Unidade 1 Parte 5

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 1: (Parte 5) 
 
1.5.3.1 Integração de Algumas Funções Envolvendo Funções Trigonométricas 
* Integrais ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒏 𝒖 𝒅𝒖 e ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒏 𝒖 𝒅𝒖, onde n é um número inteiro positivo. 
Nestas integrais, podem-se usar algumas identidades trigonométricas. 
 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 (n é ímpar) 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1 − cos 2𝑥
2
 
(n é par) 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1 + cos 2𝑥
2
 
Exemplos: Calcular as integrais: 
1) ∫ 𝑐𝑜𝑠5 𝑥 𝑑𝑥 
𝑐𝑜𝑠5𝑥 = (𝑐𝑜𝑠2𝑥)2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
= (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)2. cos 𝑥 
= (1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4 𝑥). cos 𝑥 
= cos 𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥. cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4 𝑥. cos 𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛² 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
2
3
 𝑠𝑒𝑛3𝑥 +
1
5
 𝑠𝑒𝑛5𝑥 + 𝐶 
2) ∫ 𝑠𝑒𝑛3 2𝜃 𝑑𝜃 
𝑠𝑒𝑛32𝜃 = 𝑠𝑒𝑛22𝜃. 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
= (1 − 𝑐𝑜𝑠22𝜃). 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
= 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 − 𝑐𝑜𝑠22𝜃. 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛32𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑑𝜃 − ∫ 𝑐𝑜𝑠22𝜃. 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑑𝜃 (∗) 
= −
1
2
cos 2𝜃 +
𝑐𝑜𝑠3 2𝜃
6
+ 𝐶 
(*) ∫ 𝑐𝑜𝑠2 2𝜃. 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑑𝜃 = −
1
2
∫ 𝑢2𝑑𝑢 = −
1
2
.
𝑢3
3
+ 𝐶 = −
𝑐𝑜𝑠32𝜃
6
+ 𝐶 
𝑢 = cos 2𝜃 
𝑑𝑢 = −2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑑𝜃 
−
1
2
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑑𝜃 
 
3) ∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 
𝑠𝑒𝑛4𝑥 = (𝑠𝑒𝑛2𝑥)² 
= (
1 − cos 2𝑥
2
) ² 
=
1
4
. (1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑥) 
=
1
4
. (1 − 2 cos 2𝑥 +
1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥
2
) 
=
1
4
. (
2 − 4 cos 2𝑥 + 1 + cos 4𝑥
2
) 
=
1
8
. (3 − 4 cos 2𝑥 + cos 4𝑥) 
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
(∫ 3 𝑑𝑥 − 4 ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥) 
=
1
8
. (3𝑥 − 4.
1
2
 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 4𝑥) + 𝐶 
=
3
8
𝑥 −
4
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝐶 
 
 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
* Integrais ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎 𝒖. 𝒄𝒐𝒔𝒏 𝒖 𝒅𝒖, onde m e n são inteiros positivos 
Quando pelo menos um dos expoentes é ímpar, usamos a identidade (1) e, quando os 
dois expoentes são pares, usamos (2) e (3) e, eventualmente, também (1). 
Exemplos: Calcular as integrais: 
1) ∫ 𝑠𝑒𝑛5𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 
𝑠𝑒𝑛5 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = (𝑠𝑒𝑛2𝑥)2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
= (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠²𝑥 
= (1 − 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥). 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
= 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠6𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛5𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 
= −
1
3
𝑐𝑜𝑠3𝑥 +
2
5
𝑐𝑜𝑠5𝑥 −
1
7
𝑐𝑜𝑠7𝑥 + 𝐶 
 
2) ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 . 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 
𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥. (𝑐𝑜𝑠2𝑥)² 
= (
1 − cos 2𝑥
2
) . (
1 + cos 2𝑥
2
) ² 
=
1
8
(1 − cos 2𝑥). (1 + cos 2𝑥)² 
=
1
8
(1 − cos 2𝑥). (1 + 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑥) 
=
1
8
(1 + 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑥 − cos 2𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠22𝑥 − 𝑐𝑜𝑠32𝑥) 
=
1
8
(1 + cos 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠22𝑥 − (𝑐𝑜𝑠22𝑥. cos 2𝑥)) 
=
1
8
(1 + cos 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠22𝑥 − (1 − 𝑠𝑒𝑛22𝑥). cos 2𝑥) 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
=
1
8
(1 + cos 2𝑥 − (
1 + cos 4𝑥
2
) − (cos 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛22𝑥. cos 2𝑥)) 
=
1
8
(1 + cos 2𝑥 −
1
2
−
cos 4𝑥
2
− cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛22𝑥. cos 2𝑥) 
=
1
8
(
2 + 2 cos 2𝑥 − 1 − cos 4𝑥 − 2 cos 2𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛22𝑥. cos 2𝑥
2
) 
=
1
16
(1 − cos 4𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛22𝑥. cos 2𝑥) 
∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑑𝑥 =
1
16
(∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥. cos 2𝑥 𝑑𝑥) 
=
1
16
. (𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 2 (
1
6
 𝑠𝑒𝑛32𝑥)) + 𝐶 
=
1
16
𝑥 −
1
64
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 +
1
48
 𝑠𝑒𝑛32𝑥 + 𝐶