Lista Única-G E -Mod1-Aula 1 - Geometria de Posição

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Lista de Exercícios (Única) – Geometria Espacial - Módulo 1 
(Aula 1: Geometria de Posição) 
 
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1. (EsPCEx) 
Considere dois planos α e β perpendiculares e três 
retas distintas r, s e t tais que r , sα β  e t .α β=  
Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que 
 
a) as retas r e s somente definirão um plano se forem 
concorrentes com t em um único ponto. 
b) as retas r e s podem definir um plano paralelo à reta 
t. 
c) as retas r e s são necessariamente concorrentes. 
d) se r e s forem paralelas, então elas definem um 
plano perpendicular a α e .β 
e) o plano definido por r e t é necessariamente paralelo 
a s. 
 
2. (UEM) 
Sobre geometria espacial, assinale o que for correto. 
 
01) Dois planos sempre se interceptam. 
 
02) Duas retas perpendiculares determinam um único 
plano. 
 
04) Dado um ponto qualquer P em um plano ,π existe 
uma única reta passando por P perpendicular ao plano. 
 
08) Se duas retas não são paralelas, então elas são 
reversas. 
 
16) Se uma reta não intercepta um determinado plano, 
então necessariamente ela é paralela a ele. 
 
3. (Albert Einstein) 
Seja uma reta r e os planos secantes α e ,β de modo 
que r.α β = Seja s uma reta paralela à reta r, de 
modo que s .β =  Seja t uma reta secante ao plano 
β no ponto P, de modo que P r. De acordo com 
essas informações, necessariamente 
a) s sα = b) t β = 
c) P α d) r t   
 
4. (UEM) 
Considere uma reta r e um plano ,π no espaço 
tridimensional. Assinale o que for correto. 
 
01) Se existe uma reta no plano ,π paralela à reta r, 
então a reta r é paralela ao plano π ou está contida 
nele. 
 
02) Se a reta r é perpendicular a uma reta de ,π então 
a reta r é perpendicular a .π 
 
04) Se um plano 'π é paralelo ao plano ,π então o 
plano 'π tem interseção com r . 
 
08) Se um plano 'π é perpendicular ao plano π e se a 
reta r também é perpendicular a ,π então a reta r está 
contida em '.π 
 
16) Se dois pontos de r estão contidos em ,π então r 
está contida em .π 
5. (Enem PPL) 
Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a 
se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de 
um paralelepípedo retangular, é representado pela 
figura. 
 
 
 
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A 
seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o ponto 
M, que é o ponto médio do segmento EF. Finalmente, 
pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere 
que todos esses deslocamentos foram feitos pelo 
caminho de menor distância entre os respectivos pontos 
envolvidos. 
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano 
que contém o chão do quarto é dado por: 
 
 
 
 
6. (UEPG) 
Considerando os planos α e ,β e as retas r e s, 
assinale o que for correto. 
 
01) Se s,α β = 𝑟 ∥ 𝑠, r α e r ,β então 𝑟 ∥ 𝛼 e 𝑟 ∥
𝛽. 
02) Se ,α β⊥ r,α β = s ,α s r,⊥ então s .β⊥ 
04) Se r β e s r,⊥ então s .β⊥ 
08) Se 𝛼 ∥ 𝛽, r ,α⊥ então r .β⊥ 
16) Se 𝑟 ∥ 𝛼 e 𝑟 ∥ 𝛽, então 𝛼 ∥ 𝛽. 
 
 
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(Aula 1: Geometria de Posição) 
 
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7. (UEM-Adapatada) 
Considerando conhecimentos sobre Geometria 
Espacial, assinale o que for correto. 
 
01) Se r e s são duas retas no espaço, com r s , =  
então a única possibilidade para r e s é que sejam 
paralelas. 
 
02) Dados três pontos colineares A, B e C, no espaço, 
então não existe nenhum plano que contenha esses três 
pontos. 
 
04) Se ,π ρ e σ são planos distintos no espaço, então 
π ρ σ  pode determinar uma única reta, ou um 
plano, ou pode ser vazia. 
 
08) Se r e s são duas retas reversas no espaço, então 
existe um plano que contém a reta s e é paralelo à reta 
r. 
 
16) Seja α um plano e P .α Para calcular a distância 
do plano α ao ponto P basta escolher um ponto Q α 
qualquer e calcular a distância entre P e Q. 
 
8. (Enem) 
Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às 
da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final 
da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras 
para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos 
fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada. 
 
 
Qual é o esboço obtido pelos alunos? 
 
 
 
 
9. (UPE) 
Analise as afirmativas a seguir, relativas à geometria 
espacial e coloque V nas Verdadeiras 
e F nas Falsas. 
 
( ) Se uma reta está contida em um plano, então toda 
reta perpendicular a ela será perpendicular ao plano. 
 
( ) Se dois planos distintos são paralelos, então toda 
reta perpendicular a um deles é paralela ao outro. 
 
( ) Se dois planos distintos são paralelos a uma reta 
fora deles, então eles são paralelos entre si. 
 
( ) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer 
reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA. 
a) F – F – V – V b) F – V – V – F 
c) F – F – F – F d) V – F – F – V 
e) V – V – F – F 
 
10. (Enem) 
A figura representa o globo terrestre e nela estão 
marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão 
localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e 
C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho 
do ponto A até C, pela superfície do globo, passando 
por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre 
o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até 
C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. 
Considere que o plano α é paralelo à linha do equador 
na figura. 
 
 
A projeção ortogonal, no plano ,α do caminho traçado 
no globo pode ser representada por 
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11. (UEM) 
Sejam 1π e 2π dois planos que se interceptam, 
determinando uma reta r. Seja s uma reta que 
intercepta 1π em um único ponto A r e intercepta 2π 
em um único ponto B r. Considerando esses dados, 
assinale o que for correto. 
 
01) Pelo ponto A existe uma única reta paralela a r. 
 
02) Por qualquer ponto P de r, é possível traçar uma 
reta paralela a s inteiramente contida em 2.π 
 
04) A reta perpendicular ao plano 2π pelo ponto B é 
ortogonal à r. 
 
08) Existe ao menos um ponto C em r, tal que o 
triângulo ABC é isósceles. 
 
16) Existe um plano perpendicular a 1π e a 2π 
simultaneamente. 
 
12. (UFJF) 
 Sejam r uma reta e 1β e 2β dois planos no espaço, 
considere as seguintes afirmações: 
 
I. Se 1 1r {P }β = e 2 2r {P },β = com 1P e 2P pontos 
distintos, então 1β é paralelo a 2.β 
II. 1r β = e 2r ,β = então 1β é paralelo a 2β ou 
1β é coincidente de 2.β 
III. Se existem dois pontos distintos em 1r ,β então 
1r r.β = 
 
É CORRETO afirmar que: 
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) Apenas I e II são verdadeiras. 
e) Apenas II e III são verdadeiras. 
13. (UEM) 
Sobre as posições relativas entre pontos, retas e planos 
no espaço, assinale o que for correto. 
 
01) Duas retas r e s são ortogonais quando são 
reversas e existe uma reta t, paralela a s e 
perpendicular a r. 
 
02) Se um plano α é paralelo a uma reta r, então todas 
as retas do plano α são paralelas a r. 
 
04) É possível ter retas paralelas contidas em planos 
que não sejam paralelos. 
 
08) Se um plano α intercepta os planos β e γ 
formando um ângulo de 90 , então os planos β e γ são 
paralelos. 
 
16) Considere as retas r, s e t. Se r é reversa a s e a 
reta s é concorrente a t, então r e t são reversas. 
 
14. (Cefet) 
No contexto da Geometria Espacial, afirma-se: 
 
I. Se uma reta é paralela a um plano, então ela está 
contida nesse plano. 
II. Duas retas sem pontocomum são paralelas ou 
reversas. 
III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um 
deles é paralela ao outro. 
IV. Duas retas distintas paralelas a um plano são 
paralelas entre si. 
 
São corretas apenas as afirmativas 
a) I e II. b) I e III. 
c) II e III. d) II e IV. 
e) III e IV. 
 
15. (CFTMG) 
A figura a seguir representa uma cadeira onde o 
assento é um paralelogramo perpendicular ao encosto. 
 
 
 
A partir dos pontos dados, é correto afirmar que os 
segmentos de retas 
 
a) CD e EF são paralelos. 
b) BD e FJ são concorrentes. 
c) AC e CD são coincidentes. 
d) AB e EI são perpendiculares. 
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16. (Enem) 
O acesso entre os dois andares de uma casa é feito 
através de uma escada circular (escada caracol), 
representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, 
E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os 
pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa 
escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre 
o corrimão do ponto A até o ponto D. 
 
 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal, 
sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido 
pela mão dessa pessoa é: 
 
 
 
 
17. (Enem) 
Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua 
longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central 
(pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas 
extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para 
cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, 
assim, o movimento da gangorra. 
Considere a gangorra representada na figura, em que 
os pontos A e B são equidistantes do pivô: 
 
 
 
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, 
sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se 
encontra em movimento, é: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
18. (Esc. Naval) 
Nas proposições abaixo, coloque V na coluna à 
esquerda quando a proposição for verdadeira e F 
quando for falsa. 
 
( ) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas 
de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 
 
( ) Se uma rota é perpendicular a uma reta 
perpendicular a um plano, então ela é paralela a uma 
reta do plano. 
 
( ) Duas retas perpendiculares a um plano são 
paralelas. 
 
( ) Se dois planos são perpendiculares, todo plano 
paralelo a um deles é perpendicular ao outro 
 
( ) Se três planos são dois a dois perpendiculares , 
eles têm um único ponto em comum. 
 
Lendo-se a coluna da esquerda, de cima para baixo, 
encontra-se 
 
a) F – F – V – F – V b) V – F – V – V – F 
c) V – V – F – V – V d) F – V – V – V – V 
e) V – V – V – V – V 
 
 
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19. (ITA) 
Das afirmações: 
I. Duas retas coplanares são concorrentes; 
II. Duas retas que não têm ponto em comum são 
reversas; 
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas 
dois, planos paralelos, cada um contendo uma das 
retas; 
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero 
reverso definem um paralelogramo, 
é (são) verdadeira(s) apenas 
a) III. b) I e III. 
c) II e III. d) III e IV. 
e) I e II e IV. 
 
20. (Enem) 
João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: 
ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a 
seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse 
deslocamento no plano da base da pirâmide. 
 
 
 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela 
pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, 
a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. 
O desenho que Bruno deve fazer é 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
[B] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
Façamos r / / s. 
Dessa forma, é possível construir o plano γ paralelo à reta t, 
o que faz da alternativa [B] a alternativa verdadeira. 
 
 
Resposta da questão 2: 
02 + 04 + 16 = 22. 
 
[01] INCORRETA. Dois planos podem ser paralelos. 
[02] CORRETA. Duas retas concorrentes determinam um 
único plano. 
[04] CORRETA. Uma reta perpendicular a um plano cortará o 
mesmo em um único ponto. 
[08] INCORRETA. Se elas não são paralelas, podem ser 
reversas ou concorrentes. 
[16] CORRETA. Retas e planos que não se interceptam são 
ditos paralelos. 
 
 
Resposta da questão 3: 
[D] 
 
Com as informações disponíveis, tem-se que a interseção das 
retas r e t é o ponto P. Logo, necessariamente, vem 
r t .   Ademais, sendo r a interseção dos planos α e ,β 
se P r, então P .α Sabendo ainda que t é secante a β 
em P, é imediato que t {P}.β = 
Finalmente, é possível termos s paralela a r e fora de ,α de 
tal sorte que s .α = 
 
 
Resposta da questão 4: 
 01 + 16 = 17. 
 
[01] VERDADEIRO. A reta r é paralela ou plano ou pertence 
a ele. 
[02] FALSO. As retas podem ser perpendiculares entre si e 
pertencerem a planos concorrentes. 
[04] FALSO. A reta r pode ser paralela a ambos os planos. 
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[08] FALSO. A reta r pode estar contida em outro plano 
perpendicular a .π 
[16] VERDADEIRO. Se um segmento de reta de r (dois 
pontos) está contido no plano, então a reta r estará contida 
no plano 
 
Resposta da questão 5: 
[B] 
 
Sendo B, A e M coplanares, a projeção ortogonal do 
deslocamento de A para M está contida no segmento AB. 
Ademais, a projeção ortogonal do deslocamento de M para 
H sobre o chão do quarto corresponde a um segmento de reta 
oblíquo em relação a AB, cuja origem é o ponto M', médio 
de AB, e cuja extremidade é o ponto D, projeção de H sobre 
o plano ABC. 
 
Resposta da questão 6: 
01 + 02 + 08 = 11. 
 
[01] Verdadeira. De fato, considere a figura. 
 
 
 
Qualquer reta paralela a s que não esteja contida nem 
em α e nem em β será paralela a esses planos. 
 
[02] Verdadeira. Considere a figura, em que a reta s é 
perpendicular ao plano .β 
 
 
 
[04] Falsa. Considere a figura. 
 
 
 
Basta que o ângulo entre os planos α e β não seja reto. 
 
[08] Verdadeira. De fato, o resultado é imediato. 
 
[16] Falsa. Considere a figura, em que α e β são 
perpendiculares. 
 
 
 
 
Resposta da questão 7: 
04 + 08 = 12. 
 
[01] Falso. Tais retas podem ser reversas (não coplanares). 
 
[02] Falso. Existe plano que contém os três pontos, porém é 
necessário ao menos mais um ponto não colinear aos outros 
para determinação do plano. 
 
[04] Verdadeiro. A intersecção de planos pode resultar em 
reta, plano ou conjunto vazio. 
 
[08] Verdadeiro. Existe um plano que contém a reta s e é 
paralelo à reta r. 
 
[16] Falso. A distância medida se dá através do comprimento 
ser uma reta que contenha o ponto P e o ponto Q, e que seja 
perpendicular ao plano. 
 
Resposta da questão 8: 
[C] 
 
Observando que as pernas da cadeira irão assumir a posição 
vertical, e que há uma travessa horizontal unindo cada par de 
pernas, podemos concluir que a alternativa [C] é a que melhor 
representa a vista lateral de uma cadeira fechada. 
 
Resposta da questão 9: 
[C] 
 
Falsa. Sejam α um plano e r uma reta contida em .α É 
imediato que existe pelo menos uma reta s contida em α tal 
que s é perpendicular a r. Logo, s não é perpendicular a .α 
 
Falsa. Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta 
perpendicular a um deles é perpendicular ao outro. 
 
Falsa. Sejam α e β dois planos distintos não paralelos. Basta 
considerar a reta r, interseção de α e ,β e uma reta s 
paralela a r. 
 
Falsa. Sejam α e β dois planos paralelos distintos. Se r ,α 
basta tomar s β de modo que r e a projeção ortogonal de 
s sobre α sejam concorrentes 
 
 
 
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Resposta da questão 10: 
[E]Desde que o arco 𝐴𝐵⏜ pertence a um plano paralelo a ,α sua 
projeção ortogonal sobre α também é um arco. Ademais, 
como B e C não são simétricos em relação ao plano que 
contém o equador e o arco 𝐵𝐶⏜ pertence a um plano 
perpendicular a ,α sua projeção ortogonal sobre α é um 
segmento de reta. Em consequência, a melhor representação 
é a da alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 11: 
01 + 04 + 08 + 16 = 29. 
 
 
 
[01] Verdadeira. Postulado das paralelas de Euclides. 
 
[02] Falsa. A reta s é secante a 2,π portanto não existe uma 
reta em 2π que seja paralela a s. 
 
[04] Verdadeira. Uma reta perpendicular a um plano forma um 
ângulo reto com todas as retas deste plano. 
 
[08] Verdadeira. Toda reta que perpendicular à reta s pelo 
seu ponto médio que intercepta a reta r, determina em r um 
ponto equidistante de A e B. 
 
[16] Verdadeira. Podemos considerar que o plano, 
determinado pelas retas AP e BP, com P pertencente a reta 
r, ambas perpendiculares à reta r, é perpendicular a 1π e 
2π . 
 
Resposta da questão 12: 
[C] 
[I] Falsa. Considere a figura. 
 
 
 
1β e 2β são secantes. 
[II] Falsa. Considere a figura. 
 
 
 
Tem-se que 1β e 2β são secantes e r é paralela a 1β e 2.β 
[III] Verdadeira. De fato, se 1 1 2r {P , P },β  então 1 2r PP= 
e, portanto, 1r r.β = 
 
Resposta da questão 13: 
01 + 04 = 05. 
 
[01] CORRETO. Se t é perpendicular a r e paralela a s, 
então s também é perpendicular a r. 
 
[02] INCORRETO. Podem existir retas reversas a r. 
 
[04] CORRETO. É possível ter retas paralelas contidas em 
planos que não sejam paralelos (ex.: retas paralelas em faces 
de planos secantes em um cubo). 
 
[08] INCORRETO. Os planos β e γ podem ser secantes 
entre si. 
 
[16] INCORRETO. As retas podem ser concorrentes. 
 
Resposta da questão 14: 
[C] 
[I] Incorreta. Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, 
eles não têm ponto em comum. 
 
[II] Correta. Duas retas distintas sem ponto comum são 
paralelas ou reversas. 
 
[III] Correta. Considerando α e β dois planos distintos 
paralelos e uma reta r ,α segue-se que r ,β =  o que 
implica em 𝑟 ∥ 𝛽. 
 
[IV] Incorreta. Duas retas distintas paralelas a um plano podem 
ser concorrentes. 
 
Resposta da questão 15: 
[A] 
 
Como CDEF é paralelogramo, segue-se que 𝐶𝐷 ∥ 𝐸𝐹. 
 
 
Resposta da questão 16: 
[C] 
 
A projeção ortogonal sobre o piso da casa, do caminho 
percorrido pela mão da pessoa, do ponto A até o ponto E, 
corresponde a uma circunferência. Logo, do ponto A ao 
ponto D, temos aproximadamente 
3
4
 de uma circunferência, 
o que corresponde à figura da alternativa [C]. 
 
 
 
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Resposta da questão 17: 
[B] 
Considere a figura. 
 
 
 
De acordo com a figura, segue que a projeção ortogonal da 
trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da 
gangorra, corresponde aos segmentos AC e B'D. 
 
Resposta da questão 18: 
[D] 
[A] Falsa. Ela poderá ser perpendicular a duas retas 
concorrentes deste plano e neste caso estar contida no plano. 
 
 
 
[B] Verdadeira. Toda à reta é paralela à sua projeção ortogonal 
em um plano qualquer. 
 
 
 
[C] Verdadeira, pois formam o mesmo ângulo com o plano. 
[D] Verdadeira. Dois planos perpendiculares a um terceiro são 
paralelos entre si, pois formam o mesmo ângulo com esse 
terceiro plano. 
[E] Verdadeiro. Estes três planos dividem o espaço em oito 
octantes, com apenas um ponto em comum, cada dois planos 
possuem em comum um única reta e estas três retas se 
encontram num único ponto. 
 
 
Resposta da questão 19: 
[D] 
 
I. Falsa. Duas retas paralelas e coplanares não são 
concorrentes. 
II. Falsa. Duas retas paralelas paralelas não têm ponto comum 
e não são reversas. 
III. Verdadeira. Considere a figura. 
 
 
 
Sejam r e s duas retas reversas. 
Tomando um ponto A da reta r, existe uma única 
perpendicular comum a r e s que intersecta a reta s no 
ponto B, de tal modo que B r ' e 𝑟 ∥ 𝑟′. Analogamente, 
obtemos a reta 𝑠′ ∥ 𝑠. Portanto, os planos (r, s') = e 
(r ', s) = são os únicos planos paralelos, cada um contendo 
uma das retas. 
 
IV. Verdadeira. Considere o quadrilátero reverso da figura, 
com ABD e BCD . 
 
 
 
Como PQ é base média do triângulo ABD e MN é base 
média do triângulo BCD, segue que 𝑃𝑄 ∥ 𝐵𝐷 e 𝑀𝑁 ∥ 𝐵𝐷. 
Logo, 𝑃𝑄 ∥ 𝑀𝑁. Similarmente, concluímos que 𝑀𝑄 ∥ 𝑁𝑃 e, 
portanto, segue-se o resultado. 
 
 
Resposta da questão 20: 
[C] 
 
Supondo que a pirâmide é regular, temos que a projeção 
ortogonal do deslocamento no plano da base da pirâmide está 
corretamente descrita na figura da alternativa [C].