Questão resolvida - integral de sen(x)cos(x)_(sen^4(x)+cos^4(x)) e integral de 1_raiz(4x-x^2) - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule as seguintes integrais:
 
a dx )∫ sen x cosx
sen x + cos x
( )
4( ) 4( )
 
 Resolução:
 
Vamos fazer uma manipulação na integral, sem alterá-la, para possibilitar uma substituição 
que torne possível sua solução;
 dx = ⋅ dx = dx∫ sen x cos x
sen x + cos x
( ) ( )
4( ) 4( )
∫ sen x cos x
sen x + cos x
( ) ( )
4( ) 4( )
1
cos x4( )
1
sen x4( )
∫
sen x cos x ⋅
sen x + cos x ⋅
( ) ( )
1
cos x4( )
4( ) 4( )
1
cos x4( )
 
= dx = dx = ⋅ dx∫
⋅ 
 +
sen x
cos x
( )
( )
1
cos x2( )
sen x
cos x
4( )
4( )
cos x
cos x
4( )
4( )
∫
tan x ⋅ 
tan x + 1
( )
1
cos x2( )
4( )
∫ tan x
tan x + 1
( )
4( )
1
cos x2( )
 
Fazemos, então, a seguinte substituição;
 
t = tan x da tabela de derivadas dt = sec x dx dt = dx( ) → → 2( ) →
1
cos x2( )
 
 ⋅ dx = dt = dt∫ tan x
tan x + 1
( )
4( )
1
cos x2( )
∫ t
t + 14
∫ t
t + 12
2
 
Agora, fazemos outra substituição;
 
u = t du = 2tdt = tdt2 → →
du
2
 
 = = du∫
u + 1
du
2
2
∫ 1
u + 12
du
2
1
2
∫ 1
1 + u 2
 
Da tabela de integrais imediatas du = arctan u + c→
1
2
∫ 1
1 + u 2
1
2
( )
 
 
= arctan t + c = arctan tan x + c
1
2
2
1
2
2( )
 
b dx)∫ 1
4x - x²
 
 Resolução:
 
Primeiro, completamos quadrado para manipular a expressão e possibilitar uma 4x - x²
substiruição que resolva a integral;
4x - x² = - x - 4 = - x - 2 - 4 = 4 - x - 22 ( )2 ( )2
dx = dx∫ 1
4x - x²
∫ 1
4 - x - 2( )2
 
Agora, fazemos a substituição : x - 2 = 2sen 𝜃 dx = 2sen 𝜃 d𝜃( ) → ( )
 
dx = 2cos 𝜃 d𝜃 = d𝜃∫ 1
4 - x - 2( )2
∫ 1
4 - 2sen 𝜃( ( ))2
( ) ∫ 2cos 𝜃( )
4 - 4sen 𝜃2( )
 
= d𝜃 = d𝜃 = d𝜃∫ 2cos 𝜃( )
4 1 - sen 𝜃2( )
∫ 2cos 𝜃
2
( )
1 - sen 𝜃2( )
∫ cos 𝜃( )
1 - sen 𝜃2( )
 
Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica : 1 - sen 𝜃 = 𝜃2( ) cos2( )
 
d𝜃 = d𝜃 = d𝜃 = 1d𝜃 = 𝜃+ c∫ cos 𝜃( )
1 - sen 𝜃2( )
∫ cos 𝜃( )
𝜃cos2( )
∫cos 𝜃
cos 𝜃
( )
( )
∫
 
Como : x - 2 = 2sen 𝜃 , então 2sen 𝜃 = x - 2 sen 𝜃 = 𝜃 = arcsen( ) → ( ) → ( )
x - 2
2
→
x - 2
2
dx = arcsen + c∫ 1
4x - x²
x- 2
2
 
 
(Resposta)
(Resposta )