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1 Lista de Exercícios para o Teste 2 Exercícios sobre vetores e suas coordenadas 1) Considere o vetor v=(2,3) e as seguintes bases do plano: . Escreva as coordenadas do vetor v nessas bases. 2) Considere as bases acima. Se , calcule . 3)Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau 2. Quais as coordenadas do vetor Exercícios sobre Transformações Lineares e suas matrizes 4)Um prédio retangular definido pelos vetores (2,1) e (-1,2) deve ser girado de 45 graus no sentido anti- horário. Calcule os novos vetores utilizando a linearidade da rotação. 5)Seja p um polinomio de grau 2 e T a transformação que leva p em sua integral definida no intervalo (0,1). Escreva a matriz de T utilizando as bases 6)Considere a transformação linear T que leva um polinomio de primeiro grau em sua integral indefinida no subespaço dos polinomios de grau 2 gerado por . Escreva a matriz de T. 7)Seja T uma transformação do plano no plano e considere as bases . Dado que 2 . Dado que calcule . 8) Seja T uma transformação linear tal que T(1,0) = (1,0) e T(0,1) = (0,0.5). Calcule . Exercícios sobre Transformações Lineares e seus autovetores 9)a)Uma transformação linear projeta ortogonalmente qualquer vetor na reta t(1,1) e depois duplica o tamanho do vetor projetado. Encontre seus autovalores e autovetores. b)Faça o mesmo de acima, considerando agora que a projeção na reta t(1,1) é feita obliquamente na direção do vetor (1,0). 10)Calcule os autovetores e autovalores de uma transformação que gira vetores de um ângulo teta em torno do eixo (1,1,1) e os projeta ortogonalmente no mesmo eixo. 11) T é uma transformação que reflete vetores do pelo plano x-y: T(x,y,z,w) = (x,y,-z,-w). Calcule seus autovalores e autovetores. 12) Encontre um autovetor para as transformações abaixo, sem fazer contas, apenas escrevendo suas matrizes: A)T(x,y) = (2x+3y,3y) B) T(x,y,z) = (x+2z,3x+4y,5x+6z) 13)Calcule os autovalores e autovetores, se houver algum, da transformação: A) B) 14) Seja uma transformação linear. Atribua 3 14) Seja uma transformação linear. Atribua V ou F às proposições abaixo: A)T tem no máximo n autovetores L.I. B)T tem no mínimo n autovetores L.I. C)T tem no máximo n autovalores distintos D)T tem no mínimo n autovalores distintos 15) Seja uma transformação linear. Responda e dê exemplos: O conjunto de autovetores de T pode ser: A) Vazio? B) Todo o plano? C) Unidimensional? D) Duas retas? 16)Escreva uma matriz 2x2, não-diagonal, que possui os seguintes espectros: A){1,0} B){1,2} C){1,-1} D){2} 17) Considere a transformação linear do plano no plano que leva o vetor (1,2) no vetor (2,4) e que mantém parado o vetor (-1,2). Escreva a matriz de T na base canonica. 18)Seja T(x,y) = (y,x). Calcule , onde k é um número natural 19)Seja T(x,y) = (-y,x). T possui autovetores? 20)Calcule o centésimo número da sequência de Fibonacci. 21)Seja A uma matriz tal que suas colunas são LD. Calcule um autovalor para A. Justifique. 22)Seja A uma matriz e v um vetor tal que quando aplicamos A em v duas vezes seguidas, obtemos o próprio vetor v como resposta. Quais são os autovalores de A? 23) Seja A uma matriz 2x2. Cheque que a soma dos elementos da diagonal de A (o traço de A) é igual à soma dos autovalores de A. Cheque também que o produto 4 soma dos autovalores de A. Cheque também que o produto dos autovalores é igual ao determinante de A. 24) Uma matriz de Markov é aquela em que todos os elementos são não-negativos e a soma dos elementos de qualquer coluna é igual a 1. Seja A uma matriz de Markov 2x2, assinale as respostas corretas: A) 1 é sempre autovalor de A B) O vetor (1,1) é sempre autovetor de A C) O vetor (1,-1) é sempre autovetor de A D) Det(A) é sempre maior que 1 E) Traço(A) é sempre maior que 1 F) Se a soma dos elementos do vetor v é igual a 1, então o mesmo ocorre para Av. 25)Suponha que numa hipotética eleição, a cada dia, o candidato A perde 40% de seus votos para o candidato B; e o candidato B perde 50% de seus votos para o candidato A. No primeiro dia, o candidato A possui 43% do total dos votos e o candidato B possui 57%. Como ficará a distribuição de votos no décimo dia? E no centésimo? 26) Suponha que na atual eleição presidencial, Dilma perde diariamente 12% de seus votos para Marina e 8% para Aécio. Marina perde 14% de seus votos para Dilma e 6% para Aécio. Aécio perde 15% de seus votos para Dilma e 18% para Marina. Qual será o resultado final se a eleição ocorre em 20 dias? 27) Sejam A e B matrizes 3x3 tal que A é triangular superior e B é triangular inferior. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo: I)(1,0,0) é um autovetor de A II)(0,0,1) é um autovetor de B 28) Escreva uma matriz A 2x2, sem nenhum elemento nulo, onde: A) A tenha autovalores iguais B) A tenha apenas um autoespaço de dimensão 1 C) A não possua autovetores e o determinante de A 5 C) A não possua autovetores e o determinante de A seja diferente de 1 D) 29) Sejam a e b números positivos. Mostre que se são autovalores de , então são autovetores de A. Exercícios sobre Transformações Lineares e seus Núcleo e Imagem 30) Seja um conjunto linearmente independente e T uma transformação linear tal que . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo: I) II) 31) Seja A uma matriz qualquer e R a sua forma escalonada. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo: I) Dimensão da imagem de A é igual à dimensão da imagem de R II) A imagem de A é igual à imagem de R 32) Defina uma transformação linear que não seja injetiva, mas que seja sobrejetiva. 33) Sejam . A imagem inversa de um vetor é o conjunto .Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo: 6 I) A imagem inversa de é um espaço vetorial. II) Se a dimensão do núcleo de A é 2, então a imagem inversa de é sempre um plano. 34) Considere um sistema linear Ax=b, onde A é mxn, m=n-1. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo: I) Se o núcleo de A é uma reta, então o sistema sempre tem solução. II) Se o núcleo de A é um plano, então o sistema sempre tem solução.
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