Prova 1 - MAT 141 - 2012-I

Prévia do material em texto

UFV - Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
1a Prova de MAT 141 - Cálculo Diferencial e Integral I
Data 2/04/2012
Nome: Matŕıcula:
1a Questão (40 pontos) Cada item vale 10 pontos, escolha 4 dos 5 limites para resolver.
a) (10 pontos) lim
x→−1
x2 − 1
x3 + 3x2 + 3x + 1
b) (10 pontos) lim
x→−1
3
√
x + 2− 1
x + 1
c) (10 pontos) lim
x→+∞
(2x−
√
4x2 + 2x) d) (10 pontos) lim
x→+∞
(
x + 3
x + 2
)3x+2
e) (10 pontos) lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
, se f(x) = sec(x).
2a Questão (20 pontos) a) (10 pontos) Sabendo que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a, onde a > 0, mostre
que lim
x→2
x3x−2 − x
4x− 8
=
ln 3
2
.
b) (10 pontos) Se
f(x) =
{ a
x− 3
, se x ≥ 1 e x 6= 3
2a− x, se x < 1
e g(x) =
{
3x, se x ≤ −1
3x + 5, se x > −1 ,
determine a função composta f (g(x)) e encontre o valor de a, de forma que tal função seja cont́ınua
nos reais, com excessão de −2/3. Determinado o valor de a, esboce o gráfico da função composta
e determine sua imagem.
3a Questão (20 pontos) Diga se cada uma das afirmativas dadas abaixo é verdadeira ou falsa.
Justifique sua resposta.
a) (10 pontos) Se |f(x)− f(1)| ≤ g(x) tal que g(x) =
{
x− 1, se x > 1
3 lnx, se x < 1
, então conclúımos que
f é cont́ınua em 1.
b) (10 pontos) A única asśıntota horizontal do gráfico de f(x) =
√
4x2 + 1
2x− 4
é a reta y = 1.
4a Questão (10 pontos) Escolha um dos itens abaixo para resolver.
item 1 - a) Se |x− 3| < 1
2
, mostre que
1
|x− 2|
< 2.
b) Usando o item a), mostre usando a definição de limite, que lim
x→3
1
x− 2
= 1.
item 2 - a) Se |x + 1| < 1, mostre que |x− 3| < 5.
b) Usando o item a), mostre usando a definição de limite, que lim
x→−1
(x2 − 2x + 3) = 6.
1