Transferência de Massa por Convecção

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Capítulo V – Transferência de Massa por Convecção
Faculdade de Engenharia Química (FEQ)
Departamento de Termofluidodinâmica (DTF)
Disciplina EQ741 - Fenômenos de Transporte III 
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 1
Monitor: Rafael Firmani Perna
rafafpeng@feq.unicamp.br
Professora: Katia Tannous
katia@feq.unicamp.br
2º sem de 2011
Agenda Geral
1. Introdução
2. Considerações Fundamentais para T.M. Convectiva
3. Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva
4.1. Transferência em um escoamento sob convecção forçada
4.2. Transferência dentro de uma fase em movimento sob
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 2
convecção natural
5. Análise Exata da Concentração na Camada Limite Laminar
6. Análise Aproximada da Concentração na Camada Limite Laminar
7. Analogia entre T.M., Energia e Momentum
7.1. Analogia de Reynolds
7.2. Analogia de Chilton-Colburn
8. Números Adimensionais – Resumo
9. Modelos para os Coeficientes de T.M.
cont...
2º sem de 2011
1. Introdução
A T.M. convectiva envolve o transporte de matéria entre o limite de
uma superfície e um fluido em movimento (sólido-fluido) ou entre 2
fluidos relativamente imiscíveis em movimento (fluido-fluido).
A eq. da taxa por convecção pode ser expressa por:
AcA ckN ∆= (1)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3
AcA ckN ∆=
NA T.M. molar da espécie A medida em relação as coordenadas fixas
no espaço
kc coeficiente de T.M. convectiva
∆∆∆∆cA diferença de concentração entre a concentração da superfície
limite e a concentração média
Analogia à T.C. convectiva: Th
A
q ∆= (2)
2º sem de 2011
Introdução
Baseado no coefc. de T.C., observa-se que há uma complexidade na
determinação do coef. de massa. Ambos os coefs. relacionam-se por:
1. Propriedades do fluido
2. Características dinâmicas do fluido em escoamento
3. Geometria do sistema específico de interesse
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 4
3. Geometria do sistema específico de interesse
Espera-se que o tratamento analítico do coefc. de T.C. possa ser
aplicado ao coefc. de T.M..
A distinção entre escoamento laminar e turbulento terá uma consideração 
importante em qq. situação de convecção.
2º sem de 2011
2. Considerações Fund. para T.M. Convectiva
Considerando uma camada fina de
um fluido escoando sobre uma
superfície plana, sendo em regime
laminar. A difusão molecular estará
sempre presente e será importante
∞
v
1 2
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 5
em qq. processo de convecção.
Se o escoamentoescoamento éé laminarlaminar, todo o
transporte entre a superfície e o
movimento do fluido será via
molecular. Filme 
líquido fino
NA
CA,s
CA
Soluto A
∞AC
2º sem de 2011
Considerações Fund. para T.M. Convectiva (cont.)
Se o escoamentoescoamento forfor turbulentoturbulento,
haverá em movimentomovimento físicofísico dede
bolsõesbolsões dede matériamatéria atravessando
as linhas de corrente,
transportadas por bordas
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 6
transportadas por bordas
presentes no escoamento, como
no caso de transferência de calor,
as maiores taxas de T.M. estão
associadas com conds.
turbulentas.
2º sem de 2011
A camada limite hidrodinâmica (ver cap. 12) é mais significativa na T.M.
convectiva e esta é similar, mas não necessariamente igual em
espessura na camada limite térmica.
Quando a T.M. envolve umum solutosoluto dissolvidodissolvido,, em uma taxa estacionária,
a partir de uma superfície sólida e então difundindo dentro de um fluido
em movimento, o coefc. T.M. convectiva é definido por:
Considerações Fund. para T.M. Convectiva (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 7
em movimento, o coefc. T.M. convectiva é definido por:
)cc(kN AAscA −= (3)
NA nº de moles do soluto A na interface por tempo e unidade de área
interfacial
CA,s composição do soluto no fluido no equilíbrio com o sólido para T e
P do sistema
CA composição, para qq. ponto, dentro da fase fluida.
2º sem de 2011
Quando a concentração na camada limite é definida, CA, pode ser
escolhido como a concentração do componente A para o limite da C.L.
e expressa como
Se o escoamento estiver em um meio fechado, a composição CA
poderá ser a concentraçãoconcentração volumétricavolumétrica ouou aa concentraçãoconcentração dada misturamistura
(média).
∞ AC
Considerações Fund. para T.M. Convectiva
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 8
(média).
Há 4 métodos de avaliação4 métodos de avaliação do coeficiente de T.M., sendo eles:
1. Análise dimensional associado a um experimento
2. Análise da C.L. Exata
3. Análise da C.L. Aproximada
4. Analogia entre T. Massa, Calor e Momentum
2º sem de 2011
3. Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva
ParâmetrosParâmetros adimensionaisadimensionais
Estes são frequentemente usado para correlacionar dados do transporte
convectivo.
TransferênciaTransferência dada quantidadequantidade dede movimentomovimento encontraencontra--sese osos nºnº dede ReRe ee EuEu..
TransferênciaTransferência dede calorcalor convectiva,convectiva, temtem--sese nºnº dede PrPr ee NuNu..
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 9
As difusividades moleculares dos 3 fenômenos de transporte são definidas:
ρ
µ
=ν (4)
pc
k
ρ
=α (5)
DAB (6)
Difusividade de movimento
Difusividade térmica
Difusividade mássica
[L2/t]
2º sem de 2011
A razão entre a difusividade molecular do movimento e a difusão
molecular de massa, tem-se o número de Schmidt,
ABAB DD
Sc
ρ
µν
===
massa de dif.
movimento de dif. (7)
Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 10
A razão da difusividade térmica para a difusividade molecular de
massa é designado por nº de Lewis:
ABp Dρc
kLe ≡=
massa de dif.
 térmicadif. (8)
Estes dois nºs combinados representam as propriedades do fluido, isto é
cada nº pode ser tratado como uma propriedade de um sistema difusivo.
2º sem de 2011
Considere a T.M. do soluto A, partindo da superfície sólida para um
fluido em movimento. O perfil de concentração é desenhado abaixo:
Fluido 
CA,s - ∞AC
∞
v
Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 11
Soluto A
)y(vv =
x
y ( )[ ] )y(CCCC AAsAAs −=−
Perfis de concentração e velocidade para um fluido através de uma 
superfície sólido
2º sem de 2011
A T.M. entre a superfície e o fluido pode ser escrito como:
)cc(kN AAscA ∞−= (9)
Se a T.M. na superfície seja por difusão molecular, esta pode ser descrita
por:
dC
Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 12
0=
−=
y
A
ABA dy
dCDN (10)
Quando a concentração limite, CAs, é constante, essa eq. simplica-se para:
( )
0=
−
−=
y
AsA
ABA dy
CCdDN (11)
2º sem de 2011
Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva (cont.)
As eqs (10) e (11) podem ser igualadas, desde que elas definam o
mesmo fluxo do componente A deixando a superfície e entrando no
fluido. Obtendo:
0=
∞
−−=−
y
sAAABAAsc )cc(dy
dD)cc(k (12)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 13
Na qual pode ser rearranjado na forma:
)cc(
dy/)cc(d
D
k
AAs
ysAA
AB
c
∞
=
−
−
−=
0 (13)
Multiplicando ambos os lados da eq. (13) pelo comprimento
característico, L, obtêm-se:
2º sem de 2011
Parâmetros Significativos na T.M. Convectiva (cont.)
L/)cc(
dy/)cc(d
D
Lk
AAs
ysAA
AB
c
∞
=
−
−
−=
0 (14)
Resistência mássica molecularResistência mássica molecular
Resistência mássica convectiva do fluidoResistência mássica convectiva do fluido
1º sem.de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 14
Resistência mássica convectiva do fluidoResistência mássica convectiva do fluido
Nº de Sherwood (Sh)Nº de Sherwood (Sh) Nº de Nusselt para T.M. (NuNº de Nusselt para T.M. (NuABAB))
Estes parâmetros ( Sc, NuAB, Sh e Le) serão desenvolvidos na próxima 
seção pela análise dimensional da T.M. convectiva.
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva
A análise dimensional prediz os vários parâmetrosparâmetros adimensionaisadimensionais os
quais podem ajudar à correlacionar os dados experimentais.
Há dois processos de T.M. importantes no qual serão considerados:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 15
1. TT..MM.. dentrodentro dede umauma correntecorrente fluidafluida sobsob convecçãoconvecção forçadaforçada
22.. TT..MM.. dentrodentro dede umauma fasefase emem movimentomovimento sobsob convecçãoconvecção naturalnatural
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
1. T.M. dentro de uma corrente fluida sob convecção forçadaT.M. dentro de uma corrente fluida sob convecção forçada
Considere a T.M. da parede de um tubo circular para um fluido
escoando através de um duto. A transferência é um resultado da forçaforça
motrizmotriz dada concentração,concentração, CCAsAs –– CCAA..
As variáveis importantes, seus símbolos e suas representações
adimensionais estão listadas abaixo:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 16
adimensionais estão listadas abaixo:
Varíável
Densidade do fluido
Viscosidade do fluido
Velocidade do fluido
Difusividade do fluido
Coeficiente de T.M.
Símbolo Dimensões
L
M/L3
M/Lt
L/t
L2/t
L/t
D
ρ
µ
v
DAB
kc
Diâmetro do tubo
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 172º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
As variáveis acima incluem termos descritivos do sistema geométrico,
do escoamento, das propriedades, das propriedades do fluido, e a
quantidade no qual está variável de interesse, kc.
Pelo método de Buckingham de agrupamentos de variáveis (cap. 11),
pode-se determinar o número de adimensionais, conforme:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 18
k = n – m
onde: n é o nº de variáveis
m é o nº de dimensões
Logo, tem-se: k = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais (Π)
Variáveis de base escolhidas são: DDABAB,, ρρ ee DD
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
Π1 = DABaρbDckc
Π2 = DABdρeDfv
Π3 = DABgρhDiµ
Escrevendo Π1 na forma adimensional:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 19
Escrevendo Π1 na forma adimensional:
Π1 = DABaρbDckc
( ) 

















=
t
LL
L
M
t
L c
ba
3
2
1
Equalizando os expoentes das dimensões em ambos os lados da
eq., tem-se:
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
L: 0 = 2a – 3b + c + 1
t : 0 = -a – 1
M : 0 = b
A solução dessas eqs., para os três expoentes não conhecidos, é:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 20
a = -1
b = 0
c = 1
Shou NuAB1 ==∏
AB
c
D
Dk
Para:
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
Os outros grupos podem ser determinado da mesma forma:
ABD
Dv
2 =∏ e ScDAB
≡=∏
ρ
µ
3
Dividindo Π2 por Π3 tem-se:
ρ ρ∏
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 21
ReDD
D
D AB
AB
≡
µ
ρ
=





µ
ρ






=∏
∏ vv
3
2
O resultado da análise dimensional da T.M. sob convecção forçada em 
um duto circular pode ser relacionada na forma:
NuAB = f(Re, Sc) NuTc = f(Re, Pr)
análogia
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
2. T.M. dentro de uma fase em movimento sob convecção natural2. T.M. dentro de uma fase em movimento sob convecção natural
As correntes da convecção natural desenvolveram-se caso exista
variação de densidade dentro de uma fase gasosa ou líquida. Esta
variação pode ser devido a diferença de temperaturatemperatura ouou concentraçãoconcentração.
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 22
No caso da convecção natural envolvendo a T.M. de uma parede plana
vertical para um fluido adjacente, as variáveis diferenciarão daquelas
usadas na análise de convecção forçada.
As variáveis, seus símbolos e represntações adimensionais estão
listadas a seguir:
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
Varíável
Densidade do fluido
Viscosidade do fluido
Força de Empuxo
Difusividade do fluido
Símbolo Dimensões
L
M/L3
M/Lt
M/L2/t2
L2/t
L
ρ
µ
g∆ρA
DAB
Comprimento característico
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 23
Coeficiente de T.M. L/tkc
Pelo método de Buckingham há 3
grupos adimensionais (Π) com as
variáveis de base: DDABAB,, LL ee µµ,
obtendo::
Π1 = DABaLbµckc
Π2 = DABdLeµfρ
Π3 = DABgLhµig∆ρΑ
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
Escrevendo os 3 grupos Π na forma adimensional:
AB
AB
c Nu
D
Lk
≡=∏1
DAB 1
≡=∏ ρ
Nº de Nusselt para T.M. (NuNº de Nusselt para T.M. (NuABAB) ) 
ou ou Nº de Sherwood (Sh)Nº de Sherwood (Sh)
O inverso do Nº de Schmidt
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 24
Sc
DAB 1
2 ≡=∏ µ
ρ O inverso do Nº de Schmidt
AB
A
D
gL
µ
ρ∆3
3 =∏
Multiplicando Π2 e Π3, obtêm-se um parâmetro no qual é análogo ao Nº Nº 
de Grashofde Grashof para T.C. sob convecção natural.
2º sem de 2011
4. Análise Dimensional da T.M. Convectiva (cont.)
AB
AA
AB
AAB GrgLgL
D
gLD
≡
ρν
ρ∆
=
µ
ρ∆ρ
=





µ
ρ∆






µ
ρ
=∏∏ 2
3
2
33
32
O resultado da análise dimensional da T.M. sob convecção natural 
sugere uma relação na forma:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 25
NuAB = f(GrAB, Sc)
Obs: Para ambas as convecções, as relações sugerem que uma
correlaçõão de dados experimentais pode ser em termos de 3
variáveis ao invés de 6 originais.
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar
Blasius desenvolveu uma solução exata para a camada limite
hidrodinâmica para um escoamentoescoamento laminarlaminar paraleloparalelo aa umauma placaplaca planaplana
(cap. 12). Também, por extensão desta solução para explicar a T.C.
convectiva (cap. 19).
Por analogia estender-se-á para TT..MM.. convectivaconvectiva para a mesma geometria
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 26
Por analogia estender-se-á para TT..MM.. convectivaconvectiva para a mesma geometria
e escoamento.
A eq. da continuidade para o escoamento em estado estacionário,
bidimensional e fluido incompressível, tem-se:
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v xx (15)
2º sem de 2011
E a eq. do movimento na direção 
x, para v e pressão constantes:
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
2
2
y
v
y
v
v
x
v
v xxy
x
x ∂
∂
ν=
∂
∂
+
∂
∂ (16)
Para C.L. térmica, a eq. da T. de
energia (fluido isobárico com
difusividade térmica const.), é:
2
2
y
T
y
T
v
x
T
v yx ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
α (17)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 27
Uma eq. diferencial análoga é aplicada para a T.M. dentro da camada
limite de concentração, se não há produção do componente difuso e se
2
2
2
2
y
c
x
c AA
∂
∂
<<<<
∂
∂
2
2
y
cD
y
c
v
x
c
v AAB
A
y
A
x ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ (18)
Válida p/ estado estacionário, fluido incompressível, bidimensional com DAB cte.
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
Camada limite de concentração
Fluido 
Soluto A
∞AC
x
y
)y(CCAA =
CA,s
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 28
Condições para as três camadas limites:
Momentum:Momentum: 0yp/ 0
v
vx
==
∞
∞==
∞
yp/ 1
v
vxe
ou, se a velocidade na direção x na parede (vx,s) é zero
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
Térmica:Térmica: 0yp/ 0TT s ==− ∞==
− yp/ 1TT s
0yp/ 0
vv
vv
sx,
sx,x
==
−
−
∞
e ∞==
−
−
∞
yp/ 1
vv
vv
sx,
sx,xMomentum:Momentum:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 29
Térmica:Térmica: 0yp/ 0
TT
TT
s
s
==
−
−
∞
e ∞==
−
−
∞
yp/ 1
TT
TT
s
s
Concentração:Concentração: 0yp/ 0
cc
cc
sA,A,
sA,A
==
−
−
∞
e ∞==
−
−
∞
yp/ 1
cc
cc
sA,A,
sA,A
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
A solução de Blasius modificada (cap. 12, eqs. 12-12, 13 e 14):
21
 x
v
2
/y)y,x( 





ν
=η ∞ ( )
21
v
/
x
)y,x()(f
∞
=
ν
Ψη
e
( )ηΨ 'f
yx 2
v
ν
∞
=
∂
∂
=
Momentum:Momentum:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 30
( )η'f
yx 2
ν =
∂
=
( )
s,A
s,AA
s,x
s,xxx
'f
cc
cc
2
νv
νν
2
v
ν2
A −
−
=
−
−
==
∞∞∞
η
Similarmente,
( ) 21
2121
2
xv
2x
v
2
/
//
Re
x
y
x
yy)y,x( =





=





=
∞∞
νν
η
eConcentração:Concentração: (19)
(20)
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
( ) ( )[ ]
( )[ ] 32812
cccc2
0
0 
,
Rex/yd
/d)("f
d
"df
yx
s,A,As,AA
=
−−
==
=
∞
η
(21)
A eq. (21) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o
gradiente de concentração na superfície:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 31
gradiente de concentração na superfície:
( ) 



−=
∞
=
xs,AA
y
A Re
x
,
dy
dc 3320
cc
0
(22)
Taxa mássica de entrada e saída pequena
não alterando o perfil de velocidade
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
Quando a velocidade na direção y na superfície , vy,s é essencialmente
zero, a contribuição convectiva é também zero. A T.M. dentro da C.L.
laminar, para uma superfície plana, é descrita:
0=∂
∂
−=
y
A
ABy,A y
cDN (22)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 32
( ) 



=
∞ xAs,AABy,A Re
x
,DN 3320c-c
Substituindo a eq. (21) na eq. (22) e rearranjando, tem-se:
(23)
O fluxo mássico do componente difusivo foi definido em termos do
coeficiente de T.M. na forma:
)cc(kN AAscA ∞−= (9)
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
Igualando o lado direito da eq. (23) e (9) obtêm-se:
[ ]xABc Re,
x
Dk 3320= (23)ou xAB
AB
c Re,Nu
D
xk 3320==
A eqeq.. ((2323)) éé restritarestrita parapara sistemassistemas queque tenhatenha NºNº Sc=Sc=11 ee baixasbaixas taxastaxas
dede TT..MM.. entreentre aa placaplaca planaplana ee aa camadacamada limitelimite..
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 33
dede TT..MM.. entreentre aa placaplaca planaplana ee aa camadacamada limitelimite..
Na maioria das operações físicas envolvendo T.M., o parâmetro limite de
superfície (vy,s/v )(Rex)1/2 é desprezível, e a solução de Blasius para
baixa T.M. é usada para definir a transferência dentro da C.L. laminar.
Ex.: a vaporização de um material volátil em uma corrente gasosa em
baixa pressão é um caso na qual a hipótese de baixabaixa TT..MM.. nãonão pode ser
feita.
∞
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
T.M. da placa para 
o fluido dentro da 
C.L.
T.M. do fluido p/ a placa
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 34
Perfis de concentração p/ T.M. na 
C.L. laminar sobre uma placa plana
Variação da concentração para o
escoamento laminar sobre uma
placa planaSolução da eq. (18) elaborada 
por Hartnett e Eckert
2º sem de 2011
Para um fluido com um Nº Sc diferente de 1, curvas similares podem ser
vistas como as anteriores.
A similaridade das eqs diferenciais e conds. limite sugerem um
tratamento para T.M. convectiva análoga a solução de Pohlhausen para
T.C. convectiva.
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 35
A camada limite de concentração é relatada para camada limite
hidrodinâmica por:
31/
c
Sc=δ
δ (24)
δ espessura da camada limite hidrodinâmica
espessura da C.L. de concentração
cδ
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
Então, o termo de Blasius ηηηη deve ser multiplicado pelo nº de Sc1/3 (ver fig.
acima).
A variação da concentração dada nesta forma conduz à uma expressão
para o coef. de T.M. convectiva similar a eq, (23).
Para y=0, o gradiente de concentração é dado por:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 36
( ) 



=
∂
∂
∞
=
3121
0
3320
c-c /
/
xs,AA
y
A ScRe
x
,
y
c (25)
e usando a eq. (22), tem-se: 
31213320 //xAB,x
AB
c ScRe,Nu
D
xk
==
(26)
Nº de Nu local
2º sem de 2011
5. Análise Exata da Concentração na C.L. Laminar (cont.)
O coeficiente de T.M. médio, na qual aplica-se sobre uma placa de largura 
W e comprimento L pode ser obtida pela Integração. A taxa de T.M. total, 
WA pode ser avaliada por:
∫ ∞∞ −=−=
A
,As,Ac,As,AcA dA)CC(k)CC(AkW (27)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 37
A
Obtendo:
31216640 //LAB,L
AB
c ScRe,Nu
D
Lk
==
(28)
Nº de Nu médio
LxAB,xAB,L
NuNu
=
= 2 (29)
2º sem de 2011
6. Análise Aproximada da Concentração na C. L. Laminar
Quando o escoamento não for laminar ou a configuração for diferente
de uma placa plana, poucas soluções existem para o transporte na
camada limite.
O método de aproximação desenvolvido por vonvon KármanKárman para
descrever a camadacamada limitelimite hidrodinâmicahidrodinâmica pode ser usada para analisar
a C.L. de concentração.
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 38
Considere um volume de controle no qual está localizado a C.L. de
concentração, como ilustrado abaixo:
Fluido 
x
y
WA2WA1
WA3
∆x
WA4
δδδδc
2º sem de 2011
6. Análise Aproximada da Concentração na C. L. Laminar (cont.)
Balanço de massa em estado estacionário sobre o V.C. produz a relação:
WA1 + WA3 + WA4 = WA2 (30)
onde WWAA éé aa taxataxa molarmolar de T.M. do componente A. Para cada
superfície, a taxa molar é expressa como:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 39
∫ +=
c
xxxAA
dyvcW
δ
∆02
∫=
c
xxAA
dyvcW
δ
01 xdyv
x
CW c x,AA ∆03 



∂
∂
= ∫∞
δ
x)cc(kW AAscA ∆4 ∞−=
Somando as taxas e dividindo cada termo por ∆x e levando ao limite 
tem-se:
2º sem de 2011
6. Análise Aproximada da Concentração na C. L. Laminar (cont.)
Para resolver a eq (31) os perfis de concentração e velocidade devem
ser conhecidos, no entanto, esses são assumidos. Algumas condições
de contorno deve ser satisfeitas considerando:
(31))cc(kdy)cc(
dx
d
AAscx
c
AAs ∞∞ −=−∫ v0
δ
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 40
de contorno deve ser satisfeitas considerando:
(1)
(2)
(3)
Vx = 0 para y = 0
Vx = v para y = δ∞
δ y para ==
∂
∂ 0
y
vx
(4) 002
2
 y para ==
∂
∂
y
vx (cond. T.Q.M)
cA-cA,s = 0 para y = 0
cA-cA,s = cA, - cA,s para y = δc
cs,AA )cc(y δ y para ==−∂
∂ 0
∞
002
2
 y para ==−
∂
∂ )cc(
y s,AA
2º sem de 2011
Se considerarmos oo escoamentoescoamento laminarlaminar paraleloparalelo àà superfíciesuperfície planaplana,pode-
se usar a eq. Integral de von Kármán (eq. 31) para obter uma solução
aproximada. Os resultados podem ser comparadoscomparados comcom aa soluçãosolução exataexata
(eq. 26) e verificar se os perfis assumidos de velocidade e concentração
foram adequados.
Como uma primeiraprimeira aproximaçãoaproximação, considera-se uma expressão de série de
potência para a variação da concentração com y.
6. Análise Aproximada da Concentração na C. L. Laminar (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 41
potência para a variação da concentração com y.
CA – CA,s= a + by + cy2+dy3
A aplicação das condições de contorno resultará na seguinte expressão:
3
2
1
2
3






−





=
−
−
∞ ccs,A,A
s,AA yy
cc
cc
δδ
(32)
3
2
1
2
3






−





=
∞
δδ
yy
v
vx
Perfil de concentraçãoPerfil de concentração Perfil de velocidadePerfil de velocidade
(33)
2º sem de 2011
Substituindo as eqs. (32) e (33) na eq. integral (31), obtêm-se: 
3121360 //xAB,x ScRe,Nu = (34)
Essa eq. é muito próxima a expressão encontrada pela solução exata
(26) e pode ser usada com um certo grau de confiabilidade quando a
Nº de Nu local p/Nº de Nu local p/
Camada laminarCamada laminar
6. Análise Aproximada da Concentração na C. L. Laminar (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 42
(26) e pode ser usada com um certo grau de confiabilidade quando a
solução exata não é conhecida.
A eq. de von Kárman (31) pode ser usada para obter uma solução
aproximada para a camadacamada limitelimite turbulentaturbulenta sobre uma placa plana.
Partindo da similaridade com o perfil de velocidade tem-se:
315402920 //xAB,x ScRe,Nu = (35)Nº de Nu local p/ Nº de Nu local p/ camada turbulentacamada turbulenta
2º sem de 2011
7. Analogia entre T.M., Energia e Momentum
As analogiasanalogias são aplicáveis no entendimentoentendimento dosdos fenômenosfenômenos dede
transferênciatransferência e como umum meiomeio significativosignificativo parapara predizerpredizer o
comportamento dos sistemas para dados quantitativos limitados.
A similaridadesimilaridade e as analogias entre os fenômenos de transferência
requerem que as seguintes 5 condições existam dentro do sistema:
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 43
1. Propriedades físicas constantes;
2. Não há energia ou massa produzida dentro do sistema. Isso
infere que não pode ocorrer há nenhuma reação química
homogênea;
3. Não há emissão ou absorção de energia radiativa;
4. Não há dissipação viscosa;
5. O perfil de velocidade não é afetada pela transferência de
massa; então, há uma baixa taxa de T.M..
2º sem de 2011
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
7.1. Analogia de Reynolds7.1. Analogia de Reynolds
Reynolds postulou que o mecanismo de T. Momentum e Energia são 
idênticos. 
T.C. na camada limite laminar,T.C. na camada limite laminar, Pr = 1Pr = 1
T.M. na camada limite laminar.T.M. na camada limite laminar. Sc = 1Sc = 1
Placa plana
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 44
Para GasesPara Gases Sc 1
Para LíquidosPara Líquidos Sc 1000
(perfil de velocidade ~ perfil de 
concentração) 
(perfil de velocidade se forma muito 
mais rápido que o perfil de concen-
tração) 
Rex < 2x105 C.L. LaminarC.L. Laminar
2x105 < Rex < 3x106 C.L. pode ser Laminar ou turbulenta
Rex > 3x106 C.L. turbulentaC.L. turbulenta
2º sem de 2011
Por exemplo, se considerarmos o escoamento laminarescoamento laminar sobre uma placa 
placa onde Sc=1, os perfis de concentração e velocidade dentro da C.L. 
estão relacionado por (eq. 32 e 33):
00 =∞=∞






∂
∂
=







−
−
∂
∂
y
x
ys,A,A
s,AA
v
v
ycc
cc
y
(36)
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 45
00 =∞=∞ 
∂ −∂ yys,A,A vyccy
Sabendo que o limite próximo a placa, onde y=0, pode-se expressar o
fluxo de massa em termos da difusãodifusão mássicamássica ouou coeficientecoeficiente dede TT..MM...
Igualando as eqs. 9 e 11, tem-se:
( ) )cc(k
y
CCDN AAsc
y
AsA
ABy,A ∞
=
−=
∂
−∂
−=
0
(37)
2º sem de 2011
Combinando as eqs. 36 e 37 e considerando que DAB é µ/ρ para Sc=1,
obtêm-se uma expressão que relaciona o coeficiente de T.M. e o gradiente
de velocidade na superfície:
( ) ( )
y)(y)cc(y
CCk xx
yAAs
AsA
c ∂
∂
=
∂
∂
=
−∂
−∂
=
∞∞
=∞
v
vv
v
ρ
µ
ρ
µ
ρ
µ
0
(38)
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 46
y)(y)cc(y
yAAs
∂∂−∂
∞∞
=∞
vv ρρρ
0
O coeficiente de fricção ou atritocoeficiente de fricção ou atrito (cap. 12) para este mesmo gradiente de 
velocidade é dado por:
( )
2
0
2
2
2
∞
=
∞
∂∂
==
vv ρ
µ
ρ
τ yxo
f
yv
/
C
(39)
2º sem de 2011
Usando esta definição, pode-se rearranjar a eq. 38 para obter a analogia de
Re da T.M. para sistemas com Nº Sc=1
2
fc Ck
=
∞
v
(40)Não aplicável para 
situações
envolvendo arraste
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 47
2
f
p
C
c
h
=
∞
vρ (41)
Analogia Re da T.C. p/ Pr=1Analogia Re da T.C. p/ Pr=1
2º sem de 2011
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
7.2. Analogia de Chilton-Colburn
Chilton e Colburn, usando de dados experimentais, modificaram a
analogia de Re, para Pr e Sc diferentes de 1 afim de definir o fatorfator jj
para a transferência de massa:
( ) 32
v
/c
D Sc
kj ≡ (42)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 48
( )
v
D Scj
∞
≡
2
f
H
Cj = onde jH=St Pr2/3Analogia Colburn p/ T.C.:Analogia Colburn p/ T.C.:
Baseados nos dados coletados para os regimes laminar e
turbulento, os autores encontraram:
( ) ( ) 3232
v
//c
D ScStSc
kj =≡
∞
(43)250060 << Sc,
Válida para gases e líquidosVálida para gases e líquidos
2º sem de 2011
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
Dividindo a eq. (26) por RexSc1/3, obtêm-se:
A eq. (40) pode ser mostrada para satisfazer a solução exata para o
escoamento laminar sobre uma placa plana:
31213320 //xAB,x ScRe,Nu = (26)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 49
2131
3320
/
x
/
x
AB,x
Re
,
ScRe
Nu
=
(44)
Substituindo a eq. (44) na (26), obtêm-se analogiaanalogia dede ChiltonChilton--ColburnColburn:
2
32
31
f/
x
AB,x
/
x
AB,x CSc
ScRe
Nu
ScRe
Nu
== (45)
Cf - fator de fricção de Fanning
2º sem de 2011
ou
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
2
32
32 f
/
c/AB
AB
c
C
v
SckScD
xvD
xk
==

















∞∞
µ
ρ
ρ
µ (46)
Analogia Chilton-Colburn completa é:
2
f
DH
Cjj == (47)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 50
2
Relação exata para placa plana; 
sem forma de arraste
Relação exata para placa 
plana; com forma de arraste
DH jj = (48)
ou ( ) 3232 /c/
p
Sc
v
kPr
vc
h
∞∞
=








ρ 250060 << Sc,
Válida para gases e líquidosVálida para gases e líquidos
10060 << Pr,
(49)
2º sem de 2011
Em geral, fatoresfatores jj são unicamente determinados pela configuraçãoconfiguração
geométricageométrica ee nºnº dede ReynoldsReynolds. Baseado nessa análise, dados
experimentais da T.Q.M., T.C. e T.M. foram obtidos a fim de obter as
seguintes correlações para transportetransporte turbulentoturbulento ouou parapara superfíciessuperfícies
lisaslisas.
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 51
 
200230,MD (Re),jj −==
1. Escoamento no interior de tubos com diâmetro interno d:1. Escoamento no interior de tubos com diâmetro interno d:
p/ 1x104 < Re=dG/µµµµ < 1x106 **G=ρv
2. Escoamento ao longo de placa plana de comprimento L:2. Escoamento ao longo de placa plana de comprimento L:
 
200370 ,MD (Re),jj −== p/ 3x105 < Re=Luoρρρρ/µµµµ < 3x108
(50)
(51)
2º sem de 2011
3. Escoamento normal a um cilindro de diâmetro d:3. Escoamento normal a um cilindro de diâmetro d:
 
38201930 ,MD (Re),jj −== p/ 4x103 < Re=dG/µµµµ < 4x104
 
195002660 ,MD (Re),jj −== p/ 4x104 < Re=dG/µµµµ < 2,5x104
4. Escoamento em torno de uma esfera de diâmetro d:4. Escoamento em torno de uma esfera de diâmetro d:
40 ,−
== µµµµ
Analogia entre T.M., Energia e Momentum (cont.)
(52)
(53)
(54)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 52
 
40370 ,MD (Re),jj −== p/ 20 < Re=dG/µµµµ < 1x105
5. Escoamento em leitos empacotados com esferas de diâmetro d5. Escoamento em leitos empacotados com esferas de diâmetro dpp::
 
4150171 ,MD (Re),jj −== p/ 10 < Re=dpG’/µµµµ < 2500 **G’=ρvsup
(54)
(55)
55 Rep/ 091 670 <=ε − ,M (Re),j (53)
1500 Re 55p/ 025 310 <<=ε − ,M (Re)jLíq
u
id
o
s
Lí
qu
id
o
s
(54)
4000 Re 90p/ 062 5750 <<=ε − ,M (Re),j
(56)
GasesGases
ε ε ε ε = porosidade do leito
2º sem de 2011
Analogia entre T.M., Energia e Momentum
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 53
Correlações do fator j de ChiltonCorrelações do fator j de Chilton--ColburnColburn
2º sem de 2011
8. Números Adimensionais - Resumo
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 542º sem de 2011
Símbolo Nomenclatura Dimensão
DAB Difusividade mássica L2/t
g Aceleração da gravidade L/t2
k Coefc. De T.M. L/t
Números Adimensionais - Resumo
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 55
k Coefc. De T.M. L/t
L Comprimento característico L
v Velocidade do fluido L/t
α Difusividade térmica L2/t
ν Viscosidade cinemática L2/t
∆ρ/ρ Variação de densidade adimensional -
2º sem de 2011
9. Modelos para os Coeficientes de T.M.
Os coeficientescoeficientes dede TT..MM.. tem sido usados no projeto de equipamentos por
muitos anos. No entanto, na maioria dos casos, estes são empíricos,empíricos,
determinados a partir de investigações experimentais.
Modelos para os Coeficientes de T.M.Modelos para os Coeficientes de T.M.
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 56
A explicação teórica dos coeficientes requererá uma melhor
compreensão dos mecanismosmecanismos dede turbulênciaturbulência, desde que estejam
ligados diretamente com as características dinâmicas do escoamento.
No cap. 1, dois possíveis modelos foram introduzidos para explicar a
T.M. : Teoriaeoria dodo filmefilme ee dede penetraçãopenetração.
2º sem de 2011
Modelos para os Coeficientes de T.M. (cont.)
Teoria do filmeTeoria do filme
A teoria do filme (Nernst, 1904) é
baseada na presença de um filme
fictício de fluido, em escoamento
turbulento ou no limite da fase fluida
O transporte é inteiramente pela
Gás
puro
Filme 
líquido
Líquido 
principal
Não 
volátil
CA,s
C
PA
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 57
O transporte é inteiramente pela
difusãodifusão molecularmolecular.
Este filme, δL, é similar a subcamada
laminar e deve-se estender a esta
para incluir uma resistência
equivalente da concentração dentro
da camadacamada bufferbuffer (tampão)(tampão) ee núcleonúcleo
turbulentoturbulento..
z = 0 z = δL
∞,AC
2º sem de 2011
Para difusão através de uma camada não-difusa ou filme estagnado, essa
teoria prediz o coefc. de T.M. ser:
AB
c P
PDk
δ
= (3.12)
Assumindo o filme de líquido muito fino, todo A difunde através deste e
atravessa o líquido principal. Agora se, além disso, o escoamento de A é
desprezível, o gradientegradiente dede concentraçãoconcentração éé linearlinear.
Modelos para os Coeficientes de T.M. (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 58
ml,B
c P
k
δ
=
)CC(k
p
)pp(
)zz(RT
PDN
,As,Ac
ml,B
AAAB
Z,A ∞−=
−
−
=
21
12
(3.9)
Para contradifusão equimolarcontradifusão equimolar, 
coefc. de T.M. é expresso por: δ
=
ABo Dk
Expoente “o” - nãonão transferênciatransferência
dede massamassa molarmolar líquidalíquida dentro
do filme.
(3.35)
2º sem de 2011
Em ambos os casos, o coeficiente de T.M. convectiva está diretamente
relacionada com a difusividadedifusividade mássicamássica molecularmolecular..
A espessuraespessura dodo filmefilme fictíciofictício, δ, nunca poderá ser mensurada, pois ele
não existe. Por causa disso e por causa da inadequada explicação física
da T.M. convectiva, outras teoria e modelos estão sendo postulados
Modelos para os Coeficientes de T.M. (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 59
da T.M. convectiva, outras teoria e modelos estão sendo postulados
para explicar este fenômeno.
Modelo útil para T.M. de superfícies sólidas ou na presença
de reações químicas heterogêneas
2º sem de 2011
Teoria da penetração Teoria da penetração 
Esta teoria foi proposta por HigbieHigbie
((19351935)) para explicar a T.M. na fase
líquida durante a absorçãoabsorção gasosagasosa,
sendo considerada mais realística.
Região 
principal
Bem 
misturada
p/CA,s
PA Região de 
interface
C
Modelos para os Coeficientes de T.M. (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 60
OO componentecomponente dede difusãodifusão somentesomente
penetrapenetra umauma pequenapequena distânciadistância
dentrodentro dada fasefase dede interesseinteresse pelopelo
desaparecimentodesaparecimento rápidorápido atravésatravés dada
reaçãoreação químicaquímica ouou tempotempo curtocurto dede
contatocontato entreentre asas fasesfases..
Gás
puro
CA,s
∞,AC
∞,AC
Difusão em estado não estacionárioDifusão em estado não estacionário
2º sem de 2011
(4.17))CC(
t.
DdtN
t
N
,As,A
AB
zA
t
A
∞=
−== ∫ pi
41
00
Fluxo médio (NA)
Substituição do conceito de filme estagnante para Turbulência de
Boussinesq.
Modelos para os Coeficientes de T.M. (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 61
* o coefc. kc está relacionado com 
a solução para sólido semi-infinito.
t.t
.c
∫ pi0
DanckwertsDanckwerts (1951) - aplicação para escoamento turbulento em
estado não estacionário – Modelo da superfície renovável
(probabilidade)
2º sem de 2011
Aplicações:Aplicações: T.M. envolvendo bolhas ou gotas, ou escoamento ao redor 
de um enchimento aleatório.
Por exemplo:
1) Uma bolha de ar de 0,4 cm de diâmetro cresce através da água com
uma velocidade de 20cm/s. então o tempo de contato estimado
Modelos para os Coeficientes de T.M. (cont.)
1º sem. de 2009 Katia Tannous e Rafael F. Perna 62
uma velocidade de 20cm/s. então o tempo de contato estimado
é, tc, é 04/20=0,02s.
2) Um líquido em spray, onde não há circulação de líquido dentro da
gota, o tempo de contato é total para a gota em queda através do gás.
3) Em uma torre de recheio, a mistura pode ser assumida ocorrer, cada
vez que o filme de líquido passa através de uma parte do recheio ao
outro. Isso resulta um tempo de contato a ordem de 1s.
2º sem de 2011