Eletromagnetismo - Capacitância e dielétricos

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Prof. Dr. Danilo Roque H.
e-mail: droqueh@unifei.edu.br
Física Geral III
Capacitância e Dielétricos
https://sites.google.com/site/droqueh/
 
Física geral III (Fis403)
● Conteúdo 
– Capacitor e Capacitância: definição, unidades, símbolos, código de cores
– Carga de um capacitor
– Calculo da capacitância: campo elétrico, diferença de potencial
● Capacitor de placas paralelas, capacitor cilíndrico e capacitor esférico.
– Arranjo de capacitores: em serie e paralelo. 
– Dielétricos: definição, uma visão atômica, modelo molecular da carga induzida.
– Dielétricos e a lei de Gauss
● Bibliografia 
- Elementos de eletromagnetismo, 5a edição, 2012. Matthew N. O. Sadiku
- Electromagnetismo, 8a edição, 2013. William H. Hayt Jr, and John A. Buck
- Fundamentos de Física 3: eletromagnetismo, LTC: RESNICK, R; HALLIDAY, D.
- Física: Eletricidade, Magnetismo e Tópicos de Física Moderna, L.T.C: SEARS, F. W; 
ZEMANSKY, M. W. 
 
Capacitância e capacitores
● Capacitor: é composto por dois condutores 
isolados entre si e do ambiente, seja qual for a 
forma desses condutores. 
● Quando carregados, os dos dois condutores ou 
placas tem carga Q e são de sinais opostos. 
● A carga neta é zero. 
● Todos os pontos da placa de um capacitor tem o 
mesmo potencial elétrico: são superfícies 
equipotenciais. 
● O campo elétrico entre os condutores é 
proporcional à carga dos condutores. 
● A carga e a diferença de potencial Vab = V de um 
capacitor são proporcionais. 
● Define-se capacitância como
●
W ab=mg ( y a−y b)
W ab=−ΔU
U=mgy
V αQ
C=Q
V
+Q −QP
 
Capacitância e capacitores
● Capacitor: é composto por dois condutores 
isolados entre si e do ambiente, seja qual for a 
forma desses condutores. 
● Quando carregados, os dos dois condutores ou 
placas tem carga Q e são de sinais opostos. 
● A carga neta é zero. 
● Todos os pontos da placa de um capacitor tem o 
mesmo potencial elétrico: são superfícies 
equipotenciais. 
● O campo elétrico entre os condutores é 
proporcional à carga dos condutores. 
● A carga e a diferença de potencial Vab = V de um 
capacitor são proporcionais. 
● Define-se capacitância como
●
C= 1
∫ dlε0 A
V αQ
C=Q
V
+Q −QP
V=Q∫ dlε0 A
 
Alguns exemplo 
● Microeletrônica: Transistor de efeito campo
 
Dielétricos: o que são?
● Eletroquímica: Camada de Helmholtz
 
Capacitância e capacitores: tipos
● Quanto maior é capacitância do capacitor, 
maior a magnitude de Q no condutor a 
determinada diferença de potencial.
C= 1
∫ dlε0 A
● simbolo
● Unidades:
Farad (F) = coulumb/voltios = C/V
● Comumente usam-se:
● Microfarad =F = 10-6 F
● Nanofarad = nF = 10-9 F
capacitor Capacitor eletrolítico
Capacitor variável
Capacitor eletrolítico
Capacitor ajustável
 
Capacitor de placas paralelas
E= Q
ε0 A
V=Ed= Q
ε0 A
d
V=−∫
−.
+.
E⃗⋅d l⃗
C=Q
V
=
ε0 A
d
Placa a, área A
Placa b, área A
Diferença 
de 
potencial 
V=Vab
Fio condutor
Fio condutor
Quando a separação das placas é muito 
pequena em relação ao tamanho das 
placas podemos desconsiderar os efeitos 
das bordas
+ + + + + + + + + + + + + + + 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
d
V=V + .−V −.
 
Capacitor cilíndrico
E= Q
2 πε0 r L
V=−∫
a
b
E⃗⋅d l⃗
C=Q
V
=
2πε0 L
ln ( ca )
L
a
b
c
V= Q
2πε0 L
ln( c
a
)
 
Capacitor esférico
E= Q
4 πε0 r
2
V=−∫
a
b
E⃗⋅d l⃗
C=Q
V
=4π ε0
ab
(b−a)
V= Q
2πε0 (
1
a
− 1
b )
Superfície externa, carga +Q
Superfície interna, carga -Q
Superfície gaussiana
No caso de uma esfera isolada (b 
C=Q
V
=4π ε0a
 
Associação de capacitores: capacitores em 
paralelo
● Todos os capacitores estão submetidos ao 
mesmo potencial negativo no seu terminal 
esquerdo.
● Todos os capacitores estão submetidos ao 
mesmo potencial positivo no seu terminal 
positivo. 
● Quando se cargam, cada capacitor Ci tem 
adquiri carga Qi.
Qi=C iV
● A carga total sempre se conserva, logo a 
capacitância equivalente adquirira uma 
carga total Q
Q=Q1+Q2+Q3+...
● Conservação da carga:
● Capacitância equivalente:
C eq=C1+C2+C 3...
+-
C 1
C 2
C i
C eq=∑
i
Ci - +
C eq
 
Associação de capacitores: capacitores em serie
● Todos los capacitores ficam carregados com a 
mesma carga devido ao principio de indução da 
carga
● O potencial total é igual à diferença de potencial 
em cada capacitor 
V=∑
i
V i
● Por definição, a capacitância em cada 
capacitor:
● Capacitância equivalente:
1
C eq
= 1
C 1
+ 1
C2
+ 1
C 3...
- +
C 1 C 2 C i
C i=
Q
V i
- +
C eq
1
C eq
=∑
i
1
C i
 
Associação de capacitores: capacitores em serie
● Todos los capacitores ficam carregados com a 
mesma carga devido ao principio de indução da 
carga
● O potencial total é igual à diferença de potencial 
em cada capacitor 
V=∑
i
V i
● Por definição, a capacitância em cada 
capacitor:
● Capacitância equivalente:
1
C eq
= 1
C 1
+ 1
C2
+ 1
C 3...
C i=
Q
V i
- +
C eq
1
C eq
=∑
i
1
C i
- +
C 1 C 2 C i
−Q −Q −Q+Q +Q +Q
V 1 V 2 V 3
 
Armazenamento de energia nos capacitores e 
energia do campo elétrico
● Se levarmos uma carga da placa inferior para a 
superior não precisamos vencer nenhum campo 
elétrico do sistema,
● Para levarmos uma segunda carga é 
necessário vencer o campo elétrico E gerado 
pela primeira carga. Não sera possível levar 
uma segunda carga a não ser pela ação de 
uma força externa. 
W ab=∫V dQ'
 
+ + + + + + + + + + + + + + + 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+Q'
-Q'
Q' E
W ab=∫
0
Q Q'
C
dQ '
U=W ab=∫
0
Q Q'
C
dQ '=1
2
Q2
C
=1
2
CV 2=1
2
QV
● Energia do campo elétrico: densidade de 
energia (Joules/volume)
u=U
v
=
W ab
v
U=1
2
CV 2
K=1
2
m v2
K=1
2
k x2
● Analogias com outros sistemas
● Energia associada ao campo elétrico dentro do 
capacitor
 
Dielétricos: o que são?
● São materiais não condutores. 
● Precisam de elevada energia para conduzir a carga. 
● Teoria de bandas
● Condutores: não existe banda proibida. Sempre há uma “mar” de elétrons livres para conduzir. 
● Semicondutor: A banda proibida é relativamente pequena. Os elétrons podem pular a banda se 
adquirirem energia externa (térmica, fotônica, etc).
● Isolantes: A banda proibida é muito grande. Para os elétrons passarem esta banda precisam 
ganhar alta energia externa. 
 
Dielétricos: o que são?
● São materiais não condutores. 
● Existem dois tipos:
 Polares: possuem momento dipolar elétrico 
permanente (exemplo: H2O e N2O), que 
tendem a se alinhar com um campo elétrico 
externo.
Depende da temperatura devido à agitação 
térmica. A baixas temperaturas os dipolos 
permanecem bem orientados.
● Modelo molecular da carga induzida
Orientação aleatória em ausência de 
campo elétrico externo.
Alinhamento parcial devido ao campo 
elétrico externo. 
 
Dielétricos: o que são?
● São materiais não condutores. 
● Existem dois tipos:
 Polares: possuem momento dipolar elétrico 
permanente (exemplo: H2O e N2O), que 
tendem a se alinhar com um campo elétrico 
externo.
Depende da temperatura devido à agitação 
térmica. A baixas temperaturas os dipolos 
permanecem bem orientados.
● Apolares: não possuem momento dipolar 
elétrico permanente. Essas moléculas 
adquirem momento dipolar por indução na 
presença de um campo elétrico externo.
O campo elétrico tende a “esticar” a molécula 
deslocando ligeiramente o centro das cargas 
negativas em relação ao centro das cargas 
positivas.
● Modelo molecularda carga induzida
Um campo 
elétrico 
externo 
produz uma 
ligeira 
separação das 
cargas 
positivas e 
negativas
Na ausência 
de campo 
elétrico, não 
existe dipolos 
elétricos 
 
Dielétrico em um campo elétrico externo
● Devido à presença de um campo elétrico externo, 
nas superfícies do dielétrico aparecem cargas 
superficiais induzidas i e – i.
● Dentro do dielétrico a carga neta permanece igual a 
zero. 
● Estas cargas não podem mover-se livremente como 
no caso das cargas superficiais em um condutor. 
● São chamadas de cargas ligadas. 
● Se a intensidade do campo elétrico é incrementado, 
este pode ionizar o dielétrico permitindo a condução 
elétrico através dele. Isto é conhecido como ruptura 
do dielétrico. 
 
Dielétrico em um campo elétrico externo
● Valores de constantes dielétricas k a 20°C
 
Dielétrico em um campo elétrico externo
● Constantes dielétricas e rigidez dielétrica de alguns materiais isolantes
 
Capacitores com dielétricos
● Potencial de um dipolo
V d=kp
cosθ
r 2
=k p⃗⋅⃗r
r3
● Potencial do dielétrico 
dQsp
dA
=σp=P⃗⋅n^
R⃗
r⃗ d
O
r⃗=
R⃗−
r⃗ d
p⃗
d V d
V d=k∫ d p⃗⋅r⃗r3
V d=k∮ P⃗⋅d A⃗r −k∫
∇⋅P⃗
r
dv
V d=k∮
dQ s
r
+k∫ dQ vr
dQvp
dv
=ρp=−∇⋅P⃗
● Onde:
● Densidade de carga superficial no 
dipolo
● Densidade de carga volumétrica o 
dipolo
 
Capacitores com dielétricos
● Funções do dielétrico dentro do capacitor
● Resolver o problema de estabilidade mecânica do capacitor.
● Incrementar ao máximo a diferença de potencial entre as placas.
● Incrementar a capacitância do capacitor. 
(a) capacitor tubular: placas separadas por papel e enrolados em forma cilíndrica
(b) Capacitor de alta voltagem: varias placas paralelas separadas por óleo
(c) capacitor eletrolítico 
Folha metálica 
papel
Placas metálicas 
eletrólito 
Folha metálica + camada 
de óxido 
contatos
 
 
Capacitores com dielétricos
Campo elétrico 
original
Campo elétrico fraco 
devido às cargas 
induzidas
 
Lei de Gauss nos dielétricos
● Capacitância original é:
C 0=
Q
V 0
● Capacitância total com dielétrico 
C=Q
V
● De onde a razão, chamada de 
constante dielétrica, é: 
k= C
C0
=
V 0
V
=
E0
E
● A carga induzida é:
σ i=σ(1−
1
k
)
∮ D⃗⋅d A⃗=q
+q
−q
E⃗0
+q
−q
−qi
+q i
● Campo elétrico devido às cargas 
induzidas
Ei=E0 (1−
1
k
)
D⃗=ε E⃗
● Lei de Gauss em um meio com dielétrico
Vetor deslocamento para materiais 
cuja polarização é proporcional ao 
campo elétrico
E⃗
kE⃗0 E⃗i
E⃗=E⃗0−E⃗ i
Superfície gaussiana
Superfície gaussiana
 
Exercícios 
● Exercício 6.1 
Um capacitor com capacitância C1 = 8.0 F foi conectado a uma fonte com potencial V0 = 120 V. 
inicialmente a chave S esta aberta. Assim que o capacitor C1 foi carregado, se retira a fonte. 
(a) Qual a carga Q0 em C1
(b) Qual a energia armazenada se a chave S se deixa aberta?
(c) O capacitor C2 = 4.0 F esta inicialmente descarregada. Depois de fechar a chave S, qual a 
diferença de potencial através de cada capacitor e qual em cada um?
(d)Qual é a energia total do sistema?
 
Capacitores com dielétricos
● Exercício 6.2
Na figura, C1 = 3mF, C2 = 2mF. Calcule: 
(a) a capacitância equivalente da rede entre os pontos “a” e “b”. 
(b) a carga em cada um dos capacitores C1 mais próximos de “a” e “b” quando Vab = 900V.
(c) Vcd
C1 C1
C1 C1
C1C2
c
d
a
b
 
Capacitores com dielétricos
● Exercício 6.3
A Figura mostra um capacitor com carga Q e preenchido com dois dielétricos de constante 
dielétrica k1 e k2. Qual é a capacitância resultante?
 
Capacitores com dielétricos
● Exercício 6.4
A Figura mostra um capacitor com carga Q e preenchido com dois dielétricos de constante 
dielétrica k1 e k2, como se mostra na figura. Qual é a capacitância resultante?
A1 A2
d
 
Capacitores com dielétricos
● Exercício 6.5
A Figura mostra um capacitor cilíndrico com carga Q e preenchido com dois dielétricos de 
constante dielétrica k1 e k2, como se mostra na figura. Qual é a capacitância resultante?
L
a
b
c
k1k2
 
Exercícios 
● Exercício 6.6 
um capacitor de placas paralelas e ar armazena carga de magnitude 240 pC em cada placa 
quando a diferença de potencial entra as placas é 42,0 V.
(a) calcular a distância de separação entre as placas se a área é 6,80 cm2.
(b) se a separação entre as duas placas é 2d, qual a diferença de potencial para armazenar a 
mesma carga Q do item anterior no capacitor.
● Exercício 6.7 
um capacitor cilíndrico consiste de um solido condutor interno com raio a = 0.250 cm, rodeado por 
outro cilindro separado uma distância b-a, onde b e a são os raio dos cilindros. Os dois condutores 
estão separados por uma camada de ar, e o comprimento dos cilindros é 12,0 cm. A capacitância é 
 36.7 pF. Calcular:
(a) raio do capacitor interno. 
(b) Quando o capacitor esta carregado a 125 V, qual é a carga por unidade de comprimento L no 
capacitor?
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