2014IMAF141ProvaIIT2

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Universidade Federal de Vic¸osa
Instituto de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
MAF 141 - Segunda Prova - 2014 I
Nome: Matr´ıcula:
1. Calcule as derivadas e simplifique quando poss´ıvel.
(a) (6 pontos)
d
dz
[(z2+cos z)(2z−sen z)] (b) (8 pontos)
(
cotg2(2x)
1 + x2
)′
(c) (8 pontos) [ln( 5
√
3x+ 8 )]′ (d) (8 pontos)
(
f(x)g(x)
)′
2. (a) (6 pontos) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um c´ırculo, tal que se
r cm for o raio e A cm2 for a a´rea da queimadura, enta˜o A = pir2. Use a diferencial para
encontrar o decre´scimo aproximado da a´rea da queimadura quando o raio passa de 1 para
0, 8 cm.
(b) (14 pontos) Prove que, sendo f e g func¸o˜es deriva´veis, (f · g)′ = f ′ · g + f · g′.
2
3. (a) (10 pontos) Suponha que a equac¸a˜o
x
y
+ ey = −x · y + y
defina implicitamente y = f(x), func¸a˜o deriva´vel, e determine dydx em func¸a˜o de x e y.
(b) (14 pontos) Mostre que y = exsenx+ cos x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y · senx+ y′ · cos x− 1
2
y′′ sec x = exsenx cos x+
1
2
.
3
4. Calcule os limites pela regra de L’Hoˆspital.
(a) (10 pontos) lim
x→pi/2
ln(senx)
(pi − 2x)2 . (b) (16 pontos) limx→0 (1 + ax)
1/bx
4