iente de
atrito estáti
o entre a parede e a 
aixa é µe = 0, 3.
(e) O que o
orreria 
om a força de atrito se o valor de ω fosse aumentado
em relação à ωmin? Explique.
ω
(a) Agem a força peso, a força de atrito e a força normal:
ω
Fat
N
p
(b) A Normal é a força responsável pela 
omponente 
entrípeta da resultante:
N = M ω2R = 6, 48 N.
(
) Se o blo
o não 
ai, a resultante das forças na direção verti
al é zero:
Fat =M g = 3, 6 N.
(d) Fat ≤ µeN = µeM ω
2R; a situação limite o
orre quando:
Fat = µeN = µeM ω
2
minR = M g =⇒ ω
2
min =
g
µeR
=⇒ ωmin =
√
g
µeR
=
√
100
6
rad/s.
5
6. (2,0) Um 
orpo de massa m en
ontra-se em equilíbrio, pendurado em um �o de 
omprimento 2L, através
de uma argola, 
omo mostra a �gura abaixo.
(a) Desenhe todas as forças que atuam na argola.
Tm
Tm
T1T2
H
2D
LL
m
p
θ
(b) Cal
ule a tensão no �o, em função de m, L, D. Note que H =
√
1− (D/L)2 L.
Na direção x:
T1 cos θ = T2 cos θ =⇒ T1 = T2 = T.
Na direção y:
2T sen θ = mg =⇒ T =
mg
2 sen θ
omo sen θ =
H
L
=
√
1− (D/L)2 temos:
T =
mg
2
√
1−
(
D
L
)2
(
) Supondo que a tensão máxima que o �o suporta é igual a duas vezes o peso do 
orpo, qual a distân
ia
máxima 2D entre os dois pontos de suspensão do �o para que ele não arrebente? Dê suas respostas
em função de m e L; o �o que liga o 
orpo à argola é bem mais resistente e não arrebentará primeiro.
Se Tmax = 2mg então:
2mg =
mg
2
√
1−
(
D
L
)2 =⇒
√
1−
(
D
L
)
2
=
1
4
=⇒
(
D
L
)
2
=
15
16
=⇒ D =
√
15
16
L
2D =
√
15
4
L
6