Questão resolvida - integral por substituição - Integral indefinida de raiz(x)_raiz(1-x^3) e Integral de tan(x)ln(cos(x)) - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule as integrais abaixo:
 
a tan x ⋅ ln cos x dx)∫ ( ) ( ( ))
 
Resolução:
 
Vamos reescrever a integral convenientemente de forma a possibilitar uma substituição que 
resolva a integral;
tan x ⋅ ln cos x dx = ⋅ ln cos x dx = ln cos x ⋅ ⋅ sen x dx∫ ( ) ( ( )) ∫sen x
cos x
( )
( )
( ( )) ∫ ( ( )) 1
cos x( )
( )
 
t = cos x dt = -sen x dx -dt = sen x dx, substituindo;( ) → ( ) → ( )
ln cos x ⋅ ⋅ sen x dx = ln t ⋅ ⋅ -dt = - ln t ⋅ dt∫ ( ( )) 1
cos x( )
( ) ∫ ( ) 1
t
( ) ∫ ( ) 1
t
 
Agora, vamos recorrer a outra substituição; u = ln t du = dt( ) →
1
t
 
- ln t ⋅ dt = - u ⋅ du = - + c = - + c = - + c ∫ ( ) 1
t
∫ u
2
2 ln t
2
( ( ))2 ln cos x
2
[ ( ( ))]2
 
 
b dx)∫ x
1- x3
 
Resolução:
 
Vamos fazer algumas substituições de forma a possibilitar a solução da integral;
t = t = t = x x = t x = t x = tx→ ( )2 x
2
→
2
→
2
→ ( )3 2
3
→
3 6
dt = x dx dt = x dx dt = dx dt = dx, como x = t dt = dx
1
2
-1
1
2
→
1
2
-
1
2 →
1
2x
1
2
→
1
2 x
2
→
1
2 t2
dt = dx dx = 2tdt, substituindo na integral;
1
2t
→
 
 
(Resposta)
dx = 2tdt = 2 dt∫ x
1 - x3
∫ t
2
1 - t2
3
∫ t
2
1 - t3
2
Vamos fazer uma nova substituição; u = t du = 3t dt = t dt3 → 2 →
du
3
2
2 dt = 2 = du∫ t
2
1 - t3
2
∫
du
3
1 - u2
2
3
∫ 1
1 - u2
 
Da tabela de integrais diretas du = arcsen u + c→∫ 1
1 - u2
( )
 
du = arcsen u + c = arcsen t + c
2
3
∫ 1
1 - u2
2
3
( )
2
3
3
 = arcsen + c = arcsen x + c 
2
3
x
3 2
3
3
2
 
 
 
(Resposta)