AD1 Questão 3 2018 2 Gabarito Métodos Determinísticos I

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 3 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 3 (2,5 pontos) Considerando uma implicac¸a˜o
p⇒ q,
sua contrapositiva e´ a implicac¸a˜o
∼ q⇒∼ p.
Um fato muito importante e´ que uma implicac¸a˜o e sua contrapositiva sa˜o equivalentes, ou seja, a
implicac¸a˜o e´ verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva tambe´m e´. Vejamos um exemplo:
Se Joa˜o pagou no carta˜o, enta˜o o pagamento foi recebido.
Veja, implicac¸a˜o diz que o fato de Joa˜o ter feito o pagamento no carta˜o implicara´ que o pagamento
foi recebido. Assim, a u´nica forma de o pagamento na˜o ter sido recebido e´ Joa˜o na˜o ter feito o
pagamento no carta˜o. Ou seja,
Se o pagamento na˜o foi recebido, enta˜o Joa˜o na˜o pagou no carta˜o.
Se denotarmos: p : ”Joa˜o pagou no carta˜o”, e q : ”o pagamento foi recebido”, a implicac¸a˜o ”se Joa˜o
pagou no carta˜o, enta˜o o pagamento foi recebido”pode ser escrita como p⇒ q, e a implicac¸a˜o ”se o
pagamento na˜o foi recebido, enta˜o Joa˜o na˜o pagou no carta˜o”sera´ sua contrapositiva, representada
por ∼ q ⇒∼ p.
A partir da´ı, resolva os itens abaixo:
Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questa˜o de Matema´tica:
(1) Eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma lista de exerc´ıcios, se, e somente
se, aprendi a resolver a questa˜o ou decorei a soluc¸a˜o da questa˜o.
(2) Por outro lado, se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o certamente eu me dediquei a resolver
a questa˜o quando eu a vi em uma lista de exerc´ıcios
(3) Se eu aprendi a resolver a questa˜o, enta˜o acertei integralmente uma questa˜o semelhante posterior.
(4) Se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o acertei pelo menos metade de uma questa˜o semelhante
posterior.
(5) Se acertei integralmente uma questa˜o semelhante posterior, enta˜o, obviamente, acertei
pelo menos metade de uma questa˜o semelhante posterior.
Denote as proposic¸o˜es das sentenc¸as anteriores da seguinte forma:
m : eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma lista de exerc´ıcios
a : aprendi a resolver a questa˜o
d : decorei a soluc¸a˜o da questa˜o
i : acertei integralmente uma semelhante posterior
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – 2018-2 2
p : acertei pelo menos metade de uma semelhante posterior
(a) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribu´ıdas acima a cada sentenc¸a
(m, a, d, i, p) e os s´ımbolos da lo´gica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
(b) Se na˜o acertei pelo menos metade de uma questa˜o semelhante posterior, baseado nas premissas
dadas, e´ verdadeiro ou falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma
lista de exerc´ıcios?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para
cada questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o.
(c) Se acertei integralmente uma questa˜o semelhante posterior, baseado nas premissas dadas, pode-
se afirmar que eu aprendi a resolver a questa˜o?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para
cada questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
(a) Temos
(1) m⇔ a ∨ d
(2) d⇒ m
(3) a⇒ i
(4) d⇒ p
(5) i⇒ p.
(b) Partindo da premissa de que na˜o acertei pelo menos metade de uma questa˜o semelhante
posterior, temos que p e´ falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d e´ falsa. Pela premissa
(5), temos tambe´m que i e´ falsa, logo por (3), a e´ falsa.
Ate´ aqui, conclu´ımos que a e d sa˜o falsas, logo a∨d e´ falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se
que m e´ falsa.
Assim, e´ falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi em uma lista de
exerc´ıcios.
(c) Na˜o se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposic¸o˜es i e p, e todas as demais falsas. Isto
na˜o tornara´ falsas as premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇔ F ∨ F
(2) F ⇒ F
(3) F ⇒ V
(4) F ⇒ V
(5) V ⇒ V ,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – 2018-2 3
que sa˜o implicac¸o˜es va´lidas (o que na˜o seria va´lido seria V ⇒ F ).
Por outro lado, podem todas as proposic¸o˜es serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam
sendo respeitadas, pois
(1) V ⇔ V ∨ V
(2) V ⇒ V
(3) V ⇒ V
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ V .
Assim, e´ poss´ıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a e´ verdadeira como em casos em que
a e´ falsa.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ