Lista 1 sequencia e series

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Professora: Daniele Freitas
Disciplina: Ca´lculo II
Conteu´do: Sequeˆncias e Se´ries
1a Lista
1. Use a Definic¸a˜o 1 vista em aula para mostrar que as sequeˆncias abaixo tem limite L:
a)
{
3
n− 1
}
, L = 0;
b)
{
4
2n− 1
}
, L = 0;
c)
{
8n
2n+ 3
}
, L = 4;
d)
{
2n2
5n2 + 1
}
, L = 25
2. Liste os cinco primeiros termos das sequeˆncias abaixo:
a) an = 1− (0, 2)n;
b) an =
3(−1)n
n!
;
c) a1 = 4, an+1 =
an
an − 1;
d) 2 · 4 · 6 · · · · · (2n).
3. Encontre uma fo´rmula para o termo geral an das sequeˆncias abaixo, assumindo que o padra˜o
dos primeiros termos continue.
a)
{
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, ...
}
;
b) {2, 7, 12, 17, ...};
c)
{
1,
−2
3
,
4
9
,
−8
27
, ...
}
;
d)
{
1
2
,
1
4
,
1
6
,
1
8
, ...
}
;
1
e)
{−1
4
,
2
9
,
−3
16
,
4
25
, ...
}
.
4. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a) an =
3 + 5n2
n+ n2
;
b) an =
2n
3(n+ 1)
;
c) an = cos(n/2);
d) an =
n+ 1
3n− 1;
e) an =
√
n
1 +
√
n
;
f) an =
ln(n)
ln(2n)
;
g) an = ln(n+ 1)− ln(n);
h) an =
sen(2n)
1 +
√
n
;
i) an =
n+ (−1)n
n
;
j) an =
(−1)n+1
2n− 1 ;
k) an = sen
(
pi
2
+
1
n
)
;
l) an =
(
3
n
) 1
n
;
m) an =
(
1− 1
n
)n
;
n) an =
(
1
3
)n
+
1√
2n
;
o) an =
sen(n)
n
.
5. Determine se a sequeˆncia dada e´ crescente, decrescente ou na˜o-mono´tona. A sequeˆncia e´
limitada?
a) an =
1
5n
;
b) an =
1
2n+ 3
;
c) an = cos(npi/2);
d) an =
2n− 3
3n+ 4
;
e) an = ne
−n.
2
6. Mostre que as sequeˆncias
{
n2
n− 3
}
e
{
n2
n+ 4
}
divergem, pore´m, a sequeˆncia
{
n2
n− 3 −
n2
n+ 4
}
e´ convergente.
7. Suponha que voceˆ saiba que {an} e´ uma sequeˆncia decrescente e que todos os seus termos
esta˜o entre 5 e 8. Explique por que a sequeˆncia {an} e´ convergente.
8. Sabemos da teoria vista em sala que toda sequeˆncia mono´tona e limitada e´ convergente,
pore´m, se tirarmos a hipo´tese da sequeˆncia ser mono´tona ou limitada a sequeˆncia pode na˜o
ser convergente.
a) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o que seja limitada, mas na˜o seja convergente;
b) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o que seja mono´tona, mas na˜o seja convergente.
9. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
a) 3 + 2 +
4
3
+
8
9
+ ...;
b) −2 + 5
2
− 25
8
+
125
32
− ...;
c)
∞∑
n=1
5
(
2
3
)n−1
;
d)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
;
e)
∞∑
n=1
(pi)n
3n+1
;
f)
∞∑
n=2
2
n2 − 1;
g)
∞∑
n=1
n
n+ 5
;
h)
∞∑
n=1
en
3n−1
.
10. Encontre os valores de x para os quais a se´rie converge. Calcule a soma da se´rie para aqueles
valores de x.
a)
∞∑
n=1
xn
3n
;
b)
∞∑
n=1
cosn(x)
2n
;
c)
∞∑
n=1
(x+ 3)n
2n
.
3
11. Determine se as seguintes Integrais Impro´prias sa˜o convergentes ou divergentes.
a)
∫ ∞
1
1
(3x+ 1)2
dx;
b)
∫ 0
−∞
1
2x− 5dx;
c)
∫ ∞
0
x
(x2 + 2)2
dx;
d)
∫ −1
−∞
e−2xdx;
e)
∫ ∞
−∞
x
1 + x2
dx;
f)
∫ 3
0
1√
x
dx;
g)
∫ 9
1
1
3
√
x− 9dx;
h)
∫ pi
0
secxdx;
12. Use o Teste da Integral para determinar se a se´rie e´ convergente ou divergente.
a)
∞∑
n=1
1
n4
;
b)
∞∑
n=1
1
3n+ 1
;
c)
∞∑
n=1
1
4
√
n
;
d)
∞∑
n=1
e−n;
e)
∞∑
n=1
ne−n
2
;
f)
∞∑
n=1
3n+ 2
n(n+ 1)
;
g)
∞∑
n=1
lnn
n2
;
h)
∞∑
n=1
n
n4 + 1
.
13. Encontre os valores de p para os quais a se´rie e´ convergente.
4
a)
∞∑
n=1
1
n(lnn)p
;
b)
∞∑
n=1
lnn
np
.
14. Suponha que
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn sejam se´ries com termos positivos e
∞∑
n=1
bn seja convergente.
a) Se an > bn para todo n, o que voceˆ pode dizer sobre
∞∑
n=1
an?
b) Se an < bn para todo n, o que voceˆ pode dizer sobre
∞∑
n=1
an?
15. Suponha que
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn sejam se´ries com termos positivos e
∞∑
n=1
bn seja divergente.
a) Se an > bn para todo n, o que voceˆ pode dizer sobre
∞∑
n=1
an?
b) Se an < bn para todo n, o que voceˆ pode dizer sobre
∞∑
n=1
an?
16. Usando o Teste da Comparac¸a˜o ou o Teste da Comparac¸a˜o por Limites, determine se as se´ries
abaixo convergem ou divergem.
a)
∞∑
n=1
1
n2 + n+ 1
;
b)
∞∑
n=1
5
2 + 3n
;
c)
∞∑
n=1
n+ 1
n2
;
d)
∞∑
n=1
n2 + 1
n3 − 1;
e)
∞∑
n=1
2
n3 + 4
;
f)
∞∑
n=1
4 + 3n
2n
;
g)
∞∑
n=1
n− 1
n4n
;
5
h)
∞∑
n=1
2n
1 + 3n
;
i)
∞∑
n=1
1
1 +
√
n
;
j)
∞∑
n=2
√
n
n− 1.
17. Teste a se´rie para convergeˆncia ou divergeˆncia.
a)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
;
b)
∞∑
n=1
(−1)n3n− 1
2n+ 1
;
c)
∞∑
n=1
(−1)n+1n2
n3 + 4
;
d)
∞∑
n=2
(−1)nn
lnn
;
e)
∞∑
n=1
(−1)n−1
3n− 1 ;
f)
∞∑
n=1
(−1)n2n
4n2 + 1
;
g)
∞∑
n=1
(−1)n−1e 1n
n
;
h)
∞∑
n=1
(−1)n−1 lnn
n
.
18. Determine se a se´rie e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diver-
gente.
a)
∞∑
n=1
n2
2n
;
b)
∞∑
n=0
(−10)n
n!
;
c)
∞∑
n=1
(−1)n n
5 + n
;
d)
∞∑
n=1
(−1)n
n4
;
6
e)
∞∑
n=1
e−nn!;
f)
∞∑
n=1
1
(2n)!
;
g))
∞∑
n=1
sen(4n)
4n
;
h)
∞∑
n=1
n!
nn
;
i)
∞∑
n=2
(−1)n
(lnn)n
;
j)
∞∑
n=1
(−1)n
(arctg(n))n
.
19. Encontre o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia das seguintes se´ries.
a)
∞∑
n=1
xn√
n
;
b)
∞∑
n=0
xn
n!
;
c)
∞∑
n=2
(−1)n x
n
4n lnn
;
d)
∞∑
n=1
(x− 2)n
nn
;
e)
∞∑
n=0
(−1)nxn
n+ 1
;
f)
∞∑
n=1
√
nxn.
20. Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para as seguintes func¸o˜es e determine o
intervalo de convergeˆncia.
a) f(x) =
1
1 + x
;
b) f(x) =
1
1− x3 ;
c) f(x) =
3
1− x4 ;
d) f(x) =
1
1 + 9x2
;
d) f(x) =
x
1 + 4x
.
7
21. Encontre a se´rie de Maclaurin para f(x) usando a definic¸a˜o de uma se´rie de Maclaurin.
Encontre o raio de convergeˆncia da se´rie.
a) f(x) = cos(x);
b) f(x) = sen(x);
c) f(x) = xex;
d) f(x) = e5x;
e) f(x) = ln(1 + x).
22. Encontre a se´rie de Taylor para f(x) centrada em a.
a) f(x) = 1 + x+ x2, com a = 2;
b) f(x) = x3, com a = −1;
c) f(x) = ex, com a = 3;
d) f(x) = lnx, com a = 2.
8