ListaExercicios_IntegraisTriplas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA 2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2
QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014
Integrais Triplas
1. Considere a integral iterada
I =
∫ 1
0
∫ √1−x2
o
∫ √1−x2−y2
0
z√
x2 + y2
dzdydx.
(a) Re-escreva I em coordenadas cil´ındricas.
(b) Re-escreva I em coordenadas esfe´ricas.
(c) Calcule o valor de I.
2. Seja T a regia˜o do espac¸o definida pelas desigualdades
T : 0 ≤ x ≤
√
9− y2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤
√
9− x2 − y2.
(a) Escreva
∫∫∫
z
√
x2 + y2 + z2 dV como uma integral iterada.
(b) Fac¸a o mesmo que em (a), agora usando coordenadas cil´ındricas.
(c) Fac¸a o mesmo que nos itens anteriores, usando coordenadas esfe´ricas, e calcule o valor
da integral.
3. Considere a integral tripla
∫∫∫
R
zey dV, onde R e´ a regia˜o do primeiro octante limitada pelo
cilindro x2 + z2 = 1 e o plano y = 3. Escreva a integral tripla na ordem dxdzdy e calcule o
valor da mesma.
4. Considere a regia˜o R entre os parabolo´ides z = x2 + y2, z = 4(x2 + y2), e, tambe´m entre os
planos z = 1 e z = 4. Use a transformac¸a˜o
x =
v
u
cosw, y =
v
u
senw, z = v2,
para calcular
∫∫∫
R
dxdydz
x2 + y2
.
5. Seja Q a regia˜o do R3 descrita, em coordenadas esfe´ricas, pelas desigualdades
0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ pi/2, 0 ≤ ϕ ≤ pi/2.
(a) Fac¸a um esboc¸o de Q.
(b) Calcule aintegral tripla
∫∫∫
Q
z dV.
6. Seja T a regia˜o do espac¸o limitada acima pela superf´ıcie z = 4 − x2 − y2 e abaixo por
x2 + y2 + z2 = 4z.
(a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o T.
(b) Calcule a integral tripla
∫∫∫
T
(x2 + y2) dV.
7. Considere a integral I =
∫∫∫
S
xz dV, onde S e´ o so´lido localizado no primeiro octante,
limitado pelos planos coordenados, pelo plano x+ y = 3 e pelo cilindro x2 + z2 = 9.
(a) Escreva I como uma integral iterada na ordem dydxdz.
(b) Escreva I como uma integral iterada na ordem dzdxdy.
(c) Calcule I.
8. Seja a regia˜o R = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, z2 ≤ 3(x2 + y2), z ≥ 0} e considere a
integral I =
∫∫∫
R
z(x2 + y2) dxdydz.
(a) Mude a integral para coordenadas cil´ındricas explicitando os limites de integrac¸a˜o.
(b) Mude a integral para coordenadas esfe´ricas explicitando os limites de integrac¸a˜o.
(c) Fac¸a um esboc¸o de R e calcule o seu volume.
9. Seja D a regia˜o do espac¸o limitada por x2 + y2 + z2 ≤ 4 e por z2 ≥ x2 + y2. Calcule o volume
de D por meio de integrais triplas em coordenadas (a) esfe´ricas e (b) cil´ındricas.
10. Seja D a regia˜o do espac¸o limitada por x2 + y2 + z2 = 4 e por x2 + y2 + z2 = 8. Calcule∫∫∫
D
1
(x2 + y2 + z2)3/2
dxdydz.
11. Descreva em coordenadas esfe´ricas a regia˜o entre os cones
z =
√
x2 + y2 e z =
√
x2 + y2
3
e interior a` esfera x2 + y2 + z2 = 1. Em seguida, calcule o seu volume.
12. Calcule usando coordenadas cil´ındricas:
(a)
∫∫∫
R
√
x2 + y2 dV, onde R e´ a regia˜o contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre
os planos z = −5 e z = 4.
(b)
∫∫∫
R
(x2 + y2) dV, onde R e´ a regia˜o dada por
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 1.
(c)
∫∫∫
R
(1 +
√
x2 + y2 dV, onde R e´ a regia˜o dada por
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 1.
13. Calcule usando coordenadas esfe´ricas:
(a)
∫∫∫
R
√
x2 + y2 + z2 dV, onde R e´ o so´lido limitado por baixo pelo cone ρ = pi/6 e
acima pela esfera ρ = 2.
(b)
∫∫∫
R
(x2 + y2 + z2) dV, onde R e´ a regia˜o dada por x2 + y2 + z2 ≤ 1.
(c)
∫∫∫
R
1
(
√
x2 + y2 + z2)3
dV, onde R e´ oso´lido limitado pelas esferas x2 + y2 + z2 = a2 e
x2 + y2 + z2 = b2, onde 0 < a < b.