GA C Geometria Analitica Plana Demonstracoes

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ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
Ponto que divide um segmento AB na razão r: 
 
Consideremos os pontos A=(x1,y1); A=(x2,y2) e C=(x,y) 
 
 AC 
A razão que um ponto C divide um segmento AB é dada por r =  
 CB 
 AC (x −x1) 
 Pelo teorema de tales teremos que:  =  = r 
 CB (x2 −x) 
 ou seja: (x −x1)= r(x2 −x) ⇒ x −x1 = rx2 − rx ⇒ 
 y2 B 
 ⇒ x + rx = x1 + rx2 ⇒ x(1+r) = x1 + rx2 ⇒ 
 (y2 −y) 
 x1 + rx2 
 y C ⇒ x =  
 (y −y1) 1+r 
 y1 A AC (y −y1) 
 Da mesma forma teremos:  =  = r 
 CB (y2 −y) 
 ou seja: (y −y1)= r(y2 −y) ⇒ y −y1 = ry2 − ry ⇒ 
 x1 x x2 
 ⇒ y + ry = y1 + ry2 ⇒ y(1+r) = y1 + ry2 ⇒ 
 (x − x1) (x2 −x) 
 y1 + ry2 
⇒ y =  
 1+r 
 x1 + rx2 y1 + ry2 
Assim o Ponto C=(x,y) que divide AB na razão r terá coordenadas: C=  ,  
 1+r 1+r 
 
 
Condição de Alinhamento de 3 pontos, A, B e C: 
Considerando os pontos A, B e C e a figura da demonstração acima, ainda pelo teorema de Tales 
teremos a relação abaixo que reflete uma condição analítica de alinhamento destes pontos: 
 
 Consideremos agora a seguinte relação do determinante abaixo: 
(x −x1) (x2 −x) 
 =  x1 y1 1 
(y −y1) (y2 −y) 
 x2 y2 1 = 0. Encontraremos a matriz equivalente a esta fazendo; 
 Linha 1 = Linha 1; Linha 2 = Linha 2 – linha 3 e 
 x y 1 Linha 3 = Linha 3 – Linha 1. Então teremos: 
 
 
 
x1 y1 1 x1 y1 1 
 
x2 y2 1 ≈ x2 − x y2 − y 0 Calculando o determinante desta matriz teremos: 
 
x y 1 x − x1 y − y1 0 (x2 − x)•( y − y1) – (x − x1) •(y2 − y) =0 que é equivalente a: 
 
 
 
 
 (x −x1) (x2 −x) 
⇒  =  que é a relação que reflete a condição analítica de alinhamento dos pontos 
 (y −y1) (y2 −y) 
 
 x1 y1 1 
 
Assim sendo podemos assumir que: x2 y2 1 = 0 é a condição de Alinhamento de 3 pontos, A, B e C. 
 
 x y 1 
 
 
Distância da Origem a uma reta: 
 a 
 y t r: ax + by + c = 0 . Coeficiente angular de r: mr =−  
r b b 
 Considerando a reta t ⊥ r . Coeficiente angular de t: mt =  
 a 
 Da solução do sistema das equações das retas r e t, obteremos o ponto P 
 P r: ax + by + c = 0 
 Multiplicando a equação da reta r por b 
 y •Q t: bx – ay + 0 = 0 e a equação da reta t por (-a) teremos o sistema: 
 
 O x x abx + b
2
y = − bc 
 Donde obtemos a solução: 
 − abx + a2y = 0 
 
 
 -ac - bc -ac - bc 
x =  e y =  , isto é, P=  ,  e a distância entre P e a Origem será: 
 a
2
 + b
2 
a
2
 + b
2
 a
2
 + b
2 
a
2
 + b
2
 
 
 
 a
2
c
2
 b
2
c
2
 c
2
(a
2
 + b
2
) c
2
 
d = √ (x-0)2 + (y-0)2 = √  +  = √  = √  . Assim: 
 (a
2
 + b
2
)
 2
 (a
2
 + b
2
)
 2 
(a
2
 + b
2
)
 2 
(a
2
 + b
2
) 
 
 
 
 c 
A distância da Origem à reta r será : d =  
 √ a2 + b2 
 
 
Distância de um ponto à uma reta: 
 
Considerando P = (x0,y0) na Origem e um ponto Q fora da origem ( ver figura no item anterior), as coordenadas do 
ponto Q serão: Q = (x0+x , y0+y), assim a equação da reta que contem este ponto será: 
 
a(x0+x) + b(y0+y) + c , ou seja, ax0+ax+ by0+by + c ⇒ ax + by + (ax0 + by0 + c) e a distância de Q a r, será: 
 
 c 
 
 
 ax0 + by0 + c 
 d =  Que é a formula da distância de um ponto qualquer (x0,y0) à reta r: ax + by + c=0. 
 √ a2 + b2 
 
 
 
Área de um Triângulo ABC: 
Consideremos os pontos A=(x1,y1); A=(x2,y2) e C=(x3,y3) no triângulo abaixo: 
 
 A A área do Triângulo é dada por: A=½ (BC)•h (1) 
y1 
 O comprimento da base BC é: 
 h BC=√ (x3 − x2 )2 + (y3 − y2)2 (2) 
y3 A reta BC: ax + by + c =0 
 C x y 1 
y2 B x2 y2 1 =0 ⇒ x y2 + y x3 + x2 y3 − x3 y2− x y3 − y x2 ⇒ 
 x3 y3 1 ⇒ (y2 − y3)•x + (x3 − x2) •y + x2 y3 − x3 y2 
 
 x2 x1 x3 a b c 
 
h é a distância do ponto A à reta BC: 
 
 x y 1 
 x2 y2 1 
 x3 y3 1h =  (3) 
 √ (y2 − y3 )2 + (x3 − x2)2 
 
Substituindo (2) e (3) em (1), teremos: 
 x y 1 
 x2 y2 1 
 x3 y3 1 
A=½ (BC)•h = ½√ (x3 − x2 )2 + (y3 − y2)2 •  ⇒ 
 √ (y2 − y3 )2 + (x3 − x2)2 
 
 
 
 
 x y 1 
 A=½ • x2 y2 1 
 x3 y3 1 
 
 
 
Que é a formula da área do triângulo A,B, C. 
 
Ângulo entre duas retas r1 e r2: Os coeficientes angulares das retas serão: m1= tg ϕ1 e m2 =tg ϕ2 
 
 R2 Observamos que o ângulo ϕ = ϕ1 − ϕ2, portanto tg ϕ = tg (ϕ1 − ϕ2) 
 
r1 tg ϕ1 − tg ϕ2 m1 − m2 
 Assim tg ϕ =  =  
 1 + (tg ϕ1 • tg ϕ2) 1 + m1 • m2 
 ϕ 
 ϕ2 ϕ1 m1 − m2 
 Portanto: ϕ = arc tg  
 1 + m1 • m2 
 
 
 
 
 
Equação Segmentaria da reta: A Equação segmentaria da reta é obtida pelos pontos que interceptam os eixos 
cartesianos. Assim considerando os pontos P=(p,0) e Q=(0, q) onde a reta r intercepta respectivamente os eixos 
das Abscissas(x) e das Ordenadas(y). 
 
 Considerando que a equação da reta r é obtida através da condição 
 Y de alinhamento de três pontos e considerando um ponto A=(x,y) 
 genérico desta reta teremos que : 
 q 
 x y 1 
 
 p 0 1 = 0 ⇒ p • q − x • q − y • p = 0 ⇒ x • q + y • p = p • q 
 Dividindo cada um dos membros da equação por (p • q) 
 p 0 q 1 Teremos: x • q y • p p • q 
 x  +  =  
 p • q p • q p • q 
 
 x y 
 r ou seja:  +  = 1 
 p q