Temos os vetores:

\(\vec A=2\hat i+3\hat k \implies A_x=2; \; A_y=0;\; A_z=3 \\ \vec B=-1\hat j+5\hat k \implies B_x=0; \; B_y=-1;\; B_z=5 \\ \vec C=1\hat i+2\hat j-4\hat k \implies C_x=1; \; C_y=2;\; C_z=-4 \)

Agora vamos utilizar estas informações de acordo com o que for solicitado:

a) Encontre o vetor resultante A+B+C

Por definição, a soma de 3 vetores pode ser calculada através de suas componentes da seguinte forma:

\(\vec R=\vec A+\vec B+ \vec C=(A_x+B_x+C_x)\hat i+(A_y+B_y+C_y)\hat j +(A_z+B_z+C_z)\hat k\)

Utilizando os valores conhecidos das componentes dos vetores, temos:

\( \vec R=(2+0+1)\hat i+(0-1+2)\hat j +(3+5-4)\hat k \\ \vec R= 3\hat i+1\hat j +4\hat k\)

(b) Determine o módulo do vetor R e seu ângulo em relação ao eixo x positivo.

Por definição, o módulo de um vetor pode ser determinado pelo módulo de suas componentes como:

\(|\vec R|= \sqrt{|R_x|^2+|R_y|^2+|R_z|^2}\)

Mas, do resultado obtido no item a), temos:

\(\vec R= 3\hat i+1\hat j +4\hat k \implies R_x=3; \; R_y=1; \; R_z=4\)

Ou seja, o módulo do vetor resultante vale:

\(|\vec R|= \sqrt{|3|^2+|1|^2+|4|^2}=\sqrt {26}\)

O ângulo \(\theta\) em relação ao eixo x positivo pode ser obtido pelo produto escalar entre o vetor resultante e o vetor unitário na direção do eixo x, logo, temos:

\(\vec R \odot \hat i = |\vec R| . |\hat i|. cos \theta \implies R_x .1=\sqrt{26}.1.cos\theta \\ \implies cos \theta= {{3}\over {\sqrt{26}}} \implies \theta=arccos( {{3}\over {\sqrt{26}}})\approx54^o\)

(c) Determine o valor resultante S=A(B-C)

Devemos obter o produto escalar entre o vetor \(\vec A\)e o vetor obtido pela subtração \(\vec D= \vec B-\vec C\). Para isso, vamos primeiramente obter o vetor \(\vec D\):

\(\vec D=\vec B-\vec C = (B_x-C_x)\hat i+ (B_y-C_y)\hat j+ (B_z-C_z)\hat k\)

Utilizando os valores conhecidos das componentes dos vetores, temos:

\(\vec D= (0-1)\hat i+ (-1-2)\hat j+ (5+4)\hat k \\ \vec D=-1\hat i-3\hat j+9\hat k \implies D_x=-1; \; D_y=-3; \; D_z=9\)

Utilizando este resultado temos:

\(S=\vec A\odot(\vec B-\vec C)=\vec A\odot \vec D=A_xD_x+A_yD_y+A_zD_z \\ S=2\times(-1)+0\times (-3)+3\times 9 \\S=25\)

(d) Determine o vetor resultante T= CxA

Por definição, o produto vetorial entre dois vetores, em termos de suas componentes, pode ser determinado através de:

\(\vec T=\vec C\otimes \vec A=(C_yA_z-C_zA_y)\hat i+(C_zA_x-C_xA_z)\hat j+ (C_xA_y-C_yA_x)\hat k \\ \vec T=(6-0)\hat i+(-8-3)\hat j+ (0-4)\hat k \\ \vec T= 6\hat i-11\hat j-4\hat k\)