apostila medidas de tendencia central20011

Prévia do material em texto

APOSTILA : Medidas de tendência central – Média, Moda e Mediana 
Professora: Elizabete Sarzi Zamberlan
Medidas de Tendência Central é um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o maior valor da série. È também um valor em torno do qual os elementos da série estão distribuídos. 
As principais medidas de tendência central são: média, moda e mediana 
Estudo da Média (
) em dados brutos ou Rol, variável discreta e variável contínua.
1º caso: Dados brutos ou Rol - Neste caso devemos utilizar a média aritmética simples que é dada por: 
, onde 
 = soma dos elementos da série e n = nº de elementos. 
 Ex: Calcule a média aritmética da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20. 
= 
Interpretação: o valor médio da série é 12, ou seja, os valores desta série concentram-se em torno de 12.
2º caso: Variável discreta - Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta usaremos a aritmética ponderadas (média que utilizamos pesos para calculo), considerando a freqüência simples fi, como sendo as ponderações dos elementos xi correspondentes.
A fórmula é 
( Lê-se: somatório de xifi dividido pelo somatório de fi )
Para encontrar a coluna de xifi multiplicamos a coluna das variáveis que passaremos a chamá-la de xi pela coluna da freqüência que chamamos de fi. Veja o exemplo:
Ex: Determine à média da distribuição.
- Inicialmente devemos somar a coluna fi = 
= 30 elementos
- Em seguida utilizamos a própria tabela para calcular xifi , multiplicando xi por fi , portanto o somatório de xi.fi é 
= 166
- Substituindo na fórmula para calcular a média temos: 
 Média = 
 é o ponto de concentração dos valores da série, isto é, 5,33 é a média entre os elementos da série.
3º caso: Variável contínua - Neste caso utilizaremos também a média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo as ponderações dos pontos médios ( xi) destas classes. O valor de xi é a soma dos intervalos de cada classe divididos por dois, isto é 
, onde li é o limite inferior do intervalo e Li é o limite superior do intervalo, onde o resultado desta soma dividido por dois será chamado de ponto médio dos intervalos. Ex: 
A fórmula para cálculo da média é a mesma utilizada na variável discreta, dada por: 
 = 
 
Ex: Determinar a média da distribuição.
	Classe
	Int. Classe
	fi
	xi
	xi.fi
	1
	2
 5
	3
	3,5
	10,5
	2
	5
 8
	10
	6,5
	65
	3
	 8
11
	18
	9,5
	171
	4
	11
14
	5
	12,5
	62,5
		 
= 36 
= 298,5
- Primeiramente devemos calcular 
 que no exemplo dado é 36.
- Depois calculamos xi que é o ponto médio do limite inferior mais o limite superior dividido por dois , isto é, 
 e assim sucessivamente com os demais intervalos.
- Em seguida calculamos os valores de xifi, isto é xi vezes fi, em seguida sua soma . Assim a média é dada por :
X =
 então 
 esse é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram, isto é o valor médio dos elementos é de 8,29
Estudo da Moda (Mo) em: dados brutos ou Rol, variável discreta e variável contínua.
 MODA: é o valor maior dentro da freqüência em um conjunto de dados. A moda é classificada em: amodal (quando todos os elementos são iguais), unimodal (quando apresenta apenas uma moda), bimodal (duas modas), trimodal (três modas) e polimodal (mais de três modas).
1º caso: Dados brutos ou Rol - Identifica-se o(s) elemento(s) de maior freqüência na série, isto é, o que mais se repete.
Ex: Calcule a moda nas séries:
X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 5, 12. O elemento que se repete na série é 12, portanto a moda é igual a mo = 12 ( a série é unimodal), pois 12 é o número que se repete em maior quantidade.
 b) Y: 3, 5, 8, 20, 12, 7, 12, 15, 18, 5, 12, 20, 20. Os elementos que mais se repetem na série são 12 e 20. Portanto as modas são mo = 12 e mo= 20 ( a série é bimodal) pois são duas modas.
2º caso: Variável discreta - Neste caso é só identificar na coluna da freqüência o maior elemento, pois sendo fi a freqüência simples, esse número será a quantidade que os elementos aparecem na série.
Acidentes registrados em rodovia no período de 30 dias
	n. de acidentes por dia
	n. de dias
	 0
	12
	1
	8
	2
	5
	3
	4
	4
	1
A maior freqüência em fi é 12 e a variável correspondente é o número 0 localizado em xi ( variável em estudo número de acidentes) da série, portanto a moda é 0 (mo = 0), isto é, em 12 não ocorreram nenhum acidente. A série é unimodal, pois somente a variável 0 se repete em maior quantidade.
3º caso: Variável contínua - Identifica-se o maior elemento em fi (freqüência simples) na tabela. Identificamos esta classe como classe modal e assim aplicamos a fórmula chamada de método de Czuber para calcular a moda que é dada por:
M o = 
lmo = limite inferior da classe modal
fant = freqüência simples anterior da classe modal 
fmo = freqüência simples da classe modal
fpost = freqüência posterior da classe modal
h = Amplitude de intervalo da classe modal
Ex: Calcular a moda na tabela abaixo.
Para calcular a moda na série identificamos o maior elemento na freqüência (fi) da série que neste caso é o número 8 que se encontra na terceira classe. Identificamos esta classe como classe modal e assim calculamos a moda aplicando o método de Czuber, utilizando como referencia a classe 3. 
�
Idade de pacientes com diabete tipo I
	classe
	Idade
	n. pacientes
	1
	3
 6
	2
	2
	6
 9
	10
		*	3
	9
 12
	12
	4
	12
15
	9
	5
	15
18
	3
 
 	 
= 36
*Classe modal ( é a classe que apresenta maior freqüência )
 Mo = 
 onde h = 12 – 9 = 3 
Mo=
= 
 
�
Assim a idade que aparece com maior freqüência entre os pacientes com diabetes tipo I e de aproximadamente 10,2 anos.
Exercícios Complementares: Média e Moda
Calcule a média e a moda nas seguintes séries, e faça a classificação em cada caso.
X : 3, 5, 8, 2, 1 , 6, 4, 5, 7, 3, 6, 2
X : 5; 6; 2,5; 6; 7; 9; 4,5; 7,5; 8; 4; 6; 6,5.
X: 2,5; 5; 7; 5; 6,5; 4; 2,5; 7; 8; 9,5; 5; 6,5.
X: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 
Idade: 3, 7, 4, 5, 4, 6, 6, 7, 2, 3, 5, 6, 7, 2, 6, 7, 4, 5, 4, 6, 4, 5, 3, 5, 4, 7
Determine a moda e a média na tabela abaixo. 
Peso de bebes nascidos vivos 
	classe
	Peso em kg
	Nº de bebes
Masc. Fem
	1
2
3
4
5
	 1,5
 1,8
1,8 
 2,1
2,4 
 2,7
2,7 
 3,0
3,0
 3,,8
	 02 05 
 05 10 
 10 11
 15 12
 08 05
Fonte: Maternidade Raio de Luz
3) Um teste feito por psicólogos que avalia condutores de veículos em um psicotécnico mostrou os seguintes resultados. Calcule qual a média geral da turma e qual a nota que aparece com maior frequencia no teste.
Notas atribuídas aos indivíduos pesquisados. em 1998
	7,3 4,0 5,0 6,5 4,8 7,1 5,5 6,5 5,2 6,7 5,5 4,0 3,1 4,0 
	3,8 5,7 4,3 5,5 4,7 4,8 6,5 4,5 6,2 3,8 5,5 6,5 4,0 7,5 
	4,6 5,9 6,5 4,8 8,5 6,7 7,5 6,5 8,5 6,8 7,0 5,0 8,0 6,0
Fonte: Deltoauto	
4) O quadro abaixo representa o resultado de um teste de uma instituição de ensino com os acadêmicos concluintes de um determinado curso. A instituição decidiu premiar os acadêmicos que tiveram notas acima da média geral da turma com bolsa de estudo para curso de especialização. Represente os dados em tabela discreta e responda as questões abaixo:
	6,0
	7,5
	6,0
	6,5
	7,5
	8,0
	8,5
	9,5
	6,0
	7,5
	6,0
	8,0
	7,5
	8,0
	9,0
	9,5
	6,0
	7,0
	6,5
	7,0
	7,5
	8,5
	9,0
	10,0
	6,5
	6,5
	7,0
	9,0
	7,0
	8,0
	7,5
	6,5
Qual a média geral da sala?
Qual a nota que aparece com maior freqüência na turma avaliada?
Qual a nota mínima a ser premiada?
Quantos alunos conseguiram a bolsa para o curso?Idade (xi)�
fi�
xifi�
�
2�
5�
10�
�
5�
8�
40�
�
6�
10�
60�
�
8�
7�
56�
�
 � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
 
_1298721590.unknown
_1313221207.unknown
_1362809208.unknown
_1362810751.unknown
_1362810833.unknown
_1362810919.unknown
_1362809688.unknown
_1362808846.unknown
_1362808908.unknown
_1362808789.unknown
_1298724541.unknown
_1298729170.unknown
_1313220154.unknown
_1298729018.unknown
_1298724439.unknown
_1298724528.unknown
_1298724278.unknown
_1155559897.unknown
_1298721292.unknown
_1155560414.unknown
_1155560473.unknown
_1237474532/ole-[42, 4D, CA, 05, 00, 00, 00, 00]
_1155560370.unknown
_1155560391.unknown
_1155547203.unknown
_1155547495.unknown
_1155546898.unknown