CapContinuidade

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Capítulo 4
CONTINUIDADE DE
UMA FUNÇÃO
VETORIAL
Recordemos o conceito de continuidade para funções reais de variável real.
Seja f : D � IR �! IR e x0 2 D. Diz-se que f contínua em x0 se
8" > 0 9� > 0 : x 2 D ^ jx� x0j < � =) jf (x)� f (x0)j < ":
Figura 4.1: f é contínua em x0 2 IR
1
Esta de…nição generaliza-se, naturalmente, ao contexto das funções vectori-
ais.
De…nição 4.1 Seja f : D � IRn�! IRm e P0 2 D. Diz-se que f é contínua
em P0 se
8" > 0 9� > 0 : P 2 D ^ kP � P0k < � =) kf (P )� f (P0)k < ":
Figura 4.2: f é contínua em P0 2 IRn
Em termos de bolas abertas, a de…nição anterior é equivalente a
8" > 0 9� > 0 : P 2 D \B (P0; �) =) f (P ) 2 B (f (P0) ; ") ,
ou a
8" > 0 9� > 0 : f (D \B (P0; �)) � B (f (P0) ; ") ,
ou ainda a
No caso de P0 2 D \D0 a de…nição anterior pode ser expressa utilizando o
conceito de limite, isto é,
f contínua em P0 se e só se lim
P�!P0
P2D
f (P ) = f (P0) :
2
Figura 4.3: 8" > 0 9� > 0 : D \B (P0; �) � f�1 (B (f (P0) ; "))
Se P0 for um ponto isolado de D, f é contínua em P0. Basta que considere-
mos, na de…nição de continuidade, o valor � por forma que a condição
P 2 D ^ kP � P0k < �
seja satisfeita unicamente pelo ponto P0.
Se f não for contínua em P0 diz-se que é descontínua neste ponto.
De…nição 4.2 Seja f : D � IRn�! IRm e A � D. Diz-se que f é contínua em
A se for contínua em todos os pontos de A.
Devido ao facto do conceito de continuidade se poder traduzir recorrendo
a limites e relembrando os resultados já vistos na secção anterior, decorrem
imediatamente as seguintes proposições:
Proposição 4.1 Sejam f : D � IRn�! IRm e P0 2 D. Então f é contínua
em P0 se e só se para toda a sucessão (Ps)s2IN de elementos de D, tal que
Ps �! P0, se tem
f (Ps) �! f (P0) :
Prova. (exercício)
Proposição 4.2 Sejam f : D � IRn�! IRm e P0 2 D. Então f é contínua
em P0 se e só se fi; i = 1; 2; : : : ; n forem contínuas em P0; representando
fi : D � IRn�! IR as funções coordenadas da função f .
3
Figura 4.4: f é descontínua em x0
Prova. (exercício)
Exemplo 4.1 A função
f : IR2 �! IR2
(x; y) 7�! (x; y)
é uma função contínua pois as funções coordenadas,
f1 (x; y) = x e f2 (x; y) = y;
chamadas funções projecção nos eixos, são contínuas.
De facto,
8" > 0 9� > 0 : f1 (B (P0; �)) � ]f1 (P0)� "; f1 (P0) + "[ :
Basta tomar � � ".
De modo análogo se prova que f2 é contínua.
A proposição seguinte estabelece propriedades fundamentais relativas à arit-
mética de funções contínuas, que se provam com base nas propriedades análogas
sobre limites.
Proposição 4.3 1. Sejam f; g : D � IRn�! IRm contínuas. Então
f � g : D � IRn�! IRm;
de…nida por
(f � g) (P ) = f (P )� g (P ) = (f1 (P )� g1 (P ) ; : : : ; fm (P )� gm (P )) ;
é também uma função contínua.
4
Figura 4.5: f é descontínua no conjunto A
2. Sejam f : D � IRn�! IRm e g : D � IRn�! IR contínuas. Então
fg : D � IRn�! IRm;
de…nida por
(fg) (P ) = f (P ) g (P ) = (f1 (P ) g1 (P ) ; : : : ; fm (P ) gm (P )) ;
é também uma função contínua.
3. Sejam f; g : D � IRn�! IRm contínuas. Então
(f j g) : D � IRn�! IR;
de…nida por
(f j g) (P ) = (f (P ) j g (P )) ;
é também uma função contínua.
Prova. (exercício)
Exemplo 4.2 1. A função real de n variáveis reais, denominada função
polinomial, de…nida por
p (x1; x2; : : : ; xn) =
X
i1; i2;:::;in2IN0
�i1:::in x
i1
1 : : : x
in
n ,
5
Figura 4.6: funções projeção
onde �i1:::in 2 IR são não nulos, apenas para um número …nito de valores
dos índices i1; : : : ; in, é contínua em todo o seu domínio.
2. A função q : IRn �! IR, de…nida por
q (x1; x2; : : : ; xn) =
p1 (x1; x2; : : : ; xn)
p2 (x1; x2; : : : ; xn)
,
onde p1 e p2 são funções polinomiais, é contínua em todo o ponto
�
x01; : : : ; x
0
n
�
,
onde p2
�
x01; : : : ; x
0
n
� 6= 0.
3. A função
f : IR2 �! IR2
(x; y) 7�! �x2y; �y + x3� = �1 + x2��
é contínua, uma vez que a função f1 (x; y) = x2y é contínua porque é
polinomial, e a função f2 (x; y) =
�
y + x3
�
=
�
1 + x2
�
é contínua porque é
o quociente de duas funções contínuas em que o denominador nunca se
anula.
4. Determinemos o domínio de continuidade da função real de duas variáveis
reais, de…nida por
f (x; y) =
�
xy se y > x
�y2 se y < x :
Consideremos
D1 = f(x; y) : y > xg ; D2 = f(x; y) : y = xg e D3 = f(x; y) : y < xg :
6
Figura 4.7: f1 é contínua
� Como D1 e D3 são conjuntos abertos e aí f está de…nida por funções
polinomiais, concluímos que f é contínua em D1 [D3.
� Seja agora (x0; y0) 2 D2, ou seja, x0 = y0:
Temos que
lim
(x;y)�!(x0;y0)
(x;y)2D1[D2
f (x; y) = lim
(x;y)�!(x0;y0)
xy = x0y0 = y
2
0 ,
lim
(x;y)�!(x0;y0)
(x;y)2D3
f (x; y) = lim
(x;y)�!(x0;y0)
�y2 = �y20 ;
f (x0; y0) = y
2
0 .
Logo, só existe lim
(x;y)�!(x0;y0)
f (x; y) e é igual a f (x0; y0) quando
(x0; y0) = (0; 0).
Concluímos assim que f é contínua em D1 [D3 [ f(0; 0)g.
A proposição seguinte estabelece condições sobre o cálculo do limite de uma
função composta.
Proposição 4.4 Sejam f : D � IRn �! IRm e g : E � IRm �! IRk duas
funções com f (D) � E e seja P0 um ponto de acumulação de D. Suponhamos
que lim
P�!P0
f (P ) = Q0; em que Q0 é um ponto de acumulação de E; e que
lim
Q�!Q0
g (Q) = M0.
Então lim
P�!P0
(g � f) (P ) = M0 se uma das seguintes proposições for veri…-
cada:
7
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
- 1 0 0 0
- 5 0 0
0
5 0 0
1 0 0 0
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
Figura 4.8: Representação grá…ca de f1 (x; y) = x2y
1. 9r > 0 : P 2 D; 0 < kP � P0k < r =) f (P ) 6= Q0.
2. g é contínua em Q0
Prova. (exercício)
Exemplo 4.3 Mostremos que lim
(x;y)�!(2;0)
sin(xy)
xy = 1:
Seja
h :
�
(x; y) 2 IR2 : x 6= 0 ^ y 6= 0	 �! IR
(x; y) 7�! sin(xy)xy
.
Então h = g � f , onde
f :
�
(x; y) 2 IR2 : x 6= 0 ^ y 6= 0	 �! IR
(x; y) 7�! xy
e
g : IRn f0g �! IR
t 7�! sin tt
:
As condições do teorema anterior são veri…cadas, pois,
� f (Df ) = IRn f0g = Dg;
� lim
(x;y)�!(2;0)
xy = 0;
� 0 2 D0g;
� lim
t�!0
g (t) = lim
t�!0
sin t
t = 1;
8
4.1. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
- 1 0
- 5
0
5
1 0
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
Figura 4.9: Representação grá…ca de f2 (x; y) =
�
y + x3
�
=
�
1 + x2
�
� Qualquer que seja P 2 Df , f (P ) 6= 0.
Logo, podemos concluir que
lim
(x;y)�!(2;0)
h (x; y) = lim
t�!0
g (t) = 1.
4.1 Caracterização de Continuidade através de
Conjuntos Abertos e Fechados
Para estudar a continuidade de funções recorre-se, por vezes, ao conceito de
imagem inversa de um conjunto.
Recorde-se que, sendo f : D � IRn�! IRm e A um subconjunto de IRm, a
imagem inversa de A por f de…ne-se por
f�1 (A) = fx 2 D : f (x) 2 Ag :
Proposição 4.5 Seja f : IRn�! IRm . Então f é contínua se e só se a imagem
inversa de todo o aberto de IRm é um aberto de IRn.
Prova.
1. Seja f contínua e A � IRm um conjunto aberto.Provemos que f�1 (A) é
um aberto.
Consideremos então P 2 f�1 (A). Pretendemos mostrar que
9" > 0 : B (P; ") � f�1 (A) : (4.1)
9
4.1. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS
- 4
- 2
0
2
4
x
- 4
- 2
0
2
4
y
0
0 . 5
1
z
- 4
- 2
0
2
4
x
- 4
- 2
0
2
4
y
Figura 4.10: Representação grá…ca de h (x; y) = sin(xy)xy
Ora, se P 2 f�1 (A) então f (P ) 2 A. Como A é aberto, então
9� > 0 : B (f (P ) ; �) � A: (4.2)
Mas f é contínua. Logo, para este valor �,
9� > 0 : f (B (P; �)) � B (f (P ) ; �) : (4.3)
De (4.2) e (4.3) concluímos que
9� > 0 : f (B (P; �)) � A, ou seja, B (P; �) �f�1 (A) :
Portanto, veri…ca-se (4.1) com " = �.
2. Suponhamos agora que a imagem inversa por f de todo o aberto de IRm
é um aberto de IRn, e provemos que f é contínua, ou seja, provemos que
para todo o P0 2 IRn e para todo " > 0,
9� > 0 : P 2 B (P0; �) =) f (P ) 2 B (f (P0) ; ") : (4.4)
Mas B (f (P0) ; ") é um aberto de IR
m, donde, por hipótese,
f�1 (B (f (P0) ; "))
é um conjunto aberto.
Por outro lado, P0 2 f�1 (B (f (P0) ; ")). Então
9� > 0 : B (P0; �) � f�1 (B (f (P0) ; ")) :
10
4.1. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS
donde
9� > 0 : f (B (P0; �)) � B (f (P0) ; ")
ou ainda,
9� > 0 : P 2 B (P0; �) =) f (P ) 2 B (f (P0) ; ") :
Logo, veri…ca-se (4.4) com � = �.
Exemplo 4.4 O conjunto
B =
�
(x; y) 2 IR2 : y < 7	
é um conjunto aberto porque a função f (x; y) = y é contínua e
B = f�1 (A)
sendo
A = ]�1; 7[ .
Também para conjuntos fechados se veri…ca uma proposição análoga à an-
terior.
Proposição 4.6 Seja f : IRn�! IRm . Então f é contínua se e só se a imagem
inversa de todo o fechado de IRm é um fechado de IRn.
Prova. (exercício)
Nota 4.1 Notemos que os resultados anteriores se aplicam a imagens inversas
e não a imagens directas.
Recorde-se que, sendo f : D � IRn�! IRm e A um subconjunto de IRn, a
imagem directa de A por f de…ne-se por
f (A) = fy 2 IRm : y = f (x) ; x 2 Ag :
1. A função
f : IR �! IR
x 7�! 2x1+x2
é contínua. Mas, sendo U =
�
3
4 ; 2
�
aberto e V = [3;+1[ fechado,
f
��
3
4
; 2
��
=
�
4
5
; 1
�
não é aberto e
f ([3;+1[) =
�
0;
3
5
�
não é fechado.
11
4.2. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS COMPACTOS
Figura 4.11: U é aberto mas f(U) não é aberto; V é fechado mas f(V ) não é
fechado.
2. A função
f : IR2 �! IR
(x; y) 7�! 2x1+x2
é contínua (porquê?).
Mas, sendo U =
�
(x; y) : 34 < x < 2
	
aberto e V = f(x; y) : x � 3g fechado,
f (U) =
�
4
5
; 1
�
não é aberto e
f (V ) =
�
0;
3
5
�
não é fechado.
4.2 Caracterização de Continuidade através de
Conjuntos Compactos
Tal como acontece com o conceito de imagem inversa de um conjunto, tam-
bém o conceito de imagem directa pode ser útil no estudo da continuidade de
uma função.
Proposição 4.7 Seja f : IRn�! IRm contínua . Então a imagem directa de
todo o compacto de IRn é um compacto de IRm.
12
4.2. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS COMPACTOS
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
- 0 . 5
0
0 . 5
z
- 1 0
- 5
0
5
1 0
x
- 1 0
- 5
0
5
1 0
y
Figura 4.12: Representação grá…ca de f (x; y) = 2x1+x2
Prova. Seja D um compacto de IRn e f uma função contínua.
Provemos que f (D) é um compacto de IRm, ou seja, provemos que de toda
a sucessão de f (D) é possível extrair uma subsucessão convergente para um
ponto de f (D). Consideremos a sucessão (Qs) de elementos de f (D). Então,
existe numa sucessão de elementos de D, (Ps), tal que f (Ps) = Qs.
Mas como D é compacto,
9 (Psl) � (Ps) : Psl �! P0 , P0 2 D:
Como f é contínua, concluímos que
f (Psl) �! f (P0) :
Mas como (f (Psl)) = (Qsl) é uma subsucessão de (Qs), o resultado está
provado.
Exemplo 4.5 A circunferência A =
�
(x; y) 2 IR2 : x2 + y2 = 1	 é um subcon-
junto compacto de IR2, uma vez que a função
f : [0; 2�] �! IR2
t 7�! (cos t; sin t)
é contínua, [0; 2�] é compacto em IR e f ([0; 2�]) = A.
A proposição seguinte indica condições de existência de solução para prob-
lemas de optimização, ou seja, problemas do tipo:�
max f (P )
P 2 D � IRn ou
�
min f (P )
P 2 D � IRn
13
4.2. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS COMPACTOS
Proposição 4.8 (Teorema de Weierstrass) Seja D � IRn, compacto, e f :
D�! IR contínua Então f é limitada e admite, pelo menos, um máximo e um
mínimo, ou seja,
9P1; P2 2 D : f(P1) � f(P ) � f(P2); 8P 2 D:
Prova. Como f é contínua e D é compacto, f (D) é compacto, isto é, fechado
e limitado.
Se f (D) é limitado então tem supremo, S, donde� 8P 2 D; f (P ) 6 S;
8� > 0 9P� 2 D : f (P�) > S � �:
Seja � = 1m ; m 2 IN.
Então
9 (Pm) � D : f (Pm) 6 S ^ f (Pm) > S � �:
Como 1m �! 0 , então f (Pm) �! S.
Mas f (D), sendo compacto, é fechado, donde contém todos os limites das
suas sucessões. Logo, S 2 f (D), isto é,
9P2 2 D : f (P2) = S:
ou seja, a função atinge um máximo.
De modo análogo se prova que a função atinge um mínimo (exercício)
Introduzimos agora o conceito de continuidade uniforme, também já con-
hecido da Análise Real.
Enquanto que na de…nição de continuidade o valor de � depende de " e de
P0, na de…nição de continuidade uniforme, a partir de " dado, é possível obter
um � > 0, tal que a implicação
kP � P0k < � =) kf (P )� f (P0)k < "
é veri…cada por todos os pontos P0 do domínio de f .
As funções com esta propriedade dizem-se uniformemente contínuas. Mais
formalmente, introduzimos a
De…nição 4.3 Seja f : D � IRn�! IRm. Diz-se que f é uniformemente
contínua em D se
8" > 0 9� > 0 : 8P;Q 2 D; kP �Qk < � =) kf (P )� f (Q)k < ":
Exemplo 4.6 A função
f : IR2 �! IR
(x; y) 7�! x
é uniformemente contínua.
De facto,
8" > 0 9� = " : 8(x1; y1); (x2; y2) k(x1; y1)� (x2; y2)k < � =) jx1 � x2j < ";
uma vez que
jx1 � x2j � k(x1; y1)� (x2; y2)k :
14
4.2. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS COMPACTOS
Tal como para as funções reais de variável real, é válida a seguinte proposição:
Proposição 4.9 Sejam f : D � IRn�! IRm uma função contínua e D um
conjunto compacto. Então f é uniformemente contínua.
Prova. Façamos a prova por absurdo, ou seja, admitamos que f não é uni-
formemente contínua. Então
9" > 0 8� > 0 9P;Q 2 D : kP �Qk < � ^ kf (P )� f (Q)k > ": (4.5)
Seja � = 1m ; m 2 IN. De (4.5),
9Pm; Qm 2 D : kPm �Qmk < � ^ kf (Pm)� f (Qm)k > ": (4.6)
As sucessões (Pm)m2IN e (Qm)m2IN são limitadas pois D, sendo compacto,
é limitado. Sendo assim, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass,
existe (Pim) � (Pn) tal que Pim �! P0 ; (4.7)
existe (Qim) � (Qn) tal que Qim �! Q0:
De (4.6), como kPm �Qmk < �, concluímos que P0 = Q0:
Por outro lado, como f é contínua, podemos concluir, de (4.7), que
f (Pim) �! f (P0) e f (Qim) �! f (Q0) ;
o que contradiz o facto de existir " > 0 tal que kf (Pm)� f (Qm)k > ":
As funções lineares são exemplos importantes de funções uniformemente con-
tínuas.
Com efeito, seja
f : IRn �! IRm
P 7�! AP
em que A é uma matriz m� n:
A =
2664
a11 a12 : : : a1n
a21 a22 : : : a2n
: : : : : : : : : : : :
am1 am2 : : : amn
3775
Provemos que f (P ) = AP é uniformemente contínua, ou seja,
8" > 0 9� > 0 : 8P;Q 2 IRn; kP �Qk < � =) kAP �AQk < ":
Para isso, comecemos por demonstrar o seguinte resultado:
Proposição 4.10 Para todo o P 2 IRn tem-se
9M 2 IR+ : kAPk2 6M kPk2
com M =
qPm
i=1
Pn
j=1 a
2
ij
15
4.2. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS COMPACTOS
Prova. Sendo P = (x1; x2; : : : ; xn) e AP = (y1; y2; : : : ; ym), temos que
jyij =
���Xn
j=1
aijxj
��� ; i = 1; : : : ;m
donde, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz,
jyij 6
�Xn
j=1
a2ij
� 1
2
�Xn
j=1
x2j
� 1
2
; i = 1; : : : ;m
ou ainda,
y2i 6
�Xn
j=1
a2ij
��Xn
j=1
x2j
�
; i = 1; : : : ;m . (4.8)
Somando as m desigualdades (4.8), obtém-se a expressãoXm
i=1
y2i 6
�Xm
i=1
Xn
j=1
a2ij
��Xn
j=1
x2j
�
,
à qual podemos dar a forma
kAPk2 6M2 kPk2 em que M2 =
Xm
i=1
Xn
j=1
a2ij .
Concluímos assim que
9 M > 0 : kAPk2 6M kPk2 .
Agora é fácil provar que f é uniformemente contínua, atendendo a que
9 M > 0 : kAP �AQk 6 kA (P �Q)k 6M kP �Qk :
Logo, a continuidade uniforme da função decorre imediatamente, tomando
� = "M :
No exemplo seguinte apresenta-se uma aplicação da proposição 3.2.10:
Exemplo 4.7 Consideremosa matriz
A =
� p
2 + 1 1
0
p
2
�
:
A …gura 13 representa os conjuntos
B =
�
(x; y) 2 IR2 : k(x; y)k2 < 1
	
e
C = fAP : P 2 B; P = (x; y)g :
O conjunto C está contido na bola aberta de raio M , com
M =
q
6 + 2
p
2 = 2:97:
n
16
4.3. CARACTERIZAÇÃO DE CONTINUIDADE ATRAVÉS DE
CONJUNTOS CONEXOS
Figura 4.13: A é conexo; B e C não são conexos
4.3 Caracterização de Continuidade através de
Conjuntos Conexos
Recordemos que, em IR, um conjunto é conexo se e só se for um intervalo.
Além disso, sendo f : I � IR �! IR, f contínua e I conexo, então f (I) é conexo.
Generalizemos estes resultados:
De…nição 4.4 Seja A � IRn. Diz-se que A é conexo se não existirem conjun-
tos abertos X e Y tais que
A � X [ Y ; A \X 6= ?; A \ Y 6= ?; A \X \ Y = ? .
Nota 4.2 A noção de conexo corresponde à ideia intuitiva de ”conjunto de uma
só peça”.
17
4.4. EXERCÍCIOS
Exemplo 4.8 O conjunto f(x; y) : xy > 0g é não conexo; o conjunto f(x; y) : xy > 0g
é conexo.
Na proposição seguinte provaremos que a imagem contínua de um conexo é
um conjunto conexo.
Proposição 4.11 Seja f : A � IRn�! IRm, f contínua e A conexo. Então
f (A) é conexo.
Prova. Suponhamos que f (A) é não conexo. Então existem abertos de IRm;
X e Y , tais que
f (A) � X [ Y ; f (A) \X 6= ?; f (A) \ Y 6= ?; f (A) \X \ Y = ? .
Como
f (A) � X [ Y
então
A � f�1 (X [ Y )
ou ainda,
A � f�1 (X) [ f�1 (Y ) ;
com f�1 (X) e f�1 (Y ) abertos de IRn; devido à continuidade de f .
Atendendo a que
f (A) \X 6= ?;
temos
f�1 (f (A)) \ f�1 (X) = A \ f�1 (X) 6= ?:
De modo análogo,
A \ f�1 (Y ) 6= ?:
Finalmente, como
f (A) \X \ Y = ?;
concluímos que
A \ f�1 (X) \ f�1 (Y ) = ?;
donde A não é conexo.
4.4 Exercícios
1. Determine o domínio das seguintes funções e estude a existência de limite
nos pontos indicados; caso os pontos pertençam ao domínio da função,
estude também a continuidade nesses pontos.
(a) f (x; y) =
� 2xy
x2+y2 se (x; y) 6= (0; 0)
0 se (x; y) = (0; 0)
em P0 = (0; 0) :
(b) f (x; y) = x
2�y2
x+y em P0 = (�1; 1)
18
4.4. EXERCÍCIOS
(c) f (x; y) =
(
x2�y2
x+y se x 6= �y
0 se x = �y em P0 = (0; 0) e P1 = (�1; 1) :
(d) f (x; y) = x
2�2xy+y2
x2y�y3 em P0 = (0; 0), P1 = (�1; 1) e P2 = (1; 1) :
(e) f (x; y) =
�
xjyj
jxj+jyj ;
x
x2�y
�
em P0 = (0; 0) e P0 = (2; 2) :
(f) f (x; y; z) = x
2yz
x8+y4+z2 em P0 = (0; 0; 0) :
(g) f (x; y) =
�
x se x = y
x2 se x 6= y em P0 = (1; 1) e P1 = (2; 2) :
(h) f (x; y) =
(
jyj
x2 e
� jyj
x2 se x 6= 0
0 se x = 0
em P0 = (0; 0).
(i) f (x; y) =
(
x2 ln(y+1)
x2+y2 se x
2 + y2 < 1 ^ (x; y) 6= (0; 0)
0 se x2 + y2 > 1
em P0 =
(0; 0) e P1 = (1; 0) :
(j) f (x; y) =
(
y2 sin x
x2+y2 se x
2 + y2 < 1 ^ (x; y) 6= (0; 0)
1 se x2 + y2 > 1
em P0 =
(0; 0) e P1 = (0; 1) :
(k) f (x; y) =
8<:
x2 sin y
x2+y2 se x 6= 0 ^ y 6= 0
1� y2 se x = 0
1� x2 se y = 0
em P0 = (0; 0) e P1 =
(�1; 0) :
2. Determine a região de continuidade das seguintes funções:
(a) f (x; y) =
(
xy2
x2+y4 se x < y
2
0 se x � y2 .
(b) f (x; y) =
(
x+yp
x2+y2+1
se x2 + y2 > 1
x+ y se x2 + y2 6 1
.
(c) f (x; y) =
(
jyj
x2 e
� jyj
x2 se x 6= 0
0 se x = 0
.
19