Módulo Geometria Espacial

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UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
Licenciatura em Matemática
Geometria Espacial
Salvador
2010
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ELABORAÇÃO
Sonia Regina Soares Ferreira
DIAGRAMAÇÃO
Nilton Rezende
 FERREIRA, Sonia Regina Soares. 
 F383 Geometria espacial: licenciatura em matemática / Sonia Regina Soares 
 Ferreira. – Salvador: UNEB/ GEAD, 2010.
 
 146p.
 
 1. Geometria espacial 2.geometria Euclidiana 3. Cilindros 4. Prismas 
 5. Perpendicula- rismo 6. cones 7.pirâmides I. Título. II. Universidade 
 Aberta do Brasil. III. UNEB / GEAD 
 
 
 CDD: 516.22
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). 
Catalogação na Fonte
BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB
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PRESIDENTE DA REPÚBLICA
Luis Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Carlos Eduardo Bielschowsky
DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
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SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES
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COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPES
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GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB
REITOR
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VICE-REITORA
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PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
José Bites de Carvalho
COORDENADOR UAB/UNEB
Silvar Ferreira Ribeiro 
COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTO
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DIRETOR DO DEDC – I
Antônio Amorim
COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Daniel Cerqueira Góes
COORDENADOR DE TUTORIA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Armando Luiz Andrade Peixoto
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Caro Cursista,
Estamos começando uma nova etapa de trabalho e para auxiliá-lo no desenvolvimento da sua aprendizagem estruturamos 
este material didático que atenderá ao Curso de Licenciatura em Matemática na modalidade à distância.
O componente curricular que agora lhe apresentamos foi preparado por profissionais habilitados, especialistas da área, 
pesquisadores, docentes que tiveram a preocupação em alinhar conhecimento teórico-prático de maneira contextualizada, 
fazendo uso de uma linguagem motivacional, capaz de aprofundar o conhecimento prévio dos envolvidos com a disciplina em 
questão. Cabe Salientar porém, que esse não deve ser o único material a ser utilizado na disciplina, além dele, o Ambiente Vir-
tual de Aprendizagem (AVA) , as Atividades propostas pelo Professor Formador e pelo Tutor, as Atividades Complementares, 
os horários destinados aos estudos individuais, tudo isso somado compõe os estudos relacionados a EAD.
É importante também que vocês estejam sempre atentos a caixas de diálogos e ícones específicos. Eles aparecem durante 
todo o texto e têm como objetivo principal, dialogar com o leitor afim de que o mesmo se torne interlocutor ativo desse mate-
rial. São objetivos dos ícones em destaque:
Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou infor-
mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;
Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, tra-
zendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo 
abordado;
Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. 
A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas 
ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;
Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente 
em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-
formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu 
processo de auto-aprendizagem.
Então caro estudante, encare este material como um parceiro de estudo, dialogue com ele, procure as leituras que 
ele indica, desenvolva as atividades sugeridas e, junto com seus colegas, busque o apoio dos tutores e a orienta-
ção do professor formador. Seja autor da sua aprendizagem.
Bom estudo!
Coordenação de Material Didático
GEAD – Gestão de Projetos e Atividades na modalidade a distância
?? VOCÊ SABIA?
???
??? SAIBA MAIS
INDICAÇÃO DE LEITURA
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 11
2 Geometria Euclidiana Espacial 12
 2.1 Noções primitivas e axiomas 12
 2.2 Posições relativas entre duas retas 16
 2.3 Determinação de planos 19
 2.4 Exercícios resolvidos 23
 2.5 Exercícios propostos 25
 2.6 Construção de modelos 25
3 Posições relativas 28
 3.1 Posições relativas entre uma reta e um plano 28
 3.2 Posições relativas entre dois planos 31
 3.3 Exercícios resolvidos 35
 3.4 Exercícios propostos 38
 3.3 Construções de modelos 39
4 Volumes de cilindros e prismas 41
 4.1 Axiomas e definições 41
 4.2 Volumes de um cubo e de um paralelepípedo retângulo 44
 4.3 Volumes de um prisma, áreas totais e laterais de prismas 48
 4.4 Volumes de um cilindro, áreas totais e laterais de um cilindro 51
 4.5 Exercícios resolvidos 54
 4.6 Exercícios propostos 58
 4.7 Construção de modelos 60
5 Perpendicularismo 62
 5.1 Ângulos entre duas retas 62
 5.2 Propriedades de retas perpendiculares a planos 62
 5.3 Propriedades de retas e planos perpendiculares 66
 5.4 Exercícios resolvidos 77
 5.5 Exercícios propostos 79
 5.6 Construção de modelos 81
6 Volumes de cones e pirâmides 84
 6.1 Construção de cones e pirâmides 84
 6.2 Volume de uma pirâmide, áreas totais e laterais de pirâmides 85
 6.3 Volume de um cone, áreas totais e laterais de cones 92
 6.4 Exercícios resolvidos 105
 6.5 Exercícios propostos 105
 6.6 Construção de modelos 108
7 Volumes de sólidos de revolução 112
 7.1 Construção de sólidos de revolução 112
 7.2 A esfera: volume e área de esferas 113
 7.3 Volume de sólidos de revolução 117
 7.4 Exercícios resolvidos 120
 7.5 Exercícios propostos 125
 7.6 Construção de modelo 126
Referências Bibliográficas 128
Anexo 1 – Planificações de alguns sólidos 129
Modelo 01 – Prisma pentagonal oblíquo 130
Modelo 02 – Paralelepípedo oblíquo 131
Modelo 03 – Paralelepípedo retângulo 132
Modelo 04 – Seção meridiana do prima do modelo 1 133
Modelo 05 – Seções meridianas dos modelos 1 e 3 134
Modelo 06 – Cilindro circular reto 135
Modelo 07 – Cilindro oblíquo 135
Modelo 08 – Seções meridianas dos modelos 3 e 6 137
Modelo 09 – Pirâmide hexagonal 138
Modelo 10 – Tetraedro (1) 139
Modelo 11 – Tetraedros (2) 140
Modelo 12 – Tetraedros (3) 141
Modelo 13 – Tetraedro e prisma triangular reto 142
Modelo 14 – Sólido de revolução. 144
Modelo 15 – Sólido de revolução. 146
MATEMÁTICA
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1 INTRODUÇÃO
O estudo de Geometria Euclidiana Espacial proporcionará a você a oportunidade de conhecer elementos geomé-
tricos espaciais e aprender as regras para manipulá-los de modo adequado. Por exemplo, você pode utilizar seus 
conhecimentos sobre volume de sólidos para auxiliá-lo na compra de um determinado produto,considerando 
forma da embalagem, volume e o preço. 
A apresentação dos elementos geométricos se fará gradualmente, de modo que possa comportar o tempo neces-
sário à sua adaptação a esse novo ambiente. Inicialmente você estudará alguns tópicos de posições relativas entre 
reta e plano, objetivando desenvolver a sua visão espacial, intercalados com volumes de alguns sólidos. Uma boa 
visão espacial facilitará a sua aprendizagem sobre volumes de sólidos. Nesse estudo será utilizada a noção intuitiva 
de que o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado. Apesar de pouco precisa, essa noção 
permite que se estabeleçam métodos sistemáticos para o cálculo de volumes de sólidos em geral. A fórmula para o 
cálculo do volume de um cubo de aresta medindo uma unidade de comprimento será apresentado como axioma e 
as fórmulas que possibilitam o cálculo do volume de prismas, cilindros, cones e esfera serão estabelecidas através 
de demonstrações. 
No começo desse estudo, é bem provável que a expectativa em apreender coisas novas mesclada com ansiedade 
permeie a sua cabeça. São muitos os conceitos novos, muitas as regras e você pode se sentir meio atrapalhado. É 
natural se sentir inseguro ao entrar em um novo ambiente de aprendizagem. Mas aos poucos, você vai se adaptan-
do, passando a desempenhar as atividades do ambiente com desenvoltura e naturalidade. Esse texto tem o objetivo 
de auxiliá-lo nesse processo.
Procure seguir as orientações apresentadas neste texto e recorra ao professor se persistir alguma dúvida. Ele irá 
auxiliá-lo. É muito importante para a sua aprendizagem que você compreenda todas as atividades que serão de-
senvolvidas.
Quando desejar ampliar seus conhecimentos sobre os assuntos abordados neste texto, você encontrará mais deta-
lhes nas leituras recomendadas, listadas no final deste trabalho. Entre aquelas, destacamos “Medidas e Forma em 
Geometria” de Elon Lages de Lima e “Introdução à Geometria Espacial” de Paulo Cezar Pinto de Carvalho.
O seu auxílio através de críticas, sugestões e correções é muito bem vindo.
Salvador, 01 de março de 2010
A autora, 
Sonia Regina Soares Ferreira
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2 GEOMETRIA EUCLIDIANA ESPACIAL
Nesse capítulo você conhecerá as noções primitivas e os primeiros axiomas da Geometria Euclidiana Espacial. 
Os axiomas, “primeiras verdades”, são afirmações aceitas sem demonstração e junto com as noções primitivas 
formam a base de uma teoria. De fato, baseado nas noções primitivas e nos axiomas, pode-se demonstrar as pri-
meiras propriedades, que por sua vez geram mais outras e assim sucessivamente, formando uma cadeia de fatos 
que são incorporados ao sistema. Este tipo de sistema é denominado “Sistema Dedutivo” e o primeiro a utilizá-lo 
foi o grego Euclides a 300 a.C. O conhecimento geométrico reunido e organizado por Euclides é importantíssimo 
no desenvolvimento da Matemática como ciência e, em reconhecimento pelo seu trabalho, esse conhecimento 
passou-se a chamar a “Geometria Euclidiana”.
Com o objetivo de facilitar a sua aprendizagem você deve adotar, no seu estudo, as dicas dadas a seguir:
• Procure sempre visualizar o objeto geométrico estudado através de um modelo concreto confeccionado com 
materiais de fácil acesso. Por exemplo: pontos, retas e planos podem ser representados por botões, lápis e 
folhas de papel, respectivamente. 
• Lembre-se de que: os modelos concretos são muito úteis, pois auxiliam o nosso raciocínio. Entretanto, esteja 
sempre atento para não limitar o seu entendimento somente a partir deles.
Figura 01
Exemplo 1:
Utilizando o modelo constituído de duas folhas de papel A4 para representar dois planos, pense e responda: 
“Dois planos podem se interceptar por apenas um ponto?”
Você poderá verificar se a sua resposta está correta no decorrer deste capítulo.
2.1 Noções primitivas e axiomas
Você deve estar lembrado que o ponto, a reta e o plano são as noções primitivas da Geometria Euclidiana Plana. 
Acrescentando o espaço a esse conjunto de objetos geométricos, obtêm-se as noções primitivas da Geometria 
Euclidiana Espacial, ou seja, o ponto, a reta, o plano e o espaço são as noções primitivas da Geometria Euclidiana 
Espacial. 
A seguir serão enunciados os axiomas da Geometria Euclidiana Espacial. Certamente, você perceberá que alguns 
deles são axiomas da Geometria Euclidiana Plana e foram colocados aqui com a intenção de estabelecer, desde já, 
relações entre Geometria Euclidiana Plana e a Geometria Euclidiana Espacial.
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Axiomas:
Axioma I 
• Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.
Axioma II 
• Num plano e fora dele existem infinitos pontos.
Axioma III
• Dois pontos distintos determinam uma única reta.
Axioma IV
• Três pontos não colineares determinam um único plano.
Axioma V
• Se uma reta possui dois pontos distintos em um plano então ela está contida nesse plano.
Exercite um pouco o seu raciocínio lógico, participando da atividade a seguir:
Considere que os planos α e β são distintos e que possuem mais de um ponto em comum. Sejam A e B dois 
desses pontos. Utilize o axioma V para responder as perguntas:
1. A reta AB está contida no plano α?
2. A reta AB está contida no plano β?
3. Você pode garantir que a reta AB está contida na interseção de α e β?
As três perguntas anteriores possuem respostas afirmativas. De fato, a reta AB está contida na interseção desses 
planos. 
Será que a interseção dos planos α e β contém outros pontos além dos pontos da reta AB?
Para responder a essa indagação, suponha que exista um ponto C, que pertença aos planos α e β e que não 
pertença à reta AB. 
Pense e responda:
4. Os pontos A, B e C são colineares?
5. Os pontos A, B e C pertencem ao plano α?
6. Os pontos A, B e C pertencem ao plano β?
A resposta da pergunta 4 é negativa, enquanto as respostas das perguntas 5 e 6 são afirmativas.
7. Baseado nas respostas anteriores e, utilizando o axioma IV, pode-se afirmar que os planos α e β coinci-
dem?
Claro que sim! Pois os pontos A, B e C pertencem aos planos α e β e são não colineares, daí determinam um 
único plano.
Esse fato contradiz a hipótese de α e β serem planos distintos. 
E agora? O que significa essa contradição?
Muito simples: a suposição da existência de um ponto C fora da reta AB e que pertence à interseção dos planos 
α e β é falsa.
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Logo, a interseção dos planos α e β é exatamente a reta AB.
Assim, você pode concluir que:
“Se é dado que dois planos distintos possuem mais de um ponto em comum então a interseção desses planos 
é uma reta”. 
Quando é dado que dois planos distintos possuem um ponto em comum não é possível desenvolver uma sequ-
ência de raciocínios lógicos, utilizando os axiomas anteriores, que possam garantir que a interseção desses planos 
é uma reta. Por isso, essa afirmação será estabelecida como axioma.
Axioma VI
• Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma única reta comum que passa por esse 
ponto.
Volte e leia o exemplo 1 na página 05. 
O axioma VI garante que a resposta à indagação do exemplo 1 é negativa, embora o modelo das folhas de papel 
possa ter nos levado a pensar que era possível. O que de fato acontece é que a folha de papel é limitada e um plano 
não é limitado. A figura 02 pode auxiliá-lo a compreender esse fato.
Volte e leia a dica 2 da página 05.
Axioma VII
Uma reta r divide um plano α em duas regiões I e II, que não contêm r, tais que:
• Se um ponto A pertence à região I e um ponto B pertence à região I, então o segmento AB não intercepta a 
reta r.
• Se um ponto C pertence à região I e um ponto D pertenceà região II, então o segmento CD intercepta a reta 
r em um ponto P.
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Definição 1
Considere uma reta r contida em um plano α. Chama-se semi-plano a figura geométrica formada pela união da 
reta r com uma das regiões que essa reta r divide o plano α.
Axioma VIII
• Um plano α divide o espaço em duas regiões I e II, que não contêm α, tais que:
• Se um ponto A pertence à região I e um ponto B pertence à região I, então o segmento AB não intercepta o 
plano α.
• Se um ponto C pertence à região I e um ponto D pertence à região II, então o segmento CD intercepta o plano 
α em um ponto P.
Definição 2
Semi-espaço é a figura geométrica formada pela união de um plano com uma das regiões do espaço por ele 
dividido. 
Exercitar o raciocínio lógico melhora o seu desempenho nas demonstrações das propriedades geométricas. 
Faça a atividade a seguir:
Considere o problema: “Dados uma reta r e um ponto P, determinar uma reta s que passa por P e é perpendi-
cular à reta r”. 
Os dados do problema são a reta r e o ponto P. Pense e responda:
Quantas posições o ponto P pode apresentar em relação à reta r?
Se você respondeu duas, está certíssimo! 
De fato existem duas posições:
• O ponto P pertence à reta r.
• O ponto P não pertence à reta r.
Considere inicialmente que o ponto P pertence à reta r. Tenha em mãos uma folha de papel A4 e três canetas no 
mínimo, para fazer um modelo concreto. Comece desenhando, na folha de papel, uma reta r e marque um ponto P 
sobre essa reta. Ainda na folha de papel desenhe uma reta que passa por P e é perpendicular à reta r. Agora utilize 
uma das canetas para representar uma outra reta que passa por P. Posicione a caneta no espaço, fora da folha de 
papel, de modo que a reta, por ela representada, seja perpendicular à reta r. Veja a figura 05.
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• Quantas retas existem que passam por P e são perpendiculares à reta r?
Certamente você respondeu que existe uma infinidade de retas. 
Considere agora que o ponto P não pertence à reta r. Numa folha de papel A4 desenhe a reta r e marque o ponto 
P fora de r. Ainda na folha de papel, pelo ponto P esboce uma reta que seja perpendicular à reta r. Veja a figura 06. 
Utilize uma caneta para representar outra reta que passa por P e seja perpendicular à reta r. Isso é possível?
Claro que não! Nesse caso, só existe uma única reta que passa por P e é perpendicular à reta r, a que você 
esboçou na folha de papel.
Assim, a solução do problema depende da posição entre o ponto P e a reta r.
De modo geral, as posições relativas entre os elementos geométricos dados de um problema são de fundamental 
importância para resolução do mesmo. 
Na seção seguinte, você vai estudar posições relativas entre duas retas.
2.2 Posições relativas de duas retas
Certamente você já ouviu falar em retas paralelas. Mas, o que são mesmo retas paralelas? Se você pensou em 
“retas que não se interceptam” fique sabendo que, no espaço, existem retas que não se interceptam e não são 
paralelas. 
Essa seção tem o objetivo de esclarecer essas e outras questões sobre posições entre duas retas. 
Definição 3
Duas retas que possuem um único ponto comum são chamadas concorrentes.
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Na figura 07, as retas r e s são concorrentes, pois se interceptam no ponto P.
 
Definição 4
Diz-se que duas retas são coplanares quando existe um plano que as contém.
Definição 5
 Duas retas coplanares que não possuem pontos em comum são chamadas paralelas.
Na figura 08, as retas r e s estão contidas no plano α e não se interceptam, logo são paralelas. 
Lembre-se: para demonstrar que duas retas são paralelas você deve mostrar que:
1. As retas são coplanares.
2. As retas não se interceptam.
E existem retas não coplanares? 
Vamos orientá-lo a construir um modelo concreto que auxiliará você a responder a essa indagação. Você vai 
precisar de uma folha de papel A4, uma caneta e um botão pequeno, que representarão um plano α, uma reta e 
um ponto, respectivamente.
Inicie desenhando no plano α (folha de papel) uma reta r e marque sobre essa reta dois pontos. Nomeie esses 
pontos de A e B. Você também pode se referir à reta r como reta AB. Ainda no plano α, desenhe outro ponto C 
fora da reta r. Por fim, considere um ponto P, representado por um botão, fora do plano α. Utilize a caneta para 
representar a reta que passa pelos pontos P e C.
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Observe o modelo, pense e responda:
1. A reta r está contida no plano α?
A reta PC está contida no plano α?
A resposta da primeira pergunta é afirmativa, pois a reta r possui dois de seus pontos, A e B, pertencentes ao 
plano α, daí está contida nesse plano. 
A resposta da segunda pergunta é negativa, já que o ponto P não pertence ao plano α. 
O plano α não contém as retas AB e PC, as duas ao mesmo tempo, mas será que existe um outro plano β que 
contém essas retas?
Para responder a essa indagação, o modelo não será útil. Você terá que abstrair, ou seja, usar a sua imaginação. 
Comece imaginando que existe tal plano, ou seja, que as retas AB e CP estão contidas em um plano β. Nesse caso, 
os pontos A, B, C e P também estão no plano β.
Pense e responda:
1. Os pontos A, B e C são colineares?
2. Os pontos A, B e C pertencem ao plano β? 
3. Os pontos A, B e C pertencem ao plano α?
4. Pode-se dizer que os plano α e β são coincidentes?
A resposta da primeira pergunta é negativa, pois os pontos A e B pertencem à reta r e o ponto C não pertence 
a essa reta. É claro que as respostas da segunda e terceira pergunta são afirmativas. O axioma IV garante que a 
resposta da quarta pergunta é afirmativa. Isto é, os planos α e β coincidem, pois são determinados pelos pontos 
não colineares A, B e C.
Como o plano α não contém as retas AB e CP, então o plano β também não contém essas retas. Esse fato con-
tradiz a suposição da existência de um plano β que contém as retas AB e CP. Logo, tal plano não existe. Portanto, 
as retas AB e CP não são coplanares. Assim, retas não coplanares existem.
Definição 6
Duas retas não coplanares são chamadas reversas.
As retas AB e CP da atividade anterior são retas reversas. Veja figura 09.
Observe novamente o modelo anterior que você construiu ou a figura 09.
Pense e responda:
1. Todos os pontos da reta AB pertencem ao plano α?
Qual o único ponto da reta CP que pertence ao plano α?
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As retas AB e CP se interceptam?
A resposta da primeira pergunta é afirmativa, pois a reta AB está contida no plano α. A resposta da segunda 
pergunta é o ponto C. 
Para obter a resposta da terceira pergunta use novamente a sua imaginação: suponha que as retas AB e CP se 
interceptam. O ponto de interseção dessas retas tem que pertencer ao plano α, já que pertence à reta AB e essa 
reta está contida em α. Mas esse ponto também pertence à reta CP e o único ponto da reta CP que pertence ao 
plano α é o ponto C. Assim, o ponto C é o ponto de interseção dessas retas. Mas isso contradiz o fato que o ponto 
C não pertence à reta AB. 
E aí? O que será que está acontecendo?
Simples: a suposição de que as retas AB e CP se interceptam é falsa.
Daí, você pode concluir que retas reversas não de interceptam.
Assim, tanto as retas paralelas como as retas reversas não se interceptam. 
Fique atento: mostrar que duas retas não se interceptam não é suficiente para concluir que as mesmas são 
paralelas, pois essasretas podem ser reversas. 
2.3 Determinação de um plano
Na resolução de situações problemas é importante saber quais conjuntos de elementos da Geometria Espacial 
determinam um plano. O axioma IV garante que o conjunto de três pontos não colineares determina um único plano. 
Nessa seção você conhecerá outros três conjuntos de elementos que determinam planos, através de teoremas, ou 
seja, afirmações que precisam ser demonstradas. 
Teorema 1
Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. 
Demonstração:
Siga as orientações para demonstrar esse teorema. Numa folha de papel desenhe uma reta r e considere um ponto 
P fora de r e dois pontos distintos que pertencem à reta r, A e B. Como os pontos A, B e P são não colineares, você 
pode utilizar o axioma IV para garantir que existe um único plano passando por A, B e P. Nomeie esse plano de α. 
Pense e responda: 
1. A reta r está contida no plano α?
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 Claro que sim, pois essa reta possui dois de seus pontos, A e B, em α. 
 Suponha agora que exista outro plano β que contém a reta r e o ponto P e responda: 
2. Os pontos A e B pertencem ao plano β?
 Sem dúvida, já que esses pontos são pontos da reta r e a reta r está contida em β.
3. Os planos α e β coincidem?
Para responder a essa pergunta, você deve observar que os pontos A, B e P pertencem aos planos α e β. Como 
esses pontos são não colineares o axioma IV garante que os planos α e β coincidem.
 Logo, existe um único plano que contém a reta r e o ponto P, ou seja, uma reta e um ponto fora dela determinam 
um único plano. 
Teorema 2 
Duas retas concorrentes determinam um único plano.
Demonstração:
De modo análogo a demonstração do teorema 1, você deve começar desenhado numa folha de papel duas retas 
r e s que concorrem no ponto P. Em seguida, considere um ponto A sobre a reta r e um ponto B sobre a reta s. Desse 
modo os pontos A, B e P são não colineares e portanto determinam um único plano. Nomeie esse plano de α.
Pense e responda:
1. A reta r está contida em α?
2. A reta s está contida em α?
A resposta da pergunta 1 é afirmativa, pois os pontos A e P são pontos da reta r e pertencem ao plano α. 
De modo análogo, você pode concluir que a reta s está contida em α, já que os pontos B e P são pontos de s e 
pertencem ao plano α. 
Lembre-se de que se uma reta possui dois de seus pontos em um plano então essa reta está contida nesse 
plano.
Até aqui você mostrou que existe um plano α, determinado pelos pontos A, B e P, que contém as retas r e s. 
Mas será que esse plano é único?
Para mostrar a unicidade do plano α, comece imaginando que existe outro plano β que contém as retas r e s.
Pense e responda:
1. Os pontos A, B e P pertencem ao plano β? 
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Claro que sim! Pois, os pontos A e P são pontos de r que está contida em β. E o ponto B é um ponto de s que 
também está contida em β. Assim, os pontos A, B e P são também pontos de β.
2. Os planos α e β coincidem?
Certamente! Pois, os pontos A, B e P pertencem aos planos α e β, e três pontos não colineares determinam 
um único plano. 
Portanto duas retas concorrentes determinam um único plano.
Teorema 3
Duas retas paralelas determinam um único plano.
Demonstração:
 Lembre-se que se duas retas r e s são paralelas então existe um plano que as contém. Nomeie esse plano de α. 
Para mostrar que o plano α é único, você deve supor que existe outro plano β que contém as paralelas r e s e 
provar que α e β coincidem.
Existem vários modos de provar que α e β coincidem. Por exemplo, você pode considerar dois pontos distintos, 
A e B, que pertencem à reta r e um ponto P da reta s. Os pontos A, B e P são pontos que pertencem aos planos α 
e β e como são não colineares determinam um único plano.
Outra maneira de mostrar a unicidade do plano α é considerar um ponto P da reta s e a reta r. Como o ponto P 
não pertence à reta r, já que r e s são retas paralelas, você pode utilizar o teorema 1 para garantir que existe um 
único plano que contém r e P. Mas, a reta r e o ponto P estão contidos no plano α e também no plano β. Logo, você 
pode concluir que esses planos coincidem.
Portanto, duas retas paralelas determinam um único plano.
Resumindo
1. Duas retas no espaço podem ser:
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2. Pode-se determinar um plano com:
O axioma das paralelas da Geometria Euclidiana Plana garante que, em um plano, por um ponto fora de uma 
reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada. Utilizando os resultados obtidos anteriormente, o teorema 
seguinte garante que esta propriedade também é válida no espaço.
 
Teorema 4
Por um ponto fora de uma reta podemos traçar uma única reta paralela à reta dada.
Demonstração:
Para fazer essa demonstração você deve começar desenhando numa folha de papel uma reta r e um ponto 
P que não pertence à essa reta. Nomeie α, o plano determinado por r e P, representado pela folha de papel. Em 
seguida, no plano α desenhe a reta s paralela à reta r passando por P. Lembre-se que o axioma das paralelas da 
Geometria Plana garante que no plano α essa reta é única. Assim, se houver outra reta t paralela à reta r passando 
por P, essa reta está fora do plano α. Suponha que essa reta t exista e represente a mesma por uma caneta que 
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fura o plano α no ponto P. Observe a figura 16.
Como você supôs que as retas t e r são paralelas então existe um plano β que contém essas retas. Você não 
vai poder representar o plano β por uma folha de papel, deve utilizar a sua imaginação.
Pense e responda:
1. O ponto P e a reta r estão contidos no plano β?
2. Os planos α e β coincidem?
A resposta da primeira pergunta é afirmativa, pois o plano β contém as retas r e t e o ponto P pertence à reta t. 
A resposta da segunda pergunta também é afirmativa, pois o ponto P e a reta r pertencem aos planos α e β, e o 
teorema 1 garante que uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. Daí, os planos α e β coincidem 
e, como a reta t está contida no plano β, você pode concluir que essa reta está contida no plano α. O que contradiz 
o fato da reta t estar fora do plano α. Logo, é falsa a suposição que você fez, isto é: que existia uma reta t, distinta 
da reta s, paralela à reta r e passando por P. Logo, existe uma única reta s paralela à reta r, passando por P. Portanto, 
por um ponto fora de uma reta, podemos traçar uma única reta paralela à reta dada.
 
Acompanhe com atenção as soluções dos exercícios apresentados a seguir. Faça os modelos e siga as orien-
tações. Esses exercícios promovem o desenvolvimento da sua habilidade de argumentação lógica.
2.4 Exercícios resolvidos
1. Considere duas retas r e s concorrentes em P e seja Q um ponto que não pertence ao plano determinado por 
r e s. Identifique a interseção do plano determinado por r e Q com o plano determinado por s e Q.
Solução:
Inicialmente, nomeie o plano determinado pelo ponto Q e a reta r de β. E o plano determinado pelo ponto Q e a 
reta s nomeie de θ. Observe então que esses planos têm um ponto Q comum, assim pelo axioma VI, os planos β 
e θ se interceptam, segundo uma reta que passa pelo ponto Q. Como dois pontos distintos determinam uma reta, 
para resolver o problema basta identificar outro ponto, distinto do ponto Q, que pertence à interseção dos planos 
β e θ.
Ora, as retas r e s são concorrentes, assim determinam um plano. Nomeie esse plano de α. Represente o plano 
α por uma folha de papel e nesse plano desenhe as retas r e s concorrentes em P. Observea figura 17. 
Represente o ponto Q por um botão, lembre-se que foi dado que o ponto Q está fora de α (releia o enunciado 
da questão). Use sua imaginação para visualizar o plano β, determinado pelo ponto Q e a reta r. Agora visualize o 
plano θ, determinado pelo ponto Q e pela reta s. Pense e responda:
• O ponto P pertence ao plano β?
• O ponto P pertence ao plano θ?
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A resposta da pergunta 1 é afirmativa, pois o ponto P pertence à reta r e essa reta está contida em β. A resposta 
da segunda pergunta também é afirmativa, pois o ponto P pertence também à reta s e essa reta está contida em θ. 
Assim, você pode concluir que o ponto P pertence à interseção dos planos β e θ. Além disso, P é um ponto distinto 
do ponto Q, pois P pertence ao plano α e Q está fora de α. Você pode então concluir que a interseção dos planos 
β e θ é a reta determinada pelos pontos P e Q, ou seja, a reta PQ.
2. Dois triângulos ABC e DEF, situados em planos distintos, são tais que as retas AB, AC e BC encontram as 
retas DE, DF e EF nos pontos P, N e M, respectivamente. Mostre que P, M e N são colineares. 
Solução:
Inicialmente, decalque a figura 18 em uma folha de papel A4. Dobre a folha segundo a reta PM e abra a mesma 
de modo que os planos ABC e DEF sejam distintos. Utilize esse modelo para acompanhar o raciocínio a seguir.
Observe inicialmente que a reta AB está contida no plano ABC, já que possui dois de seus pontos, A e B, per-
tencentes a esse plano. De modo análogo, a reta DE está contida no plano DEF. Foi dado que as retas AB e DE se 
interceptam no ponto P. Assim, o ponto P pertence ao plano ABC, pois pertence à reta AB, e pertence ao plano DEF, 
pois pertence à reta DE. Você pode concluir então que o plano ABC intercepta o plano DEF segundo uma reta r que 
passa por P. Para resolver o problema você precisa mostrar que os pontos M e N são pontos da interseção do plano 
ABC com o plano DEF, ou seja, M e N são pontos da reta r.
Pense e responda:
• O ponto N pertence ao plano ABC?
• O ponto N pertence ao plano DEF?
A resposta da primeira pergunta é afirmativa, pois o ponto N pertence à reta AC que está contida no plano ABC. 
De modo análogo, o ponto N pertence ao plano DEF, pois pertence à reta DF que está contida no plano DEF. Daí o 
ponto N pertence à interseção do plano ABC com o plano DEF, ou seja, N pertence à reta r.
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• O ponto M pertence ao plano ABC?
• O ponto M pertence ao plano DEF?
A resposta da terceira pergunta é afirmativa, pois o ponto M pertence à reta BC que está contida no plano ABC. 
De modo análogo, o ponto M pertence ao plano DEF, pois M pertence à reta FE que está contida no plano DEF. Daí 
o ponto M pertence à interseção do plano ABC com o plano DEF, ou seja, M pertence à reta r.
Logo, os pontos M, N e P pertencem à reta r. Portanto esses pontos estão alinhados.
2.5 Exercícios propostos
1. Mostre que por uma reta passam infinitos planos.
2. Em cada item a seguir, verifique quantos planos são definidos pelos pontos A, B, C e D. 
a. Os pontos A, B, C e D são colineares.
b. Os pontos A, B e C não são colineares e D pertence ao plano ABC.
c. A, B e C não são colineares e D não pertence ao plano ABC.
Lembre-se que três pontos não colineares determinam um plano. 
3. Sejam r e s duas retas reversas. Considere A e B pontos de r e s, respectivamente. Identifique a interseção 
do plano determinado por r e B com o plano determinado por s e A. 
4. Considere r e s duas retas reversas. Se A e B são pontos de r e C e D são pontos de s, mostre que as retas 
AC e BD são reversas.
2.6 Construção de modelos
1. Um quadrilátero é reverso se seus quatro vértices não são coplanares. Você poderá construir um quadrilátero 
reverso com quatro bolinhas de isopor e quatro palitos de churrasco. Comece nomeando as bolinhas com as 
letras A, B, C e D. Elas representarão os pontos A, B, C e D. Com um palito de churrasco ligue as bolinhas A 
e B. Com outro palito ligue as bolinhas B e C, tendo o cuidado dessas três bolinhas não estarem alinhadas. 
Agora posicione a bolinha D fora do plano das bolinhas A, B e C. Por último, ligue com palitos de churrasco 
a bolinha D às bolinhas C e A. Assim, o quadrilátero ABCD construído é reverso.
Utilize pedaços de fita crepe para marcar os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA. Nomeie esses pontos 
de M, N, P e Q, respectivamente.
Mostre que:
a. O quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.
b. Se R e S são os pontos médios das diagonais AC e BD, respectivamente, então QSNR é um paralelogramo.
c. As retas RS, QN e MP concorrem em um único ponto.
2. Chama-se tetraedro o sólido limitado por quatro triângulos. Cada um desses triângulos é chamado de face e o 
encontro de duas faces é chamado aresta. Diz-se que duas arestas são opostas se as mesmas não possuem 
vértices comuns. Por exemplo, se ABCD é um tetraedro então as arestas AD e CB são opostas. Observe a 
figura 19.
 
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 Construa com palitos de churrasco e bolinhas de isopor um tetraedro de arestas AB, AC e AD e utilize-o para 
mostrar que os segmentos que une os pontos médios das arestas opostas de um tetraedro se encontram em 
um único ponto.
Curiosidade
Você sabia que banquinhos com três pés são estáveis, ou seja, não balançam, mesmo que as alturas dos pés 
tenham tamanhos diferentes?
É verdade! As extremidades dos pés do banquinho podem ser comparados a três pontos não alinhados e como 
por três pontos não alinhados passam um único plano as extremidades dos pés estão sempre em um plano, con-
sequentemente, o banquinho não balança, é estável. Se as alturas dos pés têm tamanhos diferentes o acento do 
banquinho fica inclinado em relação ao plano em que ele está apoiado, mas continua estável. 
A estabilidade do banquinho de três pés é utilizada através de metáforas, em diversas áreas do conhecimento. 
Veja os exemplos a seguir.
Exemplo 1
Retirado da página http://pt.wildmind.org/postura/sentando-de-pernas-cruzadas 
Revista Wildmind. Meditação Budista. Postura de meditação.
Posição simples de pernas cruzadas
“... É a postura mais comum de pernas cruzadas para os meditadores ocidentais.
É muito importante que seus dois joelhos toquem o chão, para dar a você um apoio adequado. Os três pontos 
de contato com o chão (nádegas e os dois joelhos) proporcionam muita estabilidade. Quando foi a última vez que 
você viu um fotógrafo tentando manter uma câmara estável em um suporte de dois pés? Sem uma base firme você 
ficará sob tensão física, porque terá que se manter ereto (a) e poderá também sentir estresse nos joelhos.”
Exemplo 2
Retirado da página http://www.traco-freudiano.org/tra-puplicacoes/coloquios/luiz-olyntho-formacao-escola-
reduzido.pdf
“Discurso de abertura ao Colóquio A formação do Analista na Escola, promovido por Traço Freudiano Veredas 
Lacanianas, em Recife, no dia 15 de setembro de 2006.”
“..., a tripeça onde o sapateiro senta a trabalhar, banquinho típico pelo qual sua profissão é reconhecida. Essa 
tripeça nominante não é outra coisa do que um banquinho de madeira de três pernas. Esses banquinhos são ótimos, 
muito fáceis de equilibrar, independente da altura de cada pé. Não lhes faz lembrar do trisquel? Este enodamento 
elementar que Lacan diz servir de base ao Borromeu?” 
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“... Um trisquel conformado por três pés, como o tripeça. É dessa figura que Lacan parte para chegar ao eno-
damento borromeano dos registros do real, do imaginário e do simbólico. A verdade é que sempre pensamos a 
formação analítica como apoiada em umtrisquel, ou em um tripé, se preferirem: análise pessoal, estudos teóricos 
e controle de casos”.
Exemplo 3
Retirado da página http://www.grcportal.com/site?from_info_index=176&infoid=2921&lng=br&sid=78&tpl=view_tpl01.htm
“GRC: O que tem em comu m governança, risco e compliance?”
GRC (Governança, Risco e Compliance) não é apenas outra tentativa do marketing das empresas de TI de vender ferra-
mentas antigas sob uma nova roupagem. 21 Nov 2008| FONTE - ComputerWorld 
“... Assim, em vez de três áreas isoladas, a organização ganha um grande guarda-chuva que congrega as inicia-
tivas e a infra-estrutura ao mesmo tempo em que dá mais profundidade. Em uma metáfora visual, em vez de ten-
tar se equilibrar em três pilares distintos, a empresa pode sentar confortavelmente em um banco com três pernas.” 
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3 POSIÇõES RELATIVAS
No capítulo 2, você estudou posições relativas entre duas retas. Agora você terá oportunidade de estudar as 
possíveis posições relativas entre uma reta e um plano e entre dois planos. Lembre-se que as posições relativas entre 
os elementos geométricos dados de um problema são de fundamental importância para resolução do mesmo.
3.1 Posições relativas entre uma reta e um plano
São três as posições relativas entre uma reta e um plano. Uma delas é quando a reta está contida no plano. O 
axioma V garante que se uma reta possui dois pontos em um plano, está contida neste plano. Se uma reta r não 
está contida em um plano α, então existem duas possibilidades: a reta r intercepta o plano α ou não intercepta.
Definição 1 
Uma reta r é secante a um plano α se, e somente se, r e α possuem um único ponto comum.
Na figura 20 a reta r é secante ao plano α no ponto P.
 
Definição 2 
Uma reta r é paralela a um plano α se, e somente se, r e α não possuem pontos comuns. 
Existem realmente reta e plano que não se interceptam? 
Para responder a esse questionamento faça o modelo descrito a seguir.
Modelo 1
Material necessário:
• Dois retângulos de dimensões 20 cm X 25 cm em isopor de 0,5 cm.
• Canetas hidrocor. 
• Cola de isopor.
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Modo de fazer:
Os retângulos de isopor irão representar dois planos, α e β. Por isso, com a caneta hidrocor escreva essas letras em um 
canto de cada um desses retângulos. Em seguida, no retângulo que representa o plano β desenhe um segmento paralelo ao 
lado desse retângulo que mede 20 cm. Nomeie esse segmento de r, escrevendo com a caneta a letra r próxima do mesmo. 
Lembre-se de que retas são ilimitadas, mas se utilizam de segmentos de reta para representá-las. Assim, você pode considerar 
que o segmento r representa reta r. 
Cole o lado do retângulo que mede 20 cm e que representa o plano β, no retângulo que representa o plano α, em uma 
posição qualquer. Observe a figura 22. Nomeie a reta interseção desses dois planos de s. Observe que as retas r e s foram 
construídas paralelas. 
Em sua opinião a reta r intercepta o plano α?
Observando o modelo, parece que a resposta a essa indagação é negativa. Porém, você deve lembrar que a 
reta e o plano são conjuntos ilimitados. O modelo representa apenas uma parte da reta e do plano. Então, como 
garantir que reta r e o plano α não irão se interceptar em uma posição fora do alcance da sua visão? Nesse caso, 
você deve abstrair (usar sua imaginação) para provar que a reta r não intercepta o plano α.
Comece considerando que existem duas possibilidades:
• A reta r intercepta o plano α.
• A reta r não intercepta o plano α.
Apenas uma dessas possibilidades acontece, assim, se você mostrar que uma delas é falsa, poderá concluir 
que a outra é a verdadeira.
Suponha então que a reta r intercepta o plano α. 
Considere que P seja o ponto de interseção de r e α. 
Pense e responda:
1. O ponto P pertence à reta s?
2. O ponto P pertence ao plano β?
A resposta da primeira pergunta é negativa, pois por construção a reta r é paralela à reta s. A resposta a segunda 
pergunta é afirmativa, pois o ponto P pertence à reta r e essa reta está contida no plano β.
Assim, você pode concluir que o ponto P pertence aos planos α e β, ou seja, a interseção dos mesmos. Ora, 
a interseção desses planos é a reta s, então o ponto P pertence à reta s. Mas esse fato é falso, pois as retas r e s 
são paralelas.
Então a possibilidade da reta r interceptar o plano α conduz a uma falsidade. Daí, essa possibilidade não pode 
acontecer. Logo você pode concluir que a possibilidade verdadeira é que reta r não intercepta o plano α. Portanto, 
existem retas que são paralelas a planos.
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Observe novamente o modelo. A reta s é uma reta do plano α e a reta r foi construída paralela à reta s. Além 
disso, a reta r não está contida no plano α. 
Você demonstrou que nessas condições a reta r é paralela ao plano α, ou seja, se uma reta r é paralela a uma 
reta de um plano α e não está contida nesse plano, então reta r é paralela ao plano α. 
A recíproca desse resultado é também verdadeira e está apresentada na proposição a seguir.
Proposição 1 
Se uma reta é paralela a um plano então essa reta é paralela a uma reta desse plano.
Demonstração:
Comece considerando o plano α representado por uma folha de papel A4 e a reta r por um lápis. Posicione o 
lápis de modo que ele fique paralelo ao plano α. Agora desenhe no plano α um ponto P qualquer. 
Pense e responda:
1. O ponto P pertence à reta r?
Claro que não! O ponto P pertence ao plano α e a reta r é paralela ao plano α.
Lembre-se que: uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. Considere que a reta r e o ponto P 
determinam o plano β. Assim, o ponto P é um ponto da interseção dos planos α e β. 
Daí, os planos α e β se interceptam segundo uma reta. Nomeie essa reta de s. Veja a figura 23.
Pense e responda:
1. As retas r e s são coplanares?
2. As retas r e s se interceptam?
A resposta da primeira pergunta é afirmativa, pois o plano β contém as retas r e s. Já a resposta da segunda 
pergunta é negativa, pois a reta r não intercepta o plano α e a reta s é uma reta do plano α. 
Assim, as retas r e s são coplanares e não se interceptam, daí você pode concluir que r e s são paralelas.
Volte ao início da demonstração e observe que o ponto P foi escolhido um ponto qualquer do plano α. 
Escolha outro ponto P’ sobre o plano α, distinto do ponto P. E seja β’ o plano, determinado por P’ e r. Considere 
a reta s’ interseção do plano α com o plano β’. 
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Pense e responda: 
1. Qual a posição relativa de s’ e r?
2. Quantas retas s’ paralelas à reta r e estão contidas no plano α? 
É claro que r e s’ são paralelas! Essas retas são coplanares pois estão contidas no plano β’ e não se interceptam, 
já que a reta r é paralela ao plano α e s’ está contida em α.
O plano α contém uma infinidade de retas s’ paralelas à reta r, pois o plano α possui uma infinidade de pontos, 
e de modo análogo à demonstração você pode obter retas s’ que são paralelas à reta r.
Resumindo
I - Uma reta r reta e um plano α no espaço podem apresentar as seguintes posições relativas:
II - Considere uma reta r não contida em um plano α. A reta r é paralela ao plano α se, e somente se, existe no 
plano α uma reta s paralela à reta r.
Agora é a sua vez de treinar! Acompanhe as resoluções dos exercícios 1, 2 e 3 da seção “Exercícios resolvidos” 
no final desse capítulo.
3.2 Posições relativas entre dois planos
Dois planos no espaço podem ter pontos comuns ou não. Se dois planos possuem três pontos não alinhados 
em comum, segundo o axioma IV,esses planos são coincidentes. Por outro lado, o axioma VI garante que se dois 
planos distintos têm um ponto em comum, então esses planos se interceptam segundo uma única reta. Assim, 
pode-se definir:
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Definição 3 
Se dois planos se interceptam segundo uma reta, diz-se que esses planos são secantes.
E existem planos que não se interceptam?
Para responder a esse questionamento faça o modelo descrito a seguir.
Modelo 2
Material necessário:
• Um retângulo de dimensão 20 cm X 25 cm em isopor de 0,5 cm.
• Canetas hidrocor. 
• Um bolinha de isopor de diâmetro 2 cm de diâmetro.
• Palitos de churrasco.
Modo de fazer:
Considere que o retângulo representa um plano e nomeie esse plano de α, escrevendo a letra α em um canto 
do retângulo. No plano α, desenhe duas retas r e s concorrentes. Agora considere que a bolinha de isopor repre-
senta um ponto P fora do plano α. Enfie dois palitos de churrasco na bolinha de isopor, de modo que um deles seja 
paralelo à reta r e o outro paralelo à reta s. O palito paralelo à reta r representa uma reta r’ e o palito paralelo à reta 
s representa uma reta s’. Desse modo, as retas r e r’ são paralelas e as retas s e s’ também são.
As retas r’ e s’ são coplanares?
Claro que sim! Pois são retas concorrentes.
Nomeie o plano determinado por r’ e s’ de β. Observe o conjunto formado pelos palitos de churrasco e a bolinha 
de isopor e tente visualizar o plano β.
Em sua opinião o plano β intercepta o plano α?
Novamente, a situação envolve conjuntos ilimitados: o plano α e o plano β. É preciso garantir que esses planos 
não se interceptam em nenhum ponto, incluindo aqueles que estão fora do alcance da visão. Para isso, você terá 
que abstrair (usar a imaginação).
Comece considerando que existem duas possibilidades:
• O plano β intercepta o plano α.
• O plano β não intercepta o plano α.
Imagine que o plano β intercepta o plano α e segundo uma reta t. 
Pense e responda:
1. A reta r’ intercepta o plano α?
2. A reta s’ intercepta o plano α?
3. As retas r’ e t são coplanares?
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4. As retas s’ e t são coplanares?
5. Qual a posição das retas r’ e t?
6. Qual a posição das retas s’ e t?
A resposta da pergunta 1 é negativa. De fato, a reta r’ é paralela ao plano α, pois r’ não está contida nesse plano 
(o ponto P está fora de α) e é paralela a uma reta de α, que é a reta r.
O mesmo acontece com a reta s’, ou seja, s’ é paralela a reta s, está contida no plano α e passa por P, que é um 
ponto fora do plano α. Daí, s’ é paralela ao plano α. E, portanto s’ não intercepta esse plano.
As respostas das perguntas 3 e 4 são afirmativas, pois essas retas estão contidas no plano β.
Ora, as retas r’ e t são coplanares e não se interceptam, pois r’ é paralela ao plano α e a reta t está contida no 
plano α. Logo, r’ e t são retas paralelas.
De modo semelhante s’ e t são coplanares e não se interceptam. Assim, as retas s’ e t são também retas pa-
ralelas. 
Então as retas r’ e s’ passam pelo ponto P e ambas são retas paralelas a reta t. Essa afirmação é uma falsida-
de, pois por um ponto fora de uma reta só se pode traçar uma única reta paralela à reta dada (Veja teorema 4 do 
capítulo 2).
Assim, supor que o plano β intercepta o plano α e segundo uma reta t, conduz a uma falsidade. Logo essa 
possibilidade não pode acontecer. E, portanto o plano β não intercepta o plano α, ou seja, existem planos que não 
se interceptam.
Definição 4
Dois planos que não se interceptam são chamados paralelos.
Baseado na discussão anterior você pode concluir que se um plano contém duas retas concorrentes e ambas 
paralelas ao outro plano, então esses dois planos são paralelos. Volte a observar o modelo 2. 
A recíproca desse resultado é também verdadeira e será apresentada na proposição a seguir.
Proposição 2
Se dois planos são paralelos então um desses planos contém duas retas concorrentes que são paralelas ao outro.
Demonstração:
Suponha que os planos α e β são paralelos e sejam r e s duas concorrentes contidas em α . 
Como a reta r está contida no plano α e esse plano não possui pontos em comum com o plano β, então a reta 
r também não possui pontos comuns com o plano β. Daí a reta r é paralela ao plano β. 
Você pode desenvolver argumentos análogos para mostrar que a reta s é também paralela ao plano β. Logo, r 
e s são paralelas ao plano β.
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Você deve estar lembrado que por um ponto P fora de uma reta r pode-se traçar uma única reta s paralela à reta 
r. Será que também é verdade que por um ponto P fora de um plano α pode-se traçar um único plano β paralelo 
ao plano α? 
A proposição dada a seguir garante que sim.
Proposição 3 
Por um ponto P que não pertence a um plano α pode-se construir um único plano β paralelo a α .
Demonstração:
Considere que uma folha de papel A4 representa um plano α e uma bolinha de isopor representa um ponto P 
que está fora de α. No plano α, desenhe duas retas concorrentes e nomeie-as de r e s. Pelo ponto P, construa com 
palitos de churrasco duas retas: r’ paralela à reta r e s’ paralela à reta s. Você já mostrou que o plano β determinado 
pelas retas r’ e s’ é um plano paralelo ao plano α. 
Mas será que o plano β é o único plano paralelo ao plano α passando por P?
Você vai precisar usar a sua imaginação para responder a essa indagação. Comece supondo que existe outro 
plano β’ paralelo ao plano α e que passa por P. Note que o ponto P pertence aos dois planos β e β’. Assim, esses 
planos se interceptam segundo uma reta que passa pelo ponto P. Nomeie a reta interseção de β e β’ de t.
Pense e responda:
Qual a posição da reta t em relação ao plano α?
Ora, como a reta t está contida no plano β e esse plano é paralelo ao plano α, então a reta t não possui pontos 
comuns com o plano α. Daí, a reta t é paralela ao plano α.
Agora considere em α uma reta m não paralela a t e seja π o plano determinado por m e pelo ponto P. Os planos 
β, β’ e π passam pelo ponto P, logo se interceptam segundo retas que passam por P. Sejam n e n’ as retas interse-
ções do plano π com os planos β e β’, respectivamente. 
Assim, n e m são coplanares (estão contidas no plano π) e não se interceptam por estarem contidas em planos 
paralelos (α e β são paralelos), daí as retas n e m são paralelas. 
De modo análogo, n’ e m são coplanares (estão contidas no plano π) e não se interceptam por estarem contidas 
em planos paralelos (α e β’ são paralelos), daí as retas n’ e m são paralelas. Então, as retas n e n’ passam por P e 
ambas são paralelas à reta m. Mas essa afirmação é uma falsidade, porque por um ponto fora de uma reta pode-se 
traçar uma única paralela a reta dada. Assim, supor que existe outro plano β’ paralelo ao plano α e que passa por 
P conduz a uma falsidade. Portanto não existe tal plano, ou seja, o plano β é único.
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Resumindo
Dois planos podem apresentar as seguintes posições relativas:
3.3 Exercícios resolvidos
1. Considere que a reta r é paralela ao plano α e seja β um plano que contém a reta r e intercepta o plano α 
segundo a reta s. Mostre que s é uma reta paralela à reta r. 
Solução:
Comece observando que as retas r e s são coplanares, pois estão contidas no plano β. Além disso, a reta r é 
paralela ao plano α e s está contida em α, daí a reta r não intercepta a reta s. Logo, as retas r e s são coplanares 
e não se interceptam, portanto as retas r e s são paralelas. 
2. Mostre que se uma reta r é paralela a dois planos secantes então r é paralela a reta interseção desses planos.Solução:
Comece considerando uma reta r paralela aos planos α e β, que se interceptam segundo uma reta s. Note que 
a reta r não intercepta a reta s, pois a reta r é paralela aos planos α e β. Assim, as retas r e s podem ser paralelas 
ou reversas. 
Considere agora um ponto P da reta s e seja γ o plano determinado por P e r. Assim, o ponto P pertence aos 
planos β e γ. Daí, esses planos se interceptam segundo uma reta t, que passa por P. Veja a figura 33. Pelo exercício 
1, as retas r e t são paralelas. 
De modo análogo, o ponto P também pertence ao plano α e ao plano γ. Daí esses planos se interceptam segundo 
uma reta m, que passa por P e m é também paralela a reta r. 
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Então, temos duas retas t e m paralelas a reta r passando por P, logo as retas t e m coincidem. 
Observe então que: m está contida em α, m coincide com t e t está contida em β. Assim, a reta m está contida 
em β. Logo, m coincide com a reta interseção dos planos α e β, ou seja, a reta s. Ora, a reta r é paralela à reta m, 
então você pode concluir que a reta r é paralela à reta s.
3. Mostre que se uma reta r é paralela à reta t e a reta t é paralela à reta s, então a reta r é paralela à reta s, ou 
seja, o paralelismo de retas goza da propriedade transitiva.
Solução:
Observe inicialmente que existem duas situações:
As retas r, s e t são coplanares.
As retas r, s e t não são coplanares. 
Lembre-se que o paralelismo na Geometria Plana goza da propriedade transitiva. Assim, na primeira situação, 
você pode concluir que a reta r é paralela à reta s.
Considere então que as retas r, s e t não são coplanares. Nesse caso, existem três possibilidades:
• r e s são concorrentes;
• r e s são reversas;
• r e s são paralelas.
Suponha que r e s sejam concorrentes em um ponto P. Observe que o ponto P não pertence à reta t, pois a 
reta r é paralela à reta t. Assim, as retas r e s são duas paralelas à reta t passando por P. Mas essa afirmação é 
uma falsidade, pois por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada. Logo essa 
possibilidade conduz a uma falsidade e, portanto as retas r e s não são concorrentes.
Suponha agora que r e s sejam reversas. Como a reta s é paralela à reta t, essas retas determinam um plano. 
Seja α o plano determinado por s e t. Observe que a reta r não está contida em α já que r e s são reversas. Assim, 
têm-se duas possibilidades:
• A reta r intercepta α em um ponto Q;
• A reta r é paralela ao plano α.
Suponha que r intercepta α em Q (Figura 34). Observe que como r é reversa com s e paralela a t, o ponto Q não 
pertence nem a reta s nem a reta t. Assim, no plano α, pelo ponto Q você pode traçar uma reta s’ paralela à reta t. 
Daí, as retas r e s’ são duas paralelas à reta t, passando por P. Mas essa afirmação é uma falsidade. Logo, a reta r 
não pode interceptar o plano α em um ponto Q.
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Suponha agora que r é paralela ao plano α (Figura 35). Considere um ponto M da reta s e seja β o plano 
determinado por M e r. O ponto M pertence aos planos α e β, daí esses planos se interceptam segundo uma reta 
r’ que é paralela à reta r (ver exercício 1 acima). Observe que s, r’ e t são coplanares (estão contidas no plano α). 
Lembre-se que no plano, se r’ intercepta s irá interceptar qualquer outra paralela a s, em particular a reta t. Seja 
N o ponto de interseção de r’ e t. Assim, as retas r’ e t são duas retas distintas passando por N e paralelas à r. E 
novamente, a suposição que a reta r é paralela ao plano α, conduz a uma falsidade. Assim, essa possibilidade 
também não acontece, consequentemente, as retas r e s não são reversas. 
Portanto, a terceira possibilidade é verdadeira, ou seja, as retas r e s são paralelas.
4. Mostre que se um plano β intercepta um plano α então interceptará qualquer plano α’ paralelo ao plano α. 
 
Solução:
Considere que α e α’ são planos paralelos e seja β um plano que intercepta o plano α, segundo a reta s. Assim, 
duas possibilidades podem acontecer:
• β e α’ são planos paralelos;
• β e α’ se interceptam.
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Suponha que β e α’ sejam planos paralelos. Considere então um ponto P da reta s. Assim, o plano β e o plano 
α são paralelos ao plano α’ e passam por P. Mas essa afirmação é uma falsidade. Daí, supor que β e α’ sejam 
planos paralelos conduz a uma falsidade. Logo, tal possibilidade não pode acontecer. Portanto, o plano β intercepta 
o plano α’.
Observe ainda que se r é a reta interseção dos planos β e α’, então as retas r e s são coplanares (estão contidas 
no plano β) e não se interceptam (estão contidas em planos paralelos α e α’). Daí, as retas r e s são paralelas.
5. Mostre que se uma reta r é secante a um plano α então será secante a qualquer outro plano α’ paralelo ao 
plano α. 
Solução:
Sejam α e α’ planos paralelos e r uma reta que intercepta α no ponto P. Duas possibilidades podem aconte-
cer:
• A reta r e o plano α’ são secantes;
• A reta r e o plano α’ são paralelos.
Suponha que a reta r seja paralela ao plano α’. Considere β um plano que contém a reta r e intercepta o plano 
α segundo a reta s. Pelo exercício anterior, o plano β intercepta também o plano α’, segundo uma reta s’, que é 
paralela à reta s. 
Observe que as retas r, s e s’ são coplanares, estão contidas no plano β. Lembre-se então que na Geometria 
Plana se uma reta intercepta uma de duas paralelas interceptará também a outra. Desse modo, a reta r intercepta a 
reta s’ em um ponto Q. Como s’ está contida em α’ então o ponto Q pertence ao plano α’ e daí, a reta r intercepta 
o plano α’ em Q. Mas essa afirmação contradiz a suposição que a reta r é paralela ao plano α’. Assim, supor que 
a reta r é paralela ao plano α’ conduz a uma contradição. Logo, tal possibilidade não pode acontecer. Portanto, a 
reta r e o plano α’ são secantes.
3.4 Exercícios propostos
1. Classifique as sentenças a seguir em verdadeiro(V) ou falso(F) :
a) Retas contidas em planos paralelos são paralelas. ( )
b) Se uma reta r é paralela a um plano, então r é paralela a todas as retas desse plano. ( )
c) Se α e β são planos paralelos e a reta r está contida em α, r é paralela ao plano β. ( )
d) Se uma reta r é secante a um plano α, então r é secante a todas as retas de α. ( )
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e) Se uma reta r passa pelo ponto P que não pertence ao plano α e é paralela a uma reta contida em α, então 
r é paralela ao plano α. ( )
f) Duas retas determinam um plano. ( )
g) Seja uma reta r é paralela aos planos α e β, que se interceptam segundo uma reta t, então toda reta r e t são 
paralelas. ( )
h) Se uma reta r é paralela ao plano α, então toda reta s concorrente com r é paralela a α. ( )
2. Mostre que se uma reta é secante a um plano, então ela é concorrente ou reversa as retas deste plano.
3. Mostre que se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela ou reversa as retas deste plano.
4. Sejam r e s duas retas reversas, construa um plano contendo r e paralela à reta s.
5. Construa por um ponto A um plano paralelo a duas retas reversas.
3.5 Construção de modelo
Um paralelepípedo é um sólido limitado por seis paralelogramos. Cada paralelogramo é chamado face e o en-
contro de duas faces é chamado aresta. 
Com palitos de churrasco e bolinhas de isopor construa um paralelepípedo de arestas AB, AD e AE. Observe a 
figura 41.
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Utilize o modelo construído para fazer as atividades a seguir:
I – Mostre que:
a)As retas AH e BG são paralelas.
b) As retas AE e BG são reversas.
c) A reta AH é paralela o plano BGE.
d) A interseção dos planos HGB e ABC é a reta AB.
e) A reta MN é paralela ao plano ACH, onde M e N são pontos médios dos segmentos AB e BC, respectivamente.
 
II – Se possível, dê os exemplos pedidos, utilizando os elementos do modelo. Caso contrário, justifique a sua res-
posta.
a) Uma reta contida no plano DBG e paralela à reta HF.
b) Uma reta contida no plano BCG e concorrente à reta AH.
c) Uma reta contida no plano BCG e reversa à reta AH.
d) Um plano que passa por C e é paralela aos planos ABF e EFG.
e) De duas retas paralelas passando pelos pontos, A,B,G e F.
f) De exemplo de três retas tais que: duas sejam paralelas, duas sejam concorrentes e duas sejam reversas.
g) Uma reta r paralela à reta MN que está contida no plano HAC.
h) Uma reta s paralela à reta MN que está contida no plano ABF.
i) Uma reta paralela à reta BG e concorrente à reta AF.
j) Uma reta concorrente a apenas uma de duas retas paralelas.
 III – Identifique:
a) A reta de interseção dos planos HFB e DFC.
b) A reta interseção dos planos ACG e HGB.
A interseção da reta DF com o plano AEH.
?? VOCÊ SABIA?
A forma dos paralelepípedos inspirou e inspira até hoje os projetos arquitetônicos 
em todo o mundo. Em Salvador, Bahia o Edifício Casa do Comércio, localizado 
na Avenida Tancredo Neves é um belo exemplo desse fato. Você poderá ver fotos 
desse edifício no site http://arquitetandonanet.blogspot.com/2009/04/edificio-
casa-do-comercio-salvador.html.
Outro exemplo é Shopping Paralela também em Salvador, Bahia inaugurado em 
28 de abril de 2009, cuja fachada é composta de dois paralelepípedos, sendo um 
deles um cubo. Confira a beleza do conjunto no endereço http://pt.wikipedia.org/
wiki/Shopping_Paralela.
 
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4 VOLUME DE SÓLIDOS
Nesse capítulo, será utilizada a noção intuitiva de que o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele 
ocupado. Apesar de pouco precisa essa noção permite estabelecer métodos sistemáticos para o cálculo de volumes 
de sólidos em geral. 
Você será orientado a construir cilindros e prismas e terá oportunidade de estudar os volumes e as áreas laterais 
desses sólidos. 
4.1 Axiomas e definições
Definição 1
Um ponto P é um ponto interior de um sólido S se existe uma esfera de centro em P inteiramente contida em S. 
Se P pertence a um sólido S, mas não é um ponto interior de S, diz-se que P é um ponto da superfície de S.
Observe o sólido da figura 42. O ponto P é um ponto interior e o ponto R é um ponto da superfície desse sólido.
Definição 2
Dois sólidos são congruentes quando um deles pode ser obtido do outro através de translações, rotações, 
simetrias ou composições desses movimentos.
Na figura 43, o sólido S2 pode ser obtido do sólido S1 através de uma translação. O sólido S3 pode ser obtido do 
sólido S1 através de uma simetria e o sólido S4 pode ser obtido do sólido S1 através de uma rotação. Desse modo, 
os sólidos S1, S2, S3 e S4 são congruentes. Observe que todos esses movimentos modificam a posição do sólido 
no espaço, mas não alteram a sua forma. 
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Axiomas 
Axioma I 
• A cada sólido S está associado um número real não negativo, chamado volume de S.
 A notação V(S) será utilizada para designar o volume do sólido S.
Axioma II 
• Sólidos congruentes possuem volumes iguais.
Axioma III
• Se um sólido S é a reunião de um número finito de sólidos que não têm pontos interiores em comum, então 
o volume de S é a soma dos volumes desses sólidos. 
 Por exemplo, na figura 44, tem-se: )S(V)S(V)S(V)S(V)S(V 4321 +++=
Axioma IV
• Considere S1 e S2 dois sólidos que podem ser apoiados em um plano α. Se todo plano paralelo ao plano α 
que intercepta um desses sólidos intercepta também o outro, segundo figuras de mesma área, então esses 
sólidos têm mesmo volume.
Esse axioma é conhecido como Postulado de Cavalieri. Observe que para utilizar este postulado, os sólidos têm 
que ter necessariamente alturas iguais em relação ao plano α. 
Para medir o volume de um sólido faz-se uma comparação com uma unidade de medida. A unidade que será 
utilizada neste texto é um cubo de aresta medindo uma unidade de comprimento. A definição a seguir o ajudará a 
lembrar o que são um paralelepípedo, um paralelepípedo retângulo e um cubo. 
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Definição 3 
Um paralelepípedo é um sólido limitado por seis paralelogramos. Cada paralelogramo é chamado face e o 
encontro de duas faces é chamado aresta.
A figura 46 ilustra um paralelepípedo, onde os paralelogramos ABCD e BCGF são duas faces que se interceptam 
segundo a aresta BC.
Um paralelepípedo que possui todas as faces retangulares chama-se paralelepípedo retângulo. Caixas de sapatos 
geralmente possuem a forma de um paralelepípedo retângulo. As pedras utilizadas para calçamento de algumas 
ruas conhecidas por “paralelepípedos” são na verdade paralelepípedos retângulos. Na próxima vez que você for ao 
supermercado observe que várias mercadorias são acondicionadas em embalagens que possuem a forma de um 
paralelepípedo retângulo.
Costuma-se referir às medidas de três arestas não coplanares de um paralelepípedo retângulo como comprimento, 
largura e altura do mesmo. Observe a figura 47.
Um paralelepípedo retângulo que possui comprimento, largura e altura iguais é chamado cubo. 
Agora que você está lembrado o que é um cubo, pode-se estabelecer a unidade de medida de volume. 
Axioma V
• Um cubo de arestas medindo uma unidade de comprimento possui volume igual a uma unidade de volume (u.v.).
Costuma-se chamar um cubo de aresta medindo uma unidade de comprimento de cubo unitário. O cubo unitário 
é a unidade de volume que será utilizada neste texto e será representado por C1. 
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Medir o volume de um sólido é comparar o espaço ocupado pelo mesmo com o espaço ocupado por um cubo 
unitário C1. Por exemplo, o sólido S da figura 49 é composto de cinco cubos unitários daí seu volume ser igual a:
.v.u51.5)C(V5)S(V 1 ==⋅=
4.2 Volumes de um cubo e de um paralelepípedo retângulo
A comparação direta do volume de um sólido S com o volume do cubo unitário na maioria das vezes é bem 
trabalhosa. Por essa razão se estabelecem algumas fórmulas (teoremas), visando simplificar a obtenção de volumes 
de sólidos. Nessa seção, você conhecerá duas dessas fórmulas: a que calcula o volume de um cubo qualquer e a 
que calcula o volume de um paralelepípedo retângulo.
Teorema 1
Um cubo C cuja aresta mede o número real n possui volume n3.
Demonstração:
 Esta demonstração será feita em três etapas:
1a etapa: O número n é um inteiro. 
Construa um cubo de aresta medindo duas unidades de comprimento, justapondo cubos unitários. Quantos 
cubos unitários você utiliza nessa construção?
Comece justapondo dois cubos unitários e observe que o paralelepípedo retângulo construído possui compri-
mento 2, largura 1 e altura 1, ou ainda, dimensões 112 ×× . Em seguida, justaponha mais dois cubos unitários 
como mostra a figura 50. Esse novo paralelepípedo possui dimensões 122 ×× . 
 
Finalmente, justaponha mais quatro cubos unitários como ilustra a figura 51 e você terá construído um cubo de 
aresta medindo 2 unidades de comprimento, ou seja, um cubo de dimensões 222 ×× . Assim, foram necessários 
32222 =×× cubos unitários para construir um cubo de aresta medindo duas unidades de comprimento.
Repita o raciocínio para construir um cubo de aresta medindo três unidades de comprimento.Observe que nesse 
caso serão necessários 33333 =×× cubos unitários.
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Você pode concluir então que para construir um cubo C com aresta medindo um número inteiro n serão neces-
sários 3nnnn =×× cubos unitários. E então o volume desse cubo poderá ser calculado como:
33
1 n1n)C(V)nnn()C(V =×=×××= u.v.
Logo o teorema está provado para n igual a um número inteiro.
2a etapa: O número n é racional.
Inicialmente, considere um cubo C de aresta medindo 
2
1
n = . Justapondo dois cubos de aresta medindo 
2
1
n = , 
você obterá um paralelepípedo retângulo de dimensões 
2
1
2
1
1 ×× como ilustra a figura 52.
Em seguida, justaponha mais dois cubos de arestas medindo 
2
1
 como ilustra a figura 53, assim você terá 
construído um paralelepípedo retângulo de dimensões 
2
1
11 ×× . 
Finalmente, justapondo mais quatro cubos de arestas medindo 
2
1 você obterá um cubo unitário. Assim, foram 
necessários 32222 =×× cubos de aresta medindo 
2
1 para construir um cubo unitário.
Se o cubo C possuísse aresta medindo 
3
1
n = unidades de comprimento, quantos cubos iguais a C seriam 
necessários para construir um cubo unitário?
Acompanhe o raciocínio: no comprimento seriam necessários três cubos iguais a C 



 =⋅ 1
3
1
3 , na largura três e na altura 
mais três. Assim, seriam necessários 33333 =×× cubos de aresta medindo 
3
1
 para construir um cubo unitário.
De modo análogo, se um cubo C2 possui aresta medindo q
1
 serão necessários 3qqqq =×× cubos iguais a 
C2 para construir um cubo unitário C1. Então,
)C(Vq)C(V)qqq()C(V 2
3
21 ×=×××=
Daí, .v.u
q
1
)C(V
q
1
)C(V
3
132 


==
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Agora considere um cubo C de aresta medindo 
2
3
 unidades de comprimento. Com cubos C2 de aresta medindo 2
1
 
construa o cubo C. Observe a figura 54.
Nesse caso seriam necessários 33333 =×× cubos iguais a C2 para construir um cubo C de aresta medindo 2
3
 
unidades de comprimento.
Quantos cubos iguais ao cubo C2 seriam necessários para construir um cubo C de aresta medindo 2
5
 unidades 
de comprimento?
Observe o raciocínio: no comprimento seriam necessários cinco cubos iguais a C2 


 =⋅
2
5
2
1
5 , na largura 
cinco e na altura mais cinco. Assim, seriam necessários 35555 =×× cubos de aresta medindo 
2
1
 para 
construir um cubo C de aresta medindo 
2
5
 unidades de comprimento.
De modo análogo, se um cubo C possui aresta medindo 
q
p
 serão necessários 3pppp =×× cubos C2 de arestas 
medindo 
q
1
 para construir um cubo C. Então,
.v.u
q
p
q
1
p)C(V)ppp()C(V
3
3
3
2 


=×=×××=
Logo o teorema também está provado para n igual a um número racional 
q
p
.
3a etapa: O número n é irracional.
Nesse caso será utilizado o “método de exaustão” que se baseia na análise das possibilidades, eliminando uma 
a uma até que só sobre uma, que é a verdadeira.
Aqui será mostrado que qualquer número real a < n3 não é o volume de um cubo C de aresta n, pois a é menor 
que o volume do cubo C. E que qualquer número real b > n3 não é o volume de um cubo C de aresta n, pois b é 
maior que o volume do cubo C. Desse modo, a única possibilidade que restou é que o volume do cubo C é igual a 
n3, assim, esta é a possibilidade verdadeira.
Para demonstrar esses fatos será utilizado um resultado de Análise que diz “Dados dois números reais p < 
q, existe um número racional r tal que p < r < q” . Você terá oportunidade de estudar com mais detalhes essa 
proposição quando fizer a disciplina “Análise”.
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Considere então que a é um número real menor que n3, ou seja, 3na < . Daí, na3 < . Utilizando o resultado 
de Análise existe um número racional r, tal que nra3 << . Assim, você pode construir no interior do cubo C de 
aresta n, um cubo C de aresta r e por esta razão que o volume de C é menor do que o volume de C, ou seja, 
)C(V)C(V < . 
Então, ( ) )C(V)C(Vraa 333 <=<= .
Logo, o número a é menor que o volume do cubo C.
Considere agora que b é um número real maior que n3, ou seja, bn3 < . Daí, 3 bn < . Utilizando o resultado de 
Análise existe número racional s, tal que 3 bsn << .
Assim, você pode construir no interior do cubo C de aresta s um cubo C de aresta n. Daí o volume de C é 
maior do que o volume de C, ou seja, ()CV)C(V < .
Então,
 ( ) bbs)C(V)C(V 333 =<=< 
Logo, o número b é maior que o volume do cubo C. 
Ora, se 3na < então a é menor que o volume do cubo C e, se bn3 < então b é maior que o volume do cubo C, 
logo o volume do cubo C é igual a n3. Esse argumento completa a demonstração e você já pode utilizar a fórmula 
3
Cubo nV = , n um número real qualquer.
Teorema 2
Seja C um paralelepípedo retângulo de dimensões: comprimento a, largura b e altura c. O volume de C é igual 
ao produto cba ⋅⋅ .
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A demonstração desse teorema pode ser feita de modo semelhante ao teorema 1. 
Observe a figura 57. O produto ba ⋅ é igual à área da base ABCD do paralelepípedo e c é igual à altura corres-
pondente a essa base. Assim, você pode considerar que: 
V(C) = cba ⋅⋅ = área da base x altura
Observe ainda que a base escolhida pode ser qualquer uma. Por exemplo, se você escolher a base BCGF, então a 
área dessa base é ( cb ⋅ ) e a altura correspondente é a. Daí o volume do paralelepípedo C é dado por a)cb()C(V ⋅⋅=
, ou seja, não houve alteração do volume de C, pois o produto de números reais é comutativo.
4.3 Volume de um prisma e áreas laterais e totais de prismas
Nessa seção você terá a oportunidade de conhecer as definições de cilindros e prismas, estudar suas proprie-
dades e estabelecer as fórmulas que determinam o volume e as áreas laterais e totais de um prisma.
Definição 4 
 Em um plano α, considere uma curva simples C (sem auto-interseções). Seja g um segmento de reta não 
paralelo ao plano α. Considere P um ponto da curva C ou da região limitada por C. Em um dois semi-espaços 
determinados pelo plano α, para cada ponto de P, construa um segmento de reta congruente e paralelo a g. O sólido 
formado pela reunião de todos esses segmentos é chamado de cilindro de base C e geratriz g. A figura 58 ilustra 
um cilindro de base C e geratriz g.
Quando a geratriz g é perpendicular ao plano da base C diz-se que o cilindro é reto, caso contrário, diz-se que 
o cilindro é oblíquo.
Definição 5 
Um cilindro cuja base é um polígono (região poligonal) é chamado prisma. 
Você poderá construir o prisma ilustrado na figura 59, seguindo as instruções que se encontram na planificação 
01 do Anexo 1. O modelo desse prisma vai auxiliá-lo na análise que será realizada no parágrafo seguinte.
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Pela definição de cilindro, os segmentos A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, e A5B5 são todos paralelos e congruentes ao 
segmento g. Esses segmentos são chamados arestas laterais. Assim, as arestas laterais de um prisma são para-
lelas e congruentes. Consequentemente, os quadriláteros A1A2B2B1, A2A3B3B2, A3A4B4B3, A4A5B5B4 e A5A1B1B5 são 
paralelogramos. Esses paralelogramos são chamados faces laterais. 
Costuma-se nomear um prisma de acordo com a sua base, ou seja, se a base for um pentágono diz-se que o 
prisma é pentagonal. Um prisma cuja base é um quadrilátero diz-se que é um prisma quadrangular. Observe que um 
paralelepípedo é um prisma quadrangularcuja base é um paralelogramo. E o paralelepípedo retângulo é um prisma 
quadrangular cuja base é um retângulo. Você poderá montar modelos que representam paralelepípedos, utilizando 
as planificações 2 e 3 do Anexo 1.
Definição 6 
A interseção de um prisma com um plano paralelo ao plano da base é chamada seção meridiana.
Por exemplo, considere o prisma ilustrado na figura 60. Seja α o plano que contém a base desse prisma e β um 
plano paralelo ao plano α. Assim, o polígono LMNOK é uma seção meridiana desse prisma.
Construa o modelo 4 do Anexo 1 e encaixe no modelo 1 que você já construiu. Assim, você poderá identificar 
a seção meridiana LMNOK no plano β.
Proposição 1
Toda seção meridiana de um prisma é congruente com a base do mesmo.
Demonstração:
Vamos orientá-lo a mostrar que os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 ilustrados na figura 60 são congruentes.
Comece observando que as retas A1K e A2L são paralelas, pois as arestas laterais de um prisma são paralelas. 
Lembre-se que duas retas paralelas determinam um plano, seja π o plano determinado pelas retas A1K e A2L. Ob-
serve que as retas A1A2 e KL estão contidas em π, pois cada uma dessas retas possui dois pontos que pertencem 
ao plano π. Além disso, as retas A1A2 e KL não se interceptam por estarem contidas nos planos α e β, respecti-
vamente, e esses planos são paralelos. Assim, as retas A1A2 e KL são coplanares e não se interceptam. Daí, você 
pode concluir que essas retas são paralelas.
Logo o quadrilátero A1A2LK possui os lados opostos paralelos, portanto esse quadrilátero é um paralelogramo. 
Consequentemente, os segmentos A1A2 e KL são congruentes. De modo análogo, você pode mostrar que os pares 
de lados A2A3 e JM, A3A4 e MN, A4A5 e NO e A5A1 e OK são congruentes. Então os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 
possuem lados congruentes. 
É necessário ainda mostrar que esses polígonos possuem ângulos correspondentes congruentes. Para isso, 
considere os triângulos A1A2A5 e KLO ilustrado na figura 60. Você pode mostrar que os lados A2A5 e LO são con-
gruentes de modo semelhante ao empregado para mostrar que os lados A1A2 e KL são congruentes. Tente! É um 
bom exercício! E é só seguir os passos que foram dados naquela demonstração.
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Assim, os triângulos A1A2A5 e KLO possuem lados correspondentes congruentes daí são congruentes pelo caso 
Lado-Lado-Lado. Daí, os ângulos 215 AAA
∧
 e LKO
∧
 são congruentes, pois são ângulos correspondentes em triân-
gulos congruentes. De modo análogo, você pode mostrar que os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 possuem ângulos 
correspondentes congruentes. Assim, os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 são congruentes. Portanto, você pode 
concluir que toda seção meridiana de um prisma é congruente com a base do mesmo.
Volte a observar o prisma da figura 60. O polígono B1B2B3B4B5 é uma seção meridiana desse prisma, pois está 
contido no plano B1B2B3 que é paralelo ao plano α. De fato, o plano B1B2B3 contém as retas concorrentes B1B2 e B1B3 
e essas retas são, respectivamente, paralelas às retas A1A2 e A1A3 contidas no plano α. Você pode então concluir 
que os polígonos A1A2A3A4A5 e B1B2B3B4B5 são congruentes. Como A1A2A3A4A5 é a base do prisma, costuma-se 
dizer que B1B2B3B4B5 é também uma base desse prisma, ou seja, um prisma possui duas bases. Chama-se altura 
de um prisma a distância entre as bases do mesmo. 
Teorema 3
O volume de um prisma é igual ao produto da área de sua base pela sua altura.
Demonstração:
 Construa os modelos concretos 1 e 3 do Anexo 1, eles facilitarão o entendimento dessa demonstração. 
Comece considerando um prisma e um paralelepípedo retângulo de mesma altura e bases com áreas iguais, 
apoiados em um plano α. Como o prisma e o paralelepípedo possuem alturas iguais, todo plano β paralelo ao plano 
α que intercepta o prisma, interceptará também o paralelepípedo. Construa o modelo 5 do Anexo 1 e encaixe os 
modelos 1 e 3.
Vamos orientá-lo a mostrar que essas seções meridianas possuem áreas iguais, para poder utilizar o Postulado 
de Cavalieri. Você está lembrado desse postulado? Releia o axioma IV.
Agora considere que as seções meridianas do prisma e do paralelepípedo no plano β são o polígono P e o 
retângulo R, respectivamente. 
Utilizando a proposição 1, você pode concluir que o polígono P é congruente com a base do prisma. Ora, polígo-
nos congruentes possuem áreas iguais. Assim, o polígono P possui área igual à área da base do prisma. Utilizando 
raciocínio análogo, você pode concluir que o retângulo R e a base do paralelepípedo retângulo também possuem 
áreas iguais. Mas por hipótese as bases do prisma e do paralelepípedo possuem áreas iguais, daí, o polígono P e o 
retângulo R possuem áreas também iguais. Então o Postulado de Cavalieri garante que o prisma e o paralelepípedo 
retângulo possuem volumes iguais. 
Como o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área de sua base pela sua altura, você pode 
concluir que o volume de um prisma é também o produto da área de sua base pela sua altura.
Calcule o volume do prisma do modelo 1, utilizando o teorema 1. Para isso basta você multiplicar a área da base 
desse prisma pela sua altura.
Você já sabe que as faces laterais de um prisma são paralelogramos. A soma das áreas desses paralelogramos 
(faces laterais) é chamada área lateral do prisma. A soma da área lateral de um prisma com as áreas de suas bases 
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é chamada área total do prisma. Por exemplo, no prisma ilustrado na figura 62 a área lateral ( lateralS ) é dada pela 
soma das áreas dos paralelogramos ABED, BCFE e ACFD, ou seja,
ACFDBCFEABEDlateral SSSS ++= .
E a área total ( totalS ) é dada pela soma de lateralS com as áreas das bases ABC e DEF, ou seja,
ABClateraltotal S2SS ⋅+=
Calcule a área lateral e a área total do paralelepípedo do modelo 3 do Anexo 1. Lembre-se de que um retângulo 
é um paralelogramo e que a área de um paralelogramo é dada pelo produto do comprimento de uma de suas bases 
pela altura correspondente.
4.4 Volume de um cilindro e áreas laterais e totais
Na seção anterior você conheceu a definição de cilindro, nessa seção você aprenderá a calcular o volume de 
um cilindro circular e as áreas laterais e totais do mesmo. 
Definição 7 
Um cilindro cuja base é um círculo é chamado cilindro circular. 
O cilindro circular é comumente chamado cilindro. Você mesmo já deve ter ouvido alguém falar “cilindro” para 
se referir ao cilindro circular. Neste texto, a partir desse parágrafo, também será utilizada a palavra “cilindro”, sig-
nificando cilindro circular. Mas você já sabe que existem outros cilindros que não são circulares, como a exemplo 
dos prismas.
Você poderá utilizar as planificações 06 (cilindro reto) e 07 (cilindro oblíquo) do Anexo 1 para construir cilindros. 
Esses modelos irão auxiliá-lo a desenvolver a visão espacial e consequentemente, você compreenderá com mais 
facilidade os parágrafos seguintes.
A interseção de um cilindro com um plano paralelo ao plano da base é também chamada seção meridiana.
Proposição 2
Toda seção meridiana de um cilindro possui a mesma área que a base do mesmo.
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Demonstração:
 Considere um cilindro de geratriz g e cuja base está contida no plano α. Seja β um plano paralelo ao plano α 
que intercepta esse cilindro. Considere também que a base desse cilindro possui centro no ponto O e que OC seja 
um raio qualquer desse círculo. Observe a figura 63.
Utilizando a definição de cilindro você pode concluir que as retas OO” e CC” são paralelas, pois são ambas 
paralelas à geratriz g. Daí, os segmentos OO’ e CC’ são paralelos. Por outro lado, os segmentos OC e O’C’ são 
coplanaresporque estão contidos no plano das paralelas OO” e CC”, já que possuem dois de seus pontos nesse 
plano. Além disso, os segmentos OC e O’C’ não se interceptam, por estarem contidos nos planos α e β, respecti-
vamente, que são paralelos. Assim, você pode concluir que os segmentos OC e O’C’ são também paralelos. Logo 
o quadrilátero OCC’O’ possui lados opostos paralelos e daí OCC’O’ é um paralelogramo. Consequentemente, OC e 
O’C’ são congruentes. Como OC foi um raio qualquer do círculo da base, você pode concluir que a interseção do 
cilindro com o plano β é um círculo de centro em O’ e que o raio desse círculo é igual ao raio do círculo da base do 
cilindro. Portanto toda seção meridiana de um cilindro possui a mesma área que a base do mesmo.
Volte a observar o cilindro da figura 63. O círculo de centro em O’’ e raio O’’C’’ é também uma seção meridiana 
desse cilindro, daí possui área igual à área da base do cilindro. Costuma-se também dizer que o círculo de centro 
O’’ e raio O’’C’’, é também uma base do cilindro. Assim, o cilindro possui duas bases que estão contidas em planos 
paralelos como também acontece com as bases de um prisma.
Chama-se altura de um cilindro a distância entre os planos que contém as bases do mesmo. 
Teorema 4
O volume de um cilindro é igual ao produto da área de sua base pela sua altura, ou seja, hRV ⋅⋅= 2π , onde 
R é o raio do cilindro e h é a sua altura.
Demonstração:
 Considere um paralelepípedo retângulo cuja área da base e a altura sejam, respectivamente, iguais à área da 
base e altura do cilindro.
Os modelos 03 e 06 do Anexo 1 satisfazem as essas condições, por isso você pode utilizá-los para facilitar o 
entendimento da demonstração. Construa também o modelo 08, encaixe os modelos 03 e 06 no modelo 08 e apóie 
esse conjunto numa mesa. A mesa representa o plano α que contém as bases do paralelepípedo e do cilindro. 
Como o cilindro e o paralelepípedo possuem a mesma altura todo plano β paralelo ao plano α, que intercepta 
um desses sólidos interceptará também o outro. Vamos orientá-lo a mostrar que as seções meridianas do cilindro 
e do paralelepípedo no plano β possuem áreas iguais, assim pode-se utilizar o Postulado de Cavalieri. 
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Comece considerando que as seções meridianas do cilindro e do paralelepípedo no plano β são o círculo C e o 
retângulo R, respectivamente. Veja a figura 65.
Utilizando a proposição 2, você pode concluir que o círculo C possui área igual à área da base do cilindro. A 
proposição 1 garante que o retângulo R e a base do paralelepípedo retângulo também possuem áreas iguais. Por 
hipótese as bases do cilindro e do paralelepípedo possuem áreas iguais, daí, o círculo C e o retângulo R possuem 
áreas também iguais. Então o Postulado de Cavalieri garante que o cilindro e o paralelepípedo retângulo possuem 
volumes iguais. Como o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área de sua base pela sua altura, 
você pode concluir que o volume de um cilindro é também o produto da área de sua base pela sua altura. Ou seja, 
hRV ⋅⋅= 2π , onde R é o raio do cilindro e h é a sua altura.
Você já sabe calcular as áreas laterais e totais de um prisma. Agora terá a oportunidade de aprender a calcular 
as áreas laterais e totais de um cilindro. 
Comece considerando um cilindro circular reto. Imagine que você possa retirar as bases do cilindro, fazer um 
corte na direção de uma geratriz e abrir o cilindro de modo que possa representá-lo em um plano. Nesse processo, 
você obtém um retângulo cujos lados possuem medidas iguais a altura h do cilindro e ao comprimento do círculo 
da base, ou seja, Rπ2 , onde R é o raio do círculo da base. 
Desse modo, a área lateral do cilindro é igual à área desse retângulo daí,
.
A área total do cilindro é igual à soma da área lateral com as áreas das bases, ou seja,
.
Por exemplo, considere que um cilindro circular reto possui raio da base igual a 4 cm e que a sua altura seja 10 
cm. Então:
Observe a planificação do cilindro oblíquo (modelo 07) do Anexo 1. A área lateral desse cilindro não pode ser 
calculada como no cilindro circular reto, pois depois de “aberto” você não obtém um retângulo. Nesse caso, a área 
lateral é a área entre duas curvas (senóides) e para calcular essa área você vai precisar do conceito de Integral 
definida.
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Resumindo:
• Prismas
O volume e a área total de um prisma podem ser calculados pelas fórmulas: hSV baseprisma ⋅= e 
baselateraltotal S2SS ⋅+= .
• Cilindros
O volume e a área total de um cilindro podem ser calculados pelas fórmulas: 
e .
4.5 Exercícios resolvidos
1. Considere o cubo ABCDEFGH cuja aresta mede 6 cm, ilustrado na figura 68. Os pontos M, N, P e Q são pontos 
médios das arestas deste cubo. Determine:
a) O volume do sólido AMNCDEQPGH.
b) A razão entre os volumes do cubo e do cilindro inscrito nesse cubo.
Solução:
a) Observe inicialmente que o sólido AMNCDEQPGH é um prisma cuja base é o pentágono AMNCD e a altura é 
igual ao comprimento de uma aresta do cubo. Assim, o volume desse prisma pode ser calculado como o produto 
da área desse pentágono pela altura. 
A área do pentágono pode ser obtida pela diferença entre a área do quadrado ABCD e da área do triângulo MBN 
retângulo em B, ou seja,
Então: .
Daí, .
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b) O volume do cubo é igual ao comprimento da sua aresta elevado ao cubo, daí ( ) 2166V 3cubo == cm3.
Por outro lado, como o cilindro está inscrito no cubo a sua base está inscrita na base do cubo e a sua altura é 
igual à aresta do cubo. Veja a figura 69.
Assim, base do cilindro é um círculo de raio igual à metade do lado do quadrado ABCD, ou seja, o raio é igual 
a 3 cm.
Então o volume do cilindro é dado por:
.
Lembre-se que a área de um círculo é dada pela fórmula: .
Portanto a razão entre o volume do cubo e do cilindro é igual a: .
Você ainda pode escrever a razão: .
Considerando que o número π é aproximadamente igual a três, essa última razão se aproxima do número 
4
3
. 
Daí, cubocilindro
cubo
cilindro V
4
3
V
4
3
V
V =⇔= , aproximadamente.
Ou seja, o volume do cilindro corresponde a você dividir o volume do cubo em quatro partes iguais e considerar 
três dessas partes. Assim, o sólido vazado obtido quando do cubo se retira o cilindro possui volume igual a um 
quarto do volume do cubo. Os seus olhos podem até duvidar que isso seja verdade, mas os cálculos matemáticos 
estão corretos. 
2. Calcule o volume de um prisma oblíquo, sabendo que a base é um hexágono regular de lado medindo 2 cm, 
que a aresta lateral mede 5 cm e forma com o plano da base um ângulo de 60o.
Solução:
Comece lembrando que todo hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros e congruentes 
cujo lado é igual ao do hexágono, observe a figura 71. Assim, a área desse hexágono é igual a seis vezes a área 
de um desses triângulos.
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Considere então o triângulo ABO da figura 71. A altura h relativa à base AB pode ser calculada como:
.
Como o lado do triângulo é igual ao lado do hexágono, tem-se que . Daí, 3
2
3
2h =⋅= cm.
Então você já pode calcular a área do triângulo ABO: .
Daí, a área do hexágono da base do prisma será: .
Agora volte a observar o prisma da figura 70. A altura H desse prisma pode ser calculada, utilizando o triângulo 
CC’P. Assim,
E o volume do prisma é dado por:
3. Determine o volume e a área total de um prisma reto de 10 cm de altura e cuja base é um hexágono regular 
de apótema 33 cm.
Solução:
Comecelembrando que “apótema” é o raio do círculo inscrito em um polígono regular. Observe a figura 72. Note 
que o apótema a coincide com a altura do triângulo ABO. 
Assim, você pode escrever:
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Daí a área do triângulo ABO será:
E a área da base desse prisma é dada por: 
 cm
2.
Você já aprendeu que um cilindro é reto quando a geratriz g é perpendicular ao plano da base. Como um prisma 
é um cilindro, diz-se, de modo análogo, que um prisma é reto quando a sua geratriz é perpendicular ao plano da 
base. Assim, as arestas laterais de um prisma reto são perpendiculares ao plano da base e a altura do mesmo é 
igual ao comprimento de uma aresta lateral. Observe a figura 73, ela ilustra o prisma hexagonal reto do problema. 
Então, o volume desse prisma é dado por:
 
cm2.
Por outro lado, a área total do prisma é dada pela fórmula:
baselateraltotal S2SS ⋅+= .
Considere a face lateral ABB’A’ desse prisma. Essa face é um retângulo de lados medindo 
e Daí, a área dessa face é dada por: cm2. Observe também que todas as 
faces laterais desse prisma são congruentes. Assim, a área lateral desse prisma é seis vezes a área do retângulo 
ABB’A’, ou seja:
.
Logo, a área total é dada por:
4. Um cilindro circular reto onde a altura e o diâmetro da base possuem comprimentos iguais é chamado equi-
látero. Determine a área lateral de um cilindro eqüilátero cuja altura mede 15 cm. 
Solução:
A área lateral de um cilindro equilátero é igual à área de um retângulo de lados medindo 2πr e 2r. Observe a figura 
74. Assim, a área lateral desse cilindro é dada por: 
Por outro lado, a sua altura é igual ao diâmetro da base, ou seja, 
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Daí, 
4.6 Exercícios propostos
1. Um prisma reto é dito regular se sua base é um polígono regular. Calcule o volume de um prisma quadrangular 
regular, sendo 3 cm a medida do apótema da base e sua altura igual 10 cm. 
2. Determine a medida da aresta da base de um prisma triangular regular, sendo seu volume igual a 12 3 cm3 
e a sua altura igual a 3 cm.
3. Um prisma hexagonal regular possui aresta da base medindo 4 cm. Determine o volume e a área lateral 
desse prisma, sabendo que a sua altura é 10 cm.
4. Determine o volume de um cilindro equilátero cuja área lateral é igual a 100 π cm2.
5. A base de um prisma é um octógono regular que está inscrito na base de um cilindro circular reto. Sabendo-
se que o volume desse prisma é igual a 72 272 cm3 e que o diâmetro da base do cilindro mede 6 cm 
determine:
 a) A altura desse prisma;
 b) O volume do cilindro;
 c) A área total do cilindro.
6. Determine o volume de um cilindro cujo raio da base mede 5 cm, as geratrizes medem 15 cm e formam com 
o plano da base um ângulo de 60o.
7. Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem quatro metros de 
diâmetro e quinze metros de profundidade?
8. Um copo em forma de um cilindro circular reto de diâmetro igual a 6 cm e altura igual a 9 cm, fica completamente 
cheio se colocarmos certo volume de refrigerante e dois cubos de gelo de aresta medindo 3 cm. Calcule 
quantos copos iguais a esse se pode encher com uma garrafa de refrigerante de 1 litro. (Lembre-se de que 
1 decímetro cúbico corresponde a 1 litro).
9. A figura 76 representa dois tanques: um de forma cilíndrica de 6 metros de altura e 4 metros de raio; outro de 
forma prismática de altura 15 metros e de área da base igual a 4 πm2. O tanque cilíndrico encontra-se em uma 
plataforma 6 metros acima da plataforma em que se encontra o tanque de forma prismática e estão ligados 
por uma tubulação controlada por uma válvula. Inicialmente, a válvula está fechada, o tanque cilíndrico possui 
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certo volume de água e o tanque de forma prismática está vazio. Quando a válvula é aberta, este sistema se 
transforma em um sistema de vasos comunicantes, que entra em equilíbrio quando a coluna de água no tanque 
cilíndrico é igual a 3 metros. Desprezando a água que se encontra na tubulação, determine:
a) O volume de água transferido do tanque cilíndrico para o tanque de forma prismática quando a válvula 
é aberta.
b) O volume de água que inicialmente se encontrava no tanque cilíndrico.
Lembre-se de que o nível do líquido tem que ser o mesmo em todos os vasos comunicantes. 
10. Para confeccionar uma peça vazada ilustrada na figura 77, utilizam-se dois cilindros: um de base quadrada 
e outro de base circular. Sabe-se que as bases desses cilindros possuem o mesmo centro e que o raio de 
uma delas é igual a um terço do lado da outra. Considerando 6 cm, 6 cm e 10 cm as dimensões do cilindro 
de base quadrada e que a densidade do material utilizado é 2 gr/cm3, determine a massa necessária desse 
material para construir esta peça.
Lembre-se de que a densidade d é a razão entre a massa m e o volume V, ou seja, 
V
m
d = . 
Respostas:
1. 360Vprisma = cm3.
2. 4L = cm.
3. 3240Vprisma = cm3; 240Slateral = cm2.
4. 
5. a) h = 4 cm ; 
 b) 
 c) 42
6. 
7. Foram escavados 60 π m3 de terra. 8. Aproximadamente cinco copos.
9. a) 36 π m3 b) 84 π m3. 10. Aproximadamente 468,8 gramas
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4.7 Construção de modelo
Nessa seção você aprenderá como construir modelos concretos de cilindros.
Materiais necessários
1. Duas tampas plásticas idênticas que vêm nas latas de leite em pó, achocolatados etc;
2. Um rolo de cordão grosso de preferência colorido; 
3. Uma tesoura de ponta;
4. Um rolo de papelão que é utilizado para enrolar o papel higiênico;
5. Fita crepe e cola quente ou cola instantânea.
Modo de fazer
Passo 1
Fixe as duas tampas plásticas pelas bases, enrolando a fita crepe em volta das mesmas. Com a ponta da tesoura 
faça orifícios nas duas tampas, ao redor da borda, que dê para passar o cordão, espaçados em mais ou menos um 
centímetro. Observe a figura 78. Por fim, retire a fita crepe.
Passo 2
Posicione o rolo de papelão nos interiores das tampas e fixe esse conjunto com o auxílio da fita crepe.
Passo 3
Passe o cordão pelos orifícios das tampas como mostra a figura 79 de modo que o cordão fique reto. Não estique 
muito o cordão nem o deixe folgado, assim os segmentos do cordão entre as tampas serão todos de mesmo com-
primento. Lembre-se que os mesmos são todos congruentes a geratriz g. Depois de passar por todos os orifícios, 
una as duas pontas do cordão e dê um nó.
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Passo 4
Cole o cordão nas tampas, passando a cola na parte exterior das mesmas. Desse modo, você estará impedindo 
que o cordão se mova entre as tampas. 
Passo 5
Com a tesoura, destrua o rolo de papelão e o retire do interior das tampas. O modelo está pronto.
Segure as tampas com as mãos de modo que o cordão fique esticado. Deslocando as tampas em planos paralelos 
você fará com que os segmentos representados pelo cordão fiquem perpendiculares ou oblíquos aos planos das 
tampas. No primeiro caso você obterá um cilindro circular reto e no segundo caso um cilindro circular oblíquo.
Use a imaginação e tente construir prismas utilizando a mesma idéia! 
?? VOCÊ SABIA?
Você já observou que a maioria das embalagens possui formato geométrico, ou 
seja, são cilíndricas, cúbicas ou paralelepípedos retângulos?
Por que será que essas formas foram escolhidas? Quais as vantagens de cada 
uma?
Você poderá saber um pouco sobre as formas das embalagens no endereço http://
www.famat.ufu.br/revista/revistaabril2005/salaaula/EnsinoFlaviaCarlaRosana.pdf.
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5 PERPENDICULARISMO DE RETA E PLANO
Neste capítulo você conhecerá a noção de reta perpendicular a plano. Esta noção é imprescindível no cálculo de 
volumes de sólidos, como verá mais à frente. Inicialmente será apresentado o conceito de ângulo entre duas retas 
e em seguida as propriedades fundamentais de retas perpendiculares a planos. 
5.1 Ângulo entre duas retas
Definição 1
Sejam r e s retas coplanares então:
• Se r e s são retas paralelas diz-se que o ângulo entre r e s é 0° . 
• Se r e s são concorrentes, considere P o ponto de interseção de r e s. Diz-se que o ângulo entre r e s é o 
ângulo, , determinado pelas semi-retas , onde A e B são pontos de r e s, res-
pectivamente.
• Se r e s são retas reversas o ângulo entre r e s é o ângulo entre a reta r e uma reta s’ paralela à reta s e que 
é concorrente com a reta r.
Usa-se a notação (r, s) para representar o ângulo entre as retas r e s.
Então você pode concluir que o ângulo entre duas retas quaisquer varia entre 0o e 900, ou seja, .
Definição 2 
Duas retas r e s são ditas ortogonais se (r, s) = 90°. Se além de ortogonais, as retas r e s forem concorrentes, 
então se diz que r e s são perpendiculares.
5.2 Propriedades de reta perpendiculares a planos
Definição 3 
Considere r uma reta secante ao plano α no ponto P. Diz-se que a reta r é perpendicular ao plano α se somente 
se a reta r é perpendicular a todas as retas do plano α que passam pelo ponto P.
O ponto P é chamado pé da perpendicular.
 
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Definição 4
Se uma reta r é secante ao plano α e não é perpendicular a esse plano, então se diz que r é oblíqua ao plano α. 
Considere agora uma reta r perpendicular a um plano α em um ponto P. Imagine que o plano α, a reta r e o ponto 
P são representados pela superfície da mesa, por uma caneta e pela ponta da caneta em contato com a mesa, 
respectivamente. Pense e responda.
Quais as medidas dos ângulos entre a reta r e uma reta s contida no plano α?
A proposição a seguir garante que as medidas desses ângulos são iguais a 90o.
 
Proposição 1 
Se uma reta r é perpendicular ao plano α no ponto P, então a reta r é ortogonal a todas as retas s contidas no plano α.
Demonstração:
Observe que duas possibilidades podem acontecer:
• sP ∈ . Como a reta r é perpendicular ao plano α no ponto P, então r é perpendicular a todas as retas contidas 
no plano α e que passam por P, em particular, a reta r é perpendicular à reta s. Logo r e s são ortogonais. 
• sP ∉ . Observe que nesse caso r e s são retas reversas. Considere então uma reta s’ que passa por P e é 
paralela à reta s. Assim, e consequentemente . Portanto r e s são ortogonais.
Imagine agora que uma reta r é secante ao plano α no ponto P e você deseja verificar se essa reta é perpendicu-
lar ao plano α. Pela definição 3, você deveria mostrar que a reta r é perpendicular a todas as retas do plano α que 
passam pelo ponto P. E quantas são as retas contidas no plano α e que passam por P?
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A resposta dessa indagação é “infinitas retas”. Esse fato mostrar que utilizar a definição 3 para verificar se uma 
reta é perpendicular a um plano não é uma tarefa tão simples. O teorema a seguir facilita esta tarefa, pois garante 
que se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes contidas em um plano, então a reta r é perpendicular 
a este plano.
Teorema 1
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
A demonstração desse teorema utiliza congruência de triângulos várias vezes. Para facilitar o entendimento da 
mesma, construa o modelo 1 descrito na seção 5.6 desse capítulo e acompanhe a demonstração pelo modelo.
Demonstração:
Sejam r e s retas do plano α que concorrem em O e t uma reta perpendicular comum às retas r e s. Deve-se 
mostrar que a reta t é perpendicular a qualquer reta do plano α que passa pelo ponto O. Considere então n uma 
reta qualquer do plano α que passa por O. Assim, é suficiente mostrar que as retas t e n são perpendiculares. Para 
isso, considere os pontos A e B das retas r e s, respectivamente, que são distintos do ponto O. Considere também 
X o ponto que a reta n intercepta o segmento AB e dois pontos da reta t, P e Q, tais que ( ) ( )O,QdO,Pd = .
Observe os triângulos AOP e AOQ. Eles são congruentes? Qual o caso de congruência?
Acompanhe:
1. O lado AO é lado comum desses triângulos.
2. Como a reta t é perpendicular à reta r então .
Os lados PO e QO desses triângulos possuem medidas iguais, por construção.
Logo, você pode concluir que os triângulos AOP e AOQ são congruentes pelo caso LAL. Assim, os lados PA e 
QA possuem medidas iguais, pois são lados correspondentes em triângulos congruentes.
De modo análogo, você pode mostrar que os triângulos BOP e BOQ são congruentes, pelo caso LAL. Tente fazer 
essa demonstração seguindo os passos 1, 2 e 3 acima. Como consequência dessa congruência os segmentos PB 
e QB também possuem as mesmas medidas.
No modelo 1, observe os triângulos ABP e ABQ. Esses triângulos são congruentes? Qual o caso de congruência?
Acompanhe:
1. O lado AB é lado comum desses triângulos.
2. Os lados PA e QA possuem as mesmas medidas.
3. Os lados PB e QB possuem as mesmas medidas.
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Assim, você pode dizer que os triângulos ABP e ABQ são congruentes pelo caso LLL. Consequentemente, os ân-
gulos, BAP
∧
 e BAQ
∧
 possuem medidas iguais, pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
Observe o modelo 1. Note que os ângulos BAP
∧
 e XAP
∧
 são iguais. E o mesmo acontece com os ângulos 
BAQ
∧
 e XAQ
∧
. Ora, como BAP
∧
 e BAQ
∧
 possuem medidas iguais, você pode concluir que os ângulos XAP
∧
 
e XAQ
∧
 também possuem medidas iguais.
Volte a observar o modelo 1. Focalize os triângulos PAX e QAX. E esses triângulos são também congruentes? 
Qual o caso de congruência?
Acompanhe:
1. Os lados PA e QA possuem as mesmas medidas.
2. O lado AX é lado comum desses triângulos.
3. Os ângulos XAP
∧
 e XAQ
∧
 possuem medidas iguais.
Você pode concluir então que os triângulos PAX e QAX são congruentes pelo caso LAL. Consequentemente, os 
lados PX e QX possuem as mesmas medidas, pois são lados correspondentes em triângulos congruentes.
Volte mais uma vez a observar o modelo 1. Os triângulos POX e QOX são congruentes? Qual o caso de congru-
ência?
Acompanhe:
1. Os lados PO e QO desses triângulos possuem medidas iguais, por construção.
2. O lado OX é lado comum desses triângulos.
3. Os lados PX e QX possuem as mesmas medidas.
Assim, você pode concluir que os triângulos POX e QOX são congruentes pelo caso LLL. Consequentemente, os 
ângulos, XOP
∧
 e XOQ
∧
 possuem medidas iguais, pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes. 
Observe no modelo 1 que a soma das medidas desses ângulos é igual a 180o. Logo você pode concluir que a 
medida de cada um desses ângulos é igual a 90o. Portanto, a reta t é perpendicular à reta n. 
Lembre-se de que a reta n foi escolhida uma reta qualquer do plano α, passando por P. Assim, fica demonstrado que 
a reta t é perpendicular a todas as retas do plano α que passam por P. Portanto, a reta t é perpendicular ao plano α. 
O corolário a seguir mostra que as retas r e s contidas no plano α não precisam passar pelo ponto O, ponto onde 
a reta t fura esse plano, ou seja, o fato de que a reta t seja ortogonal a duas retas concorrentes contidas no plano 
α é suficiente para garantir que a reta té perpendicular ao plano α.
Corolário 1
Se uma reta t é ortogonal com duas retas r e s concorrentes de um plano α, então ela é perpendicular a este plano.
Demonstração:
Considere que a reta t ortogonal com as retas r e s que estão contidas no plano α, ou seja, (t, r)=90° e (t, s)=90°. 
Uma possibilidade é que a reta r não passe pelo ponto O, ponto em que a reta t fura esse plano. Nesse caso, trace 
a reta r’ paralela à reta r e que passa pelo ponto O. Como a reta r’ é paralela à reta r a medida do ângulo entre r e 
t é igual à medida do ângulo entre r’ e t. Assim, as retas r’ e t são perpendiculares. Daí a reta t é perpendicular às 
retas concorrentes r’ e s, contidas em α. Portanto, o teorema 1 garante que a reta t é perpendicular ao plano α. 
Observe a figura 86.
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Outra possibilidade é que as retas r e s não passem pelo ponto O. Observe a figura 87. Nesse caso você pode 
demonstrar que a reta t é perpendicular ao plano α de modo análogo ao caso anterior. Basta considerar as retas r’ 
e s’ paralelas às retas r e s, respectivamente, ambas passando pelo ponto O. 
Resumindo: 
• Se uma reta t é perpendicular a um plano α no ponto O, então t é ortogonal a todas as retas contidas em α. 
Além disso, a reta t é perpendicular às retas contidas em α e que passam pelo ponto O. 
• Se uma reta t é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano α, então t é perpendicular ao plano α.
5.3 Propriedades de retas e planos perpendiculares
Nessa seção serão apresentadas propriedades de retas e planos perpendiculares que garantem algumas cons-
truções fundamentais da Geometria Espacial. Através dessas propriedades você será capaz de justificar o porquê, 
numa pirâmide regular, o segmento determinado pelo vértice da pirâmide e o centro da base é ortogonal a todo 
segmento contido no plano da base dessa pirâmide, por exemplo.
Proposição 2
Dados um ponto P e uma reta r pode-se traçar um único plano π que passa por P e perpendicular à reta r.
Releia o enunciado da proposição 2. Observe que essa proposição garante dois fatos:
• Pelo ponto P pode-se traçar um plano π perpendicular à reta r.
• O plano π traçado no item anterior é único.
A demonstração do primeiro fato costuma-se chamar “existência” e a do segundo fato “unicidade”. Acompanhe 
as demonstrações de existência e unicidade dadas a seguir.
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Demonstração:
Existência
Considere uma reta r e ponto P. Existem duas possibilidades:
 • rP ∉ . 
O ponto P não pertence à reta r, então o teorema 1 do capítulo 2 garante que a reta r e o ponto P determinam 
um único plano, seja β esse plano. No plano β, pelo ponto P trace a reta s perpendicular à reta r. Seja A o ponto de 
interseção das retas r e s. Agora considere um plano α , distinto de β, que contém a reta r. No plano α , pelo ponto 
A trace a reta t perpendicular a reta r. Note que as retas s e t são concorrentes em A, daí determinam um plano π. 
Além disso, a reta r é perpendicular às retas s e t, que estão contidas em π. Utilizando o teorema 1 desse capítulo, 
você pode garantir que a reta r é perpendicular ao plano π. 
• rP ∈
Neste caso, considere dois planos distintos α e β contendo a reta r. No plano β, pelo ponto P, trace a reta s 
perpendicular à reta r. No plano α, pelo ponto P, trace a reta t perpendicular à reta r. Note que as retas s e t são 
concorrentes em P, daí determinam um plano π. Assim, a reta r é perpendicular às retas s e t, que são duas con-
correntes contidas no plano π. Logo a reta r é perpendicular ao plano π. 
Os argumentos anteriores garantem que dados uma reta r e um ponto P qualquer se pode traçar um plano π 
perpendicular à reta r que passa por P.
Unicidade
Considere rP ∉ e seja β o plano determinado por r e P. Existem então duas possibilidades excludentes: 
• O plano π é o único plano que passa por P e é perpendicular à reta r; 
• O plano π não é o único plano que passa por P e é perpendicular à reta r. 
Suponha que a segunda possibilidade aconteça, ou seja, que existe outro plano θ que passam pelo ponto P e 
é também perpendicular à reta r.
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Como o ponto P pertence aos planos β e π, esses planos se interceptam segundo uma reta s, que passa por P. 
Pela mesma razão, os planos β e θ também se interceptam segundo uma reta t que passa por P. Note que as retas 
r, s e t são coplanares, pois estão contidas no plano β. Além disso, as retas s e t são duas perpendiculares à reta 
r que passam por P. Será que isso é possível?
Claro que não! Lembre-se da Geometria Plana que por um ponto P pode-se traçar uma única reta perpendicular 
a uma reta dada.
Assim, a segunda possibilidade acima não pode acontecer. Logo você pode concluir que: se rP ∉β então o plano 
π é o único plano que passa por P e é perpendicular à reta r. 
A demonstração da unicidade para o caso de rP ∈ β pode-se fazer de modo análogo. Tente! É um bom exercício! 
Proposição 3
Dados um ponto P e um plano β pode-se traçar uma única reta r que passa por P e perpendicular ao plano β.
Note que a proposição 3 garante dois fatos:
• Pelo ponto P pode-se traçar uma reta r perpendicular ao plano β (Existência).
• A reta r traçada no item anterior é única (Unicidade).
Demonstração:
Existência 
Considere um plano β e ponto P. Existem duas possibilidades:
• âP ∉ . 
• âP ∈ .
Inicialmente, considere que o ponto P não pertence ao plano β. Trace em β duas retas concorrentes quaisquer, s e 
t. Seja π o plano que passa por P e é perpendicular a reta t, e γ o plano que passa por P e é perpendicular a reta s.
Lembre-se de que se uma reta é perpendicular a um plano então essa reta é ortogonal a todas as retas contidas 
nesse plano. Assim, a reta t é ortogonal a todas as retas contidas no plano π e a reta s é ortogonal a todas as retas 
contidas no plano γ.
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Por outro lado, os planos π e γ possuem o ponto P em comum, então esses planos se interceptam segundo uma 
reta r que passa pelo ponto P. Assim, a reta t é ortogonal a reta r, pois a reta r está contida no plano π. De modo 
análogo, a reta s é ortogonal a reta r, pois r está contida no plano γ.
Daí, a reta r é ortogonal as retas t e s, que são concorrentes e estão contidas no plano β. Logo, a reta r é 
perpendicular ao plano β. 
Se o ponto P pertence ao plano β, a demonstração é análoga.
Unicidade
Considere também que P não pertence ao plano β. Sejam r e r' retas distintas, perpendiculares ao plano β e que 
passam por P. Note que as retas r e r’ são concorrentes, pois ambas passam pelo ponto P. Daí r e r’ determinem 
um plano. Nomeie esse plano π. 
Pense e responda:
Você pode garantir que os planos β e π possuem um ponto em comum?
Claro que sim!
Lembre-se de que a reta r é perpendicular ao plano β, então essa reta intercepta esse plano em um ponto e esse 
ponto pertence também ao plano π, pois a reta r está contida no plano π.
Ora, se os planos β e π possuem o ponto em comum, então esses planos se interceptam segundo uma reta. 
Seja t a reta interseção dos planos β e π.
Lembre-se mais uma vez de que se uma reta é perpendicular a um plano, então essa reta é ortogonal a todas as 
retas contidas nesse plano. Assim, a reta r é ortogonal a todas as retas contidas no plano β, em particular a reta 
r é perpendicular à reta t. De modo análogo a reta r’ é também perpendicular à reta t. Além disso, as retas r, r’ e t 
são coplanares, pois estão contidas no plano π. 
Será que isso é possível?
Claro que não!
Lembre-se novamente da Geometria Plana que por um ponto P pode-se traçar uma únicareta perpendicular a 
uma reta dada.
Portanto você pode concluir que pelo ponto P é possível construir uma única reta r perpendicular ao plano β. 
Se o ponto P pertence ao plano β, a demonstração é análoga.
Os resultados obtidos até aqui possibilitam a obtenção de algumas relações entre paralelismo e perpendicularismo 
dadas a seguir, e que são muito utilizadas em exercícios.
Proposição 4
Dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos.
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Demonstração:
Considere que os planos β e π são perpendiculares à reta r. Tem-se então duas possibilidade:
• Os planos β e π são paralelos;
• Os planos β e π não são paralelos.
Suponha que os planos β e π não são paralelos, daí esses planos se interceptam segundo a reta t. Seja P um 
ponto qualquer da reta t. Assim, o ponto P pertence aos planos β e π. Então pelo ponto P tem-se dois planos, β e 
π, perpendiculares a r. Mas isso contradiz a proposição 2. Logo essa possibilidade não pode acontecer e, portanto 
os planos β e π são paralelos.
Proposição 5
Se dois planos são paralelos, então qualquer perpendicular a um deles é também perpendicular ao outro.
Demonstração:
Considere α β e planos paralelos e r uma reta perpendicular ao plano α. Acompanhe a linha de raciocínio 
dada seguir, ela o conduzirá a conclusão que a reta r é também perpendicular ao plano β. 
Comece imaginando um plano π que contém a reta r. Pense e responda:
Você pode garantir que os planos π e α possuem um ponto em comum?
Claro que sim! 
Como a reta r é perpendicular ao plano α, essa reta fura esse plano em um ponto P. Por outro lado, a reta r está 
contida no plano π, daí o ponto P também pertence ao plano π. Logo, o ponto P pertence aos planos π e α. E, 
portanto os planos π e α se interceptam segundo uma reta t. 
O exercício 5 da seção “Exercícios resolvidos” do Capítulo 3, garante que se uma reta r é secante a um plano 
α então será secante a qualquer outro plano paralelo ao plano α. Desse modo a reta r intercepta o plano β, pois 
esse plano é paralelo ao plano α. 
Então, você pode garantir que o plano π intercepta o plano β segundo uma reta t’, utilizando argumentos análogos 
aos usados para mostrar que os planos π e α se interceptam segundo uma reta t. 
Pense e responda:
Qual a medida do ângulo entre as retas r e t?
Essa pergunta é fácil!
A medida desse ângulo é igual a 90o, pois a reta r é perpendicular ao plano α e, portanto perpendicular a todas 
as retas contidas em α que passam pelo ponto P, em particular, r é perpendicular à reta t. 
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Observe que as retas t e t’ estão contidas nos planos α β e , respectivamente, e que esses planos são paralelos. 
Daí as retas t e t’ não se interceptam. Por outro lado, essas retas são coplanares, pois estão contidas no plano π. 
Você pode concluir então que t e t’ são retas paralelas.
Note agora que as retas r, t e t’ estão contidas no plano π. Assim, você pode utilizar o resultado da Geometria 
Plana que garante, se uma reta corta duas paralelas os ângulos correspondentes são iguais. Daí, o ângulo entre as 
retas r e t é igual ao ângulo entre as retas r e t’. Portanto a reta r é também perpendicular à reta t’.
Considere agora outro plano θ, distinto do plano π, que contém a reta r. Utilizando argumentos análogos aos 
que foram feitos para o plano π, você pode garantir que o plano θ interceptam os planos α e β segundo as retas s 
e s’. Além disso, que a reta r é perpendicular as retas s e s’.
Então a reta r é perpendicular as retas concorrentes t’ e s’ que estão contidas no plano β. Aplicando o teorema 
1, você pode garantir que a reta r é perpendicular ao plano β.
Proposição 6
Se duas retas são paralelas, todo plano perpendicular a uma delas é também perpendicular a outra.
Para facilitar o entendimento dessa proposição, construa o modelo 2 descrito na seção 5.6 desse capítulo e 
acompanhe a demonstração pelo modelo.
Demonstração:
 Sejam r e s duas retas paralelas e α um plano perpendicular a r. Sejam A e B os pontos de interseções de r e s 
com o plano α, respectivamente. Observe o modelo 2. 
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Considere dois outros pontos C e D, das retas s e r, respectivamente, tais que os segmentos AD e BC possuem 
o mesmo comprimento. Assim, o quadrilátero ABCD possui os lados AD e BC paralelos e congruentes. Lembre-se 
de Geometria plana que todo quadrilátero que possui dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo. Daí, o 
quadrilátero ABCD é um paralelogramo e você pode concluir que os lados CD e AB são também paralelos e possuem 
a mesma medida. Por outro lado, a reta r é perpendicular ao plano α em A, então a reta r é perpendicular a todas 
as retas contidas em α que passam pelo ponto A, em particular, a reta r é perpendicular à reta AB. Assim, o ângulo 
°=
∧
90BAD 90º. Você pode concluir então que ABCD é um retângulo. E daí a reta s é também perpendicular a reta AB. 
No plano α, trace pelos pontos A e B, os segmentos AF e BE, paralelos e congruentes. Assim, o quadrilátero 
ABEF é também um paralelogramo. Daí os segmentos AB e EF são paralelos e possuem a mesma medida. 
Observe o modelo.
• Os segmentos CD e AB são paralelos e possuem a mesma medida.
• Os segmentos AB e EF são paralelos e possuem a mesma medida.
Por transitividade, você pode concluir que os segmentos CD e EF são paralelos e possuem a mesma medida.
O que você pode concluir do quadrilátero DFEC?
Fácil! O quadrilátero DFEC é também um paralelogramo. Consequentemente os lados DF e CE possuem a 
mesma medida.
Volte a observar o modelo 2. Focalize os triângulos DAF e CBE.
Pense e responda.
Esses triângulos são congruentes? Qual o caso de congruência?
Fácil! Os triângulos DAF e CBE são congruentes pelo caso LLL.
Pense e responda.
Qual a medida do ângulo EBC
∧
?
Ora, se a reta r é perpendicular ao plano α então a reta r é perpendicular à reta AF. Daí o ângulo 
. Como os ângulos FAD
∧
 e EBC
∧
 são ângulos correspondentes em triângulos congruentes, então possuem a 
mesma medida. Logo, a medida do ângulo . Portanto a reta s é perpendicular à reta BE.
Volte a observar o modelo 2.
A reta s é perpendicular às retas AB e BE, que são duas concorrentes do plano α. Portanto, a reta s é também 
perpendicular ao plano α. Ou equivalentemente, o plano α é perpendicular a reta s.
Proposição 7 
Se duas retas são perpendiculares ao mesmo plano, então elas são paralelas.
Demonstração:
Sejam as retas r e s perpendiculares ao plano α nos pontos P e Q, respectivamente. Existem então duas pos-
sibilidades:
• As retas r e s são paralelas.
• As retas r e s não são paralelas.
Suponha que a segunda possibilidade acontece. Considere então a reta t paralela à reta r e que passa pelo ponto 
Q. Releia o enunciado da proposição 6, pense e responda.
Qual a posição da reta t em relação ao plano α?
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Ora, se a reta r é perpendicular ao plano α e a reta t é paralela à reta r, então a proposição 6 garante que a reta 
t é também perpendicular ao plano α.
Então, as retas t e s são perpendiculares ao plano α e passam pelo ponto Q. Esse fato contradiz a proposição 3. 
Logo, a segunda possibilidade não pode acontecer. Portanto você pode concluir que as retas r e s são paralelas. 
No início dessa seção você estudou como medir o ângulo entre duas retas. Faça o modelo a seguir, ele o auxiliará 
na visualização do ângulo formado por dois planos. 
Tome um livro, abra-oe coloque sobre uma mesa de modo que os planos das páginas sejam verticais. Agora 
considere duas páginas quaisquer, essas páginas representam dois planos secantes, α e β. Nomeie t a reta de 
interseção dos planos α e β. Separe um pouco essas páginas e nomeie r e s as retas de interseção dos planos α 
e β com o plano da mesa respectivamente.
Observe o modelo e responda.
1. Que ângulos a reta t forma com as retas r e s?
 É claro que a reta t forma com as retas r e s ângulos retos.
2. Qual a posição relativa da reta t e o plano da mesa?
 Fácil! A reta t é perpendicular ao plano da mesa, pois é perpendicular a duas retas concorrentes contidas no 
plano da mesa, que são as retas r e s. Em outras palavras o plano da mesa é perpendicular à reta t.
 Considere r’ a reta paralela à reta r e que pode ser representada por um dos lados da página que representa 
o plano α. De modo análogo, considere a reta s’ paralela à reta s e que pode ser representada por um lado 
da página que representa o plano β. Nomeie π o plano determinado por r’ e s’.
3. Que ângulos a reta t forma com as retas r’ e s’?
 Os ângulos que a reta t forma com as retas r’ e s’ medem 90o.
4. Qual a posição relativa da reta t e o plano π? 
 A reta t é perpendicular ao plano π, pois a reta t é perpendicular às retas r’ e s’. Assim, o plano π e o plano 
da mesa são perpendiculares à reta t.
5. Observe o ângulo entre as retas r’ e s’ e o ângulo entre as retas r e s. 
 Movimente as páginas que representam os planos α e β, abrindo e fechando as mesmas. Esses ângulos são 
sempre iguais?
 Claro que sim! Pois a reta r e r’ são paralelas e as retas s e s’ também são paralelas.
6. Imagine agora outro plano θ perpendicular à reta t e sejam r” e s” as retas de interseção do plano θ com os 
planos α e β, respectivamente. O ângulo entre as retas r” e s” é igual ao ângulo entre as retas r e s?
 Claro que sim! Pois a reta r e r” são paralelas e as retas s e s” também são paralelas.
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Você pode concluir então que todo plano θ perpendicular à reta t intercepta os planos α e β segundo retas que 
determinam ângulos iguais. Esse ângulo é definido como o ângulo entre os planos α e β. A definição a seguir 
estabelece esse conceito. 
Definição 5 
Sejam α e β planos que se interceptam segundo a reta t e seja θ um plano perpendicular à reta t. Considere r e s 
as retas de interseção do plano θ com os planos α e β, respectivamente. O ângulo entre os planos α e β é definido 
como o ângulo entre as retas r e s. 
Se α e β são planos paralelos se diz que o ângulo entre esses planos possui medida igual a 0o.
Usa-se a notação (α, β) para representar o ângulo entre os planos α e β.
É importante que você perceba que a definição 5 estabelece um procedimento para medir o ângulo entre dois 
planos α e β, que é:
Considere um plano I. θ perpendicular a reta de interseção dos planos α e β.
Determine o ângulo entre as retas r e s, interseções dos planos II. α e β com o plano θ, respectivamente. Então 
(α, β)=rs.
Lembre-se de que o ângulo entre duas retas r e s varia entre 0o e 90o, ou seja, 0°≤(r,s)≤90°. Como o ângulo 
entre os planos α e β é igual ao ângulo entre duas retas, então você pode concluir que 0°≤(α, β)≤90°. Os planos 
α e β são ditos perpendiculares se (α, β)=90°.
Observe que se α e β são perpendiculares, então (α, β) = 90°=(r,s). Além disso, a reta t é perpendicular o plano 
θ. Daí a reta t é ortogonal a todas as retas desse plano, em particular a reta t é perpendicular à reta r. 
Pense e responda:
 A reta r é perpendicular ao plano 1. β?
 Claro que sim! Pois a reta r é perpendicular às retas s e t, que são retas concorrentes do plano β. 
2. A reta s é perpendicular ao plano α?
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Essa é fácil! A reta s é perpendicular às retas r e t que são retas concorrentes do plano α. Daí a reta s é perpen-
dicular ao plano α.
Você pode concluir então que se dois planos são perpendiculares então um deles contém uma reta perpendicular 
ao outro. A recíproca dessa afirmação, ou seja, “se um de dois planos possui uma reta que é perpendicular ao outro 
então esses planos são perpendiculares” também é verdadeira e está estabelecida no teorema 2.
Desse modo a existência em um plano de uma reta perpendicular a outro plano é uma condição necessária e 
suficiente para que estes planos sejam perpendiculares.
Teorema 2
Se um de dois planos possui uma reta que é perpendicular ao outro então esses planos são perpendiculares.
Demonstração:
Sejam α e β dois planos que se interceptam segundo uma reta t. Considere também que existe uma reta s, 
contida no plano β, que é perpendicular ao plano α no ponto P. No plano α, trace pelo ponto P uma reta r perpen-
dicular à reta t. 
Observe a figura 100, pense e responda:
1. Qual a medida do ângulo entre as retas t e s?
 Essa é fácil! Foi dado que a reta s é perpendicular ao plano α, daí a reta s é perpendicular a todas as retas de 
α que passam pelo ponto P, em particular s é perpendicular a reta t. Logo o ângulo entre s e t mede 90o.
2. Considere θ o plano determinado pelas retas r e s. A reta t é perpendicular ao plano θ?
 Claro que sim! Pois a reta t é perpendicular a reta s e a reta t é perpendicular a reta r, por construção. Assim, 
a reta t é perpendicular a duas retas concorrentes do plano θ.
Observe então que sendo o plano θ perpendicular à reta t o ângulo dos planos α e β é igual ao ângulo das retas r 
e s, que são as retas de interseção do plano θ com os planos α e β, respectivamente. Ora, como a reta s é, por hipó-
tese, perpendicular ao plano α então a reta s é perpendicular à reta r. Daí o ângulo e, consequentemente, 
. Portanto os planos α e β são perpendiculares.
O corolário a seguir é uma consequência imediata do teorema 2.
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Corolário 2
Se uma reta t é perpendicular a um plano α, então todo plano que contenha t é perpendicular ao plano α. 
A demonstração desse corolário é fácil! Tente fazer. 
 
Considere agora que os planos α e β são perpendiculares. Pense e responda:
1. Toda reta contida no plano β é perpendicular ao plano α?
Para responder a essa indagação utilize o modelo feito com o livro. Posicione duas páginas do livro de modo que 
os planos que as mesmas representam sejam perpendiculares. Observe a reta representada por uma das diagonais 
de uma página. Qual a posição dessa diagonal em relação ao plano da outra folha?
Pois é, apesar dos planos serem perpendiculares existe muitas retas de um deles que não são perpendiculares 
ao outro.
O teorema a seguir estabelece uma condição suficiente para que dados dois planos perpendiculares uma reta 
de um deles seja perpendicular ao outro.
Teorema 3 
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles que é perpendicular à interseção desses planos, 
é perpendicular ao outro.
Demonstração:
Considere α e β planos perpendiculares que se interceptam segundo a reta t. Seja s uma reta contida em β que 
é perpendicular à reta t no ponto P. Pelo ponto P trace uma reta r perpendicular á reta t. E seja θ o plano determinado 
pelas retas r e s.
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Pense e responda:
 A reta t é perpendicular ao plano 1. θ?
 Claro que sim! Pois a reta t é perpendicular as concorrentes s e r que estão contidas no plano θ.
 Qual o ângulo entre as retas s e r?2. 
 Como o plano θ é perpendicular à reta t, o ângulo entre as retas s e r é igual ao ângulo entre os planos α e β. 
Ora, os planos α e β são perpendiculares daí (α, β) = 90° e assim o ângulo entre as retas s e rmede 90o.
Assim, a reta s é também perpendicular à reta r. Então a reta s é perpendicular as retas t e r que são duas concor-
rentes contidas no plano α. Portanto a reta s é perpendicular ao plano α
É importante lembrar que: se α e β são planos perpendiculares que se interceptam segundo uma reta t, então toda 
reta s contida em β que é perpendicular a reta t é perpendicular ao plano α.
Acompanhe os exercícios resolvidos a seguir. Eles ajudam a fixar os conceitos e propriedades estudados e desen-
volvem a sua linguagem matemática.
5.4 Exercícios resolvidos
1. Construa por um ponto P dado uma reta t ortogonal a duas retas não paralelas r e s e mostre que a reta t é 
única.
Resolução:
Existência 
As retas r e s dadas são não paralelas, ou seja, r e s são concorrentes, ou r e s são reversas. Inicialmente, 
considere r e s duas retas reversas. Suponha também que o ponto P não pertence nem a reta r, nem a reta s. Pelo 
ponto P trace as retas r’ e s’ paralelas às retas r e s, respectivamente. Desse modo as retas r’ e s’ são concorrentes 
em P. Lembre-se que retas concorrentes determinam um único plano. Nomeie α o plano determinado por r’ e s’. A 
proposição 3 garante que você pode traçar uma única reta t que passa por P e é perpendicular ao plano α.
Assim, a reta t é ortogonal a todas as retas contidas em α. Em particular, t é ortogonal a r’ e como r é paralela 
a r’, temos que t é ortogonal a r. Você pode aplicar o mesmo raciocínio para concluir que t é ortogonal a s.
Na demonstração acima as retas r e s são reversas. Note que essa demonstração consiste na construção, pelo 
ponto P, de duas retas paralelas: r’ paralela à reta r e s’ paralela à reta s. Pense e responda:
1. Se as retas r e s dadas fossem concorrentes como você faria a demonstração?
Note que na demonstração anterior foi construído um plano α determinado pelas retas r’ e s’, porque as retas r 
e s eram retas reversas e retas reversas não determinam plano. Quando as retas r e s são concorrentes o plano α 
pode ser o próprio plano determinado pelas retas r e s. E a proposição 3 pode ser também utilizada para garantir a 
existência da reta t que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano α. Consequentemente, a reta t é ortogonal 
às retas r e s. 
Outro aspecto que você deve observar é a posição do ponto P. Foi considerado anteriormente que o ponto P não 
pertencia às retas r e s. Pense como ficaria a demonstração se P pertencesse à reta r.
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Unicidade 
Existem duas possibilidades:
• A reta t é única.
• A reta t não é única. 
Suponha que a reta t não é única, ou seja, existe outra reta t’ ortogonal às retas r e s passando por P. Como as 
retas r’ e s’ são paralelas às retas r e s, respectivamente, temos que t’ é também ortogonal às retas r’ e s’. Con-
sequentemente, t’ é perpendicular ao plano α e passa por P. Assim, existem duas retas t e t’ passando pelo ponto 
P e perpendiculares ao plano α, mas esse fato contradiz a proposição 3. Logo, você pode concluir que a segunda 
possibilidade não acontece e, portanto a reta t é a única ortogonal às retas r e s passando por P.
2. Seja r uma reta perpendicular ao plano α em P. Mostre que uma reta s é perpendicular a r em P se, somente 
se, a reta s está contida em α. 
Resolução:
Observe inicialmente que a propriedade proposta reune duas afirmações:
I. Se uma reta s é perpendicular à reta r em P então s está contida no plano α. 
II. Se uma reta s está contida no plano α e passa pelo ponto P então s é perpendicular à reta r.
 Para demonstrar a primeira afirmação, você deverá supor que s é uma reta perpendicular à reta r em P e mostrar 
que a reta s está contida no plano α. 
Comece pensando.
1. As retas r e s determinam um plano?
 Claro que sim! As retas r e s são concorrentes em P logo determinam um plano.
 Nomeie β o plano determinado pelas retas r e s. 
2. Os planos α e β possuem algum ponto em comum?
 Essa é fácil! O ponto P pertence à reta r e essa reta está contida no plano β. Daí o ponto P pertence ao plano 
β. Além disso, foi dado que a reta r é perpendicular ao plano α no ponto P, daí P é um ponto de α. Logo, o ponto P 
é um ponto da interseção dos planos α e β.
Você pode concluir então que os planos α e β se interceptam segundo uma reta. Nomeie t essa reta.
Pense e responda:
3. Qual a medida do ângulo entre as retas r e t?
Lembre-se de que se uma reta é perpendicular a um plano então essa reta é perpendicular a todas as retas desse 
plano que passam pelo ponto que essa reta fura o plano. Ora, a reta r é perpendicular ao plano α no ponto P, então 
você pode concluir que r é perpendicular a todas as retas contidas em α e que passam por P, em particular, r é 
perpendicular a reta t. Logo a medida do ângulo entre r e t é igual a 90o. Observe a figura 105.
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Note que as retas r, s e t são coplanares, pois estão contidas no plano β. Em um plano você pode utilizar todos 
os resultados da Geometria plana. Em particular, o que garante que: por um ponto P pode-se traçar uma única 
perpendicular a uma reta dada. Então, no plano β, as retas s e t passam pelo ponto P e são ambas perpendiculares 
à reta r, daí você pode concluir que as retas s e t coincidem. Ora, a reta t está contida no plano α, portanto a reta s 
também está contida no plano α. Assim, a afirmação I fica demonstrada.
A demonstração da afirmação II é imediata. Suponha que a reta s é uma reta contida em α e passa por P. Foi 
dado que a reta r é perpendicular ao plano α, então a reta r é perpendicular a todas as retas contidas em α e que 
passam por P, em particular, r é perpendicular a s.
Releia as afirmações I e II. Pense e responda:
1. Considere uma reta r e um ponto P que pertence à reta r. Quantas retas s passam por P e são perpendiculares 
à reta r?
 Essa é fácil! Considere o plano α perpendicular a reta r em P. Então todas as retas contidas no plano α que 
passam por P são perpendiculares à reta r. Logo infinitas retas passam por P e são perpendiculares à reta r. 
2. Qual o lugar geométrico constituído por todas as retas que passam pelo ponto P e são perpendiculares à reta r?
 Esse lugar geométrico é o plano α que é perpendicular a reta r e passa pelo ponto P.
3. Na Geometria plana por um ponto P de uma reta r pode-se traçar uma única reta s perpendicular à reta r. E 
na Geometria espacial esse resultado ainda é verdadeiro?
 Essa fica para você responder!
5.5 Exercícios propostos
1. Sejam A, B e C pontos não colineares. Mostre que se as retas AB e AC são perpendiculares a uma reta r, 
então BC é também ortogonal a r. A Figura 106 ilustra o exercício.
 Se as retas AB e AC são apenas ortogonais à reta r, a reta BC é ainda ortogonal à reta r?
2. Seja r uma reta perpendicular a um plano α em P, s uma reta contida em α e PQ perpendicular a s em Q. 
Mostre que se A é um ponto qualquer de r, então a reta AQ é perpendicular a s.
 Sugestão: mostre que a reta s é perpendicular ao plano APQ.
3. Um tetraedro é dito regular quando as suas faces são triângulos equiláteros. Seja ABCD um tetraedro regular, 
observe a figura 108. Considere os segmentos BM e CM alturas das faces ABD e ACD, respectivamente. 
Classifique as sentenças a seguir em verdadeiro(V) ou falso(F).
 a) O ponto M é ponto médio da aresta AD. ( )
 b) As retas BM e CM determinam um plano. ( )
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 c) As retas AD e BC são coplanares. ( )
 d) A reta CB está contida no plano BCM. ( ) 
 e) A reta AD é perpendicular ao plano BCM. ( )
 f) A reta AD é perpendicular a todas as retas do plano BCM. ( )
 g) As arestas AD e BD são opostas. ( )
 h) As retas AD e BC são retas ortogonais. ( )
 i)As arestas oposta de um tetraedro regular são perpendiculares.( )
 j) As arestas oposta de um tetraedro regular são ortogonais.( )
 k) O plano ACD é perpendicular ao plano BCM. ( ) 
 l) O triângulo BCM é equilátero. ( )
 4. Observe as figuras dadas a seguir e relacione as afirmações com as justificativas.
( ) a aresta AD é perpendicular ao plano CDH, daí a aresta AD será perpendicular a todo plano paralelo ao 
plano CDH, em particular ao plano ABE. 
( ) a aresta AD é perpendicular ao plano CHD e a diagonal CH está contida nesse plano.
( ) o plano DAM contém a reta DA que é perpendicular ao plano ABC.
( ) a reta t é perpendicular ao plano α, daí a reta t é ortogonal a todas as retas contidas em α, em particular 
à reta v.
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( ) a reta BC é perpendicular à reta AM, que é a interseção dos planos perpendiculares ABC e DAM.
( ) a aresta AD é perpendicular ao plano CHD, daí toda reta paralela à reta AD é perpendicular ao plano 
CHD, em particular à aresta EH. Logo a aresta EH é ortogonal a toda reta contida no plano CHD.
5.6 Construções de modelo
Nessa seção você aprenderá como construir modelos concretos que lhe auxiliarão no entendimento das de-
monstrações estudadas nesse capítulo. 
Modelo 1
Objetivo
Facilitar o entendimento da demonstração do teorema 1.
Material necessário
1. Uma placa quadrada de lado medindo 20 cm recortada numa folha de isopor de 2 cm de espessura.
2. Palitos de churrasco. 
3. Duas bolinhas de isopor de diâmetros iguais a 2 cm.
4. Canetas hidrocor de várias cores. 
Modo de fazer
Passo 1
A placa de isopor representará o plano α. Com canetas hidrocor de cores diferentes, desenhe na placa duas 
retas s e r concorrentes no ponto O. Desse modo as retas r e s estão contidas no plano α. Marque um ponto A 
sobre a reta r e um ponto B sobre a reta s. A distância do ponto A ao ponto O pode ser diferente da distância do 
ponto B ao ponto O. Trace o segmento AB. Sobre este segmento marque um ponto X qualquer e trace a reta que 
passa pelos pontos O e X. Nomeie essa reta n. Observe a figura 85.
Passo 2
Com uma caneta hidrocor marque sobre um palito de churrasco três traços de modo o traço do meio esteja à 
igual distância dos traços próximos das extremidades. No ponto O, transpasse a placa de isopor com esse palito 
de churrasco, de modo que o mesmo fique perpendicular às retas r e s. Posicione o palito de modo que o ponto 
O da placa coincida com o traço do meio feito no palito. O palito representará a reta t. 
Passo 3
Escreva as letras P e Q, uma letra em cada bolinha de isopor, para representar dois pontos que não pertencem 
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ao plano α. Em cada uma das extremidades do palito de churrasco, enfie as bolinhas até as marcas feitas ante-
riormente. Desse modo o ponto O é ponto médio do segmento PQ que está contido na reta t.
Passo 4
Para finalizar, com palitos de churrascos, construa os segmentos PA, PB, QA e QB.
O modelo está pronto para lhe auxiliar no entendimento da demonstração do teorema 1.
Modelo 2
Objetivo
Facilitar o entendimento da demonstração da proposição 6.
Material necessário
Uma placa quadrada de lado medindo 20 cm recortada numa folha de isopor de 2 cm de espessura.1. 
Palitos de churrasco. 2. 
Duas bolinhas de isopor de diâmetros iguais a 2 cm.3. 
Canetas hidrocor de várias cores. 4. 
Modo de fazer
Passo 1
Tome dois palitos de churrasco de mesmo tamanho e em cada um deles, marque dois traços com uma caneta 
hidrocor, três centímetros a partir das extremidades. Esses palitos representarão as retas r e s.
Passo 2
Na placa de isopor, que representará o plano α, com a caneta hidrocor, trace um segmento de reta, medindo 
12 cm, paralelo a um dos lados da placa e distante desse lado 4 cm. Nomeie as extremidades desse segmento 
com as letras A e B.
Passo 3
Escreva as letras D e C, uma letra em cada bolinha de isopor. Essas bolinhas representarão os pontos D e C que 
pertencem às retas r e s, respectivamente. Em cada palito, enfie uma bolinha até um dos traços feitos no passo 
1. Com um terceiro palito de churrasco construa o segmento DC, unindo essas duas bolinhas.
Passo 4
Transpasse a placa de isopor, no ponto A, com a extremidade livre do palito de churrasco que está com o ponto 
D, de modo que esse palito fique perpendicular à placa. Posicione o palito de modo que o ponto A da placa 
coincida com o outro traço feito no palito. Assim a reta r, representada pelo palito, será perpendicular ao plano 
α e passa pelos pontos A e D.
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Passo 5
No ponto B da placa, transpasse-a com a extremidade livre o palito de churrasco que está com o ponto C. 
Posicione o palito de modo que o ponto B da placa coincida com o outro traço feito nesse palito. Esse palito 
representará a reta s, que é paralela à reta r e passa pelos pontos B e C.
Passo 6
Na placa, pelo ponto A, trace um segmento AF, medindo 10 cm e distinto do segmento AB. Pelo ponto B, trace 
um segmento BE congruente e paralelo ao segmento AF. Em seguida, trace o segmento FE.
Passo 7
Construa o segmento DF enfiando um palito de churrasco na bolinha que está com a letra D e no ponto F da placa. 
Para finalizar a construção desse modelo, construa o segmento CE de modo análogo. Observe a figura 95.
O Modelo está pronto para auxiliá-lo no entendimento da proposição 6.
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6 VOLUMES DE CONES E PIRÂMIDES 
No capítulo 4, você teve a oportunidade de conhecer as definições de cilindros e prismas e aprendeu a determinar 
os volumes e as áreas laterais e totais desses sólidos. Nesse capítulo, você conhecerá as definições dos cones e 
das pirâmides. Aprenderá a identificar as semelhanças entre esses sólidos e estabelecerá as fórmulas que permitem 
determinar os volumes e as áreas laterais e totais dos mesmos.
6.1 Construção de cones e pirâmides
Definição 1
Em um plano α, considere uma curva plana simples C (sem auto-interseções) e V um ponto que não pertence 
ao plano α. Seja P um ponto da curva C ou da região limitada por C. Para cada ponto P, considere o segmento de 
reta VP. O sólido formado pela reunião de todos esses segmentos é chamado cone de base C e vértice V. 
A figura 115 ilustra um cone de base C e vértice V.
Se a base de um cone for um círculo dizemos que ele é um cone circular. 
Definição 2 
Um cone cuja base é um polígono (região poligonal) é chamado pirâmide. 
A figura 116 ilustra uma pirâmide de vértice V e cuja base é o hexágono ABCDEF.
O nome de uma pirâmide está relacionado à sua base. Por exemplo, a pirâmide da figura 116 chama-se pirâmide 
hexagonal, porque a sua base é um hexágono. Se a base de uma pirâmide for um pentágono ela é chamada pirâmide 
pentagonal. Toda pirâmide cuja base é um triângulo é chamada pirâmide triangular. As pirâmides triangulares são 
conhecidas também pelo nome tetraedro, por possuírem quatro vértices.
A distância do vértice V de uma pirâmide ao plano da base chama-se altura da pirâmide.
Os segmentos VA, VB, VC, VD, VE e VF são denominados de arestas laterais. Observe que as arestas laterais 
são segmentos cujas extremidades são o vértice da pirâmide e um vértice do polígono da base. Os triângulos VAB, 
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VBC, VCD, VDE, VEF e VFA são chamados de faces laterais. Note que o número de faces laterais de uma pirâmide 
é igual ao número de lados da base da mesma.
Você está lembrado que as faces laterais de prismas são paralelogramos?
Pois é, as faceslaterais de prismas são paralelogramos, enquanto as faces laterais de pirâmides são triângulos. 
Essa é uma das diferenças entre prismas e pirâmides.
Construa agora a pirâmide hexagonal e o tetraedro cujas planificações constam dos modelos 9 e 10 do anexo 1. 
Observe os modelos construídos e responda:
1. Você pode apoiar a pirâmide hexagonal sobre a mesa, utilizando uma face lateral?
 Claro que sim! Pois as faces laterais são triângulos e esses são figuras planas.
2. Você pode considerar essa face lateral como base dessa pirâmide?
Note que nessa posição, uma das faces fora da mesa é um hexágono. Mas todas as faces laterais de uma pirâmide 
são triangulares. Logo você pode concluir que a face apoiada na mesa não pode ser base dessa pirâmide. 
Agora considere o modelo do tetraedro. Apóie o tetraedro sobre a mesa, utilizando qualquer uma de suas faces 
e responda:
3. A face que você apoiou o tetraedro na mesa pode ser considerada com base do tetraedro?
 Claro que sim! Pois as faces fora da mesa podem ser faces laterais já que são triângulos.
4. Quantas bases um tetraedro possui?
 Essa é fácil! O tetraedro possui quatro bases.
5. E quantas alturas um tetraedro possui?
 Quatro alturas. Cada uma correspondente a uma base.
6. Quantas bases uma pirâmide não triangular possui?
 Apenas uma, aquela que não é triangular.
Conheça um pouco mais sobre pirâmides, aprendendo a determinar seus volumes e suas áreas laterais e totais.
6.2 Volume de uma pirâmide e áreas totais e laterais de pirâmides
Para facilitar o entendimento, inicialmente será estabelecida a fórmula que permite calcular o volume de um 
tetraedro (pirâmide de base triangular). Em seguida essa fórmula será estendida para calcular o volume de uma 
pirâmide qualquer.
Definição 3 
A interseção de uma pirâmide com um plano paralelo ao plano da base é chamada seção meridiana.
A figura 117 ilustra a seção meridiana A’B’C’D’E’F’ no plano α’ paralelo ao plano α, que contém a da base 
ABCDEF.
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Proposição 1
A razão entre a área de uma seção meridiana e a área da base de um tetraedro é igual ao quadrado da razão 
entre a distância do vértice ao plano da seção e a altura do tetraedro.
Observe a figura 118. Considere S1 a área da seção A’B’C’, S a área da base ABC, h1 a distância do vértice V ao 
plano α’ e h a altura do tetraedro. A proposição 1 estabelece que: 
2
11
h
h
S
S 



= .
Para facilitar o entendimento dos passos da demonstração dessa proposição, construa os tetraedros do modelo 
11 do anexo 1. Esses tetraedros são obtidos quando o tetraedro VABC é secionado pelo plano determinado pelas 
concorrentes VF e VC. A reta VF é perpendicular ao plano ABC. Observe a figura 119.
Justapondo as faces que contêm linhas verticais pontilhadas dos tetraedros construídos no modelo 11, você 
obtém o tetraedro VABC que foi secionado. Coloque as letras nos tetraedros construídos conforme a figura 119. 
Agora você está pronto para acompanhar a demonstração, utilizando esses modelos.
Demonstração:
Comece observando a face VAB, do tetraedro VABC. Note que as retas A’B’ e AB são paralelas, pois estão 
contidas no plano VAB e não se interceptam por estarem contidas nos planos paralelos α’ e α, respectivamente. 
Assim, considerando as paralelas A’B’ e AB e a transversal VA, você pode garantir que os ângulos B'AV
∧
 e BAV
∧
 
são congruentes, pois esses ângulos são ângulos correspondentes. Considerando as mesmas paralelas e a trans-
versal VB, você pode garantir que os ângulos A'BV
∧
 e ABV
∧
são congruentes. Desse modo os triângulos VA’B’ e 
VAB possuem dois ângulos congruentes, daí esses triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança (Ângulo 
- Ângulo). E a razão de semelhança é dada por um dos quocientes: 
.
Observe agora os triângulos VA’C’ e VAC, pense e responda:
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1. As retas A’C’ e AC são paralelas?
 Essa é fácil! As retas A’C’ e AC são coplanares, pois estão contidas no plano VAC e não se interceptam por 
estarem contidas nos planos paralelos α’ e α, respectivamente, logo essas retas são paralelas.
2. Os triângulos VA’C’ e VAC são semelhantes? Qual o caso de semelhança?
 Esses triângulos são semelhantes pelo caso AA, pois CAVC'AV
∧∧
= e ACVA'CV
∧∧
= .
3. A razão de semelhança dos triângulos VA’C’ e VAC é igual à razão de semelhança dos triângulos VA’B’ e VAB?
Claro que sim! Pois, a razão de semelhança dos triângulos VA’C’ e VAC é igual a é 
também a razão de semelhança dos triângulos VA’B’ e VAB.
De modo análogo, você pode mostrar que os triângulos VB’C’ e VBC são semelhantes e a razão de semelhança 
é dada por um dos quocientes:
Note que essa razão também é igual à razão de semelhança dos dois pares triângulos dados anteriormente, já 
que 
Compare todos os quocientes que representam a razão de semelhança desses triângulos. Você pode concluir 
também que:
Desse modo os triângulos A’B’C’ e ABC são semelhantes por possuírem os lados proporcionais, caso de seme-
lhança Lado – Lado – Lado. 
Lembre-se da Geometria plana que a razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão 
de semelhança. Então, você pode escrever
Curiosidade!
Utilize os modelos para comparar os triângulos VA’C’ e VB’C’, superpondo as faces dos tetraedros. Note que 
eles não são congruentes. Apesar dos pares de triângulos VA’C’ e VAC, VB’C’ e VBC serem semelhantes e a razão 
de semelhança ser igual. Interessante você não acha?
Observe um dos tetraedros do modelo 11. Compare os triângulos VC’F’ e VCF. Pense e responda:
1. Esses triângulos são semelhantes? Qual o caso de semelhança?
As retas D’C’ e DC são paralelas. Considerando a transversal VC você obtém que FCV'F'CV
∧∧
= . Além disso, 
°==
∧∧
90CFV'C'FV 90º. Logo você pode concluir que os triângulos VC’F’ e VCF são semelhantes pelo caso AA.
2. Qual a razão de semelhança?
A razão de semelhança é dada por um dos quocientes: .
Note que . Logo você pode reescrever a identidade como: 
 
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Portanto a razão entre a área de uma seção meridiana (S1) e a área da base (S) de um tetraedro é igual ao qua-
drado da razão entre a distância do vértice ao plano da seção (h1) e a altura do tetraedro (h).
Proposição 2
Dois tetraedros de mesma altura, que possuem bases de áreas iguais, possuem volumes iguais.
Demonstração:
Considere os tetraedros VABC e V1EDF que possuem a mesma altura e cujas bases possuem áreas iguais. Assim 
se esses tetraedros estão com as bases em um plano α, então todo plano α’ paralelo ao plano α, que intercepta 
um desses tetraedros interceptará também o outro. Veja a figura 120. 
Por outro lado, considerando S(A’B’C”) e S(D’,E’,F’) as áreas das seções dos tetraedros VABC e V1EDF no plano 
α’, respectivamente, e utilizando a proposição 1 você pode escrever:
Daí você pode concluir que: 
)DEF(S
)'F'E'D(S
)ABC(S
)'C'B'A(S = .
Note que os denominadores das frações anteriores são iguais, pois as áreas das bases desses tetraedros são 
iguais. Consequentemente, os numeradores dessas frações são também iguais, ou seja, S(A’B’C’) = S(D’E’F’).
Lembra do Postulado de Cavalieri?
Releia esse postulado que se encontra no capítulo 4.
Utilize o Postulado de Cavalieri para concluir que esses tetraedros possuem volumes iguais.
A proposição seguinte vai estabelecer a fórmula que é utilizada para calcular o volume de um tetraedro. 
Proposição 3
O volume de um tetraedro é igual a um terço do produto da área da base pela altura correspondente. 
Considere um tetraedro DEFV1 de altura h e área da base S. Considere também um prisma triangular ABCA’B’C’ 
de mesma altura dotetraedro e cuja base possui área igual à área da base do tetraedro. Observe a figura 121.
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Lembre-se de que o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Assim, o volume do 
prisma da figura 121 é dado por hSVP ⋅= . Ora, a proposição 3 estabelece que o volume do tetraedro DEFV1 é 
igual à terça parte do volume do prisma ABCA’B’C’, ou seja, )hS(
3
1
VT ⋅= .
Para facilitar o entendimento da demonstração da proposição 3, construa os modelos 12 e 13 do anexo 1. 
Nomeie os vértices dos modelos de acordo com a figura 123, dada a seguir.
Demonstração:
 Comece secionando o prisma ABCA’B’C’ segundo o plano AB’C. Nessa seção você obtém o tetraedro ABCB’ 
e a pirâmide de vértice B’ e base ACC’A’. Observe a figura 122. Note que os tetraedros ABCB’ e DEFV1 possuem 
as bases ABC e DEF congruentes, consequentemente, essas bases possuem áreas iguais. Além disso, as alturas 
relativas a essas bases também são iguais, pois coincidem com a altura do prisma. Assim, pela proposição 2 esses 
tetraedros possuem volumes iguais. 
Agora secione a pirâmide de vértice B’ e base ACC’A’ segundo o plano ACB’. Nessa seção você obterá os tetra-
edros ACA’B’ e C’A’CB’. Observe a figura 123.
Note que os triângulos ACA’ e C’A’C são bases dos tetraedros ACA’B’ e C’A’CB’, respectivamente. Por outro lado, 
esses triângulos podem ser obtidos do paralelogramo ACC’A’ quando é traçada a diagonal CA’. Daí essas bases 
possuem áreas iguais. 
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Lembre-se de que a altura de um tetraedro é a distância do vértice ao plano da base. Note então que as bases 
ACA’ e C’A’C desses tetraedros estão contidas em um mesmo plano (plano ACC’) e que B’ é um vértice comum 
desses tetraedros. Assim, você pode concluir que as alturas desses tetraedros relativas a essas bases são iguais. 
Logo, pela proposição 2, os tetraedros ACA’B’ e C’A’CB’ possuem volumes iguais.
Compare agora os tetraedros C’A’CB’ e ABCB’. Pense e responda:
1. Quais as bases desses tetraedros possuem áreas iguais?
Essa é fácil! As bases ABC e A’B’C’ dos tetraedros C’A’CB’ e ABCB’, respectivamente, possuem áreas iguais, 
pois também são as bases do prisma triangular ABCA’B’C’.
2. As alturas desses tetraedros relativas a essas bases também são iguais?
Claro que sim! Pois são iguais à altura do prisma.
3. Os tetraedros C’A’CB’ e ABCB’ possuem volumes iguais?
Essa é fácil! A proposição 2 garante que dois tetraedros de mesma altura e bases de áreas iguais, possuem 
volumes iguais. Logo os tetraedros C’A’CB’ e ABCB’ possuem volumes iguais.
Assim, você decompôs o prisma triangular nos tetraedros ACA’B’, C’A’CB’ e ABCB’, todos com o mesmo volu-
me. Daí o volume de cada um desses tetraedros é igual a um terço do volume do prisma triangular. Além disso, os 
tetraedros ABCB’ e DEFV1 possuem volumes iguais. Portanto, você pode concluir que o volume do tetraedro DEFV1 
é igual à terça parte do volume do prisma ABCA’B’C’, ou seja, 
)hS(
3
1
VT ⋅= .
Essa fórmula pode ser utilizada para calcular o volume de um tetraedro qualquer e também o volume de uma 
pirâmide qualquer. É o que garante a proposição seguinte.
Proposição 4
O volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura.
Demonstração:
 Para facilitar o entendimento, a demonstração apresentada a seguir utilizará uma pirâmide de vértice V e cuja 
base é o pentágono ABCDE. 
Comece considerando as diagonais do pentágono ABCDE que têm o vértice A como uma das extremidades. 
Veja a figura 124.
Essas diagonais decompõem o pentágono em três triângulos: ABC, ADC e ADE. Considere os tetraedros T1, T2 
e T3 de vértices V e cujas bases são os triângulos ABC, ADC e ADE, respectivamente. Considere também S1, S2 e 
S3 as áreas das bases ABC, ADC e ADE, respectivamente. Note que o volume V da pirâmide pentagonal ABCDEV é 
igual à soma dos volumes desses tetraedros. Assim, você pode escrever: 
)T(V)T(V)T(VV 321 ++= .
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Observe que os tetraedros T1, T2 e T3 possuem a mesma altura (distância do vértice V ao plano α). Assim apli-
cando a fórmula para o cálculo do volume de tetraedro, você pode reescrever: 
( ) ( ) ( )hS
3
1
hS
3
1
hS
3
1
V 321 ⋅+⋅+⋅= .
Ou ainda, 
( ) hSSS
3
1
V 321 ⋅++= .
A soma das áreas dos triângulos ABC, ADC e ADE é igual à área S do pentágono ABCDE. Daí,
hS
3
1
V ⋅= .
Logo, o volume da pirâmide pentagonal é a terça parte do produto da área da base pela altura.
Observe que o processo aplicado acima para decompor a pirâmide pentagonal em tetraedros pode ser aplicado 
em qualquer pirâmide. Desse modo, a fórmula estabelecida é válida para calcular o volume de uma pirâmide qualquer. 
Portanto, o volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura.
Você já aprendeu que área lateral do prisma é a soma das áreas de suas faces laterais. Pois é, a área lateral de 
uma pirâmide é também a soma das áreas das faces laterais da mesma. Lembre-se de que as faces laterais de 
uma pirâmide são triângulos e que áreas de triângulos podem ser calculadas pela fórmula 
2
hb
S
⋅= , onde b é uma 
das bases do triângulo e h é a altura correspondente a essa base.
Por exemplo, na pirâmide ilustrada na figura 124, a área lateral ( lateralS ) é dada pela soma das áreas dos tri-
ângulos VAB, VBC, VCD, VDE e VEA, ou seja,
).VEA(S)VDE(S)VCD(S)VBC(S)VAB(SSlateral ++++=
E a área total ( totalS ) é dada pela soma de lateralS com a área da base ABCDE, ou seja,
).ABCDE(SSS lateraltotal +=
Acompanhe agora a resolução dos exercícios 2 e 5 da seção 6.4 “Exercícios resolvidos”.
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6.3 Volume de um cone, áreas totais e laterais de cones
Você já sabe que a base de um cone é uma curva plana simples C (sem auto-interseções). Sabe também que se 
a base do cone é um círculo dizemos que ele é um cone circular. Nessa seção, a palavra “cone” será utilizada para 
significar ”cone circular”. E você terá a oportunidade de conhecer as fórmulas que são utilizadas para o cálculo do 
volume e das áreas laterais e totais de um cone. 
Comece considerando um cone de vértice V cuja base possui centro no ponto O, raio OB e está contida no 
plano α. Seja α’ um plano paralelo ao plano α, que intercepta esse cone. Considere também que as retas VO e VB 
interceptam o plano α’ nos pontos O’ e B’, respectivamente. Observe a figura 125.
Pense e responda:
1. As retas O’B’ e OB são paralelas?
 Claro que sim! As retas O’B’ e OB estão contidas no plano determinado pelas concorrentes VO e VB, daí 
são coplanares. Além disso, a reta O’B’ está contida no plano α’, a reta OB está contida no plano α e estes 
planos são paralelos, consequentemente, as retas O’B’ e OB não se interceptam. Logo as retas O’B’ e OB são 
coplanares e não se interceptam, portanto são paralelas.
2. Os triângulos VO’B’ e VOB são semelhantes?
 Essa é fácil! Considerando as paralelas O’B’ e OB e a transversal VB tem-se que OBVO'BV
∧∧
= BOV=B'OV
ÈÈ
, pois 
esses ângulos são correspondentes. Considerando as mesmas paralelas e a transversal VO tem-se que 
BOV=B'OV
ÈÈ
BOV=B'OV
ÈÈ
OBVO'BV
∧∧
= OBVO'BV
∧∧
=, pois esses ângulos são correspondentes. Assim, os triângulos VO’B’ e VOB são semelhantes 
pelo caso AA. E a razão de semelhança é dada pelo quociente .
3. Considere C’ um ponto qualquer da seção do cone no plano α’. Os triângulos VO’C’ e VOC são também 
semelhantes? Qual a razão de semelhança?
 De modo análogo ao caso anterior, os ângulos OCVO'CV
∧∧
= e COV='C'OV
ÈÈ
OBVO'BV
∧∧
= OBVO'BV∧∧
=. Daí os triângulos VO’C’ e 
VOC são semelhantes pelo caso AA. A razão de semelhança é também dada pelo quociente 
 Como a razão de semelhança é a mesma, você pode escrever:
 
 
 Assim, 
 
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Note que , pois esses segmentos são raios do círculo da base do cone. Assim, as frações anteriores 
possuem denominadores iguais e como essas frações são iguais, então os numeradores também são, ou seja, 
'C'O'B'O = . Daí a distância dos pontos da seção ao ponto O’ são sempre iguais. Portanto essa seção é um círculo 
de centro O’ e raio 'B'O .
Logo, você pode concluir que as seções de um cone por planos paralelos ao plano da base são também círculos.
Proposição 5
A razão entre a área da seção de um cone por um plano paralelo ao plano da base e a área da base é igual ao 
quadrado da razão entre a distância do vértice do cone ao plano da seção e a altura do cone. 
Observe a figura 126. Considere S1 a área do círculo de centro O’ e raio O’B’, S a área do círculo de centro O e 
raio OB, h1 a distância do vértice V ao plano α’ e h a altura do cone. A proposição 5 estabelece que: 
.
h
h
S
S 211 



=
Demonstração:
Comece traçando do vértice V uma perpendicular ao plano α. Sejam E e E’ os pontos em que essa perpendi-
cular intercepta os planos α e α’, respectivamente. Note que os triângulos VE’B’ e VEB são também semelhantes e 
 é a razão de semelhança. Mas a razão é também a razão de semelhança entre os triângulos VO’B’ 
e VOB. Daí, você pode escrever: 
Lembre-se da Geometria plana em que dois círculos são sempre semelhantes e a razão de semelhança entre eles 
é igual à razão entre os raios dos mesmos. Lembre-se também de que a razão entre as áreas de figuras semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Daí, como a seção e a base do cone são círculos de raios , respectivamente, você pode escrever:
Ou ainda, 
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Por outro lado, como a reta VE é perpendicular aos planos α e α’ tem-se que é igual a h1(distância do vértice 
V ao plano α’) e é igual a h(altura do cone). Daí você pode concluir que:
Portanto a razão entre a área de uma seção (S1) de um cone por um plano paralelo ao plano da base e a área 
da base (S) de um cone é igual ao quadrado da razão entre a distância do vértice ao plano da seção (h1) e a altura 
do cone (h).
Proposição 6
O volume de um cone é a terça parte do produto da área de sua base pela sua altura.
Demonstração:
Comece considerando um tetraedro e um cone de alturas iguais a h, cujas bases estão contidas em um plano 
α. Observe a figura 127. 
Desse modo todo plano α’ paralelo ao plano α, que intercepta esse tetraedro, interceptará também o cone. 
Além disso, as distâncias dos vértices V e V1 ao plano α’ são iguais. Represente essas distâncias por h1. Suponha 
também que as bases desses sólidos possuem áreas iguais a S. Seja 1S a área da seção do tetraedro no plano α’ 
e 2S a área da seção do cone no plano α’.
 Lembre-se de que: 2
11
h
h
S
S 



= e 
2
12
h
h
S
S 



= .
Daí,
.
S
S
S
S 21 =
Como as frações anteriores possuem o mesmo denominador e são iguais, então você pode concluir que 
21 SS = , ou seja, as seções do tetraedro e do cone possuem áreas iguais. Logo, o Postulado de Cavalieri garante 
que esses sólidos possuem volumes iguais. Você já sabe que o volume do tetraedro é dado pela fórmula:
( ). hS
3
1
Vtetraedro ⋅=
Assim, 
( ). hS
3
1
VV tetraedrocone ⋅==
Portanto, o volume de um cone é a terça parte do produto da área da base pela altura.
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Considerando que o raio da base do cone é igual a r e que a área de um círculo é dada pela fórmula , você 
pode ainda escrever:
Considere agora um cone de vértice V e cujo centro da base seja o ponto O. Se o segmento VO é perpendicular 
ao plano da base o cone é chamado cone reto. Seja P um ponto qualquer da circunferência da base de um cone, o 
segmento VP é chamado geratriz do cone e é representado pela letra g. A figura 128 ilustra um cone circular reto 
onde os segmentos VA, VB, VC e VD são exemplo de geratrizes desse cone.
A proposição a seguir estabelece uma relação entre a geratriz, o raio da base e a altura de um cone reto.
Proposição 7
Se r, g e h são o raio da base, a geratriz e a altura de um cone circular reto, respectivamente, então
222 h+r=g .
Demonstração:
Comece considerando um cone reto de vértice V e cujo centro da base é o ponto O. Como por hipótese esse 
cone é reto tem-se que VO é perpendicular ao plano α, que contém a base desse cone. Assim, o comprimento do 
segmento VO é igual à altura do cone. Além disso, o segmento VO é perpendicular ao raio OB, onde B é um ponto 
qualquer da circunferência da base do cone. Note também que o segmento VB é uma geratriz do cone. Então o 
triângulo VOB é retângulo em O e você pode aplicar o Teorema de Pitágoras para obter a relação:
,
ou seja,
Neste texto, você terá oportunidade de estabelecer a fórmula que permite calcular a área lateral de um cone reto. 
Para facilitar o seu entendimento comece construindo o modelo descrito a seguir. 
Numa folha de papel A4, com o auxílio de um compasso, desenhe uma circunferência de raio igual a oito cen-
tímetros. Marque o centro dessa circunferência e nomeie esse ponto V. Marque também dois pontos A e B sobre 
essa circunferência, de modo que o ângulo central °=
∧
135BVA . Trace os raios VA e VB e, em seguida, faça uma 
aba como mostra figura 129.
Recorte o setor circular AB seguindo a orientação das linhas tracejadas da figura 129. Dobre a aba e faça coincidir 
o raio VB com o raio VA, fixando essa união com fita adesiva.
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Pense e responda:
1. Que superfície esse modelo representa?
 Essa é fácil! A superfície lateral de cone circular reto.
 Assim, você pode concluir que a área lateral de um cone circular reto é igual à área de um setor circular. Ou 
seja, Slateral = S, onde S é a área do setor circular.
2. Você uniu o raio VB do setor circular ao raio VA para formar a superfície lateral do cone. Nessa construção, 
o raio VB do setor circular se transformou em um elemento do cone reto. Qual?
 O raio VB do setor circular transformou-se em uma geratriz desse cone.
3. Observe a figura 129 e recorde o processo de construção do modelo. Compare o comprimento do círculo da 
base do cone que você construiu e o comprimento do arco AB. A que conclusão você pode chegar?
 Que esses comprimentos são iguais.
4. E o raio do círculo da base do cone e o raio do arco AB são iguais?
 Você já sabe que, nessa construção, o raio VB do arco AB se transforma em uma geratriz. Observe então o 
triângulo retângulo VOB da figura 128. A geratriz g é a hipotenusa desse triângulo e o raio da base é um dos 
catetos. Portanto, o raio do círculo da base do cone e o raio do arco AB não são iguais.
Considere agora C o comprimento do arco AB. Lembre-se da Geometria plana em que o comprimento de uma circunfe-
rência é igual ao produto 2πr, onde r é o raio da circunferência. Assim, considerando que o comprimento do círculo da 
base do cone e o comprimento do arco AB são iguais, você pode escrever , onde r é o raio da base do cone.
Por outro lado, o comprimento C do arco AB depende do ângulo central °=
∧
135BVA . Na verdade, o comprimento 
do arco e a medida do ângulo central correspondente são grandezas diretamente proporcionais, isto é, se uma delas 
cresce (ou decresce) a outra também cresce (ou decresce), na mesma razão. Observe a figura130. 
Note também que se o ângulo central for igual a 360o, o arco tem comprimento igual ao comprimento da cir-
cunferência. Assim, o comprimento da circunferência ilustrada na figura 129, que possui raio igual a 8 cm é igual 
a 2π8=16π cm.
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Então, você pode compor a tabela:
Ângulo central (graus) Comprimento do arco
135o C = 2πr
360o 2π8 = 16π
Utilizando a regra de três simples, você obtém: 
8
r
=
8
3
. 
Daí, r = 3. Ou seja, o raio r da base do cone é igual a 3 centímetros.
Utilize uma régua para medir o diâmetro da base do cone que você construiu. Você deve obter que o diâmetro 
da base mede 6 cm, daí o raio da base é igual a 3 cm, o que comprova os cálculos acima.
Você pode generalizar o exemplo anterior. Comece considerando α o ângulo central que corresponde ao arco 
AB, g o raio do arco AB e r o raio da base do cone. Lembre-se de que o comprimento do arco AB é igual ao com-
primento do círculo da base do cone, ou seja, . Veja a figura 131.
Então, você pode compor a tabela:
Ângulo central (graus) Comprimento do arco
α C = 2πr
360o 2πg
Utilizando a regra de três simples, você obtém: .
Note que essa proporção estabelece que a razão entre o ângulo central que corresponde ao arco AB e o número 360o 
é igual à razão entre o raio da base e a geratriz do cone. Suponha, por exemplo, que a geratriz seja igual ao dobro do 
raio. Daí, a razão 
2
1
=
r2
r
=
g
r . Essa razão é igual a razão entre o ângulo central que corresponde ao arco AB e o número 
360o, ou seja, . Daí o ângulo α é igual a metade de 360o, ou seja, °= 180α . 
Logo, você pode concluir que para construir um cone reto onde a geratriz é o dobro do raio da base, deve-se 
começar desenhando um setor circular cujo ângulo central α é igual a 180o. Observe a figura 132. Note que o 
triângulo VAB da figura 132 é equilátero. Por essa razão esse cone é chamado cone equilátero. 
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É importante lembrar: em um cone equilátero a geratriz é igual ao diâmetro da base.
Construa um cone equilátero cuja geratriz mede 10 cm. Lembre-se de que basta desenhar um setor circular 
(semicírculo) de raio 10 cm. 
Qual é a altura desse cone?
Essa é realmente fácil! Pense: a geratriz é igual a 10 cm, daí o raio da base é igual a 5 cm. Você pode aplicar a 
relação 222 h+r=g . Assim, . Fazendo os cálculos:
Volte a observar a figura 131. Você já sabe que a área lateral Slateral de um cone reto é igual à área S de um setor 
circular. Considere o cone cuja área lateral é igual à área do setor circular AB da figura 131. Note que a área S do setor 
circular AB e o comprimento do arco AB também são grandezas diretamente proporcionais. Quando o comprimento 
C do arco AB cresce (ou decresce) a área S do setor circular AB cresce (ou decresce), na mesma razão. 
Observe também que se o ângulo central for igual a 360o, o arco AB tem comprimento igual ao comprimento da 
circunferência e a área do setor AB coincide com a área do círculo. Lembre-se da Geometria plana que a área do 
círculo é igual ao produto πr2, onde r é o raio do círculo. Como o raio do setor circular AB (figura 131) é igual a g 
tem-se que a área do círculo de raio g é igual a π.g2. 
Assim, você também pode compor a tabela:
Comprimento do arco Área do setor circular
C = 2πr S = Slateral
2πg π.g2 
Utilizando a regra de três simples, você obtém: 
Daí, 
Logo, a área lateral Slateral de um cone é igual ao produto dos números π, r e g, onde r é o raio da base e g é a 
geratriz do cone. E a área total ( totalS ) de um cone é dada pela soma de lateralS com a área da base, ou seja,
lateral
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Um cone que não é reto, ou seja, o segmento VO não é perpendicular ao plano da base, é denominado cone 
oblíquo. O cálculo da área lateral de um cone oblíquo requer recursos de Cálculo, e geralmente é abordado nessa 
disciplina.
É importante lembrar:
• O volume de um cilindro (quer esse sólido seja um cilindro circular ou um prisma) é igual ao produto da área 
da base pela altura, ou seja,
 . hSVcilindro ⋅=
• O volume de um cone (quer esse sólido seja um cone circular ou uma pirâmide) é igual à terça parte do 
produto da área da base pela altura, ou seja,
 
( ). hS
3
1
Vcone ⋅=
• A área lateral de um cilindro de raio r e altura h é igual à área de um retângulo de dimensões h e 2πr, ou seja, 
. 
• A área lateral de um cone reto de raio r e geratriz g é igual à área de um setor circular de raio g e cujo arco 
possui comprimento igual a 2πr, ou seja, 
 .
6.4 Exercícios resolvidos
1. Para presentear um amigo, comprei uma pirâmide de base quadrada cuja altura é igual a oito centímetros e 
o lado da base mede quatro centímetros. Que dimensões mínimas deve ter uma caixa de papelão em forma 
de um cone circular reto para embalar este presente? Qual a quantidade de espaço vazio na caixa após co-
locarmos a pirâmide?
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Solução:
É claro que as alturas desses sólidos devem ser iguais e a base da pirâmide deve caber dentro da base do cone. 
A figura 136 ilustra a base da pirâmide (um quadrado de lado medindo quatro centímetros) e a base do cone (uma 
circunferência que circunscreve esse quadrado). Desse modo, o diâmetro dessa circunferência é igual à diagonal 
do quadrado. Note que o triângulo ABC é retângulo em B e isósceles, com catetos medindo 4 cm cada. Assim, você 
pode aplicar o Teorema de Pitágoras para obter a diagonal AC, ou seja,
Daí, 
.
Assim, o diâmetro do cone é igual a 24 cm e o raio da base mede 22=
2
24
=r cm. Logo, a caixa de 
papelão em forma de cone circular reto possui raio, no mínimo, igual a 22 cm e altura igual a oito centímetros. 
Note que a solução apresentada desprezou a espessura do material utilizado para fazer a caixa. 
A quantidade de espaço vazio na caixa após colocarmos a pirâmide pode ser obtida pela diferença entre os 
volumes do cone e da pirâmide. Ou seja,
coneespaço V=V - . Vpirâmide
O volume do cone é dado pela fórmula . 
Assim, . Foi utilizando o valor aproximado de π igual 3,1416 .
E o volume da pirâmide pode ser calculado pela fórmula Assim, 
Logo o espaço vazio será igual a: 
2. Seja uma pirâmide de vértice V cuja base é um polígono regular. Considere o ponto O centro da base, isto é, 
centro dos círculos inscrito e circunscrito ao polígono da base. Essa pirâmide é dita regular se o segmento 
VO é perpendicular ao plano da base. A figura 137 representa uma pirâmide regular cuja base é um hexágono 
regular. 
I - Observe os triângulos VOA e VOB. Eles são congruentes? Qual o caso de congruência?
II - Considere uma pirâmide hexagonal regular tal que o apótema da pirâmide mede dez centímetros e o apó-
tema da base mede seis centímetros. Calcule a área total e o volume dessa pirâmide.
 
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Solução:
I - Note que o lado VO é um lado comum a esses triângulos e os lados AO e OB são raios do círculo circuns-
crito à base, daí são congruentes. Os ângulos , pois o segmento VO é perpendicular à 
base. Logo, os triângulos VOA e VOB são congruentes pelo caso LAL. Assim, as arestas laterais VA e VB 
são congruentes. 
De modo análogo, você pode mostrar que as arestas laterais dessa pirâmide são todas congruentes. Conse-
quentemente, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes, por isso as alturas desses triângulos relativas 
às bases dos mesmos são também congruentes. Essasalturas são chamadas apótema da pirâmide e na figura 
137 é representada pela letra m. Lembre-se de que a altura relativa à base e a mediana de um triângulo isóscele 
coincidem.
Lembre-se também da Geometria plana que o raio do círculo inscrito a um polígono regular é chamado apótema. 
Na figura 137 o apótema da base da pirâmide está representado pela letra a. 
Fique atento:
Apótema da pirâmide → alturas das faces laterais de uma pirâmide regular.
Apótema da base → raio do círculo inscrito na base.
II - Comece observando que o triângulo VOM da figura 137 é retângulo em O e daí você pode obter a altura da 
pirâmide aplicando o Teorema de Pitágoras a esse triângulo, ou seja,
m2 = h2 + a2 ⇒ 100 = h2 + 36 ⇒ h2 = 100 − 36 = 64
Daí a altura da pirâmide mede 8 centímetros.
Por outro, a base da pirâmide é um hexágono regular, assim essa base pode ser decomposta em seis triângulos 
equiláteros de lado L, cuja altura é igual ao apótema da base. Observe a figura 138. Assim, você pode escrever:
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Daí, 
Então, você pode calcular a área do triângulo ABO como:
A área da base é igual a:
A área lateral é igual a:
Logo, a área total é igual a:
O volume da pirâmide é igual a: 
3. Considere uma pirâmide hexagonal regular cujo lado da base mede 2 cm e o volume é cm3. Determine o vo-
lume do cone de vértice coincidente com o vértice da pirâmide e a cuja base está inscrita na base da pirâmide.
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Solução: 
A figura 141 ilustra as bases da pirâmide e do cone. O apótema da base da pirâmide pode ser calculado como:
Daí, 
Então, você pode calcular a área do triângulo ABO como:
A área da base da pirâmide é igual a:
Você já sabe que o volume de uma pirâmide é igual a . Como foi dado que 
o volume da pirâmide é igual a , você pode escrever:
Substituindo o valor da área da base você obtém:
Como o cone possui vértice coincidente com o vértice da pirâmide e a base está inscrita na base da pirâmide, então 
você pode concluir que a altura do cone é igual à altura da pirâmide. Assim, a altura do cone é igual a 12 cm.
Por outro lado, como a base do cone está inscrita na base da pirâmide, o raio do cone é igual ao apótema 
da base. Observe a figura 141. Assim, o raio da base do cone é igual a 3 e a área da base do cone é igual a: 
Agora você já pode calcular o volume do cone. Lembra a fórmula?
A fórmula do volume do cone é também dada pelo produto: ( )hS
3
1
V basecone ×= . Substituindo os valores 
da área da base e da altura, você obtém:
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4. Um copo cônico de papel foi feito a partir de um setor circular de 10 centímetros de raio e ângulo central de 
216º. Calcule o volume desse copo. 
Solução:
Comece lembrando-se da relação . Substituindo os valores de α e da geratriz g, tem-se:
Assim, você já pode calcular a altura h:
Daí, 
Então, o volume do copo é igual a:
5. Calcule o volume de uma pirâmide regular hexagonal sendo 6 centímetros a medida da aresta da base e 10 
centímetros a medida da aresta lateral.
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Solução:
Você já sabe que um hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos eqüiláteros. Assim, o triângulo 
OCD da figura 143 é equilátero e seus lados medem 6 cm. A área da base da pirâmide é igual a seis vezes a área 
do triângulo OCD. Observe a figura 144. Você pode calcular a altura do triângulo OCD como:
 Então você pode calcular a área do triângulo OCD como:
E a área da base é igual a:
Observe agora o triângulo VOD. Esse triângulo é retângulo em O, o cateto OD mede 6 cm e a hipotenusa VD mede 
10 cm. Então você pode calcular a altura H da pirâmide, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo VOD.
Daí, 
Assim, o volume da pirâmide é igual a: 
6.4 Exercícios propostos
1. Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 4 cm. Os ângulos entre os planos das faces laterais 
e o plano da base são iguais a 45o. Determine a altura e o volume dessa pirâmide.
2. Do sólido ilustrado na figura 146, sabe-se que ABCDEFGH é um cubo cuja aresta mede 6 centímetros e que 
os pontos M e N são pontos médios das arestas deste cubo. Determine o volume do sólido AMNCDEFGH.
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3. A figura 147 ilustra um cubo de arestas AB, AD e AE. Sabe-se que 
I – Responda:
a) Os triângulos ABF, ABC e BCF são congruentes?
b) Quais as medidas das diagonais AF, AC e FC?
c) Qual a medida do ângulo CAF
∧
?
II - Determine:
A área total da pirâmide ABCF.a) 
A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide ABCF.b) 
4. Sabe-se que um cone circular reto de altura igual a 6 centímetros possui volume igual a 96π cm3. Determine 
o volume da pirâmide regular de vértice coincidente com o vértice do cone e cuja base hexagonal está 
inscrita na base do cone.
5. A geratriz de um cone mede 14 centímetros e a área da base 80π cm2. Determine a medida da altura desse cone.
6. Considere um cone de vértice V e seja AB um diâmetro da base. Sabe-se que o triângulo VAB é equilátero e 
 centímetros. Determine a área total e o volume desse cone.
7. Um ponche será servido em copos de forma cilíndrica e taças de forma cônica, ambos com o mesmo raio. 
Sabe-se ainda que a altura das taças é igual ao triplo da altura dos copos. Uma pessoa que gosta muito de 
ponche escolheria que tipo de copo para saboreá-lo?
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8. Desenvolvendo-se a superfície lateral de um cone reto obtém-se um setor circular de raio 16 centímetros e 
ângulo central 135o. Determine o volume desse cone.
9. Em uma taça de forma cônica de raio 4 centímetros e altura 15 centímetros há cerca de 72π cm3 de vinho. 
Qual a quantidade máxima de cubos de gelo de aresta igual a 2 centímetros pode-se colocar nessa taça sem 
que o vinho transborde? 
10. Quando um cone de vértice V e base S é secionado por um plano α’ paralelo ao plano da base S, obtêm-se 
dois novos sólidos: o sólido que contém a base S do cone que é chamado troco de cone e outro cone de 
vértice V.
 Um cone reto de vértice V possui a altura e o raio iguais a 6 centímetros. Considere o plano α’ paralelo ao 
plano da base tal que α’ intercepta o cone e a distância do vértice V a α’ é igual a 4 centímetros. Calcule o 
volume do tronco de cone gerado quando o plano α’ seciona esse cone.
Respostas:
1. e 2hpirâmide = cm. 2. 207Vsólido = cm3.
3. I. a) Sim. b) 23 cm. c) °=
∧
60CAF 60º
 II. a) 
2hpirâmide =
2hpirâmide =207Vsólido = 
 b) pirâmidecubo V6V ×= .
4. 3154Vpirâmide = 
6. 
 
5. 8. 
7. Os copos e as taças possuem o mesmo volume, por 
isso a pessoa pode escolher qualquer um dos dois. 10. 
152
3
9. Três cubos.
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6.6 Construções de modelo
Nessa seção você aprenderá como construir modelos concretos que lhe auxiliarão na visualização de alguns 
sólidos trabalhados nesse capítulo. 
Modelo 1
Objetivo
Facilitar a visualização da relação estabelecida pela proposição 7.
Material necessário
1. Uma radiografia descolorida de dimensões aproximadamente iguais as dimensões de uma folha de papel A4. 
2. Um tampa plástica que vem nas latas de leite ou achocolatados de diâmetro igual a 10 cm.
3. Fita adesiva. 
4. Um retângulo de duplex de dimensões 12 cm x 16 cm.
Modo de fazer
Passo 1
Em uma folha de papel A4, construa um semicírculo de raio 10cm e faça uma aba de modo análogo a figura 
129. Está pronto o molde que será utilizado para construir a superfície lateral do cone. 
Passo 2
Fixe o molde na radiografia com fita adesiva. Em seguida, risque os raios do setor e a aba com o auxílio de uma 
régua e um estilete. Use força suficiente para riscar. Tenha cuidado para não cortar a radiografia.
Passo 3
Recorte, com uma tesoura, o setor na radiografia, seguindo as linhas do molde.
Passo 4
Dobre a aba do setor e feche o setor, fazendo coincidir os raios do mesmo e fixando essa união com fita adesiva.
Passo 5
No duplex, do lado fosco, construa um triângulo equilátero de lado medindo 9,8 cm e trace uma altura do mesmo. 
Faça abas como na figura 152.
Passo 6 
Recorte esse triângulo segundo as linhas interrompidas. Dobre segundo a altura, de modo que o lado colorido 
do duplex fique para fora. E em seguida, fixe os lados sem abas com uma fita adesiva. Desse modo, você terá 
construído um triângulo retângulo de hipotenusa de medindo 9,8 cm e cateto medindo 4,9 cm. Escreva nos dois 
lados dessa peça as letras h, r e g ao lado da altura, do cateto MB e da hipotenusa BC, respectivamente.
Passo 7
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Dobre as abas uma para cada lado e fixe esse triângulo na parte interna da tampa plástica com fita adesiva, de 
modo que o cateto BM coincida com um dos raios da tampa.
Passo 8.
Por fim, encaixe a superfície lateral do cone na tampa plástica. E o seu modelo está pronto. 
Modelo 2
Objetivo
Facilitar a visualização do sólido chamado anticlépsidra e o cálculo do seu volume.
Material necessário
1. Uma folha de duplex.
2. Um palito de dente.
3. Fita adesiva. 
Modo de fazer
Passo 1
No papel duplex, do lado fosco, desenhe um retângulo de lados medindo 31,6 cm e 10,2 cm. Faça uma aba 
conforme a figura 153. Dobre a aba para dentro e feche o modelo de modo que o lado colorido do duplex fique 
para fora. Assim, você construiu uma superfície cilíndrica. Com uma régua meça o diâmetro da base.
Passo 2
Na folha de duplex, do lado fosco, construa um setor circular de raio 7 cm e ângulo central igual a 257o. Faça 
abas de modo análogo a figura 154. 
Passo 3
Feche a superfície cônica de modo que o lado colorido do duplex fique para dentro e as abas para fora. Fixe as 
abas com uma borracha de dinheiro ou borracha de silicone para prender cabelo. Observe a figura 155.
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Passo 4
Construa outra superfície cônica igual à anterior, seguindo os passos 2 e 3.
Passo 5
Pelo vértice de uma das superfícies cônicas, de dentro para fora, introduza o palito. Em seguida, encaixe a ponta 
do palito no vértice da outra superfície cônica, dessa vez de fora para dentro, de modo que as superfícies cônicas 
fiquem unidas pelo vértice. Veja a figura 156.
Passo 6
Encaixe a superfície cilíndrica, construída no passo 1, na peça anterior e com fita adesiva fixe as bases da su-
perfície cilíndrica nas bases das superfícies cônicas. Veja a figura 157.
O sólido representado por esse modelo é denominado 
anticlépsidra. A anticlépsidra é obtida quando de um cilindro de raio r e altura h = 2r é retirado dois cones de 
raios e alturas iguais a r. 
O volume da anticlépsidra pode ser obtido, subtraindo do volume do cilindro os volumes dos cones, ou seja,
. V2VV conecilindrodraanticlépsi ×−=
O volume do cilindro é igual a:
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O volume do cone é igual a:
Logo,
Portanto, 
A anticlépsidra é um sólido importante para o cálculo do volume da esfera que você terá oportunidade de estudar 
no próximo capítulo. 
?? VOCÊ SABIA?
Certamente você já ouviu falar das pirâmides do Egito. Elas estão localizadas na esplanada de Gizé, 
nas proximidades da atual Cairo. São pirâmides regulares de bases quadradas e foram construídas 
como túmulos reais. A maior delas foi construída por volta de 2600 a.C. para abrigar o corpo do faraó 
Khufu (Quéops) e se tornou conhecida como uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo. 
Você pode saber mais sobre as pirâmides nos endereços:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mides_de_Giz%C3%A9
http://www.estadao.com.br/noticias/internacional,novas-tumbas-recontam-historiadas-
piramides-do-egito,493786,0.htm
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7 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Nos capítulos anteriores você teve a oportunidade de conhecer as definições de cilindros, prismas, cones e 
pirâmides e aprendeu a determinar os volumes e as áreas laterais e totais desses sólidos. Nesse capítulo, você 
aprenderá a identificar um sólido de revolução e a calcular os volumes de alguns sólidos de revolução. 
7.1 Construção de sólidos de revolução 
Definição 1
Em um plano α, considere uma reta r e uma região G limitada por uma curva simples (sem auto-interseções). 
Na figura 158 a região G é a região cujo contorno é o trapézio ABCD. Imagine então que a região G gira em torno da 
reta r. Nesse movimento cada ponto P da região G descreve uma circunferência contida no plano β que passa por P 
e é perpendicular à reta r. Note que os centros dessas circunferências são pontos da reta r. Observe a figura 158.
O sólido formado pela reunião de todas essas circunferências é chamado sólido de revolução. A região G é 
chamada geratriz e a reta r eixo de revolução.
O sólido de revolução S ilustrado nas figuras 158 e 159 é gerado pela rotação do trapézio ABCD em torno da 
reta r. Assim, o trapézio ABCD é a geratriz e r é o eixo de revolução do sólido S.
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Um cilindro circular reto de raio r e altura h é também um sólido de revolução cuja geratriz é um retângulo de 
lado medindo r e h. Na figura 160 o cilindro é gerado quando o retângulo ABCD (geratriz) gira em torno da reta BC 
(eixo de revolução).
7.2 A esfera: volume e área de esferas
Definição 2
Considere um ponto C do espaço e seja R um número real positivo. O conjunto dos pontos P do espaço tais que 
a distância de P ao ponto C é menor ou igual a R é chamado esfera de centro C e raio R.
A figura 161 ilustra uma esfera de centro C e raio R. As distâncias do centro C aos pontos A e B são iguais a 
R, assim, esses pontos pertencem a essa esfera e são ditos pontos da superfície da esfera. O ponto P pertence a 
essa esfera, pois, a distância de P ao centro C é menor do que R, nesse caso diz-se que P é um ponto interior da 
esfera. Note que a distância do ponto Q ao centro C é maior que R daí o ponto Q não pertence à esfera. O ponto Q 
é dito um ponto exterior da esfera.
O segmento determinado por dois pontos A e B da superfície da esfera é chamado corda. Toda corda que passa 
pelo centro da esfera chama-se diâmetro.
Note que a esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno do diâmetro.
Você está lembrado do sólido chamado anticlépsidra trabalhado no capítulo 6?
Releia o cálculo do volume da anticlépsidra no modelo 2 do capítulo 6. 
Considere uma anticlépsidra obtida de um cilindro de raio R e altura igual a 2R quando se retira dois cones de 
raios e alturas iguais a R. Observe a figura 163.
 
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A anticlépsidra é também um sólido de revolução, pois é gerado pela rotação do triângulo retângulo DEF em 
torno da reta t, que contém o eixo do cilindro.
Lembre-se de que o volume da anticlépsidra é dado pela fórmula:
Considere também uma esfera de raio R e imagine que a esfera e a anticlépsidra estão apoiados sobre um plano α. 
Observe a figura 164.
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Note que todo plano α’ paralelo ao plano α que intercepta a esfera intercepta também a anticlépsidra. E nesses 
planos, as seções da esfera são círculos e seções da anticlépsidra são coroas circulares.
Analise mais detalhadamente essas seções. Inicie com uma seção da esfera em um plano α’ paralelo ao plano α. 
Comece observando que o plano α é tangente à esfera no ponto B, daí o diâmetro AB é perpendicular ao plano 
α. Consequentemente, o diâmetro AB é perpendicular a todo plano α’ paralelo ao plano α. 
Observe agora a figura 165. Seja d a distância do ponto C, centro da esfera, ao plano α’. Considere também que 
a seção da esfera no plano α’ é o círculo de centro em Q e raio r e seja P um ponto da superfície da esfera que per-
tence a esse círculo. Daí, a distância do ponto P ao centro da esfera é igual ao raio da esfera, ou seja, .
Note que o triângulo CQP é retângulo em Q, pois o diâmetro da esfera é perpendicular ao plano α’. Assim, apli-
cando Pitágoras a esse triângulo, você obtém:
. dRrdrR 222222 −=⇒+=
Logo, a área desse círculo é igual a:
.
Agora analise a seção da anticlépsidra no mesmo plano α’. Volte a observar a figura 164. Note que a reta t, que 
contém o eixo de revolução da anticlépsidra, é paralela ao diâmetro AB da esfera. Como o diâmetro é perpendicular 
ao plano α então a reta t também é perpendicular a esse plano. Assim, o triângulo FO’G’, ilustrado na figura 166, 
é retângulo em O’ e os catetos FO’ e O’G’ possuem medidas iguais ao raio da esfera, ou seja, . 
Note também que as retas OG e O’G’ estão contidas, respectivamente, nos planos paralelos α’ e α. Assim, essas 
retas não se interceptam. Além disso, as retas OG e O’G’ são coplanares, pois estão contidas no plano FO’G’. Daí 
as retas OG e O’G’ são paralelas. Consequentemente, os triângulos FOG e FO’G’ são semelhantes, logo o triângulo 
FOG é também retângulo e isósceles. Portanto, .
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Por outro lado, a distância do ponto F ao plano α’ é igual à distância do ponto C, centro da esfera, ao plano α’, 
ou seja, . Daí, .
Assim, a seção da anticlépsidra no plano α’ é uma coroa circular, cujo raio da circunferência maior é R e da 
circunferência menor é igual a d. Lembre-se da Geometria plana que a área de uma coroa circular pode ser obtida 
subtraindo da área do círculo de raio maior a área do círculo de raio menor. Logo a área dessa coroa é igual a:
Compare a área do círculo ( círculoS ), seção da esfera no plano α’, com a área da coroa ( coroaS ), seção da 
anticlépsidra com o plano α’. Essas áreas são iguais?
Claro que são!
Colocando o número π em evidência na expressão que determina a área da coroa você obtém a expressão que 
determina a área do círculo. 
Resumindo, quando a esfera e a anticlépsidra são apoiados sobre um plano α, todo plano α’ paralelo ao plano 
α que intercepta a esfera, intercepta também a anticlépsidra, segundo seções que possuem áreas iguais. Logo, 
aplicando o Postulado de Cavalieri, você pode concluir que esses sólidos possuem volumes iguais. Assim, o volume 
da esfera é igual ao volume da anticlépsidra, ou seja,
A seguir será estabelecida uma fórmula que permite calcular a área da superfície da esfera. Comece consi-
derando uma esfera de raio R e centro C e um cone de vértice no ponto C, tal que os pontos da circunferência da 
base desse cone são pontos da superfície da esfera. Considere também h a altura desse cone. A figura 167 ilustra 
esses sólidos.
Observe que o plano da base desse cone divide a esfera em dois sólidos, que são chamados calotas esféricas. 
Nomeie C1 a calota que não contém o centro da esfera. Observe que C1 está compreendida entre a base do cone 
e a superfície da esfera. Note que quanto maior a altura h do cone menor é o volume da calota C1. A figura 168 
ilustra esse fato.
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Então, você pode concluir que quando a altura do cone se aproxima do raio da esfera, o volume da calota C1 se 
aproxima de zero e a área da base do cone se aproxima da área da superfície da calota C1.
Agora imagine todos os cones de vértices no centro da esfera e alturas aproximadamente iguais ao raio da 
esfera. Então, o volume da esfera é aproximadamente igual à soma dos volumes de todos esses cones, porque os 
volumes das calotas se aproximam de zero, ou seja,
. VVVV n cone2 cone1 coneesfera +++≅ 
Daí,
Onde iS representa as áreas das bases dos n cones. 
Colocando R em evidência na igualdade anterior, você obtém:
Note ainda que quando as alturas dos cones se aproximam do raio da esfera, a soma das áreas das bases desses 
cones é aproximadamente igual à soma das áreas das superfícies de todas as calotas. Mas a soma das áreas das 
superfícies de todas as calotas é igual à área da superfície da esfera. Então você pode escrever:
ou melhor,
Quando a diferença entre as alturas dos cones e o raio da esfera for infinitamente pequena, você pode considerar que:
E essa é a fórmula que você pode utilizar para calcular a área da superfície de uma esfera. Por exemplo, uma 
esfera de raio igual a 2 centímetros, possui superfície de área igual a:
7.3 Volume de sólidos de revolução
Nessa seção, você aprenderá a determinar o volume de sólidos de revolução que podem ser decompostos em 
cilindro, cones e esferas. Desse modo os volumes desses sólidos são iguais à soma ou diferenças de volumes de 
cilindros, cones e esferas. Para calcular o volume de sólidos de revolução que não podem ser decompostos em 
cilindro, cones e esferas, você vai precisar dos recursos de Cálculo Integral e por isso os volumes desses sólidos 
serão estudados nessa disciplina.
Exemplo 1
Considere o sólido de revolução S gerado pela rotação do triângulo ABC em torno do lado BC. Sabe-se que a 
base BC mede 6 centímetros e que a altura relativa a essa base mede 2 centímetros. Observe a figura 169. 
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Note que o sólido S pode ser decomposto em dois cones C1 e C2, de mesma base e alturas h1 e h2, respectiva-
mente. Assim, o volume do sólido S é igual à soma dos volumes desses cones, ou seja:
. hS
3
1
hS
3
1
)S(V 2base1base ×+×=
Daí,
A área da base é a área de um círculo de raio 2 cm, ou seja, 
Então,
Exemplo 2
Considere o sólido S gerado pela rotação do triângulo ABC retângulo em B, em torno da reta r que passa por C 
e é paralela ao cateto BA. Sabe-se que cm e que A figura 170 ilustra esse sólido.
Observe que o sólido S pode também ser obtido quando do cilindro de raio 2 cm e altura 3 cm é retirado um cone 
de raio e altura iguais as do cilindro. Assim, o volume do sólido S é igual ao volume do cilindro menos o volume 
do cone, ou seja:
. VV)S(V conecilindro −=
Note que as áreas da base do cilindro e o cone são iguais e as alturas também. Então você pode escrever:
. hS
3
1
hS)S(V basebase ×−×=
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Colocando em evidência os termos comuns, você obtém:
. 
3
2
hS
3
1
1hS)S(V basebase ××=


 −×=
O produto da área da base pela altura é igual ao volume do cilindro, assim, o volume do sólido S é dois terços 
do volume do cilindro. Mas é claro! O volume do cone é um terço do volume do cilindro, logo o volume do sólido 
S tem que ser dois terços do volume do cilindro! Interessante você não acha?
Substituindo os valores do raio e da altura na igualdade anterior, você obtém:
Exemplo 3
Considere o retângulo ABCD da figura 171. Observe que os triângulos ABC e CAD são congruentes e por isso 
possuem áreas iguais. SejamS1 e S2 os sólidos de revolução gerados pela rotação dos triângulos ABC e CDA, 
respectivamente, em torno do lado CD. Pense e responda:
1. Os sólidos S1 e S2 são cones?
2. E os volumes desses sólidos são iguais?
A resposta da primeira pergunta é negativa. Apenas o sólido S2 gerado pela rotação do triângulo CDA em torno 
do cateto CD é um cone. O sólido S1 gerado pela rotação do triângulo ABC em torno de BC não é um cone.
Note que o sólido gerado pela rotação do retângulo ABCD em torno do lado CD é um cilindro. Como o sólido S2 
é um cone de base e altura iguais as desse cilindro, então o volume de S2 é igual à terça parte do volume desse 
cilindro. 
Por outro lado, o sólido S1 pode ser obtido quando desse cilindro é retirado o cone S2. Daí o volume do sólido S1 
é igual a dois terços do volume desse cilindro. Portanto os sólidos S1 e S2, embora sejam gerados por regiões de 
áreas iguais, não possuem volumes iguais. Note que o volume do sólido S1 é o dobro do volume do sólido S2.
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7.4 Exercícios resolvidos
1. Da figura 172, sabe-se que ABCD é um quadrado e que o raio do setor circular é igual a 4 cm. Determine o 
volume do sólido S gerado pela rotação da região pintada em torno da reta AD.
Solução:
Observe inicialmente que o setor circular girando em torno da reta AD gera uma semi-esfera. E que o sólido de 
revolução gerado pela rotação do quadrado ABCD em torno da reta AD é um cilindro. Observe a figura 173.
Assim, o volume do sólido S gerado pela rotação da região pintada em torno da reta AD, pode ser calculado 
através da diferença do volume da semi-esfera e do cilindro.
Note que o volume de uma semi-esfera é igual à metade do volume da esfera. Lembre-se de que o volume de uma 
esfera é dado pela fórmula Assim, o volume de uma semi-esfera será . 
Substituindo o valor do raio você obtém: 
Note que o raio e a altura do cilindro são iguais ao lado do quadrado. Observe agora triângulo ABC da figura 172, 
que é retângulo em B e cujos catetos possuem medidas iguais, pois são lados do quadrado. Aplicando o teorema 
de Pitágoras a esse triângulo você obtém:
Daí, 
Assim, o cilindro gerado pelo quadrado possui o raio e a altura iguais a 22 cm.
Lembre-se de que o volume de um cilindro é dado pela fórmula: hSV basecilindro ×= .
Substituindo os valores do raio e da altura você obtém:
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Portanto, o volume do sólido S é dado por:
ou seja,
2. Uma substância é colocada em um recipiente de forma esférica, que está inscrito em um cilindro equilátero de 
diâmetro igual a 12 cm. Essa substância precisa ser mantida sob refrigeração constante, para isso injeta-se 
água entre o recipiente e o cilindro. Determine o volume de água que será utilizado nesse processo.
Solução:
O volume de água pode ser calculado como a diferença entre o volume do cilindro e o da esfera, ou seja:
. VVV esferacilindroágua −=
Lembre-se de que um cilindro equilátero possui a altura igual ao diâmetro da base. Assim, a altura do cilindro é 
igual a 12 cm e o raio da base é igual a 6 cm.
Daí,
Observe também que a esfera possui raio igual a 6 cm. Assim, você pode calcular o volume da esfera:
Logo, o volume da água é igual a:
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3. Seja S o sólido de revolução gerado pela rotação do paralelogramo ABCD em torno do lado BC. Considere 
 cm, cm e que . 
Determine:
a) O volume de S. b) A área total de S.
Solução:
a) Observe a figura 175. Considere S1 o cilindro de revolução gerado pela rotação do retângulo AFED em torno 
da reta BC, S2 o cone de revolução gerado pela rotação do triângulo DEC em torno da reta BC e S3 o cone de 
revolução gerado pela rotação do triângulo AFB em torno da reta BC. Observe que o volume do sólido S pode 
ser obtido somando o volume do cilindro S1 com o volume do cone S2 e em seguida, subtraindo o volume do 
cone S3, ou seja:
( ) ( ) ( ). SVSVSV)S(V 321 −+=
Note que o cilindro S1, o cone S2 e o cone S3 possuem a mesma área da base baseS . Sejam h1, h2 e h3 as alturas 
de S1, S2 e S3, respectivamente. Estão, você pode escrever:
( ) ( ) ( ) . hS
3
1
hS
3
1
hSSVSVSV)S(V 3base2base1base321 ×−×+×=−+=
Observe agora os triângulos DEC e AFB, da figura 175. Esses triângulos são retângulos, possuem hipotenusas 
congruentes (lados opostos de um paralelogramo) e o cateto AF congruente com o cateto DE (distância entre duas 
paralelas). Daí esses triângulos são congruentes pelo caso hipotenusa-cateto. Conseqüentemente, os catetos CE e 
BF são também congruentes. Note que e , assim, 32 hh = , ou seja, os cones S2 e S3 possuem 
alturas iguais. Como as bases desses cones possuem áreas iguais, então os volumes dos mesmos também são 
iguais. Assim, 
( ) ( ) ( ) . hShS
3
1
hS
3
1
hSSVSVSV)S(V 1base3base2base1base321 ×=×−×+×=−+=
Daí, o volume do sólido S é igual ao volume do cilindro S1. 
A altura do cilindro S1 é igual à medida do segmento FE, que é congruente ao segmento AD (lados oposto de 
um retângulo) e que, por sua vez, é congruente ao segmento BC (lados opostos de um paralelogramo). Logo, essa 
altura mede 10 cm, ou seja, h1 = 10 cm.
Observe agora o triângulo DEC da figura 175. O raio do cilindro S1 é igual ao cateto DE, que pode ser obtido 
como:
 
cm.
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Assim, o raio do cilindro S1 é igual a 32 cm. Agora, você já pode calcular o volume do sólido S como segue 
a abaixo:
b) A área total do sólido S é igual à soma da área lateral do cilindro S1, com as áreas laterais dos cones S2 e S3. 
Como esses cones possuem a mesma área lateral então você pode escrever:
. )S(S2)S(S)S(S 2lateral1laterallateral ×+=
Lembre-se de que as áreas laterais de cilindro e cone são dadas pelas fórmulas:
O raio e a altura do cilindro S1 são 32 cm e h1 = 10 cm, respectivamente. Daí,
Volte a observar o cone S2 gerado pela rotação do triângulo DEC em torno de BC. O raio desse cone é igual ao 
raio do cilindro S1 e a geratriz coincide com o lado DC do paralelogramo. Assim, você pode calcular a área lateral 
do cone S2 como segue abaixo,
Portanto,
7.5 Exercícios propostos
1. Dado o retângulo ABCD tal que cm e cm. 
 I - Determine o volume do sólido:
 a) S1 gerado pela rotação do triângulo DAB em torno da reta AD.
 b) S2 gerado pela rotação do retângulo ABCD em torno da reta AD.
 II - Calcule a razão entre os volumes de S1 e do sólido S3 gerado pela rotação do triângulo BCD em torno de AD.
2. Seja S o sólido de revolução gerado pela rotação de um trapézio ABCD em torno da sua base maior AB. Considere 
a ilustração da figura 176, onde e o ângulo .
 Determine:
 a) O volume de S.
 b) A área total de S.
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3. Um ponche foi colocado numa tigela em forma de uma semi-esfera e será servido em taças em forma de 
cones. Se o raio e altura das taças são iguais, respectivamente, a um sexto e ao triplo do raio da tigela, de-
termine o número mínimo de pessoas que poderão ser servidas com o ponche. Suponha que a tigela está 
completamente cheia.
4. Estou numa fazenda no interior da Bahia e vou fazer o que eu mais gosto: tomar café com leite. As canecas 
na mesa têm a forma de cilindros eqüiláteros e, no vasilhame de leite, repousa uma concha cuja forma é de 
uma semi-esfera. Por comparação, constato que as canecas e a concha possuem o mesmo diâmetro. Coloco 
um pouco de café na caneca e, em seguida, duas conchas de leite. Assim, a caneca fica totalmente cheia. 
Qual a razão entre os volumes de café e de leite queeu misturei na minha caneca? 
5. Deseja-se construir um peso para papéis, em forma de uma esfera de raio igual a 3 cm. Disponho de um 
material de densidade igual a 2 gr/cm3. Qual a massa necessária para construir esse objeto? 
 (Lembre-se de que a densidade é a razão entre a massa e o volume, ou seja, 
V
m
d = ).
6. Disponho em minha estante de um espaço equivalente ao espaço ocupado por um bloco retangular com 50 
cm de comprimento, 40 cm de largura e 30 cm de altura. Verifique se é possível arrumar, neste espaço, os 
objetos listados a seguir, tais que todos esses objetos estejam apoiados na prateleira. 
I. Uma coleção de livros, composta de trinta volumes, tal que cada livro possui 18 cm de comprimento, 3 
cm de largura e 26 cm de altura. 
II. Um porta-lápis, de forma cilíndrica, de altura 15 cm e diâmetro 6 cm.
III. Um peso para papéis, em forma de uma pirâmide regular de base quadrada, cujas arestas da base e arestas 
laterais medem, 4 cm e 2 38 cm, respectivamente.
IV. Um globo geográfico de diâmetro 18 cm.
7. Da figura 178, sabe que raio do semi-circulo é igual a 4 cm , BCO é um triângulo retângulo isósceles. 
Determine os volumes dos sólidos:
a) S1 gerado pela rotação do retângulo ABCD em torno da reta AB.
b) S2 gerado pela rotação da região pintada de vermelho em torno da reta AB.
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8. Identifique as geratrizes e o eixo dos sólidos de revolução dados a seguir.
Respostas:
1. ð128)S(V 1 = π cm3; 
 ð384)S(V 2 = π cm3;
 ð256)S(V 3 = π cm
3; )S(V
2
1
)S(V 31 = .
2. a) ð20)S(V = 20 π cm3.
 b) 
3. O número mínimo de pessoas é 24. 4. leitecafé V2
1
V = .
5. 
7. a) ð128)S(V 1 = π cm3.
 
 b) ð
3
128
)S(V 2 = π cm3.
8. Sólido S1: 
 geratriz → triângulo ABC.
 Eixo → reta BC.
 Sólido S2: 
 geratriz → setor circular de centro C e raio CB.
 Eixo → reta AC.
 Sólido S3: 
 geratriz → trapézio ABCD.
 Eixo → base AB.
 6. O espaço disponível é de 60.000 cm3 e a área 
da prateleira é de 2.000 cm2. Por outro lado:
• A coleção de livros ocupa um espaço de 42.120 
cm3 e uma área na prateleira de 1620 cm3.
• O porta-lápis ocupa um espaço de 424,20 cm3 
e uma área na prateleira de 28,27 cm2.
• O peso de papéis ocupa um espaço de 64 cm3 
e uma área na prateleira de 16 cm2.
• O globo ocupa um espaço de 113,10 cm3 e um 
círculo máximo possui área de 254,47 cm2. 
Logo, é possível arrumar neste espaço os objetos 
listados.
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7.6 Construção de modelo
O modelo, descrito a seguir, constitui bom exercício para desenvolvimento da sua visão espacial relativa aos 
sólidos de revolução. 
Modelo 1
Objetivo
Facilitar a visualização do sólido de revolução, gerado pela rotação de um trapézio ABCD em torno de sua base 
menor CD.
Material necessário
1. Um quadrado de lado 12 cm em duplex.
2. Duas radiografias descoloridas cada uma equivalente a uma folha de papel A4 .
3. Fita adesiva. 
4. Um quadrado de lado 12 cm em isopor de 0,5 centímetros de largura.
5. Cola branca e cola de isopor. 
Modo de fazer
Passo 1
Utilize o molde do setor circular do modelo 14 do anexo 1, para fazer duas superfícies laterais de cones retos, 
em uma das radiografias. Feche as superfícies com fita adesiva, colocando as abas para fora.
Passo 2
Utilize o molde do retângulo do modelo 15, do anexo 1, para fazer uma superfície lateral de um cilindro circular 
reto. Feche essa superfície com fita adesiva colocando a aba para dentro.
Passo 3
Utilize o segundo molde do modelo 14, do anexo 1, para fazer um trapézio em duplex.
Depois de passar o molde para o duplex, recorte segundo as linhas interrompidas e, dobre segundo a linha CD. 
Utilize a cola branca para unir as duas partes, obtendo um trapézio colorido dos dois lados.
Passo 4
Faça dois círculos de raios iguais a 3 cm, em isopor e, em cada um dê um corte segundo um raio. Você pode 
utilizar o terceiro molde do modelo 14, do anexo 1. O corte pode ser segundo o raio OP.
Passo 5
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Encaixe os dois círculos no trapézio, fazendo coincidir os raios com os segmentos CE e DF, de modo que, o 
centro de cada círculo coincida com os pontos C e D, respectivamente. Observe o modelo 14, do anexo 1.
Passo 6
Encaixe no cilindro o conjunto obtido no passo 5, de modo que os círculos em isopor fique paralelos às bases 
do cilindro.
Passo 7
Encaixe as superfícies laterais dos cones, uma em cada base do cilindro, de modo que uma geratriz do cone 
coincida com uma lateral do trapézio. Fixe o conjunto unindo as bases do cone e do cilindro com fita adesiva.
O modelo está pronto e você já pode utilizar em suas aulas!
?? VOCÊ SABIA?
Você sabe o que é um GPS? Qual a relação do GPS e a superfície de uma esfera?
A revista do Professor de Matemática (RPM) número 59, trás o artigo “A Matemática do GPS”, de autoria do 
Professor Sérgio Alves do Instituto de Matemática e Estatística da USP, do qual está transcrito, a seguir, alguns 
trechos. 
... “A sigla GPS nada mais é do que a abreviatura para Global Positioning System (sistema de posicionamento 
global). Trata-se de uma constelação de vinte e quatro satélites, orbitando em torno da Terra a uma altura 
aproximada de 20.200 km acima do nível do mar, permitindo a receptores conhecer sua posição em qualquer 
lugar sobre a Terra com uma notável precisão.”
... “Cada um dos satélites do GPS transmite por rádio um padrão fixado, que é recebido por um receptor na 
Terra (segmento do usuário), funcionando como um cronômetro extremamente acurado. O receptor mede a 
diferença entre o tempo que o padrão é recebido e o tempo que foi emitido. Essa diferença, não mais do que 
um décimo de segundo, permite que o receptor calcule a distância ao satélite emissor multiplicando-se a 
velocidade do sinal (aproximadamente 2,99792458.108 m/s - a velocidade da luz ) pelo tempo que o sinal de 
rádio levou do satélite ao receptor.
... “Essa informação localiza uma pessoa sobre uma imaginária superfície esférica com centro no satélite e 
raio igual à distância acima calculada.”
 “Coletando-se sinais emitidos por quatro satélites, o receptor determina a posição do usuário calculando-a 
como intersecção das quatro superfícies esféricas obtidas. A localização é dada, não em coordenadas 
cartesianas, mas por meio das coordenadas geográficas (latitude, longitude e a elevação).” 
“... A navegação é a função primária do GPS, sendo usado em aeronaves, navios, veículos e por indivíduos 
que usam o receptor portátil (“de bolso”). Atualmente o GPS tem se mostrado útil em diversas situações, das 
quais destacamos algumas: 
1. Roteirista de viagens: determinam além da sua posição dentro de uma cidade, quais as atrações e pontos 
turísticos mais próximos, hotéis, postos de emergências, etc. 
2. Monitoramento de abalos sísmicos: tais abalos são precedidos por alterações no campo gravitacional que 
distorcem as ondas de rádio, permitindo, através do GPS, tentar prever a ocorrência de um terremoto com 
algumas horas de antecedência. 
3. Meteorologia: o GPS gera informações para a previsão da meteorologia, estudo do clima e outros campos 
de pesquisa relacionados. 
4. Localização para resgate: o serviço usa o GPS para guiar helicópteros de socorro até o lugar do acidente. 
5. Aplicações industriais: áreas infectadas por pestes são identificadas por fotografias aéreas e, com uso do 
GPS, um trator pode ser guiado para aplicações de pesticidas. 
6. Uso militar: coordenadas de ataque, orientação e controle para mísseis balísticos, marcação para artilharia, 
bombardeio de aeronaves, defesaaérea, rastreamento de submarinos, localização de minas e radares 
inimigos, atos terroristas, etc. 
7. Uso em segurança: monitoramento de trens, caminhões de carga ou qualquer veículo automotor. “
 Você pode ler o artigo completo na RPM número 59.
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REFERêNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM, 2003. (Coleção do Professor de 
Matemática)
DOLCE, Osvaldo e outros. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Editora Atual, São Paulo 2002. vol. 10
LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1999. v. 2. (Coleção do Professor de 
Matemática)
LIMA, Elon Lages e outros. Medida e Forma em Geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1999. (Coleção do Professor de 
Matemática)
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução à Geometria Espacial. Rio de Janeiro: SBM, 1993. (Coleção do Professor de 
Matemática)
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ANExO 1 – PLANIFICAÇõES DE ALGUNS SÓLIDOS
Nesse anexo, você encontrará planificações de sólidos que lhe auxiliarão no estudo de volume e, áreas laterais 
e totais dos mesmos.
Instruções para montagem dos modelos.
Passos
1. Decalque a planificação utilizando papel carbono. 
 Dica: se a planificação for composta de polígonos é suficiente que você decalque os vértices dos polígonos. 
Posteriormente, você poderá traçar os lados unindo convenientemente esses vértices.
2. Recorte a planificação seguindo as linhas interrompidas.
3. Monte o modelo dobrando segundo as linhas cheias e, cole com fita adesiva, adequadamente.
As planificações dos modelos foram construídas de modo que cou-
bessem numa folha de papel A4. Se você desejar um modelo em 
tamanho maior, poderá fazer ampliação da planificação. Para isso, 
siga os passos descritos a seguir.
Passos 
1. Escolha um dos vértices da planificação para centro da amplia-
ção. Nomeie esse vértice de A1. Observe a figura 1.
2. Construa semiretas de origem no centro A1 e que passam por cada 
um dos outros vértices.
3. Escolha a razão de ampliação, ou seja, o número que representa 
quantas vezes você deseja, que o modelo construído, seja maior 
que o modelo dado na planificação original. Por exemplo, se 
você escolher o número dois, o modelo que você construirá terá 
o dobro do tamanho do original. A razão utilizada na figura 1 é 
igual a dois.
4. Sobre cada uma das semiretas traçadas no item 2, marque um ponto iA′ , tal que, a distância desse ponto 
ao centro A1 seja igual ao produto da razão de ampliação pela distância do vértice Ai ao centro A1. Ou melhor, 
)A,A(dk)A,A(d i1i1 ⋅=′ , onde Ai é um vértice da planificação original e, k é a razão de ampliação. Na figura 
1, por exemplo, tem-se )A,A(d2)'A,A(d 2121 ⋅= , )A,A(d2)'A,A(d 3131 ⋅= , etc.
5. Por fim, utilize os vértices iA′ , conseguidos no passo 4, para construir os segmentos que correspondem aos 
segmentos do modelo original. Por exemplo, o segmento 21AA ′′ corresponde ao segmento A1A2 do modelo 
original.
Agora é com você! Use as suas habilidades artísticas e comece a construir os modelos que farão parte do acervo 
do seu laboratório de Matemática. Divirta-se!
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MODELO 1 – PRISMA PENTAGONAL OBLíQUO
Descrição
• Altura: 8 centímetros.
• Base: pentágono regular de lado medindo 3,04 cm e área igual a 15,9 cm2.
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MODELO 02 – PARALELEPíPEDO OBLíQUO
Descrição
• Altura: 8 centímetros.
• Base: paralelogramo de base 3,8 cm, altura 4,18 cm e área igual a 15,9 cm2, aproximadamente.
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MODELO 03 – PARALELEPíPEDO RETÂNGULO 
Descrição
• Altura: 8 centímetros.
• Base: retângulo de dimensões 3,8 cm x 4,18 cm e área igual a 15,9 cm2, aproximadamente.
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133UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
MODELO 04 - SEÇÃO MERIDIANA DO PRISMA DO MODELO 1
Descrição
• Pentágono regular de lado medindo 3,04 cm e área igual a 15,9 cm2.
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MODELO 05 – SEÇõES MERIDIANAS DOS MODELOS 1 E 3 
Descrição
• Pentágono regular de lado medindo 3,04 cm e área igual a 15,9 cm2.
• Retângulo de dimensões 3,8 cm x 4,18 cm e área igual a 15,9 cm2, aproximadamente.
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135UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
MODELO 06 – CILINDRO CIRCULAR RETO
Descrição
• Altura: 8 centímetros.
• Base: círculo de raio igual a 2,25 cm e área igual a 15,9 cm2, aproximadamente.
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MODELO 07- CILINDRO OBLíQUO
Descrição
• Altura: 8 centímetros.
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137UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
MODELO 08 – SEÇõES MERIDIANAS DOS MODELOS 3 E 6
Descrição
• Círculo de raio igual a 2,25 cm e área igual a 15,9 cm2, aproximadamente.
• Retângulo de dimensões 3,8 cm x 4,18 cm e área igual a 15,9 cm2, aproximadamente.
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MODELO 09 – PIRÂMIDE HExAGONAL
Descrição
• Altura: 10 centímetros.
• Aresta da base: 4 centímetros.
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MODELO 10 – TETRAEDRO (1)
Descrição
• Altura: 10 centímetros.
• Área da base: 7,88 cm2.
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MODELO 11 – TETRAEDROS (2)
Descrição
• Altura: 10 centímetros.
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MODELO 12 – TETRAEDROS (3) 
Descrição
• Altura: 10 centímetros.
• Base: triângulo equilátero de lado 4,0 cm.
Observe que esses dois tetraedros são idênticos e, devem ser construídos na mesma cor.
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MODELO 13 – TETRAEDRO E PRISMA TRIANGULAR RETO 
Descrição
1. Tetraedro
• Altura: 3,46 centímetros.
• Base: triângulo retângulo de catetos medindo 10 centímetros e 4 centímetros.
Esse tetraedro deve ser construído em cor diferente dos tetraedros do modelo 12.
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2. Prima triangular reto (caixa).
• Altura: 10 centímetros.
• Base: triângulo equilátero de lado medindo 4,2 centímetros.
Observe que o prisma está sem as bases. É assim mesmo! E deve ser construído em material transparente: 
acetato ou radiografia descolorida. Você pode descolorir a radiografia, colocando-a de molho, em água com um 
pouco de cloro (água sanitária) e, em seguida, limpá-la com uma esponja fina, com cuidado para não arranhá-la.
Os dois tetraedros do modelo 12 e o tetraedro do modelo 13 podem ser colocados na caixa sem tampa do 
modelo 13. Tente! É um bom desafio!
Você pode concluir que o volume do prisma triangular é igual à soma dos volumes desses três tetraedros!
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MODELO 14 – SÓLIDO DE REVOLUÇÃO.
Superfície lateral de um cone reto
Descrição
• Geratriz: 5,0 centímetros.
• Ângulo central: 216o.
• Raio da base: 3,0 centímetros.
Trapézio
Descrição• Base maior: 12 cm
• Base menor: 4 cm
• Altura: 3 cm
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Círculo
Descrição
• Raio: 3 cm
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MODELO 15 – SÓLIDO DE REVOLUÇÃO
Superfície lateral de um cilindro reto
Descrição
• Raio da base: 3,0 cm.
• Altura: 12 cm.