CapSucessoes

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Capítulo 2
SUCESSÕES EM IRn
Como é bem conhecido designa-se por sucessão de números reais toda a
aplicação de IN em IR. De modo análogo se de…ne sucessão em IRn. Assim,
De…nição 2.1 Designa-se por sucessão em IRn toda a aplicação P de…nida
em IN e com valores em IRn, isto é,
P : IN �! IRn
m 7�! P (m) = Pm .
Uma sucessão em IRn representa-se por (Pm)m2IN ou, simplesmente, (Pm),
representando-se cada termo, Pj , da sucessão, por
Pj =
�
xj1, x
j
2; x
j
3; : : : ; x
j
n
�
; j 2 IN
ou, utilizando notação matricial,
Pj =
h
xj1 x
j
2 x
j
3 : : : x
j
n
iT
, j 2 IN :
Notemos que com as coordenadas de cada um dos termos, tomadas ordenada-
mente, podemos formar sucessões em IR, chamadas as sucessões coordenadas
de (Pm)m2IN, como a seguir se representa:
P126664
x11
x12
...
x1n
37775
P226664
x21
x22
...
x2n
37775
�
�
: : :
�
Pm26664
xm1
xm2
...
xmn
37775
�
�
: : :
�
�!
�!
: : :
�!
suc. das 1ascoord., (xm1 )m2IN
suc. das 2ascoord., (xm2 )m2IN
: : :
suc. das nascoord., (xmn )m2IN
A de…nição de subsucessão também é análoga à que conhecemos em IR.
23
24 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
De…nição 2.2 Chama-se subsucessão de (Pm)m2IN a uma restrição da apli-
cação P a um subconjunto in…nito de IN, X = fi1; i2; : : : ; in; : : :g ; em que
i1 < i2 < : : : < in < : : :. Designamo-la por (Pk)k2X ou (Pim)m2IN :
Nota 2.1 Utilizaremos a notação (Pk)k2X � (Pm)m2IN para exprimir que (Pk)k2X
é uma subsucessão de (Pm)m2IN :
Exemplo 2.1 A aplicação
P : IN �! IR2
de…nida por
Pm =
�
cosm;
(�1)m
2m
�
representa uma sucessão em IR2, sendo
P2m =
�
cos(2m);
1
22m
�
a subsucessão dos termos de ordem par e
P2m�1 =
�
cos(2m� 1); �1
22m�1
�
a subsucessão dos termos de ordem ímpar.
Figura 2.1: Primeiros 6 termos de (Pm)
Tal como acontece em IR, o conceito de convergência é, em IRn, um conceito
central.
25
Recordemos a de…nição de sucessão convergente em IR. Diz-se (um)m2IN
converge para a, e escreve-se lim
m�!1um = a ou um
IR�!
m
a, se
8" > 0 9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) jum � aj < "
isto é, se
8" > 0 9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) um 2 ]a� "; a+ "[ :
Figura 2.2: No exterior do intervalo ]a� "; a+ "[ estão, no máximo, os termos
u1; : : : ; um0
Considerando uma construção análoga, no plano cartesiano, obtemos a seguinte
imagem geométrica:
Figura 2.3: No exterior da bola B (P0; ") estão, no máximo, os termos P1; : : : ; Pm0
A de…nição de sucessão convergente estende-se, naturalmente, a IRn, da
seguinte forma:
26 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
Seja IRn um espaço normado e (Pm)m2IN uma sucessão em IR
n. Diz-se que
(Pm)m2IN é convergente para P0, e escreve-se
lim
m!1Pm = P0 ou Pm
IRn�!
m
P0 ou, simplesmente, Pm �! P0
se,
8" > 0 9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) kPm � P0k < "
ou, de modo equivalente,
8" > 0 9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) Pm 2 B (P0; ") :
Como já referimos, em IRn; quaisquer duas normas são equivalentes. Assim,
os conceitos introduzidos ou por introduzir, bem como resultados já demonstra-
dos ou a demonstrar, permanecem válidos se substituirmos a norma, com que
são apresentados, por qualquer outra norma.
Na seguinte proposição provar-se-á que a de…nição de convergência é inde-
pendente da norma escolhida.
Proposição 2.1 Sendo k�kp e k�kq duas quaisquer normas em IRn então
\converge^ncia em k�kp () converge^ncia em k�kq "
Prova. Sejam k�kp e k�kq duas quaisquer normas em IRn: Então existem con-
stantes positivas c1 e c2 tais que
c1 kxkp � kxkq � c2 kxkp ;8x 2 IRn:
Seja " > 0, qualquer. Por hipótese,
9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) kPm � P0kp <
"
c2
:
Como
kPm � P0kq � c2 kPm � P0kp ,
então vem
kPm � P0kq < " para m > m0 .
Logo
9m1 = m0 : 8m 2 IN m > m1 =) kPm � P0kq < ":
A demonstração da implicação no sentido contrário é análoga.
Proposição 2.2 Se uma sucessão converge, o seu limite é único.
27
Prova. Suponhamos que Pm �! P0 e Pm �! Q0 com P0 6= Q0. Seja " > 0,
qualquer.
Se Pm �! P0 então
9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) kPm � P0k < "
2
:
Se Pm �! Q0 então
9p0 2 IN : 8m 2 IN m > p0 =) kPm �Q0k < "
2
:
Seja s0 = max fm0; p0g.
Veri…ca-se que se m > s0, então
kP0 �Q0k = kP0 � Pm + Pm �Q0k � kPm � P0k+ kPm �Q0k < ":
Como " é qualquer (em particular, tão pequeno quanto se queira), concluímos
que P0 = Q0:
Analisando o grá…co seguinte, é fácil intuir que ”convergência em IR2 é
equivalente a duas convergências em IR", mais exactamente, se Pm = (xm1 ; x
m
2 )
e P0 =
�
x01; x
0
2
�
, então parece óbvio que
Pm
IR2�! P0 ()
(
xm1
IR�! x01;
xm2
IR�! x02:
Figura 2.4: Sucessão convergente em IR2
28 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
Este resultado pode generalizar-se a IRn. Na proposição seguinte prova-se
que “convergência em IRn é equivalente à convergência das n sucessões coorde-
nadas”.
Proposição 2.3 Seja IRn um espaço normado. Então
Pm
IRn�! P0 se e só se xmj IR�! x0j ; j = 1; 2; : : : ; n;
em que P0 =
�
x01; x
0
2; : : : ; x
0
n
�
.
Prova. Recorde-se que
kxk1 � kxk2 � kxk1 ;8x 2 IRn;
desigualdades estas provadas na Proposição 1.3.4.
Então
kPm � P0k1 � kPm � P0k2 � kPm � P0k1 ,
ou seja,
max
���xm1 � x01�� ; ��xm2 � x02�� ; : : : ; ��xmn � x0n��	 �
(1)
kPm � P0k2 �
(2)
nX
j=1
��xmj � x0j �� :
Da desigualdade (1) concluímos que��xmj � x0j �� � kPm � P0k2 ; j = 1; 2; : : : ; n ,
donde, considerando " > 0, se pode concluir que, se a partir de uma certa ordem,
kPm � P0k2 < ";
então também ��xmj � x0j �� < ";
a partir da mesma ordem.
Por outro lado, da desigualdade (2), concluímos que, dado " > 0, arbitrário,
se ��xmj � x0j �� < "n; j = 1; 2; : : : ; n;
a partir de uma certa ordem mj , teremos
kPm � P0k2 < ";
a partir da ordem m0 = max fm1; : : : ;mng.
Exemplo 2.2 1. Pm =
�
1
m ;
m�1
m
� �! (0; 1) porque 1m �! 0 e m�1m �! 1:
(Figura 2.5)
2. Pm =
�
1
m2+m ;
m+3
2 m
�
diverge porque
�
m+3
2 m
�
diverge. (Figura 2.6)
29
Figura 2.5: Pm =
�
1
m ;
m�1
m
� �! (0; 1)
3. Pm =
�
1
m ; (�1)m
�
diverge porque ((�1)m) diverge. (Figura 2.7)
Proposição 2.4 Dadas as sucessões (Pm)m2IN, (Qm)m2IN de IR
n e (um)m2IN
de IR, tais que
lim
m�!+1Pm = P0; limm�!+1Qm = Q0 e limm�!+1um = a;
então veri…cam-se as seguintes propriedades:
1. lim
m�!+1 (Pm �Qm) = P0 �Q0:
2. lim
m�!+1 (umPm) = aP0 .
3. lim
m�!+1 kPmk = kP0k :
4. lim
m�!+1 (Pm j Qm) = (P0 j Q0) :
Prova. Sejam
Pm =
�
xmj
�T
; Qm =
�
ymj
�T
; P0 =
�
x0j
�T
; Q0 =
�
y0j
�T
; j = 1; 2; : : : ; n:
Utilizando os resultados conhecidos sobre limites de somas e de produtos de
sucessões de números reais., sabemos que, para cada j = 1; 2; : : : ; n, se veri…ca
lim
m�!+1x
m
j + y
m
j = x
0
j + y
0
j e lim
m�!+1umx
m
j = ax
0
j :
Pela proposição anterior, concluímos imediatamente as igualdades dos pontos
1. e 2..
30 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
Figura 2.6: Pm =
�
1
m2+m ;
m+3
2 m
�
diverge
A igualdade do ponto 3. demonstra-se facilmente utilizando o facto de
jkPmk � kP0kj � kPm � P0k (exercício).
Para provar a igualdade do ponto 4. temos de demonstrar que, dado " > 0,
9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) j(Pm j Qm)� (P0 j Q0)j < ": (2.1)
Ora,
j(Pm j Qm)� (P0 j Q0)j = j(Pm j Qm)� (P0 j Qm) + (P0 j Qm)� (P0 j Q0)j
� j(Pm � P0 j Qm)j+ j(P0 j Qm �Q0)j :
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz concluímos que
j(Pm j Qm)� (P0 j Q0)j � kPm � P0k kQmk+ kP0k kQm �Q0k : (2.2)
Atendendo a que a sucessão (kQmk)m2IN, sendo convergente, é limitada
(provar), temos que
9L > 0 : kQmk < L, 8m 2 IN :
Por outro lado, como
lim
m�!+1Pm = P0 e limm�!+1Qm = Q0
então, dado " > 0;
9m1 2 IN : 8m 2 IN m > m1 =) kPm � P0k < "
2L
31
Figura 2.7: Pm =
�
1
m ; (�1)m
�
divergee
9m2 2 IN : 8m 2 IN m > m2 =) kQm �Q0k < "
2 kP0k :
Retomando a desigualdade 2.2, concluímos que 2.1 veri…ca-se para
m0 = max fm1;m2g :
De…nição 2.3 Diz-se que A � IRn é um conjunto limitado se
9L > 0 : kPk < L; 8P 2 A.
Nota 2.2 A � IRn é um conjunto limitado se 9L > 0 : A � B (0; L).
Exemplo 2.3 1. A =
�
(x; y) 2 IR2 : 1 � x � 2 ^ x� 1 � y � x+ 1	[f(50; 50)g
é um conjunto limitado.
2. B =
�
(x; y) 2 IR2 : 1 � x � 2	 [ f(50; 50)g é um conjunto não limitado.
De…nição 2.4 Seja (Pm)m2N uma sucessão em IR
n. Diz-se que (Pm)m2N é
uma sucessão limitada se o conjunto dos seus termos for um conjunto limi-
tado, isto é,
9L > 0 : kPmk < L; 8m 2 IN :
Será que o conceito de sucessão limitada, em IRn, se poderá relacionar com
o conceito de sucessão limitada em IR, através do recurso às sucessões coorde-
nadas?
A imagem geométrica anterior motiva, naturalmente, a seguinte proposição:
32 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
Figura 2.8: A é um conjunto limitado; B é um conjunto não limitado
Proposição 2.5 Seja
(Pm)m2IN
uma sucessão em IRn, com
Pm = (x
m
1 ; x
m
2 ; x
m
3 ; : : : ; x
m
n ) :
Então (Pm)m2IN é limitada se e só se as sucessões coordenadas�
xmj
�
m2IN , j = 1; 2; : : : ; n
forem limitadas.
Prova.
1. Admitamos que (Pm) é limitada.
Notemos que
Pm =
nX
j=1
xmj ej , (2.3)
em que fe1; e2; : : : eng representa a base canónica de IRn.
Multiplicando escalarmente (2.3) por ei; i = 1; 2; : : : ; n, temos
(Pm j ei) =
0@ nX
j=1
xmj ej j ei
1A = xmi (ei j ei) = xmi . (2.4)
Utilizando agora a desigualdade de Cauchy-Schwarz, vem,
j(Pm j ei)j � kPmk keik = kPmk . (2.5)
33
Figura 2.9: (Pm) é limitada se e só se as suas sucessões coordenadas forem limitadas
De (2.4) e (2.5), concluímos que
jxmi j � kPmk ; i = 1; 2; : : : ; n ,
e, portanto,
9L > 0 : ��xmj �� < L;8m 2 IN ; j = 1; 2; : : : ; n:
2. Suponhamos agora que as sucessões�
xmj
�
m2IN ; j = 1; 2; : : : ; n
são limitadas.
Então
9Lj > 0 :
��xmj �� < Lj ;8m 2 IN; j = 1; 2; : : : ; n:
Aplicando norma à expressão (2.3), vem
kPmk �
nX
j=1
��xmj �� kejk = nX
j=1
��xmj ��
Logo, concluímos que
9L > 0 (sendo L =
nX
j=1
Lj) : kPmk < L; 8m 2 IN :
34 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
Recordemos o conceito de sucessão de Cauchy, emIR:
(un)n2IN é de Cauchy
se
8" > 0 9m0 2 IN : 8r; s 2 IN r; s > m0 =) jur � usj < "
o que se poderia traduzir em linguagem corrente por: “os termos estão ar-
bitrariamente próximos desde que as respectivas ordens sejam su…cientemente
grandes”.
Generalizemos este conceito a IRn.
De…nição 2.5 Seja (Pm)m2IN uma sucessão em IR
n. Diz-se que(Pm)m2IN é
uma sucessão de Cauchy se
8" > 0 9m0 2 IN : 8r; s 2 IN r; s > m0 =) kPr � Psk < ":
Proposição 2.6 Seja (Pm)m2IN uma sucessão em IR
n. Então (Pm)m2IN é uma
sucessão de Cauchy se e só se
�
xmj
�
m2IN , j = 1; 2; : : : ; n; forem sucessões de
Cauchy.
Prova.
1. Suponhamos que (Pm)m2IN é uma sucessão de Cauchy em IR
n.
Então, sendo " > 0, veri…ca-se que
9m0 2 IN : 8r; s 2 IN r; s > m0 =) kPr � Psk < " .
Mas, como ��xrj � xsj�� � kPr � Psk ,
podemos concluir que
9mj = m0 2 IN : 8r; s 2 IN r; s > mj =)
��xrj � xsj�� < "; j = 1; 2; : : : ; n:
2. Suponhamos agora que
�
xmj
�
m2IN , j = 1; 2; : : : ; n são de Cauchy.
Então, sendo " > 0,
9mj 2 IN : 8r; s 2 IN r; s > mj =)
��xrj � xsj�� < "pn; j = 1; 2; : : : ; n:
Como
kPr � Psk =
vuut nX
j=1
��xrj � xsj��2;
considerando m0 = max fm1;m2; : : : ;mng, vem, para r; s > m0,
kPr � Psk <
s
n
�
"p
n
�2
= ":
Logo (Pm)m2IN é uma sucessão de Cauchy.
35
Da proposição anterior e do facto de uma sucessão em IR ser convergente se
e só se for de Cauchy, decorre imediatamente o seguinte resultado:
Proposição 2.7 Seja (Pm)m2IN uma sucessão em IR
n. Então (Pm)m2IN é uma
sucessão de Cauchy se e só se (Pm)m2IN for convergente.
Recordemos, no conjunto dos números reais, o Teorema de Bolzano-Weierstrass,
teorema este que estabelece uma importante propriedade das sucessões limi-
tadas: “De toda a sucessão limitada, em IR, é possível extrair uma subsucessão
convergente”.
Através do recurso às sucessões coordenadas este resultado estende-se, nat-
uralmente, a IRn. A prova exige, no entanto, algum cuidado, pois uma general-
ização precipitada pode conduzir a um raciocínio erróneo, como ilustramos no
que se segue.
Consideremos uma sucessão limitada, (Pm)m2IN ; em IR
n. Então�
xmj
�
m2IN ; j = 1; 2; : : : ; n
são sucessões limitadas, pelo que podemos extrair, de cada uma destas sucessões,
uma subsucessão convergente, isto é,
9 (xm11 )m12IN � (xm1 )m2IN : xm11 �! x01,
9 (xm22 )m22IN � (xm2 )m2IN : xm22 �! x02,
:::
9 (xmnn )mn2IN � (xmn )m2IN : xmnn �! x0n.
Esquematicamente podemos representar estas subsucessões por
P1266664
x11
x12
...
x1n
377775
�
�
: : :
�
P2266664
x21
x22
...
x2n
377775
�
�
: : :
�
Pm266664
xm1
xm2
...
xmn
377775
�
�
: : :
�
�!
�!
: : :
�!
x01
x02
: : :
x0n.
em que se supõe que os elementos assinalados por pertencem às respectivas
subsucessões.
Tomando cada uma das subsucessões anteriores
�
x
mj
j
�
mj2IN , j = 1; 2; : : : ; n
como coordenadas de uma sucessão
�
Q
mj
j
�
mj2IN , de IR
n, construímos uma
sucessão convergente em IRn.
Por exemplo, suponhamos que
(xm11 ) =
�
x11 x
3
1 x
10
1 x
13
1 x
50
1 ...
�
,
(xm22 ) =
�
x42 x
20
2 x
50
2 x
100
2 x
201
2 ...
�
, ...
Então �
Qmj
�
=
0B@
264 x
1
1
x42
...
375 ,
264 x
3
1
x202
...
375 ,
264 x
10
1
x502
...
375 , :::
1CA
36 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
Mas
�
Qmj
�
mj2IN não é uma uma subsucessão de (Pm)m2IN e, portanto,
a demonstração apresentada não está correcta.
O erro do raciocínio anterior reside no facto de que, com as subsucessões
convergentes de cada uma das sucessões coordenadas, não formamos uma sub-
sucessão de (Pm)m2IN : Para corrigir o procedimento apresentado, as subsucessões
não podem ser extraídas em simultâneo.
Assim, retomando o exemplo anterior, em que
(xm11 ) =
�
x11 x
3
1 x
10
1 x
13
1 x
50
1 : : :
�
;
deveriamos considerar a subsucessão de (Pm) cuja primeira sucessão coordenada
é (xm11 ): 0BBBBB@
P126664
x11
x12
...
x1n
37775,
P326664
x31
x32
...
x3n
37775,
P1026664
x101
x102
...
x10n
37775,
P1326664
x131
x132
...
x13n
37775,
P5026664
x501
x502
...
x50n
37775, ...
1CCCCCA
Esta sucessão, sendo limitada, tem todas as sucessões coordenadas limitadas,
nomeadamente a sucessão das segundas coordenadas que, por sua vez, tem uma
subsucessão convergente, suponhamos
�
x102 x
50
2 : : :
�
.
Passemos novamente a IRn e consideremos a subsucessão de (Pm), (P10 P50 ...).
As sucessões das primeiras e segundas coordenadas desta subsucessão são
ambas convergentes e a sucessão das terceiras coordenadas é limitada ...
Apresentamos agora o teorema de Bolzano-Weierstrass em IRn, assim como
a sua prova.
Proposição 2.8 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) De toda a sucessão
limitada, em IRn, é possível extrair uma subsucessão convergente.
Prova. Seja (Pm)m2IN uma sucessão limitada em IR
n. Então
�
xmj
�
m2IN ,
j = 1; 2; : : : ; n são sucessões limitadas em IR.
Admitamos que n = 3.
Como (xm1 )m2IN é uma sucessão limitada, então podemos a…rmar que
9 (xr1)r2IN � (xm1 )m2IN : xr1 �! x01:
Consideremos então a sucessão (Pr)r2IN de IR
n, subsucessão de (Pm), cuja
primeira sucessão coordenada é (xr1)r2IN.
A sucessão (Pr) é limitada (pois (Pm) é limitada), donde as suas sucessões
coordenadas são limitadas e, portanto, (xr2)r2IN é limitada, logo,
9 (xs2)s2IN � (xr2)r2IN : xs2 �! x02:
37
Consideremos agora a sucessão (Ps)s2IN , subsucessão de (Pr)r2IN(logo também
subsucessão de (Pm)m2IN) cuja segunda coordenada é (x
s
2)s2IN e cuja primeira
coordenada é (xs1)s2IN.
Notemos que
xs1 �! x01 e xs2 �! x02:
A subsucessão (Ps)s2IN é limitada pelo que as suas sucessões coordenadas
são limitadas, em particular, (xs3)s2IN é uma sucessão limitada, logo,
9 �xt3�t2IN � (xs3)s2IN : xt3 �! x03:
Consideremos então a sucessão (Pt)t2IN , subsucessão de (Ps)s2IN (logo tam-
bém de (Pr) e de (Pm)) cuja terceira coordenada é (xt3)t2IN , a segunda coorde-
nada é (xt2)t2IN e a primeira coordenada é (x
t
1)t2IN.
Notemos que
xt1 �! x01, xt2 �! x02 e xt3 �! x03:
Logo (Pt)t2IN é uma subsucessão de (Pm) ; convergente para P0 =
�
x01; x
0
2; x
0
3
�
:
Como facilmente se veri…ca, este raciocínio poder-se-ia generalizar a IRn.
Recorrendo ao Teorema de Bolzano-Weierstrass vamos agora provar a proposição
sobre equivalência de normas, já referida anteriormente.
Proposição 2.9 Em IRn todas as normas são equivalentes.
Prova. Seja x 2 IRn e kxk1 =
nP
i=1
jxij. Para provar a proposição basta mostrar
que uma norma arbitrária em IRn, k�kp, é equivalente a k�k1, ou seja, mostrar
que
9c1; c2 > 0 : c1 kxk1 � kxkp � c2 kxk1 ;8x 2 IRn:
Sejam e1, e2, ... , en os vectores da base canónica de IR
n e x = x1e1 + :::+
xnen: Seja ainda b = max
n
ke1kp ; :::; kenkp
o
:
Então,
kxkp = kx1e1 + :::+ xnenk 6 jx1j ke1kp + :::+ jxnj kenkp 6 b kxk1 .
Logo, considerando c2 = b, veri…ca-se kxkp � c2 kxk1.
Mostremos agora que
9c1 > 0 : c1 kxk1 � kxkp ;8x 2 IRn:
Suponhamos, por absurdo, que
8c1 > 0 9x 2 IRn : c1 kxk1 > kxkp :
Então, para cada k 2 IN concluímos que
9xk 2 IRn : 1
k
kxkk1 > kxkkp : (2.6)
38 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
Consideremos agora a sucessão
(uk)k2IN tal que uk =
1
kxkk1
xk.
Veri…ca-se que kukk1 = 1;8k 2 IN e, portanto, a sucessão (uk)k2IN é limitada
em relação à norma k�k1. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass segue-se então
que (uk)k2IN possui uma subsucessão convergente, (ujk)k2IN, que converge para
u 2 IRn:
Além disso, veri…ca-se que
kuk1 = lim
k�!+1
kujkk1 = 1,
e, portanto, u 6= 0.
Por outro lado, retomando novamente a expressão uk = 1kxkk1xk, concluímos,
de (2.6), que
kukkp =
kxkkp
kxkk1
<
1
k
:
Considerando que
kukp 6 kujk � ukp + kujkkp 6 c2 kujk � uk1 +
1
jk
e tomando limites quando k �! 1, concluímos que kukp = 0, logo u = 0, o
que contradiz uma a…rmação anterior.
2.1 Fecho de um conjunto e convergência de sucessões
Relembremos que o fecho de um conjunto A, que se designa por A, é o
conjunto dos pontos aderentes a A, e que P0 2 A se
8r > 0 B (P0; r) \A 6= ?:
Tal como acontece em IR, também em IRn é possível caracterizar fecho de
um conjunto através de sucessões de elementos desse conjunto.
Proposição 2.10 Seja A � IRn. Então P0 2 A se e só se P0 for limite de uma
sucessão (Pm)m2IN de elementos de A tal que Pm
IRn�! P0.
Prova.
1. Suponhamos que existe uma sucessão de elementos de A, (Pm)m2IN , tal
que Pm �! P0: Provemos que P0 2 A.
Temos que Pm 2 A; 8m 2 IN e ainda que
8" > 0 9m0 2 IN : 8m 2 IN m > m0 =) Pm 2 B (P0; ") :
Logo,
8" > 0 B (P0; ") \A 6= ;;
e, portanto, P0 2 A.
2.1. FECHO DE UM CONJUNTO E CONVERGÊNCIA DE SUCESSÕES39
2. Suponhamos agora que P0 2 A e provemos que existe uma sucessão de
elementos de A, (Pm)m2IN, tal que Pm
IRn�! P0.
Se P0 2 A, então
8" > 0 B (P0; ") \A 6= ;:
Seja " = 1m , m 2 IN.
Então para m = 1,
B (P0; 1) \A 6= ;;
logo,
9P1 2 A : kP1 � P0k < 1:
Para m = 2,
B
�
P0;
1
2
�
\A 6= ;;
isto é,
9P2 2 A : kP2 � P0k < 1
2
:
Mais geralmente, qualquer que seja m,
B
�
P0;
1
m
�
\A 6= ;;
e, portanto,
9Pm 2 A : kPm � P0k < 1
m
:
Construímos, assim, uma sucessão de elementos de A, convergente para
P0, pois
8m 2 IN; 0 < kPm � P0k < 1
m
:
E como
lim
m�!1
1
m
= 0
também
lim
m�!1 kPm � P0k = 0:
Nota 2.3 Atendendo à última proposição, o conjunto A pode ser de…nido como
o conjunto cujos elementos são os limites das sucessões de elementos de A.
40 CAPÍTULO 2. SUCESSÕES EM IRN
2.2 Conjuntos Compactos em IRn
Em IRn de…ne-se conjunto compacto do modo seguinte:
De…nição 2.6 Seja A � IRn. Diz-se que A é compacto se for fechado e
limitado.
Também é válido o seguinte resultado, já conhecido da Análise Real:
Proposição 2.11 Sendo A � IRn, A é compacto se e só se de toda a sucessão
de elementos de A for possível extrair uma subsucessão convergente para um
elemento de A.
Prova.
1. Suponhamos que A é compacto, isto é, A é fechado e limitado. Seja (Pm)
uma sucessão de elementos de A.
Como A é limitado,
9L > 0 : kPmk < L; 8m 2 IN
Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe uma subsucessão (Pr), de
(Pm), tal que
Pr �! P0:
Temos apenas de provar que P0 2 A. Pela caracterização de fecho, feita
anteriormente, sabemos que P0 2 A e como A é fechado, A = A: Logo
P0 2 A:
2. Admitamos agora que de toda a sucessão de elementos de A é possível
extrair uma subsucessão convergente para um elemento de A.
Provemos que A é fechado, ou seja, que A � A.
Seja P0 2 A. Então existe uma sucessão de elementos de A, (Pm), tal que
Pm �! P0:
Mas, por hipótese, existe uma subsucessão (Pr) de (Pm) tal que (Pr)
converge para um elemento de A. Como este limite é P0, então P0 2 A:
Provemos agora que A é limitado. Suponhamos que A não é limitado, isto
é,
8L > 0 9P 2 A : kPk > L:
Seja P1 2 A e L = kP1k+ 1. Então
9P2 2 A : kP2k > kP1k+ 1:
Seja agora L = kP2k+ 1. Então
9P3 2 A : kP3k > kP2k+ 1:
2.2. CONJUNTOS COMPACTOS EM IRN 41
Considerando L = kPm�1k+ 1, concluímos que
9Pm 2 A : kPmk > kPm�1k+ 1:
Construímos, assim, uma sucessão de elementos de A, ilimitada, e tal que
toda a sua subsucessão é também ilimitada e, portanto, não convergente.