Limites e Teoremas de Análise Matemática

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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 7
(e) Demonstre (cfr. Lages Lima)
Theorem 1 (Bolzano-Weierstrass). Todo o subconjunto infinito limitado de R tem algum ponto de
acumulac¸a˜o.
CAP´ITULO II:Limites de func¸o˜es
78. Demonstre, usando a definic¸a˜o, que:
(a) lim
x→4
1
2(3x− 2) = 5 (b) limx→a k = k (c) limx→2x
2 = 4 (d) lim
x→9−
4
√
9− x = 0
(e) lim
x→0
1
x2
=∞ (f) lim
x→0+
lnx = −∞ (g) lim
x→+∞ e
x = +∞ .
79. Mostre que na˜o existem os seguintes limites:
(a) lim
x→3
|x−3|
9−x2 (b) limx→−∞ sinx (c) limx→0
sin 1x (d) limx→a f(x), f(x) =
{
0 se x ∈ Q
1 se x /∈ Q
80. Sejam f, g : X → R e a ∈ X ′ . Prove que
(a) Se existir lim
x→a f(x), enta˜o esse limite e´ u´nico.
(b) lim
x→a f(x) = L e´ equivalente a limx→a[f(x)− L] = 0.
(c) Se lim
x→a f(x) = 0 e |g(x)| ≤M para uma constante M e para todo o x 6= a, enta˜o limx→a f(x)g(x) = 0.
(d) Se lim
x→a f(x) = L, enta˜o limx→a |f(x)| = |L|.
(e) Se existe lim
x→a f(x), enta˜o f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, isto e´,
∃M > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X, |x− a| < δ ⇒ |f(x)| ≤M
81. Prove os seguintes teoremas:
Theorem 2. Sejam f, g : X → R e a ∈ X ′. Se lim
x→a f(x) = L1 e limx→a g(x) = L2, enta˜o
(i) lim
x→a(f + g)(x) = L1 + L2
(ii) lim
x→a(fg)(x) = L1L2
(iii) se L2 6= 0 e se ∀x ∈ X, g(x) 6= 0, enta˜o lim
x→a
f(x)
g(x) =
L1
L2
.
Theorem 3. Sejam f, g : X → R e a ∈ X ′.
(i) Se lim
x→a f(x) = L > 0, enta˜o existe δ > 0 tal que, se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ, enta˜o f(x) > 0.
(ii) Se f(x) ≤ g(x) para todo o x ∈ X \ {a}, lim
x→a f(x) = L1 e limx→a g(x) = L2, enta˜o L1 ≤ L2.
Theorem 4. Sejam f : X → R, Y ⊆ X, a um ponto de acumulac¸a˜o de Y e lim
x→a f(x) = L. A restric¸a˜o
de f a Y, g : Y → R, e´ tal que lim
y→a g(y) = L.
82. Sejam f : X → R e a ∈ X ′ . Verifique as seguintes propriedades envolvendo limites infinitos:
(a) Se lim
x→a f(x) =∞, este limite e´ u´nico.
(b) Se lim
x→a f(x) =∞(+∞,−∞), enta˜o a func¸a˜o f na˜o e´ limitada.
(c) Se lim
x→a f(x) =∞ e se limx→a g(x) = L, enta˜o:
1
i. lim
x→a(f(x)± g(x)) =∞;
ii. lim
x→a(f(x)g(x)) =∞ (L 6= 0);
iii. lim
x→a
g(x)
f(x) = 0.
(d) Se f, g : X → R, a ∈ X ′ , f(x) ≤ g(x), para todo o x ∈ X, e lim
x→a f(x) = +∞, enta˜o limx→a g(x) =
+∞.
(e) Se f : X → R, a ∈ X ′ , lim
x→a f(x) = +∞, g : Y → R e´ a restric¸a˜o de f a Y e a ∈ Y
′
enta˜o
lim
x→a g(x) = +∞.
83. Determine, se poss´ıvel, :
(a) lim
x→0
2+x sin 1
x
(x+3)2
(b) lim
x→∞
3x−2x
3x+1+2x−3 (c) limx→a
√
2x4−3
3√x2−1 (d) limx→+∞
sinx
x
(d) lim
x→∞(
√
x2 − 2−√x2 + 3) (e) lim
x→4
2−√x
x− 4 (f) limx→1
x2−7x+6
x3−x (g) limx→0+
(
sin(pix)
x
)x
(h) lim
x→0
1−cosx
x2
(i) lim
x→0
1
1+e
1
x
(j) lim
x→0
sin 1
x
(x+3)2
(l) lim
x→−∞ sinx
(m) lim
x→0
x2 sin 12x+1 (n)limx→0
|x|√
x4+4x2+7
84. Seja p um polino´mio real de grau n, isto e´, p(x) = anx
n + · · · + a1x + a0, com an, · · · , a1, a0 ∈ R e
an 6= 0. Estude lim
x→+∞ p(x) e limx→−∞ p(x).
85. Seja a ∈ X ′. Deˆ exemplos de func¸o˜es, f e g, definidas em X, para as quais na˜o existam lim
x→a f(x) nem
lim
x→a g(x) mas existam limx→a(f(x) + g(x)) e limx→a f(x)g(x).
86. Estude a existeˆncia de limite, nos pontos indicados, das func¸o˜es definidas por:
(a) f(x) = x+2+|x+2|
x2−4 , a = 2, a = −2 (b) f(x) = tanx, a = −pi2
(c) f(x) =
{
7+2
√
x
4
√
x
se x ≥ 1
−7+2√1−x
4
√
1−x se x < 1
, a = 1 (d) f(x) = [x]− x, a = 2; b = −72
87. ∗ Seja f uma func¸a˜o mono´tona em ]a, b[. Mostre que {c ∈]a, b[: lim
x→c−
f(x) 6= lim
x→c+
f(x)} e´ um conjunto
numera´vel.
88. Determine k ∈ R de forma a que a func¸a˜o definida por
f(x) =

1
kx−2 se x > 1
0 se x = 1
1
k2x−4 se x < 1
tenha, em a = 1:
(a) uma descontinuidade remov´ıvel;
(b) uma descontinuidade essencial de 1a espe´cie;
(c) uma descontinuidade essencial de 2a espe´cie.
89. Justifique a afirmac¸a˜o: x0 = 0 e´ uma descontinuidade remov´ıvel para f(x) = x sin
1
x , mas na˜o para
g(x) = sin 1x .
90. Prove o
Theorem 5. Se f e g sa˜o cont´ınuas em X ⊂ R, enta˜o f + g, f − g, e fg sa˜o cont´ınuas em X. Ainda,
f
g e´ contn´ua em cada x0 tal que g(x0) 6= 0.
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