Formulario Numérico

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Formulário ( 2018 )
CALCULO NUMÉRICO
 Aproximações sucessivas “Iteração linear”
1 ( )n nx x  ; n=0, 1, 2, 3, ...
 Método do Meio Intervalo “Bisseção”
 
1 1
1 1
( , ) ; ( ). ( ) 0
( , )
, ; ( ). ( ) 0
k k k k
k k
k k k k
a m se f a f m
a b
m b se f a f m
 
 

  
 1 1
2
k k
k
a bm  
1,2,3,...k 
 Método de Newton-Raphson
 1
( ) 0,1,2,3,...
'
: _ 
n
n n
n
f xx x q n
f x
q multiplicidade da raiz
   
 Método das Secantes
   
   
1 1
1
1
 
 1,2,3,...n n n nn
n n
x f x x f x
x n
f x f x
 



 

 Método de Eliminação de Gauss
 ; 0 
.
1, 2, 3, ... , (n-1)
( 1), 3, 4, ... , 
,
, 2, 3,..., (n+1)
ik
ik kk
kk
ij ij ik kj
am a
a
a a m a
Para cada k
i k n
e para cada i temos
j k
 
 

 

( 1)
1 ; ,( 1),...,1
n
i n ik k
k i
i
ii
a a x
x i n n
a

 

  

1
 Método de Doolittle
( 1)
1
( 1)
1
 1 ; 1,2,...,
( . ) ; ,( 1),...,
( . )
 ; ( 1), (k+2) , ... , 
kk
k
kj kj kp pj
p
k
ik ip pj
p
ik
kk
se l k n
u a l u j k k n
a l u
l i k n
u




 
   

  


 Método de Crout
( 1)
1
( 1)
1
 1 ; 1, 2,...
( . ) ; , ( 1),...,
( . )
 ; ( 1), ( 2),...,
kk
k
ik ik ip pk
p
k
kj kp pj
p
kj
kk
se u k
l a l u i k k n
a l u
u j k k n
l




 
   

   


 Inversão de matrizes através da decomp. LU
1
1
( )
; , ( 1), ..., 
( )
; , ( 1),...,1
1 se i j
0 se i j
i
ij ip pj
p j
ij
ii
j
ij ip pj
p i
ij
ii
ij
l u
y i j j n
l
u z
z i j j
u





 

  

  

  


Método de Eliminação de Gauss compacto ( inversão de matrizes)
 |A I
2
 ; 0 
.
1, 2, 3, ... , (n-1)
( 1), 3, 4, ... , 
,
, 2, 3,..., 2n
ik
ik kk
kk
ij ij ik kj
am a
a
a a m a
Para cada k
i k n
e para cada i temos
j k
 
 

 

 Método de Gauss-Jacobi.
( 1) ( ) ( ) ( )
1 1 12 2 13 3 1
11
( 1) ( ) ( ) ( )
2 2 21 1 23 3 2
22
( 1) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 ( 1) 1
1 [ ( ... )]
1 [ ( ... )]
1 [ ( ... )]
k k k k
n n
k k k k
n n
k k k k
n n n n n n n
nn
x b a x a x a x
a
x b a x a x a x
a
x b a x a x a x
a



 
     

     



     


 Método de Gauss-Siedel
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 12 2 13 3 14 4 1
11
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )
2 2 21 1 23 3 24 4 2
22
( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )
3 3 31 1 32 2 34 4 3
33
( 1)
1 [ ( ... )]
1 [ ( ... )]
1 [ ( ... )]
1 [ (
k k k k k
n n
k k k k k
n n
k k k k k
n n
k
n n n
nn
x b a x a x a x a x
a
x b a x a x a x a x
a
x b a x a x a x a x
a
x b a
a

 
  

     
     
     
 

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 2 2 3 3 ( 1) 1... )]
k k k k
n n n n nx a x a x a x
   
 











    


3
 Critério de Sanssenfeld
1
j 
1 1
1 ( a ) + a 
a
i n
i ij ij
j j iii
 

  
 
  
 
 
 Critério de linhas
1
1 a 1,2,3,...,
a
n
k ij
jkk
com j k e k n

  
 Método da Interpolação de Lagrange.
 
n
k
i=0
0
( - )L ( )= ; 
( - )
( ) ( )
i
k i
n
n k k
k
x xx i k
x x
P x f x L x





 Método da Interpolação de Newton
  0 1 0 2 0 1 0 1 1( ) ( )( ) ,..., ( )( ).,...,.( )n n nP x d d x x d x x x x d x x x x x x           
sendo 1 1 0[ , ,..., , ]k k kd f x x x x
 Fórmula de Newton-Gregory
                     
1 2
0 0 0
0 0 0 1 0 11 2. . ... . . ... . .1! 2! !
n
n n n
f x f x f x
P x f x x x x x x x x x x x x x
h h h n
  
          
   
0
( 1) ( 1)
( ) ( ); 0,1,2,...,
( ) ; 0,1,2,..., ; r 1,2,3,...,
k k
r r r
k k k
f x f x k n
f x f x h f x k n n 
  
       
 Erro na interpolação
( 1)0 1
0
( ).( ). ... .( )
( ) max ( )
( 1)!
nn
n
n
x x x x x x
R x f t
n
x t x
   

 
Ou ainda 
0 1 1 0
0
( ) ( ).( ). ... .( ) max [ ,..., ]n n n
n
R x x x x x x x f x x
x t x
    
 
4
 Mínimos Quadrados (Caso Discreto)
0 1 0
0
0 0 0 0
1 2 1 1
1
0 0 0 0
1 2
0 0 0 0
...
...
m m m m
n
i i i i i
i i i i
m m m m
n
i i i i i
i i i i
m m m m
n n n n
i i i i in
i i i i
ax x x x y
x x x a x y
x x x x ya
   

   

   
                                            
   
   
   
    


`
 Métodos dos mínimos Quadrados (caso continuo).
     
     
     
 
 
 
 
 
 
0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1
, , , ,
, , , ,
, , , ,
n
n
n n n n n n
g g g g g g a f g
g g g g g g a f g
g g g g g g a f g
     
     
      
     
     
          


    

   , ( ).
b
a
f g f x g x dx 
 Regra dos Trapézios
 0 1 2 2 1
( )( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ... 2 ( ) 2 ( ) ( )
2
b
n n na
b af x dx f x f x f x f x f x f x
n  

      
 Regra (1/3) de Simpson
( )
b
a
f x dx  0 1 2 3 2 1
( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ... 2 ( ) 4 ( ) ( )
3 n n n
b a f x f x f x f x f x f x f x
n  

       
 Fórmula de Gauss-Legendre (Tabela 01)
1
1
0
( ) ( ) onde são as raizes dos polinomios de Legendre
n
k k k
k
f x dx A f x x



 Formula de Gauss-Tchebyshev (Tabela 02)
1
21
0
1 ( ) ( ) onde são as raizes dos polinomios de
1
n
k k k
k
f x dx A f x x
x 



2
1Tchebyshev, e ( ) é a função peso.
1
w x
x


5
 Mudança de Variável
1
1
( ) ( )( ) ( ) onde se [ , ] [-1,1]
2 2
b
a
b a b af x dx f u du x u a b

 
    
Considerando as notações abaixo:
( ) ( )( ) ( , ( )) 0,1,2,...,( 1)j jn n n n ny y x e f x y x f com j q    ; n = 0, 1, 2, 3,... 
com (0)n nf f e ainda ' ( , ) '( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yy f x y f x y f x y f x y f x y   
Temos os Métodos:
 Método de Taylor de ordem q.
2 3 ( 1)
1
' '' ...
2! 3! !
q q
n n n
n n n
h f h f h fy y hf
q

       
 
 Método de Euller
1n n ny y hf   
 Método de Euller Aprimorado
 1 ( , ) ( + , )2n n n n n n n
hy y f x y f x h y hf     ou
1 1 2( )2n n
hy y k k    com 1 ( , )n nk f x y e 2 1( , );n nk f x h y hk  
 Método de Runge-Kutta
1 1 2 3 4
1
2 1
3 2
4 3
( 2 2 )
6
( , )
( , )2 2
( , )2 2
( , )
n n n n n n
n n n
n n n n
n n n n
n n n n
hy y k k k k
k f x y
h hk f x y k
h hk f x y k
k f x h y hk
     

  
  
  
6
Sistema de duas equações diferenciais. ( Com duas equações)
 Método de Euller Aprimorado.
1 1 2
1 1 2
1
1
2 1 1
2 1 1
( )2
( )2
( , , )
( , , )
( , , )( , , )
n n
n n
n n n
n n n
n n n
n n n
hy y k k
hz z l l
k f x y z
l g x y z
k f x h y hk z hl
l g x h y hk z hl


  
  

 
   
    
Com n = 0, 1, 2,...
 Método de Runge-Kutta
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
1
1
2 1 1
2 1 1
3 2 2
3 2
( 2 2 )
6
( 2 2 )
6
( , , )
( , , )
( , , )2 2 2
( , , )2 2 2
( , , )2 2 2
( , , 2 2
n n
n n
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
hy y k k k k
hz z l l l l
k f x y z
l g x y z
h h hk f x y k z l
h h hl g x y k z l
h h hk f x y k z l
h h hl g x y k z


    
    

 
    

   
   
    2
4 3 3
4 3 3
)2
( , , )
( , , )
n n n
n n n
l
k f x h y hk z hl
l g x h y hk z hl




   
    
Obs.: Para sistemas com mais de duas equações, deve levar em consideração o numero de
variáveis e o número de funções que formam o sistema. No método de Runge-Kutta,
podemos usar apenas k’s no lugar dos kn’s, mas deve ser calcular os valores para k para todo
n.
7