Cálculo Diferencial - Sucessões e Derivadas

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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 9
110. Deˆ exemplos de sucesso˜es (xn)n∈N e (yn)n∈N, que tendam para +∞ e 0, respectivamente, e tais que:
(a) limxnyn =∞, sem ser +∞ e −∞;
(b) limn→∞ xnyn = a, sendo a um nu´mero real qualquer, previamente dado;
(c) (xnyn)n∈N e´ divergente mas limitada.
111. (a) Mostre que toda a sucessa˜o mono´tona e limitada e´ convergente;
(b) Prove que a sucessa˜o definida por x1 = 1, xn+1 = 3− 1xn e´ crescente e que xn < 3 para todo o n.
Conclua que (xn)n∈N e´ convergente e calcule o seu limite.
112. (a) Fibonacci colocou o seguinte problema - Considere uma populac¸a˜o de coelhos que se reproduz
segundo as regras:
• Cada par de coelhos produz um novo par a cada meˆs;
• os coelhos reproduzem-se a partir do segundo meˆs de idade;
• os coelhos na˜o morrem.
Supondo que comec¸a com um par de coelhos rece´m-nascido, quantos pares de coelhos possui no
n-e´simo meˆs? Mostre que a resposta e´ dada pela sucessa˜o de Fibonacci,
f1 = 1; f2 = 1; fn = fn−1 + fn−2, n ≥ 3.
(b) Seja an =
fn+1
fn
. Mostre que an−1 = 1 + 1an−2 . Deduza que (an) e´ convergente e verifique que o
seu limite e´ 1+
√
5
2 .
113. Demonstre
Teorema 1. (Crite´rio de convergeˆncia de Cauchy para func¸o˜es) Sejam f : X → R e a ∈ X ′.
As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) lim
x→a f(x) = L.
(b) ∀� > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X, 0 < |x− a| < δ ∧ 0 < |y − a| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < �.
114. Seja (xn)n∈N uma sucessa˜o de nu´meros reais e seja c ∈]0, 1[. Prove que
(a) Se para todo o n ∈ N se tem 0 <
∣∣∣xn+1xn ∣∣∣ ≤ c enta˜o limn→∞xn = 0.
(b) Se para todo o n ∈ N se tem |xn+2 − xn+1| ≤ c|xn+1 − xn| enta˜o (xn)n∈N e´ convergente.
(Sugesta˜o: provar que (xn) satisfaz o Crite´rio de Convergeˆncia de Cauchy).
115. Indique, justificando, quais das proposic¸o˜es seguintes sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas:
(a) Toda a sucessa˜o convergente e´ limitada.
(b) Toda a sucessa˜o limitada tem limite.
(c) Toda a sucessa˜o convergente e´ mono´tona.
(d) Para que uma sucessa˜o seja limitada basta que possua uma subsucessa˜o limitada.
(e) Se (xn)n∈N e´ limitada e (yn)n∈N converge para 0, enta˜o (xnyn)n∈N converge para 0.
(f) Se limn→∞ un ≤ 0, enta˜o tem-se un ≤ 0 a partir de uma certa ordem.
(g) Se uma sucessa˜o convergente e´ soma de duas sucesso˜es, enta˜o cada uma das sucesso˜es parcelas
tambe´m e´ convergente.
(h) Toda a sucessa˜o convergente e´ sucessa˜o de Cauchy.
(i) Toda a sucessa˜o superiormente ilimitada tende para +∞.
(j) Toda a sucessa˜o que tende para +∞ e´ crescente (a partir de uma certa ordem).
(k) Toda a sucessa˜o mono´tona e na˜o limitada inferiormente tende para −∞.
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Func¸o˜es diferencia´veis
116. Usando a definic¸a˜o, determine a func¸a˜o derivada das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = ax+ b, a, b ∈ R b) f(x) = (x− b)n, b ∈ R, n ∈ N c) f(x) = 1xn , n ∈ N
d) f(x) = cosx e) f(x) = sinx f) f(x) = ex.
117. Determine, caso exista, a derivada da func¸a˜o f no ponto dado:
a) f(x) = 3x2 − x, a = 1 b) f(x) = 1x−2 , a = 1
c)f(x) =
√|x|, a = 0 d)f(x) = { xsin 1x se x 6= 0
0 se x = 0
, a = 0
e)f(x) =
{
x2sin 1x se x 6= 0
0 se x = 0
, a = 0 f)f(x) =
{
(x− 1)3 se x ≤ 1
(x− 1)2 se x > 1 , a = 1
118. (a) Mostre que a tangente ao gra´fico de f(x) = 1x em (a,
1
a), a 6= 0, na˜o intersecta o gra´fico de f em
mais do que um ponto.
(b) Mostre que a tangente ao gra´fico de f(x) = 1
x2
em (a, 1
a2
), a 6= 0, intersecta o gra´fico de f em
mais do que um ponto.
119. Demonstre o Teorema 2: Se f, g : X → R sa˜o diferencia´veis em a ∈ X ∩X ′, enta˜o f+g, f-g, fg e fg
(se fg definida em X e g(a) 6= 0) sa˜o diferencia´veis em a, e tem-se:
1. (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a);
2. (fg)
′
(a) = f
′
(a)g(a) + f(a)g
′
(a);
3. (fg )
′
(a) = f
′
(a)g(a)−f(a)g′ (a)
(g(a))2
.
120. (a) Comprove as seguintes regras de derivac¸a˜o:
(i) (tanx)
′
= sec2 x (ii) (secx)
′
= secx tanx (iii) (cscx)
′
= − cscx cotx (iv) (cotx)′ = − csc2 x
(b) Deduza a expressa˜o das func¸o˜es derivadas das func¸o˜es hiperbo´licas.
121. (a) Determine as func¸o˜es derivadas de ordem n das func¸o˜es definidas por :
a)f(x) = xn−1|x| b)f(x) = (x− a)n(x− b)n.
Sugesta˜o: Demonstre por induc¸a˜o que (fg)(n) =
n∑
p=0
(
n
p
)
f (p)g(n−p).
(b) Verifique que a func¸a˜o f : R → R, definida por f(x) = |x|xn, e´ de classe Cn mas na˜o e´ de classe
Cn+1.
(c) Verifique que a func¸a˜o g : R→ R, definida por
g(x) =
{
e−
1
x2 se x 6= 0
0 se x = 0
e´ de classe C∞, sendo g(n)(0) = 0 para todo o n ∈ N.
122. ∗ Demonstre os seguintes teoremas:
Teorema da derivada da func¸a˜o composta : Sejam f : X → R, g : Y → R , f(X) ⊂ Y, a ∈
X ∩ X ′, e b = f(a) ∈ Y ∩ Y ′. Se g e´ diferencia´vel em b e f e´ diferencia´vel em a, enta˜o g ◦ f e´
diferencia´vel em a e
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))(f ′(a).
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