Questão resolvida - Demonstre as seguintes identidades trigonométricas_ d), e) e f) - Cálculo II - ESTÁCIO

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ESTÁCIO

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Tiago Pimenta

24/04/2022

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Cálculo I

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• Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
 
d) tan x - sen x + 1 - cos x = sec x - 1( ( ) ( ))2 ( ( ))2 ( ( ) )2
 
Resolução:
 
Já sabemos que;
 
tan x = e sec x =( )
sen x
cos x
( )
( )
( )
1
cos x( )
 
Substituindo e simplificando fica;
 
tan x - sen x + 1-cos x = sec x -1 -sen x + 1-2cos x + cos x = -1( ( ) ( ))2 ( ( ))2 ( ( ) )2 →
sen x
cos x
( )
( )
( )
2
( ) 2( )
1
cos x( )
2
 
+ 1-2cos x + cos x =→
sen x - cos x sen x
cos x
( ) ( ) ( )
( )
2
( ) 2( )
1-cos x
cos x
( )
( )
2
 
+ 1-2cos x + cos x =→
sen x - cos x sen x
cos x
( ( ) ( ) ( ))2
2( )
( ) 2( )
1-cos x
cos x
( ( ))2
2( )
 
= 1-2cos x + cos x→
sen x -2sen x cos x sen x + cos x sen x + cos x -2cos x + cos x
cos x
2( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2( ) 2( ) 3( ) 4( )
2( )
1
cos x2( )
( ) 2( )
 
sen x -2cos x sen x + cos x sen x + cos x -2cos x + cos x = 1-2cos x + cos x→ 2( ) ( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 3( ) 4( )
cos x
cos x
2( )
2( )
( ) 2( )
 
sen x -2cos x 1-cos x + cos x 1-cos x + cos x -2cos x + cos x = 1 ⋅ 1-2cos x + cos x→ 2( ) ( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 3( ) 4( ) ( ) 2( )
 
sen x -2cos x + 2cos x + cos x - cos x + cos x -2cos x + cos x = 1-2cos x + cos x→ 2( ) ( ) 3( ) 2( ) 4( ) 2( ) 3( ) 4( ) ( ) 2( )
 
sen x -2cos x + 2cos x + 2cos x - cos x = 1→ 2( ) ( ) 2( ) ( ) 2( )
 
 sen x + cos x = 1→ 2( ) 2( )
 
 
(verdadeiro )
 e) cossec x ⋅ tan x = cotg x ⋅ sec x2( ) ( ) ( ) 2( )
 
Resolução:
 
Sabemos que;
tan x = , cossec x = e cotg x =( )
sen x
cos x
( )
( )
( )
1
sen x( )
( )
cos x
sen x
( )
( )
Substituindo e simplificando fica;
cossec x ⋅ tan x = cotg x ⋅ = ⋅2( ) ( ) ( ) →
1
sen x( )
2
sen x
cos x
( )
( )
cos x
sen x
( )
( )
1
cos x( )
2
 
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅→
1
sen x2( )
sen x
cos x
( )
( )
cos x
sen x
( )
( )
1
cos x2( )
→
sen x
sen x
( )
2( )
1
cos x2( )
cos x
sen x
( )
( )
1
cos x2( )
 
⋅ = ⋅→
1
sen x( )
1
cos x( )
1
sen x( )
cos x
cos x
( )
2( )
 
⋅ = ⋅
1
sen x( )
1
cos x( )
1
sen x( )
1
cos x( )
 
f) sec x ⋅ cossec x = sec x + cossec x2( ) 2( ) 2( ) 2( )
 
Resolução:
 
Já sabemos que;
 sec x = e cossec x =( )
1
cos x( )
( )
1
sen x( )
 
Substituindo e simplificando fica;
sec x ⋅ cossec x = sec x + cossec x ⋅ = +2( ) 2( ) 2( ) 2( ) →
1
cos x( )
2
1
sen x( )
2
1
cos x( )
2
1
sen x( )
2
⋅ = + =→
1
cos x2( )
1
sen x2( )
1
cos x2( )
1
sen x2( )
→
1
cos x sen x2( ) 2( )
sen x + cos x
cos x sen x
2( ) 2( )
2( ) 2( )
 
= sen x + cos x =→
sen x + cos x
cos x sen x
2( ) 2( )
2( ) 2( )
1
cos x sen x2( ) 2( )
→
2( ) 2( )
cos x sen x
cos x sen x
2( ) 2( )
2( ) 2( )
 
sen x + cos x = 12( ) 2( )
 
 
(verdadeiro)
(verdadeiro)