7- UNIDADE 4 - LINEARIZACAO DE CURVAS monolog

Prévia do material em texto

UNIDADE VII - LINEARIZAÇÃO DE CURVAS : escalas monologarítmica
1. OBJETIVOS
	Construir gráficos em papel mono-logarítmico.
	Linearizar curvas do tipo exponencial.	
	Obter através do gráfico logarítmico os valores das constantes da função exponencial que rege um fenômeno físico.
2. MATERIAL
	Régua e papel milimetrado e mono-logarítmico,
Proveta graduada 1000 mL,
Mangueira tipo a de soro,
Cronômetro.
3. INTRODUÇÃO
	Uma das crenças mais profundas da Física é que a natureza apresenta regularidades e estas, por sua vez, podem ser descritas através da linguagem matemática. A origem deste tipo de pensamento remonta à Renascença, especificamente a Galileu Galilei. Segundo Galileu, o livro da natureza é escrito na linguagem matemática. Esta crença foi cada vez mais reforçada nos séculos XVII, XVIII e XIX em decorrência dos trabalhos de eminentes físicos matemáticos, como Laplace, Poisson, Euler, Lagrange, Hamilton, etc.., sem falar em Newton. O programa de trabalho da física seria a busca de regularidades na natureza e sua representação através da linguagem matemática.
	Agora, como fazer isto? Ao observar determinado fenômeno o que se obtém é uma coleção de dados que, aparentemente, não diz coisa alguma. Uma saída é esboçar um gráfico, relacionando a variável dependente com a variável independente. Mas, a não ser que este gráfico seja uma simples reta (o que denota uma relação de simples proporcionalidade), na maior parte das vezes é difícil determinar com precisão que função matemática melhor descreve a relação de dependência entre a variável dependente e a variável independente. Existem métodos bastante sofisticados para resolver este problema (você estudará mais profundamente na disciplina de Cálculo Numérico). No entanto, a solução é particularmente simples quando desconfiamos de uma dependência do tipo exponencial entre a variável dependente e a variável independente.
	Veja, se a dependência é do tipo exponencial, então poderemos dizer que a lei que governa o fenômeno é do tipo:
		
						(1)
onde,	y é a variável dependente e x é a variável independente, A e B são constantes a serem determinadas.
	Na fig. 1 você tem dois exemplos de relação exponencial com diferentes valores de A e B.
 	
	
Fig. 1.a - Gráfico tipo exponencial A = 2 e B = -1
	 
 
Fig. 1.b - Gráfico exponencial A = -2 e B = 1
	Para determinar as constantes A e B aplicamos o logaritmo natural ou neperiano (ln de base e = 2,718281829) de ambos lados da equação (1),
		
					(2)
Usando agora a propriedade dos logaritmos: 
, reescrevemos a equação (2) da seguinte forma:
		
				(3)
	Mas, as funções exponencial e logarítmica são inversas, logo a segunda parcela do lado direito da equação (3) pode ser escrita como:
		
						(4)
Obtemos então, para a equação (5), após substituir (4):
		
					(5)
	Chamemos agora:
		ln(y) ( Y e ln(A) ( C
	Com esta mudança de variável a equação (5) pode ser escrita da seguinte maneira:
		Y = C + Bx						(6)
onde, Y = ln(y) , C = ln(A) , sendo B e C constantes.
	Mas a eq. (6) é justamente a equação da reta, com coeficiente angular B e coeficiente linear C. Deste modo, se a relação funcional entre duas grandezas x e y é do tipo exponencial então ao traçarmos o gráfico ln(y) versus x obteremos uma reta. A partir daí poderemos obter os coeficientes A e B da eq. (1) por:
		A = eC e B = B
 onde,
		
	Uma forma, mais precisa, de encontrar os valores das constantes A e B sem determinar o logaritmo dos valores da grandeza Y, não incorrendo assim, na propagação de erros, é traçar o gráfico de Y versus x em papel monologarítmico.
	
	Como você pode ver (Fig.2) o papel mono-logarítmico possui duas escalas. Uma delas (escala horizontal) é comum, isto é, milimetrada e é numerada de 1 a 120. A outra escala (vertical) no entanto é uma escala logarítmica. Nesta última as marcações são feitas com base em potências de 10 e ela está numerada de 1 a 103 (embora haja outros formatos com marcações diferentes).
	Para fazer um gráfico neste tipo de papel é muito simples. Marque no eixo horizontal (escala comum) a escala a ser utilizada pela variável independente. Assim marque diretamente os valores da variável dependente na escala logarítmica (a escala vertical). Agora é só marcar os pontos e traçar o gráfico.
	Exemplo para exercício:
		Usando papel mono-logarítmico, trace o gráfico da variável y em função da variável x, de acordo com os pontos dados pela tabela 1.
		Tabela 1 - Valores de Y em função de x
	x (unid. arb.)
	Y (unid. arb.)
	1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
	2,72
7,39
20,09
54,60
148,41
403,43
1. Escolha a escala adequada para a variável x e marque os valores de x na escala horizontal
2. Marque os valores de Y na escala vertical (logarítmica)
3. Marque os pontos relativos aos pares ordenados
4. Trace a curva passando pela maioria possível dos pontos
	Você pode observar que a curva aqui é uma reta do tipo: Y = C + Bx (eq. 6).
	Logo a dependência entre as variáveis é do tipo: y = A eBx					
	Encontre os valores das constantes C , A e B (No nosso caso C = 0 , A = 1 e B = 1)
	Portanto a equação que governa os dados da tabela 1 é:
		y = ex
4. ATIVIDADE
 Para esta atividade será necessário o seguinte material: proveta graduada de 1000 ml, um cronômetro e uma mangueira tipo a de soro.
 Monte o material conforme a figura e encha a proveta até o nível 1000 mL.
Faça a sinfonação da água e com auxilio do cronômetro meça o tempo de escoamento da água, à medida que o nível da água na proveta atinja a marcação 1000, 900, 800, 700, 600, 500, 400, 300, 200, .......
Construa um gráfico, em papel milimetrado, do volume escoado (V) em função do tempo (t). Analise a curva e indique a possível relação matemática entre V e t.
Construa um gráfico, em papel monolog, do volume escoado (V) em função do tempo (t). Analise a curva e indique a possível relação matemática entre V e t. Se possível determine os parâmetros da relação matemática entre as grandezas V e t.
4. EXERCÍCIOS
	A Tabela 2 representa os valores da diferença de potencial (V) em um capacitor a medida que este se descarrega através de um resistor R em função do tempo.
	TABELA 2. Representa os valores da diferença de potência (V) em um capacitor em função do tempo (t) a medida que ele descarrega-se através de um resistor.
	V (Volt) ((0,1V)
	8,0
	7,0
	6,0
	5,0
	4,0
	3,0
	2,0
	t (s) ((0,02s)
	0,12
	0,21
	0,31
	0,41
	0,53
	0,73
	0,95
	1. Construa o gráfico de V em função do tempo em papel milimetrado.
	2. Construa o gráfico de V x t em papel mono-logarítmico.
	3. Responda às seguintes questões:
		a) O que você pode concluir sobre o comportamento de V em função de t a partir do gráfico em papel milimetrado?
		b) No gráfico de V x t no papel milimetrado qual o valor de V para o tempo inicial (t=0)?
		c) Que tipo de curva você encontrou ao fazer o gráfico de V x t em papel mono-logarítmico? Qual a função matemática que descreve esta curva?
		d) Determine os valores dos coeficientes A, B e C. Especificamente para os dados da tabela 2, qual a equação que governa o fenômeno? 
�PAGE �
�PAGE �56�
_1146051328.doc
1
2
3
4
5
-1
0
1
2
3
y (unid. arb.)
x (unid. arb.)
-2
0
_1146051327.doc
-40
-30
-20
-10
0
-1
0
1
2
3
y (unid. arb.)
x(unid. arb.)
-2