exercício equações de retas e planos

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A´lgebra Linear I - Lista 5
Equac¸o˜es de retas e planos. Posic¸o˜es relativas
1) Obtenha equac¸o˜es parame´tricas e cartesianas:
• Das retas que conte´m aos pontos
– A = (2, 3, 4) e B = (5, 6, 7),
– A = (−3, 1, 2) e B = (6, 0,−2),
– A = (2, 5, 1) e B = (3, 5, 1).
• Dos planos que conteˆm os pontos
– A = (2, 3, 4), B = (5, 6, 7), e C = (1, 1, 1)
– A = (−3, 1, 2) e B = (6, 0,−2), e C = (0, 0, 0)
– A = (2, 5, 1) e B = (3, 5, 1), e C = (1, 1, 1),
– A = (2, 3, 4), B = (5, 6, 7), e C = (3, 3, 3).
Determine (quando poss´ıvel) a intersec¸a˜o das retas com os planos XY, XZ e
YZ, e a intersec¸a˜o dos planos com os eixos coordenados X, Y e Z.
2) Considere os pontos A = (3, 5, 2), B = (−1,−1, 4), C = (2, 1, 5) e
D = (0, 3, 1), e as retas r1 e r2 que conteˆm, respectivamente, aos pontos A e
B e C e D. Veja que estas retas r1 e r2 teˆm um ponto P em comum. Decida
se o ponto P pertence aos segmentos de reta AB e CD.
3) Estude a posic¸a˜o relativa das retas
r1 = {(x, y, z) = (1, 1, 7) + t(0, 1, 2); t ∈ R},
r2 = {(x, y, z) = (0, 4, 5) + s(−1, 5, 2); t ∈ R}.
Se as retas se incerptam determine o ponto de intersec¸a˜o.
4) Determine equac¸o˜es cartesianas e parame´tricas do plano que passa por
(1,−3, 2) e e´ ortogonal a` reta r = {(1− t, 2t− 3, 2 + t); t ∈ R}.
5) Determine as equac¸o˜es cartesianas e parame´tricas do plano pi que passa
1
por A = (1, 1
2
, 0) e e´ ortogonal ao eixo x. Fac¸a o mesmo com o plano ρ que
passa por A = (1, 1
2
, 0) e e´ ortogonal ao eixo y.
6) Considere a reta r1 de equac¸o˜es parame´tricas
r1 : (2t, 1 + t,−1− t) t ∈ R
e a reta r2 de equac¸o˜es cartesianas
x + 2y − 2z = 1, x− y = 2.
a) Escreva a reta r1 como intersec¸a˜o de dois planos pi e ρ (escritos em
equac¸o˜es cartesianas) tais que pi seja paralelo ao eixo X e ρ seja paralelo
ao eixo Z.
b) Determine uma equac¸a˜o parame´trica da reta r2.
c) Determine a posic¸a˜o relativa das retas r1 e r2 (reversas, paralelas ou se
interceptam).
7) Considere os pontos A = (1, 0, 1), B = (0, 2, 2) e C = (2, 1, 2).
a) Determine a a´rea do triaˆngulo T de ve´rtices A,B e C.
b) Determine um vetor normal ao plano pi que conte´m os pontos A,B e C.
c) Determine equac¸o˜es parame´tricas do plano pi.
d) Determine uma equac¸a˜o cartesiana do plano pi.
e) Determine um ponto D tal que os pontos A,B,C e D formem um par-
alelogramo P .
f) Determine a a´rea do paralelogramo P do item anterior.
8) Considere os planos
pi : 2x− 3y + z = 1, pi′ : x + 2y + 2z = k.
Determine k para que a intersec¸a˜o dos planos seja uma reta que passa pelo
ponto (1, 1, 2).
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9) Considere os planos
pi : 2x− 3y + 2z = 1, pi′ : ax− 12y + cz = d.
Se poss´ıvel, determine a, b, c e d para que a intersec¸a˜o dos planos seja:
• o conjunto vazio (ou seja, os planos na˜o se interceptam),
• um ponto,
• uma reta,
• um plano.
10) Considere os planos
pi : 2x + y − z = 1, pi′ : x + 3y − z = −1.
a) Encontre um terceiro plano ρ tal que a intersec¸a˜o dos treˆs planos pi, pi′ e
ρ seja um u´nico ponto;
b) Encontre um terceiro plano τ tal que a intersec¸a˜o dos treˆs pi, pi′ e τ
planos seja uma reta;
c) Encontre um terceiro plano γ tal que a intersec¸a˜o dos treˆs planos pi, pi′ e
γ seja vazia.
11) Dado o sistema de equac¸o˜es


2x + y − 3z = 5
4x + 2y − 6z = 8
x + 3y − 9z = 12
estude a existeˆncia de soluc¸o˜es. Interprete geometricamente a sua resposta.
12) Mostre que os planos pi1, pi2, pi3 sempre sempre se interceptam em um
ponto, independentemente dos valores de a, b, c e k.
pi1 : x + 2y + 3z = a
pi2 : 2x + 4y + z = b
pi3 : 3x + 2y + kz = c
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