Análise Infinitesimal I - Conjuntos e Topologia

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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 6
75. Seja A ? B = {ab|a ∈ A e b ∈ B}, onde A e B sa˜o conjuntos limitados de nu´meros reais positivos.
Mostre que
supA ? B = (supA)(supB).
O que aconteceria no caso de A e B conterem nu´meros negativos?
76. Sejam f e g func¸o˜es reais definidas numa parte A de R.
(a) Se f ≤ g e se f e´ minorada , prove que
infx∈Af(x) ≤ infx∈Ag(x).
(b) Se f e´ majorada e −f e´ minorada, prove que
infx∈A(−f(x)) = −supx∈Af(x).
(c) Se f e g sa˜o majoradas, prove que f + g e´ majorada e que
supx∈A(f + g)(x) ≤ supx∈Af(x) + supx∈Ag(x).
(d) Se f e g sa˜o positivas e majoradas, prove que fg e´ majorada e que
supx∈A(fg)(x) ≤ (supx∈Af(x))(supx∈Ag(x)).
(e) Se f e´ majorada e k ∈ R, prove que
supx∈A(f(x) + k) = k + supx∈Af(x).
(f) Se f e´ majorada e λ > 0, prove que
supx∈Aλf(x) = λsupx∈Af(x).
(g) Fazendo hipo´teses convenientes, deduza expresso˜es semelhantes a`s das al´ıneas anteriores para inf
em vez de sup.
77. Desafio 3:
Um conjunto D ⊂ R diz-se denso em R se todo o intervalo aberto ]a, b[ conte´m um elemento de D.
Prove que Q e´ denso em R, isto e´, que se a, b sa˜o nu´meros reais tais que a < b, enta˜o existe um
nu´mero racional pq tal que a <
p
q < b.
A topologia da recta real
78. Se x0 ∈ R e � > 0, enta˜o
• o intervalo ]x0 − �, x0 + �[ diz-se uma �-vizinhanc¸a de x0.
• Se um conjunto S conte´m uma �-vizinhanc¸a de x0, enta˜o x0 e´ um ponto interior de S.
Nesse caso S diz-se uma vizinhanc¸a de x0.
• O conjunto dos pontos interiores de S e´ o interior de S, designado por intS.
• Se S = intS, enta˜o S e´ aberto.
• Um conjunto S e´ fechado se Sc e´ aberto.
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• x0 e´ um ponto exterior a S se x0 ∈ intSc.
O conjunto dos pontos exteriores diz-se o exterior de S, designado por extS.
(i) Determine o maior valor de � tal que S conte´m uma �-vizinhanc¸a de x0
(a) x0 =
3
4 , S = [
1
2 , 1[ (b) x0 = 5, S =]− 1,∞[ (c) x0 = 1, S =]−∞, 2[.
(ii) Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o abertos, fechados ou nem abertos nem fechados, e deter-
mine intS, extS e (intS)c.
(a) S =]− 1, 2[∩]3,+∞[ (b) S =]−∞, 1[∩]2,+∞[ (c) S = [−3,−2] ∩ [7, 8] (d) S = Z.
79. Prove que:
(a) Um intervalo ]a, b[ e´ um conjunto aberto.
(b) A unia˜o de dois abertos e´ aberta.
(c) A intersec¸a˜o de dois fechados e´ fechada.
(d) Um intervalo [a, b] e´ um conjunto fechado.
(e) Um intervalo ]a, b] na˜o e´ aberto nem fechado.
80. (a) Mostre que a intersecc¸a˜o de um nu´mero finito de abertos e´ um aberto.
(b) Com um exemplo, mostre que a intersecc¸a˜o de um nu´mero infinito de abertos pode na˜o ser um
aberto.
81. (a) Mostre que a unia˜o de um nu´mero finito de fechados e´ um fechado.
(b) Com um exemplo, mostre que a unia˜o de um nu´mero infinito de fechados pode na˜o ser um fechado.
82. Se S e´ um subconjunto de R, enta˜o
• x0 e´ um ponto de acumulac¸a˜o (ou ponto limite) de S se ∀� > 0, ]x0 − �, x0 + �[ \{x0} ∩ S 6= ∅.
O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de S chama-se derivado de S e designa-se por S
′
.
• x0 e´ um ponto fronteiro de S se ∀� > 0, ]x0 − �, x0 + �[∩S 6= ∅ ∧ ]x0 − �, x0 + �[∩Sc 6= ∅.
Ao conjunto dos pontos fronteiros de S chama-se fronteira de S, e designa-se por δS.
• Ao conjunto S = S ∪ δS chama-se fecho de S.
• x0 e´ um ponto isolado de S se x0 ∈ S e ∃� > 0 :]x0 − �, x0 + �[∩S = {x0}.
Seja S =]−∞,−1]∪]1, 2[∪{3}. Verifique que
(a) o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de S e´ ]−∞,−1] ∪ [1, 2];
(b) δS = {−1, 1, 2, 3};
(c) S =]−∞,−1] ∪ [1, 2] ∪ {3};
(d) 3 e´ o u´nico ponto isolado de S.
83. Determine o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o dos seguintes subconjuntos de R.
(a) Z (b){ 1n , n ∈ N} (c) Q (d) ]0, 1].
84. Seja A um subconjunto de R. Prove que, se α = supA e α 6∈ A, enta˜o α e´ ponto de acumulac¸a˜o de A.
85. Desafio 4:
Deˆ exemplo de um subconjunto de R:
(a) infinito sem pontos de acumulac¸a˜o;
(b) com exactamente um ponto de acumulac¸a˜o;
(c) numera´vel com um conjunto de pontos de acumulac¸a˜o na˜o numera´vel;
(d) com um conjunto de pontos de acumulac¸a˜o infinito numera´vel.
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