Funções de Bessel e suas Aplicações

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IX Salão de Iniciação Científica – PUCRS, 2008
IX Salão de Iniciação 
Científica PUCRS 
Funções de Bessel: estudo, aplicações e modelagem.
Claudiomir Feustler Rodrigues de Siqueira*, Eliete Biasotto Hauser (orientador)
Faculdade de Matemática, PUCRS
*Bolsista BPA/ PUCRS
Resumo
O principal objetivo deste projeto é desenvolver um estudo relativo a funções de 
Bessel, devido a sua importância e aplicabilidade nas ciências e engenharias. Apresentaremos 
uma coletânea de aplicações práticas, cuja modelagem matemática ou solução utilizam 
funções de Bessel.
Em particular, detalharemos a flambagem de uma coluna vertical e o efeito corona. O 
estudo de flambagem diz respeito à deflexão que sofre uma coluna fina de comprimento L, 
quando sujeita a uma força axial de compressão e/ou flexão. O efeito corona é a ionização de 
gases próximos a um condutor exposto, produzindo descargas parciais visíveis.
Como ilustração e suporte, utilizaremos o sistema de computação algébrica e 
simbólica Maple, para estudar a evolução de cada caso. Decorrente dessa ferramenta, a 
análise de gráficos construídos nos permitirá uma interpretação e visão mais detalhada de 
cada tópico abordado.
Introdução
As equações de Bessel surgem quando aplicamos a técnica de separação de variáveis a 
problemas de valor de contorno, por exemplo, em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. 
São importantes quanto à aplicabilidade e da inter-relação do assunto com várias áreas do 
conhecimento, tais como: Matemática Aplicada, Física Matemática, Engenharias e 
Computação.
As funções de Bessel, geralmente são estudadas como soluções de equações 
diferenciais. No entanto há outras abordagens possíveis, como função geradora, integrais de 
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
contorno e, no caso da corona, como solução direta de problemas físicos (ARFKEM & 
WEBER, 2007).
Aplicação 1 – Flambagem de Uma Coluna Vertical 
Ao serem submetidos a carregamentos, os sistemas mecânicos e estruturas, podem não 
produzir o efeito esperado, falhando de várias formas, dependendo da estrutura, material, apoio 
ou outra variável. É preciso obedecer a requisitos específicos de estabilidade, deflexão e tensão.
No problema de determinar a deflexão angular θ(x) de uma coluna vertical de 
comprimento L é preciso resolver o problema de valor de contorno:
0
²
²   gx
dx
d
EI ,
 
0)0('
0)(



 L
onde, 
E é o módulo de Young (módulo de elasticidade); 
I é o momento de inércia da seção transversal; 
x é distância ao longo da coluna a partir da extremidade livre;
δ é a densidade linear constante e )(x a deflexão angular da coluna no ponto x.
A solução não trivial de (1) pode ser expressa em termos de funções de Bessel e 
permite-nos determinar quando uma coluna vertical irá flambar sobre seu próprio peso. A 
coluna irá inclinar-se somente se (1) tiver uma solução não trivial. 
Aplicação 2 – Efeito Corona
A teoria da difração para uma esfera pode ser usada para explorar o fenômeno ótico 
conhecido como corona. A corona está relacionada com iluminação, em forma de círculos 
concêntricos, próximo ao sol, lua ou outros objetos luminosos.
O método de difração de Fraunhofer, a partir de uma abertura circular, associado à 
Função de Bessel nos permitirá determinar a intensidade de dispersão, modelada pela 
expressão:
2
14
sen
)sen(



 

x
xJ
xI , (2)
onde:
 1J = Função de Bessel de primeira ordem;
 I = intensidade de dispersão e  = ângulo de dispersão.
(1)
x= L Chão
x – 
x= 0 – 
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O cálculo dos valores máximos e mínimos da função (2) e a construção dos 
respectivos gráficos no Maple permitirão analisar o fenômeno ótico conhecido como corona.
Metodologia
A inserção do bolsista nessa pesquisa é recente. Faz-se necessário todo um estudo 
detalhado sobre a resolução de equações diferenciais ordinárias e parciais, equações e funções 
de Bessel, método de Frobenius, funções Gama e outros conceitos matemáticos.
Ao longo do projeto, com revisão bibliográfica, auxílio da literatura disponível e a 
utilização do Sistema de Computação Algébrica e Simbólica Maple buscaremos uma 
compreensão desse conteúdo, em especial funções de Bessel e suas aplicações.
Considerações Finais
O projeto, como iniciação científica, pretende oportunizar conhecimento de métodos 
matemáticos e técnicas computacionais, propiciando uma fundamentação teórica e prática 
com a pesquisa e resolução de problemas de maior complexidade. No momento, a flambagem 
de uma coluna vertical e o efeito corona estão sendo estudados. 
A funcionalidade e aplicabilidade das funções de Bessel encontram um campo vasto, 
porém complexo. A compreensão e as aplicações da pesquisa requerem não apenas a 
resolução de problemas, também exigem a análise da realidade física envolvida. Ao 
discutirmos a aplicabilidade das Funções de Bessel, temas de grande atualidade afloram, no 
âmbito em que um conjunto de modificações tecnológicas está transformando nossa sociedade 
e conduzindo-nos a uma maior demanda de informações.
Referências
ABRAMOWITZ, M., STEGUN, I. Handbook of Mathematical Functions. New York, Dover Publications, 1972. 
ARFKEN, G. B., WEBER, H. J. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. Rio de 
Janeiro: Campus/Elsevier, 2007.
BUTKOW, E. Mathematical Physic. Rio de Janeiro: JC, 2008.
COOMBES, K., HUNT, B. R., LIPSMAN, R. L., OSBORN, J. E., STUCK, G. J. Differential Equations with 
MapleTM. New York: John Wiley & Sons, 1996.
EDWARDS, C. H., PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno. Rio 
de Janeiro: PHB, 1995.
LIOU, K. N. An Introduction to Atmospheric Radiation. San Diego: Academic Press, 2002.
ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Equações Diferenciais. São Paulo: Makron Books, 2001. 2 v.
ZWILLINGER, D. Standard Mathematical Tables and Formulae. Florida: CRC Press, 1996