2014.2 3EE (Turmas S's)

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Universidade Federal de Pernambuco
3a Avaliação de Álgebra Linear
30 de janeiro de 2015
Aluno: Turma:
As respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.
Questão 1
Considere o produto interno para P2 dado por
< a1 + b1x+ c1x
2, a2 + b2x+ c2x
2 >= 2a1a2 + 3b1b2 + c1c2
a) (0,5) Calcule a norma de p(x) = 1 + x+ 2x2.
b) (0,5) Verifique se a base β = {1 + x, x2, 1− x} é ortogonal.
Questão 2
(1,5) Seja W = [(1, 1)] um subespaço gerado do R2. Determine os operadores projeção orto-
gonal e reflexão (PW (x, y) e RW (x, y), respectivamente) na direção de W.
Questão 3
Considere o espaçoM2x2 com o seu produto interno usual〈[
a1 b1
c1 d1
]
,
[
a2 b2
c2 d2
]〉
= a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2
SejaW =
[[
1 1
0 1
]
,
[
0 −1
1 −1
]]
um subespaço gerado deM2x2.
a) (1,0) Determine uma base para o complemento ortogonal deW , isto é, paraW⊥.
b) (0,5) Determine o ângulo θ entre as matrizes w1 =
[
1 2
3 4
]
e w2 =
[
4 3
2 1
]
.
c) (1,0) Determine uma base ortogonal paraW a partir dos vetores geradores dados.
Questão 4
Em R3, considere o produto interno usual e o operador linear dado por
T (x, y, z) =
(
3x− 4z
5
, y,
4x+ 3z
5
)
a) (1,0) T é um operador auto-adjunto?
b) (1,0) T é um operador ortogonal?
Questão 5
(3,0) Determine a equação reduzida e classifique a quádrica dada pela equação
2x2 + 2y2 − z2 − 6xy +√2x−√2y + 1
5
= 0
1