1. RACIOCINIO LOGICO Apostila Wagner Filho

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RACIOCÍNIO LÓGICO
SUMÁRIO
Palavra do Professor Autor .........................................................................................3
Apresentação da Disciplina .........................................................................................4
1. Introdução ao Estudo da Lógica – Proposições Lógicas ......................................5
2. Negações das Proposições Simples...................................................................13
3. Tabela-Verdade ..................................................................................................17
4. Negações das Proposições Compostas .............................................................35
5. Equivalência Lógica ............................................................................................49
6. Lógica de Argumentação ....................................................................................61
7. Tautologia, Contradição e Contingência .............................................................77
8. Diagramas Lógicos .............................................................................................89
Referências.............................................................................................................101
Currículo do Professor Autor...................................................................................103
Gabarito ..................................................................................................................105
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PALAVRA DO PROFESSOR AUTOR
Caro aluno,
É com grande satisfação que apresento a vocês a disciplina de Raciocínio
Lógico. Procurei desenvolver nesta apostila os conteúdos mais importantes
relacionados ao RL, com uma linguagem de fácil compreensão, com dicas, bizus e
questões resolvidas que irão facilitar o seu aprendizado. A expectativa é que você
desenvolva a competência de interpretar, entender e aplicar técnicas formais da
lógica, para desenvolver o raciocínio lógico e dedutivo, que lhe permitirá enunciar e
resolver situações-problema, antecipando tendências e planejando ações futuras.
Esta disciplina deve lhe dar a capacidade de aplicar o raciocínio lógico na
solução de problemas da vida pessoal, identificar as aplicações práticas nas
atividades profissionais, estabelecer propriedades de relações formais entre
proposições, premissas e conclusões, entre outras habilidades.
Sabe-se que pessoas mais criativas têm maior facilidade para entrar em
contato com suas emoções e imaginação e processar rapidamente as informações,
relacionando-as de forma automática às experiências adquiridas.
Assim, para desenvolver habilidades que o capacitarão a entender melhor o
mundo em que vive, espero que saiba mesclar o raciocínio lógico e objetivo,
aprendido nesta disciplina, com suas intuições, inspiradas em conhecimentos e
experiências subjetivas, por meio de leituras, jogos, curiosidades e arte, como a
música, a pintura, o canto, a dança – o que lhe permitirá ser mais criativo e inovador
em sua profissão.
Bons estudos!
Profº Wagner Filho
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Raciocínio Lógico é uma das disciplinas mais fascinantes para aqueles que
iniciam algum curso nas áreas de gestão, indústria, tecnologia e inovação.
Desde a antiguidade, o homem vem sendo forçado a analisar todos os fatos à
sua volta, mesmo em ambientes hostis e seletivos. A sua sobrevivência somente
ocorreu pela habilidade desenvolvida em reconhecer seus predadores naturais e as
fontes alimentares adequadas e compreender os fenômenos da natureza.
Ainda hoje, com toda a tecnologia disponível e todo o conhecimento
acumulado, procuramos respostas mais precisas para fatos que desafiam a espécie
humana e sua constante luta pela vida, ainda que pensar seja uma atividade
espontânea e natural, inerente ao ser humano.
Para raciocinar, porém, temos que nos concentrar e nos esforçar para
organizar nossas ideias de maneira lógica e coerente, e somente conseguiremos
desenvolver essa habilidade se nos prepararmos adequadamente.
Dessa forma, esta disciplina tem como objetivo capacitar você com
conhecimentos sobre raciocínio lógico, facilitando o desenvolvimento do seu
raciocínio frente a argumentações, buscando formular conclusões e representações
a partir das premissas apresentadas.
Vamos aos estudos, então!
Profº Wagner Filho
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1. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA LÓGICA – PROPOSIÇÕES
LÓGICAS
1.1. Proposição
Denomina-se proposição toda sentença, expressa em palavras ou símbolos,
que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente
um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.
Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou
falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada.
De fato, não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso às demais formas de
sentenças como as interrogativas, as exclamativas e imperativas.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:
O número 3 é ímpar.
O número 24 não é primo.
Todos os homens são mortais.
Nenhum gato sabe ler
Alguns pássaros não sabem cantar
Se você estudar bastante, então não aprenderá tudo.
Eu falo inglês ou espanhol.
Não são proposições:
Para onde vai?
Abra a porta.
Caramba!
Mais alguns exemplos
A lua é um satélite natural da terra.
Nenhum pássaro voa.
3 + 5 > 8 (três mais cinco é maior que oito)
Todo homem é mortal.
Obs: São sentenças declarativas que podem ser imediatamente valoradas
em verdadeiras ou falsas.
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A afirmação: ele é um animal. Não é uma proposição, pois como não
sabemos quem é ele, não podemos dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa.
A interrogação: vamos ao cinema? Não é uma proposição, pois é uma
interrogação e não podemos dizer se é verdadeira ou falsa.
A exclamação: abra a porta! Não é uma proposição, pois se trata de uma
exclamação e não podemos dizer se é verdadeira ou falsa.
A sentença imperativa: “estude mais”;”leia aquele livro”.
Essas sentenças não serão estudadas no curso de raciocínio lógico.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
1) Já vimos que “toda proposição é sempre uma afirmação com sentido completo”,
mas nem toda afirmação será uma proposição.
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA
1. Das sentenças abaixo, marque aquela que não é uma proposição.
a) Gustavo é médio.
b) Que é maior que 21.
c) Você foi fazer a prova?
d) O Brasil é um país continental.
2. Qual sentença a seguir é considerada uma proposição?
a) O copo de plástico.
b) Feliz Natal!
c) Pegue suas coisas.
d) Onde está o livro?
e) Francisco não tomou o remédio.
3. Qual das seguintes sentenças é classificada como uma proposição
simples?
a) Será que vou ser aprovado no concurso?
b) Ele é goleiro do Bangu.
c) João fez 18 anos e não tirou carta de motorista.
d) Bashar al-Assad é presidente dos Estados Unidos.
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4. Assinale a alternativa que NÃO apresenta uma proposição.
a) Jorge Amado nasceu em Itabuna-BA.
b) Antônio é produtor de cacau.
c) Jorge Amado não foi um grande escritor baiano.
d) Queimem os seus livros.
5. Das alternativas apresentadas, assinale a única que contém uma
proposição lógica.
a) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida!
b) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime.
c) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo!
d) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística?
e) Instruções especiais para perito criminal.
6. Qual das alternativas abaixo não pode ser considerada uma proposição?
a) 7 < 9
b) Pelé é o nome de um planeta.
c) A lua é um satélite da terra.
d) X > 2
e) A capital de Sergipe é Teresina.
7. Das afirmativas a seguir, assinale a única que apresenta umaproposição
lógica.
a) Uma alimentação saudável é um dos princípios básicos para uma vida saudável.
b) Reflita sobre sua saúde!
c) Já pensou como vai sua saúde?
d) Seja qual for seu ritmo de vida, aprenda a se exercitar sempre.
e) 31 de março: dia da saúde e nutrição.
8. Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela que caracteriza uma
proposição:
a) O número x não é divisível por 2.
b) Aquele filósofo é estudioso.
c) 2x − 5 > 13
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d) Este é um número primo.
e) Pelé foi o maior jogador de todos os tempos.
9. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
Considere as seguintes sentenças:
I O Acre é um estado da Região Nordeste.
II Você viu o cometa Halley?
III Há vida no planeta Marte.
IV Se x< 2, então x+ 3 > 1.
Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições.
( ) Certo ( ) Errado
10. Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem
definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa,
excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a
sentença apresentada corresponde a uma proposição.
a) Ele foi detido sem ter cometido crime algum?
b) Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes
prisionais.
c) Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados.
d) Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio.
e) Houve fuga de presidiários, que tragédia!
1.2. Princípios Lógicos
Se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição,
cujo valor lógico é verdadeiro.
Daí ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos
referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição:
verdadeiro (V) ou falso (F).
E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição
verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se
possa atribuir um valor lógico.
Concluímos, pois, que...
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 Sentenças exclamativas: “Caramba!”; “Feliz aniversário!”
 Sentenças interrogativas: “como é o seu nome?”; “o jogo foi de quanto?”
 Sentenças imperativas: “Estude mais.”; “Leia aquele livro”.
...não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças
declarativas – que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou
falsas.
Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q,
r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes:
p: Pedro é médico.
q: 5 < 8
r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.
Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é
médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja,
o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos
VL(q)=F.
Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e
falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está
sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que
ser sempre obedecidos. São os seguintes:
 Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa.
(Princípio da identidade);
 Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
(Princípio da Não- Contradição);
 Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade.
(Princípio do Terceiro Excluído).
Assim podemos resumir que:
Toda proposição deve obedecer aos princípios básicos seguintes:
 Princípio da identidade
Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa.
 Princípio da não-contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
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 Princípio do terceiro excluído
Uma proposição ou é verdadeira ou falsa, não podendo assumir um terceiro
valor lógico.
Proposições podem ser ditas simples ou compostas.
1.3. Proposição Simples
Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer
outra proposição como sua componente, ou seja, quando não tem conectivo.
Exemplo: A sentença “o sol é uma estrela” é uma proposição simples, pois
não é possível identificar como parte dela qualquer outra proposição diferente.
Mais alguns exemplos:
q: O céu é azul.
r: O gato mia.
s: A água do mar é salgada.
t: Wagner Filho é famoso.
u: Garrincha é brasileiro.
1.4. Proposição Composta
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é
dita proposição composta ou proposição molecular, ou seja , quando apresenta
conectivo.
Exemplo: A sentença “o sol é uma estrela e a terra é um planeta” é uma
proposição composta, pois apresenta o conectivo e.
CONECTIVOS LÓGICOS - São palavras usadas para formar novas proposições, as
proposições compostas, a partir de proposições simples.
Os conectivos usados na Lógica Matemática são: não, ou, e, se... então e
...se e somente se...
Mais alguns exemplos de proposições compostas
P: A pressa é inimiga da perfeição ou o autor deste livro estava apressado.
Q: Todo gato mia e a água do mar é salgada.
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R: Para passar em um concurso existe uma receita mágica ou um milagre, então
não adianta estudar.
S: O céu é azul se, e somente se, a água do mar é salgada.
T: Wagner Filho é famoso, então Pelé é brasileiro.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Observe as duas proposições abaixo:
P: Wagner e Heitor são professores.
Q: Wagner fala inglês e espanhol.
Qual delas é simples?
Dica show!
Se o “e” vier antes do verbo, proposição simples.
Se o “e” vier depois do verbo, proposição composta.
Assim, P é uma proposição simples e Q é uma proposição composta.
Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal
modo que o valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta
depende somente:
• do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes;
• e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos
conectivos lógicos utilizados.
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA
11. Assinale a alternativa que contém uma proposição simples.
a) Rafael foi estudar e Beatriz foi ao mercado.
b) O carro é compacto ou utilitário.
c) Fernanda e Clara são colegas de classe.
d) Carlos é guitarrista e Lucas é vocalista.
e) Se Maria é médica, então sabe biologia.
12. A respeito de lógica proposicional, julgue o item subsequente.
A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos
que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples.
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( ) Certo ( ) Errado
13. Julgue os itens subsequentes, relacionados a lógica proposicional.
A sentença “Quem é o maior defensor de um Estado não intervencionista,
que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da
economia na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da
Fazenda?” é uma proposição composta que pode ser corretamente
representada na forma (P∨Q)∧R, em que P, Q e R são proposições simples
convenientemente escolhidas.
( ) Certo ( ) Errado
14. Com relação às proposições lógicas, julgue o próximo item.
A expressão “Viva Mandela, viva Mandela! gritava a multidão
entusiasmada” estará corretamente representada na forma P∨Q, em que P e
Q sejam proposições lógicas adequadamente escolhidas.
( ) Certo ( ) Errado
15. Com relação às proposições lógicas, julgue o próximo item.
A frase “A religião produz um cerceamento da liberdade individual e a falta
de religião torna a sociedade consumista e degradada” estará
representada, de maneira logicamente correta, na forma P∧Q, em que P e Q
sejam proposições convenientemente escolhidas.
( ) Certo ( ) Errado
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2. NEGAÇÕES DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES
2.1. O Modificador Lógico
O “não” é chamado de modificador lógico, porque, ao ser inserido ou retirado
de uma proposição, muda o valor lógico, ou seja faz a negação da proposição.
Representa-se a negação de uma proposiçãop, usando o sinal ~ ou ¬ antes
do p, ou seja, a negação de p é indicada por ~p ou ¬p e lê-se: não p.
p: O sol é uma estrela
¬p: O sol não é uma estrela
q: 3 + 5 = 8
¬q: 3 + 5 ≠ 8
r: x < 3
¬r: x ≥ 3
s: Os pássaros são carnívoros
¬s: Os pássaros não são carnívoros
t: O mar é grande
¬t: Omar não é grande
2.2. Observações importantes da negação
 Formas de negação
Para fazer a negação de uma proposição simples podemos usar uma das
quatro formas distintas abaixo:
Proposição p
Vanessa é bela.
Proposições ¬p
1. Vanessa não é bela.
2. Não é verdade que Vanessa é bela.
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3. É falso que Vanessa é bela.
2.3. Propriedades
1- Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p,
é falsa.
2- Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é
falsa.
p ¬p
V F
F V
3- A negação da negação é uma afirmação.
¬(¬p) = p
RESUMINDO
1. Uma proposição A e sua negação “não A” terão sempre valores lógicos apostos.
2. Em uma proposição simples com mais de um verbo, a negação vem antes do
primeiro verbo “conjugado”.
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA
1. Uma negação correta da proposição “Acredito que estou certo” seria
“Acredito que não estou certo”.
( ) Certo ( ) Errado
2. Marque a alternativa que apresenta a negação correta da proposição
“Crescer alem de certo porte é um mau negócio para os empresários”.
a) Não crescer alem de certo porte é um mau negócio para os empresários.
b) Crescer alem de certo porte não é um mau negócio para os empresários.
c) Não crescer alem de certo porte não é um mau negócio para os empresários.
d) Crescer alem de certo porte é um bom negócio para os empresários.
e) Para os empresários o bom mesmo é não crescer.
3. A negação da proposição “O motorista foi pego dirigindo veículo de
categoria diferente daquela para a qual está habilitado” é “O motorista não foi
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pego dirigindo veículo de categoria igual àquela para a qual não está
habilitado”.
( ) Certo ( ) Errado
4. A negação da proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” pode ser
expressa por “O tribunal entende que o réu não tem culpa”.
( ) Certo ( ) Errado
5. A negação da proposição “A empresa não entrega o que promete” é “A
empresa entrega o que não promete”.
( ) Certo ( ) Errado
17
18
3. TABELA-VERDADE
3.1. Conectivos Lógicos
Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas
proposições compostas tais como “não”, “e”, “ou”, “se... então” e “se e somente se”
aos quais denominamos conectivos lógicos ou estruturas lógicas.
 Forma Simbólica
As proposições compostas também podem ser escritas na forma simbólica.
Os símbolos das proposições e dos conectivos devem ser escritos obedecendo-se à
ordem em que vão aparecendo no texto.
Proposição
composta
Denominação da
prop. Composta
Símbolo do
conectivo
Simbologia da
prop. composta
p ou q
ou p ou q
Disjunção inclusiva
Disjunção exclusiva
v
v
p v q
p v q
p e q Conjunção ^ p ^ q
Se p, então q Condicional → p → q
p se, e somente se q Bicondicional ↔ p ↔ q
Exemplo: A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é
menor que y” é uma proposição composta na qual se pode observar alguns
conectivos lógicos (“não”, “se..., então” e “ou”) que estão agindo sobre as
proposições simples “x é maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.
Reforçando o que já vimos no Capítulo 1, os conectivos lógicos agem sobre
as proposições a que estejam ligados de tal modo que o valor lógico (verdadeiro ou
falso) de uma proposição composta depende somente:
 do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes;
 e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos
conectivos lógicos utilizados.
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Exemplo: Compare as seguintes proposições e seus respectivos valores
lógicos:
Proposições Valores Lógicos
O número 4 é par. V
O número 6 é ímpar F
O número 4 é inteiro e é
ímpar
F
O número 4 é inteiro ou é
ímpar
V
V = verdadeiro; F = falso
A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas lógicas e suas
denominações. A partir deste ponto passaremos a nos referir a estas estruturas
como estruturas fundamentais:
Estruturas fundamentais Denominações
Não A. Negação
A ou B. Disjunção
Ou A ou B. Disjunção Exclusiva
A e B. Conjunção
Se A, então B. Condicional
A se e somente se B. Bicondicional
3.2. Número de linhas de uma Tabela-Verdade
Se uma tabela-verdade tem como componentes as proposições P1, P2... Pn,
duas a duas independentes, então o número de linhas desta tabela-verdade será
igual a:
Ln = 2n
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É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA
1. Qual o numero de linhas de uma tabela verdade utilizada para determinar
o valor lógico de uma proposição composta formada por 4 (quatro)
proposições simples?
a) 16
b) 24
c) 48
d) 8
e) 4
3.3. Tabelas-verdade para p e q:
Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da
tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos. Qual seja:
3.4. Tabelas-verdade para p, q e r:
Numa tabela-verdade para três proposições simples. Para duas proposições,
a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O mesmo ocorrerá para uma
tabela-verdade de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte:
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A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V
alternando com quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com
dois F; por fim, a coluna da proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos,
portanto, sempre a mesma estrutura inicial:
Saber construir esta tabela acima é obrigação. Ela corresponde à estrutura
inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples.
3.5. Conjunção: A e B
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”.
A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como:
A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: 2 = 3
B: 3 < 4
A conjunção A e B pode ser escrita como:
A  B: 2 = 3 e 3 < 4.
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a
compõem forem verdadeiras. Ou seja, a conjunção “A  B” é verdadeira somente
quando A é verdadeira e B é verdadeira também.
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 Tabela-Verdade da Conjunção (A  B)
Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) podemos observar todos os
resultados possíveis da conjunção “A e B” para cada um dos valores lógicos que A e
B podem assumir.
Conclusão: Quando todas as proposições que compõem a Conjunção forem
verdadeiras, essa será também verdadeira.
Dica: e de “exigente” ou e de “einterseção”
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
O conectivo “e”, conjunção, poderá ser representado por “mas”.
Quando aparecer o “nem”, esse representa o “e não”.
3.6. Disjunção inclusiva: A ou B
Denominamos disjunção inclusiva a proposição composta formada por duas
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”.
A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente por:
A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: 6 = 8.
B: 5 < 8.
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:
A  B: 6 = 8 ou 5 < 8.
Para que a disjunção “A ou B” seja verdadeira, basta que pelo menos uma
de suas proposições componentes seja verdadeira.
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Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se
ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunção “A ou B” será verdadeira.
Ou seja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa
também.
 Tabela-Verdade da Disjunção (A  B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da
disjunção “A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
Conclusão: Quando, pelo menos uma das proposiçõessimples que
compõem a disjunção for verdadeira, essa será também verdadeira.
Dica: ou de “ounião”
3.7. Disjunção Exclusiva: ou A ou B
Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas
proposições quaisquer em que cada uma delas esteja precedida pelo conectivo “ou”
A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente por:
A  B
(observe o sublinhado no símbolo )
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: O número 17 é par.
B: O número 17 é impar.
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A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como:
A  B: Ou o número 17 é par ou o número 17 é ímpar.
Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando apenas uma das
proposições que a compõe for verdadeira.
Ou seja, a disjunção exclusiva “ou A ou B” é verdadeira somente quando A e
B tem valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa).
Se A e B tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas
falsas) então a disjunção exclusiva será falsa.
 Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A  B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da
disjunção exclusiva “ou A ou B” para cada um dos valores que A e B podem
assumir.
CONCLUSÃO: Quando, uma e somente uma das proposições simples que
compõem a Disjunção exclusiva for verdadeira, essa também será verdadeira.
3.8. Condicional: Se A então B
Denominamos condicional à proposição composta formada por duas
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por uma
de suas formas equivalentes.
A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada
simbolicamente como:
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A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: José é cearense.
B: José é brasileiro.
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:
A B: Se José é cearense, então José é brasileiro.
Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada
pelo uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente, enquanto a
proposição B, apontada pelo advérbio “então”, é denominada conclusão ou
consequente.
As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se
A, então B”:
Se A, B;
B, se A;
Todo A é B;
A implica B;
A somente se B;
A é suficiente para B;
B é necessário para A.
Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando a condição (A) é
verdadeira e a conclusão (B) é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da
proposição condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem
assumir.
Exemplo: p: comprei na loja.
q: entrei na loja.
A condicional Se p, então q pode ser escrita na forma p → q e representa: Se
eu comprei na loja, então entrei na loja.
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Conclusão: A proposição p→q só é falsa se p for verdadeira e q for falsa, caso
contrário, ela é sempre verdadeira.
Dica: se a 1ª for (V) e a 2ª for (F) então ela será (F), em qualquer outra
situação ela será (V).
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES DO CONDICIONAL
Percebam que o fato de eu ter comprado na loja é condição suficiente (basta
isso!) para que se torne um resultado necessário que eu tenha entrado na loja.
Mirem nessas palavras:
suficiente e necessário.
Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição
suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença,
usando o formato da condicional.
Teremos:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também
ser dita das seguintes maneiras:
Se chove, faz frio.
Faz frio, se chove.
Quando chove, faz frio.
Chover implica fazer frio.
Chover é condição suficiente para fazer frio.
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Fazer frio é condição necessária para chover.
Chove somente se faz frio.
Toda vez que chove, faz frio.
Essa é a ideia!
Em uma proposição condicional p→q verdadeira sabemos que não existe a
possibilidade de termos p verdadeira e q falsa, então:
Se tivermos p verdadeira, por dedução q será verdadeira.
Se tivermos q falsa, por dedução p será falsa.
Se tivermos p falsa, não podemos deduzir o valor lógico de q, pois q poderá
ser verdadeira ou falsa, e p→q será sempre verdadeira.
Se tivermos q verdadeira, não podemos deduzir o valor lógico de p, pois p
poderá ser verdadeira ou falsa, e p→q será sempre verdadeira.
3.9. Bicondicional: A se e somente se B
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada
simbolicamente como:
A  B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: 4 < 7
B: 3 + 2 = 8.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:
A  B: 4 < 7 se e somente se 3 + 2 = 8.
Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se
e somente se B” equivale à proposição composta “se A então B e se B então A”.
)()( ABBABA 
Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as
seguintes expressões:
A se e só se B;
27
Todo A é B e todo B é A;
Todo A é B e reciprocamente;
Se A então B e reciprocamente;
A é necessário e suficiente para B;
A é suficiente para B e B é suficiente para A;
A é necessário para B e B é necessário para A.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente
quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são
falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da
proposição bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e
B podem assumir.
Exemplo: p: x é par.
q: y é ímpar.
A proposição bicondicional “p se, e somente se, q” pode ser escrita como;
p↔q: x é par se, e somente se, y for ímpar.
Conclusão: Na proposição bicondicional se as proposições tiverem valor
lógico igual ela será verdadeira e se tiverem valor lógico diferente ela será falsa.
DICA: Lembrar-se do jogo do sinal.
+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -
Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu
formato tradicional: “p se e somente se q”.
28
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA!
2. A conjunção entre duas proposições compostas é verdadeira se:
a) os valores lógicos de ambas as proposições forem falsos
b) se o valor lógico de somente uma das proposições for verdade
c) se ambas as proposições tiverem valores lógicos verdadeiros
d) se o valor lógico de somente uma das proposições for falso
e) se o valor lógico da primeira proposição for verdade e o valor lógico da segunda
proposição for falso.
3. Considere as proposições:
p: Paulo é mineiro.
q: Pedro é rico.
Assinale a alternativa que indica a melhor tradução, em linguagem corrente, para
a proposição ~p ∧q
a) Paulo é mineiro e Pedro é rico.
b) Paulo é goiano e Pedro é rico.
c) Paulo é mineiro ou Pedro não é rico.
d) Paulo não é mineiro ou Pedro é rico.
e) Paulo não é mineiro e Pedro é rico.
4. Sejam dadas as proposições a e b:
a: O cachorro precisa de uma cirurgia.
b: O cachorro está doente.
Assinale a alternativa que contém a tradução para a LINGUAGEM
SIMBÓLICA da seguinte proposição:
“O cachorro precisa de uma cirurgia se, e somente se, o cachorro está doente”.
a) a∧b
b) a∨b
c) a∨b
d) a  b
e) a b
29
5. Considere a proposição “Antônio trabalha, mas não recebe o suficiente”.
Nela, o conectivo lógico é:
a) condicional.
b) bicondicional.
c) disjunção exclusiva.
d) disjunção inclusiva.
e) conjunção.
6. Uma proposição tem valor lógico falso e outra proposição tem valor
lógico verdade. Nessas condiçõesé correto afirmar que o valor lógico:
a) da conjunção entre as duas proposições é verdade
b) da disjunção entre as duas proposições é verdade
c) do condicional entre as duas proposições é falso
d) do bicondicional entre as duas proposições é verdade
e) da negação da conjunção entre as duas proposições é falso
7. Se o valor lógico de uma proposição p é verdade e o valor lógico de uma
proposição q é falso, então é correto afirmar que o valor lógico de:
a) p conjunção q é verdade.
b) p disjunção q é falso.
c) p condicional q é falso.
d) p bicondicional q é verdade.
e) q condicional p é falso.
8. Com relação aos conectivos lógicos é correto afirmar que:
a) O condicional entre duas proposições cujos valores lógicos são falsos tem valor
lógico verdadeiro.
b) A conjunção entre duas proposições cujos valores lógicos são falsos tem valor
lógico verdadeiro.
c) A disjunção entre duas proposições cujos valores lógicos são falsos tem valor
lógico verdadeiro.
d) O bicondicional entre duas proposições cujos valores lógicos são falsos tem valor
lógico falso.
30
e) A conjunção entre duas proposições cujos valores lógicos são verdadeiros tem
valor lógico falso.
9. Considerando que ambos os valores lógicos das proposições p e q são F
(Falsidade), a proposição cujo valor lógico corresponde a V (Verdade) é
a) p ∧ ∼ q.
b) p ∨ q.
c) p ∨ (p ∨ q).
d) ∼ p ∧ (p ∧ q).
e) ∼ p ∧ ∼ q.
10. P e Q são proposições simples e o valor lógico de P condicional Q é
falso. Nessas condições, é correto afirmar que:
a) O valor lógico de P é falso e o valor lógico de Q é verdade.
b) O valor lógico de P é falso e o valor lógico de Q é falso.
c) O valor lógico de P é verdade e o valor lógico de Q é verdade.
d) O valor lógico de P é falso e o valor lógico de Q pode ser falso ou verdade.
e) O valor lógico de P é verdade e o valor lógico de Q é falso.
11. Sabe-se que p, q e r são proposições compostas e o valor lógico das
proposições p e q são falsos. Nessas condições, o valor lógico da
proposição r na proposição composta {[q v (q ^ ~p)] v r} cujo valor lógico é
verdade, é:
a) falso
b) inconclusivo
c) verdade e falso
d) depende do valor lógico de p
e) verdade
12. Considerando que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam
verdadeiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em que a sentença
apresentada seja verdadeira.
a) ~(p∨r)∧(q∧r)∨q
31
b) ~s∨q
c) ~(~q∨q)
d) ~[(~p∨q)∧(~q∨r)∧(~r∧s)]∨(~p∨s)
e) (p∧s)∧(q∨~s)
13. Considere as seguintes premissas:
p : Trabalhar é saudável.
q : O cigarro mata.
A afirmação "Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata" é FALSA se
a) p é falsa e ~q é falsa.
b) p é falsa e q é falsa.
c) p e q são verdadeiras.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) ~p é verdadeira e q é falsa.
14. Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa,
considere as seguintes proposições compostas:
(1) p ∧q ;
(2) ~p → q ;
(3) ~(p ∨~q) ;
(4) ~(p ↔ q)
Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras?
a) Nenhuma.
b) Apenas uma.
c) Apenas duas.
d) Apenas três.
e) Quatro.
15. Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às
proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição
composta que tem sempre valor lógico F.
32
a) [A (¬B)] [(¬A) B]
b) (A B) [(¬A) (¬B)]
c) [A (¬B)] (A B)
d) [A (¬B)] A
e) A [(¬B) A]
16. Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem
exatamente 2 valores lógicos F e 2 valores lógicos V, para todas as
possíveis atribuições de valores lógicos V ou F para as proposições A e B.
a) B (¬A)
b) ¬(A B)
c) ¬[(¬A) (¬B)]
d) [(¬A) (¬B)] (A B)
e) [(¬A) B] [(¬B) A]
17. A partir das proposições simples P: “Sandra foi passear no centro
comercial Bom Preço”, Q: “As lojas do centro comercial Bom Preço
estavam realizando liquidação” e R: “Sandra comprou roupas nas lojas do
Bom Preço” é possível formar a proposição composta S: “Se Sandra foi
passear no centro comercial Bom Preço e se as lojas desse centro estavam
realizando liquidação, então Sandra comprou roupas nas lojas do Bom
Preço ou Sandra foi passear no centro comercial Bom Preço”.
Considerando todas as possibilidades de as proposições P, Q e R serem
verdadeiras (V) ou falsas (F), é possível construir a tabela-verdade da
proposição S, que está iniciada na tabela mostrada a seguir.
33
Completando a tabela, se necessário, assinale a opção que mostra, na
ordem em que aparecem, os valores lógicos na coluna correspondente à
proposição S, de cima para baixo.
a) V / V / F / F / F / F / F / F
b) V / V / F / V / V / F / F / V
c) V / V / F / V / F / F / F / V
d) V / V / V / V / V / V / V / V
e) V / V / V / F / V / V / V / F
18. Considerando que P, Q e R sejam proposições lógicas simples, e que a
tabela acima esteja preparada para a construção da tabela- verdade da
proposição [P→Q]∧[Q∨R], assinale a opção que apresenta os elementos da
coluna correspondente à proposição [P→Q]∧[Q∨R], tomados de cima para
baixo.
a) V, F, V, F, F, V, V e F
b) V, F, F, V, F, V, F e F
c) V, V, F, F, V, V, V e F
d) V, F, V, F, F, V, F e F
e) V, F, V, F, V, F, V e F
19. Considerando todas as possíveis valorações V ou F das proposições
simples P e Q, a quantidade de valorações V na tabela-verdade da
proposição (P∧Q)∨(~Q)→[P∨(~Q)] é igual.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 0
20. A tabela a seguir apresenta as três primeiras colunas da tabela-verdade
de uma proposição S construída a partir das proposições P, Q e R.
34
P Q R
V V V
F V V
V F V
F F V
V V F
F V F
V F F
F F F
Com base na tabela, assinale a opção que apresenta a sequência correta
dos elementos constituintes da coluna da tabela-verdade correspondente à
proposição lógica S: R ↔ (P∧Q).
a) V / F / V / F / F / V / V / V
b) V / F / V / F / F / V / F / V
c) V / F / V / F / F / F / V / V
d) V / F / F / F / F / V / V / V
e) V / V / F / F / F / V / V / V
21. Um provérbio chinês diz que:
P1: Se o seu problema não tem solução, então não é preciso se preocupar
com ele, pois nada que você fizer o resolverá.
P2: Se o seu problema tem solução, então não é preciso se preocupar com
ele, pois ele logo se resolverá.
O número de linhas da tabela verdade correspondente à proposição P2 do
texto apresentado é igual a
a) 4
b) 8
c) 12
d) 16
e) 24
35
4. NEGAÇÕES DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de
proposições equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma
proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto,
podem surgir algumas dificuldades quando procuramos identificar a negação de uma
proposição composta.
Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre
valor lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma
proposição A for verdadeira, a sua negação não A deve ser falsa e sempre que A
for falsa, não A deve ser verdadeira.
Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com
a proposição dada.
Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição
composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa
proposição.
Veremos, pois, uma a uma:
4.1. Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o
seguinte:
 1) Negaremos a primeira (~p);
 2) Negaremos a segunda (~q);
 3) Trocaremos e por ou.
Assim, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma
explicada acima:
 1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico”
 2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista”
 3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:
 “João não é médico ou Pedro não é dentista”.
Traduzindo para a linguagem da lógica, diremosque:
36
Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre
as tabelas-verdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso. Primeiro,
trabalhemos a tabela-verdade do ~(p ∧ q).
Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido:
1º Passo: Construir as colunas dos valores lógicos de p e q.
2 Passo: Construir as colunas dos valores lógicos de ~p e ~q.
3º Passo: Construir as colunas dos valores lógicos de ~p v ~q.
4 Passo: Verifique que as tabelas-verdades de p ^ q é, em todas as linhas, o
contrário da tabela-verdade de ~p v ~q.
37
Resultados idênticos! Assim, do ponto de vista lógico, para negar (p e q),
negaremos p, negaremos q, e trocaremos e por ou.
Já sabendo disso, não perderemos tempo na resolução de uma questão
construindo tabela-verdade para saber como se faz a negativa de uma conjunção!
Esse exercício que fizemos acima, de comparar as colunas-resultado das duas
tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica.
Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente
a outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas.
4.2. Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o
seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos ou por e.
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente
equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é
engenheiro”.
38
Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o
que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de
disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro”
3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:
“Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.
Na linguagem apropriada, concluiremos que:
Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade –
desta conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p ∨ q).
Teremos, de início:
Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos:
39
Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos:
Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos:
Finalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado:
Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura
(~p ∧ ~q) com aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∨ q). Teremos
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Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”,
negaremos p, negaremos q, e trocaremos ou por e.
4.3. Negação de uma Proposição Condicional: ~(p  q)
Esta negativa é a mais cobrada em questões!
Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:
1º) Mantém-se a primeira parte; e
2º) Nega-se a segunda.
Lembrete: MANÉ = Mantém e nega.
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-
chuva”?
1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e
2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.
Na linguagem lógica, teremos que:
Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade –
desta conclusão acima. Somos curiosos? Não mais!
Por analogia, para comprovar essa negação do condicional, basta construir a
tabela-verdade e verificar a negação acima apresentada.
4.4. Negação de uma Proposição bicondicional: ~(p  q)
Para a negação do condicional, vamos negar sua equivalência lógica
estudada anteriormente.
)()( pqqpqp 
)~()~()(~ pqqpqp 
Mantém a primeira e nega a segunda ou mantém a segunda e nega a
primeira.
EXEMPLO: “(p ↔ q) é [(p e ¬q) ou (q e ¬p)]”
O gato mia se,e somente se, Maria é bonita.
41
Negação: O gato mia e Maria não é bonita ou Maria é bonita e o gato não
mia.
4.5. Negação de uma Proposição disjuntiva exclusiva: ~(p V q)
A negativa de uma disjunção exclusiva se faz assim:
Lembramos-nos da tabela-verdade do bicondicional e verificamos que ela é
exatamente o contrário (negação) da disjunção exclusiva. Essas duas tabelas são
opostas. Assim, uma será a negação da outra.
Para negar a disjunção exclusiva, basta trocar o conectivo v pelo .
~(p v q)  (p  q)
EXEMPLO: Ou dorme ou estuda
Negação: Dorme se, e somente se, estuda.
A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de
algumas proposições compostas:
Proposição Negação direta
Equivalente da
Negação
A e B Não (A e B) Não A ou não B
A ou B Não (A ou B) Não A e não B
Se A então B Não (se A então B) A e não B
A se e somente se B Não (A se e somente se B) Ou A ou B
Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B
Algum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA!
1. A negação da frase “Carlos foi à escola e foi bem na prova” de acordo
com o raciocínio lógico proposicional é:
a) Carlos não foi à escola e não foi bem na prova
b) Carlos não foi à escola e foi bem na prova
c) Carlos não foi à escola ou não foi bem na prova
d) Carlos foi à escola ou não foi bem na prova
e) Carlos foi à escola se, e somente se, foi bem na prova
42
2. Considere a proposição: “Júlio tem um celular ou Rafaela tem um
computador” e assinale a alternativa que apresenta a negação dessa
proposição.
a) “Júlio não tem um celular se, e somente se, Rafaela não tem um computador”.
b) “Júlio tem um celular se Rafaela não tiver um computador”.
c) “Júlio não tem um celular ou Rafaela não tem um computador”.
d) “Júlio tem um celular ou Rafaela não tem um computador”.
e) “Júlio não tem um celular e Rafaela não tem um computador”.
3. Seja NE a abreviatura de Nordeste. A negação de “O Piauí faz parte do NE
ou o Paraná não faz parte do NE” é:
a) O Piauí não faz parte do NE.
b) O Paraná faz parte do NE.
c) O Piauí não faz parte do NE ou o Paraná faz parte do NE.
d) O Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE.
e) O Piauí e o Paraná fazem parte do NE.
4. Sob o ponto de vista da lógica proposicional, a negação da proposição
“Se Paulo trabalha, então Mariana dorme” é a seguinte:
a) Paulo trabalha e Mariana não dorme.
b) Paulo trabalha ou Mariana não dorme.
c) Paulo não trabalha ou Mariana dorme.
d) Paulo trabalha e Mariana dorme.
e) Paulo não trabalha e Mariana dorme.
5. Considere a seguinte proposição condicional: “Se Joabe acorda
disposto, então ele faz caminhada”. A negação desta proposição é:
a) Se Joabe acorda disposto, então ele não faz caminhada;
b) Joabe acorda disposto e não faz caminhada;
c) Se Joabe não acorda disposto, então ele faz caminhada;
d) Joabe não acorda disposto e não faz caminhada.
43
6. Sabendo que a implicação “Se a canoa não virar, eu chego lá” é falsa,
então,
a) “A canoa vira”.
b) “Eu chego, independente da canoa”.
c) “A canoa vira e eu chego”.
d) “A canoa não virou e eu não cheguei”.
e) “Se não virar a canoa, eu não chego”.
7. A negação de ~ p ∨q é:
a) p∨~q
b) p∧~q
c) ~p∧q
d) ~p∨~q
e) p∨q
8. Dada a proposição: “Se Daniela pratica natação ou ensaia no coral, então
é quarta-feira e não é feriado", sua negação pode ser
a) Daniela pratica natação ou ensaia no coral, e não é quarta-feira ou é feriado.
b) Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, e é quarta-feira e não é
feriado.
c) Se não é quarta-feira ou é feriado, então Daniela não pratica natação e não
ensaia no coral.
d) Se Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, então não é quarta-feira ou
é feriado.
e) Se Daniela não pratica natação ou não ensaia no coral, então não é quarta-feira e
é feriado.
9. Sabendo-se que a proposição “Se Paulo enviou o e-mail,então Antônio
marcou a reunião” é falsa, é verdade que:
a) ou Paulo enviou o e-mail ou Antônio marcou a reunião.
b) Antônio marcou a reunião.
c) Paulo não enviou o e-mail.
d) Paulo enviou o e-mail e Antônio marcou a reunião.
44
e) Paulo não enviou o e-mail ou Antônio marcou a reunião.
10. A negação da proposição “Cada uma das contas apresentadas por
Fernando contém, no mínimo, dois erros contábeis.” corresponde a:
a) Todas as contas apresentadas por Fernando contêm, pelo menos, um erro
contábil.
b) Nenhuma das contas apresentadas por Fernando contém, no mínimo, dois erros
contábeis.
c) Cada uma das contas apresentadas por Fernando contém, no máximo, um erro
contábil.
d) Pelo menos uma das contas apresentadas por Fernando contém, no máximo, um
erro contábil.
e) Pelo menos uma das contas apresentadas por Fernando contém, no mínimo, dois
erros contábeis.
11. Edson não gosta de frango ou Marilda gosta de feijão e gosta de arroz.
Uma afirmação que corresponda à negação lógica dessa é
a) Marilda não gosta de arroz ou não gosta de feijão e Edson gosta de frango.
b) Edson gosta de frango e Marilda não gosta de feijão e não gosta de arroz.
c) Se Edson não gosta de frango, então Marilda gosta de feijão e arroz.
d) Se Marilda não gosta de feijão e arroz, então Edson gosta de frango.
e) Edson gosta de arroz e Marilda gosta de frango e feijão.
12. A negação lógica da sentença "Se como demais e não faço exercícios
físicos então engordo" é
a) "Se não como demais e faço exercícios físicos então não engordo."
b) "Se como demais e não faço exercícios físicos então não engordo."
c) "Como demais e não faço exercícios físicos e não engordo."
d) "Se não engordo então não como demais ou faço exercícios físicos."
e) "Não como demais ou faço exercícios físicos ou não engordo."
45
13. Durante um comício de sua campanha para o Governo do Estado, um
candidato fez a seguinte afirmação:
“Se eu for eleito, vou asfaltar 2.000 quilômetros de estradas e construir
mais de 5.000 casas populares em nosso Estado.”
Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa, pode-se
concluir que, necessariamente,
a) o candidato foi eleito e foram construídas mais de 5.000 casas populares no
Estado.
b) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram construídas
mais de 5.000 casas populares no Estado.
c) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas
no Estado.
d) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de 5.000 casas populares
no Estado.
e) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no
Estado.
14. Seja a afirmação: “Se o chão está molhado e o céu está limpo, então
não choveu.” A negação dessa afirmação é:
a) Se o chão está molhado e o céu não está limpo, então choveu.
b) O chão está molhado e o céu está limpo, e choveu
c) Se chove o chão fica molhado e o céu não fica limpo.
d) Choveu, então o céu está limpo e o chão não está molhado.
e) Choveu, então o céu não está limpo ou o chão não está molhado.
15. A negação da proposição “Se é período eleitoral, então todo candidato
faz comício e promessa" é a expressa em
a) É período eleitoral e todo candidato faz comício e não faz promessa.
b) É período eleitoral e todo candidato faz comício ou faz promessa.
c) É período eleitoral e existe candidato que não faz comício ou não faz promessa.
d) É período eleitoral e existe candidato que faz comício ou faz promessa.
e) É período eleitoral e todo candidato não faz comício e faz promessa.
46
16. Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana.
Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é
a) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana.
b) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana.
c) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana.
d) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana.
e) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana.
17. Considere a afirmação:
Todos os quatro elementos ingeriram a mesma substância S e morreram
por envenenamento.
Uma negação lógica para a afirmação apresentada está contida na
alternativa:
a) Pelo menos um dos quatro elementos não ingeriu a substância S ou não morreu
por envenenamento.
b) Todos os quatro elementos não ingeriram a mesma substância S e não morreram
por envenenamento.
c) Nenhum dos quatro elementos ingeriu a substância S ou morreu por
envenenamento.
d) Talvez os quatro elementos não tenham ingerido a substância S, mas todos
morreram por envenenamento.
e) Existe apenas um dos quatro elementos que não ingeriu a substância S, mas
morreu por envenenamento.
18. Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as
sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete.
Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse
vereador
a) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado
todos os seus parentes em seu gabinete.
b) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha
empregado todos os seus parentes em seu gabinete.
47
c) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha
empregado um parente em seu gabinete.
d) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um
parente em seu gabinete.
e) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha
empregado pelo menos um parente em seu gabinete.
19. José afirmou: “— Todos os jogadores de futebol que não são ricos
jogam no Brasil ou jogam mal".
Assinale a alternativa que indica a sentença que representa a negação do
que José afirmou
a) Nenhum jogador de futebol que não é rico joga no Brasil ou joga mal
b) Todos os jogadores de futebol que não jogam no Brasil e não jogam mal
c) Algum jogador de futebol que não é rico não joga no Brasil e não joga mal
d) Algum jogador de futebol é rico mas joga no Brasil ou joga mal
e) Nenhum jogador de futebol que é rico joga no Brasil ou joga mal
20. Em uma empresa todos os funcionários têm mais de 20 anos e nenhum
funcionário tem mais de 60 anos. A negação dessa proposição é:
a) Pelo menos um funcionário tem menos de 20 anos ou algum funcionário tem mais
de 60 anos.
b) Pelo menos um funcionário tem menos de 20 anos e algum funcionário tem mais
de 60 anos.
c) Nenhum funcionário tem menos de 20 anos ou algum funcionário tem mais de 60
anos.
d) Nenhum funcionário tem menos de 20 anos e algum funcionário tem mais de 60
anos.
e) Nenhum funcionário tem menos de 20 anos ou todo funcionário tem mais de 60
anos.
21. Arno, especialista em lógica, perguntou: qual a negação de “hoje é
carnaval se, e somente se, for 8 ou 9 de fevereiro”?
A resposta CORRETA é:
48
a) Hoje não é carnaval se, e somente se, não for 8 ou 9 de fevereiro.
b) Hoje não é carnaval e não é 8 nem 9 de fevereiro.
c) Hoje não é carnaval e é 8 ou 9 de fevereiro ou hoje é carnaval e não é 8 nem 9 de
fevereiro.
d) Hoje é carnaval e é 8 de fevereiro.
e) O carnaval não é no mês de fevereiro.
49
5. EQUIVALÊNCIA LÓGICA
5.1. Proposições Logicamente Equivalentes
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou
simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas
proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos.
Uma consequência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada
proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a
maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada
simbolicamente como: p ⇔ q, ou simplesmente por p = q.
Começaremos com a descriçãode algumas equivalências lógicas básicas, as
quais convêm conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas
questões.
Duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente
equivalentes quando satisfazem às duas condições seguintes:
1º – são compostas pelas mesmas proposições simples;
2º – têm tabelas-verdade Idênticas.
A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada
simbolicamente por:
A B
Equivalências Básicas:
1ª) p e p = p
Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente
2ª) p ou p = p
Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema
50
5.2. Regras de Equivalência
Da definição de equivalência lógica podem-se demonstrar as seguintes
equivalências:
 Leis de comutatividade:
1. A  B  B  A
2. A  B  B  A
3. A  B  B  A
4. A  B  B  A
 Leis de associatividade:
5. (A  B)  C  A  (B  C)
6. (A  B)  C  A  (B  C)
 Leis de distributividade:
7. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
8. A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
 Lei da dupla negação:
9. (A)  A
Daí, concluiremos ainda que:
Exemplos:
1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica
2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional
3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural
4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural
51
5.3. Equivalências da Condicional
As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância.
Inclusive, serão utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que
ficaram pendentes.
Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio
da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas
demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional:
1ª) Se p, então q = Se não q, então não p.
Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove
2ª) Se p, então q = Não p ou q.
Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no
concurso
Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização,
teremos:
10. A  B  A  B
11. A  B  B  A
Vejamos alguns exercícios resolvidos:
Ex1: Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.
Sol.: Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser
traduzida também com uso das expressões condição suficiente e condição
necessária. Lembrados? Usando essa nomenclatura, teremos que:
 a primeira parte da condicional é uma condição suficiente; e
 a segunda parte da condicional é uma condição necessária.
52
Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos
que:
 Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou
 João não passear é condição necessária Marcos não estudar.
Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções
de resposta! Daí, só nos resta uma saída: teremos que encontrar uma condicional
equivalente à esta da questão. Qual seria? Basta ver a primeira linha da Tabela 39
acima: p  q = ~q  ~p.
Teremos:
Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcos
estuda.
Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem!
Daí, agora analisando esta condicional equivalente, concluiremos que:
 João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou
 Marcos estudar é condição necessária para João passear.
Resposta! (Letra E)
Ex2: Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente
equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Sol.: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências
da condicional para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjunção.
Relembrando as equivalências do condicional, temos a tabela abaixo:
Observe que a segunda linha da equivalência da condicional resulta numa
disjunção! Ora, podemos tentar começar a desenvolver nosso raciocínio por aí.
53
Invertendo a ordem desta segunda linha da tabela acima, concluímos que: ~p ou q
= p  q.
Daí, chamaremos André é artista ou Bernardo não é engenheiro de ~p ou q.
Assim:
 André é artista = ~p e  Bernardo não é engenheiro = q.
Encontrando agora a estrutura equivalente p  q, teremos:
“Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”.
Ocorre que esta sentença acima não figura entre as opções de resposta. Isso nos
leva a concluir que teremos ainda que mexer com essa condicional, encontrando
uma condicional equivalente a ela. Daí, usaremos a equivalência da primeira linha
da tabela acima: p  q = ~q  ~p. Teremos, pois que:
 “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro” é o mesmo que:
 “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista”
Resposta! (Letra D)
Ex3: Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista
lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
Sol.: Aqui também teremos que transformar uma disjunção em uma condicional. Já
sabemos, pela resolução da questão anterior, que poderemos usar a seguinte
equivalência: ~p ou q = p  q.
Teremos, pois que:
 Pedro não é pedreiro = ~p
 Paulo é paulista = q
Daí, a condicional equivalente a esta disjunção será a seguinte:
 Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
Resposta! (Letra A)
54
5.4. Equivalências da Bicondicional
12. A  B  (A  B)  (B  A)
13. A  B  (A  B)
Equivalência entre “nenhum” e “todo”:
Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito frequentes em questões de
prova. É uma equivalência simples, e de fácil compreensão. Vejamos:
1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B
Exemplo: Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (=Todo médico não
é louco)
2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B
Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é
bela)
Colocando essas equivalências numa tabela, teremos:
5.5. Outras equivalências
Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as seguintes:
1ª) p e (p ou q) = p
Exemplo: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista
2ª) p ou (p e q) = p
Exemplo: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista
Por meio das tabelas-verdade, estas equivalências também podem ser facilmente
demonstradas. Para auxiliar nossa memorização, criaremos a tabela seguinte:
55
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA!
1. A proposição – se José presta assistência ao dirigente das unidades
prisionais, então ele é aprovado no concurso – tem como uma equivalente
a proposição,
a) se José é aprovado no concurso, então ele presta assistência ao dirigente das
unidades prisionais.
b) José presta assistência ao dirigente das unidades prisionais e é aprovado no
concurso.
c) José é aprovado no concurso ou presta assistência ao dirigente das unidades
prisionais.
d) se José não é aprovado no concurso, então ele não presta assistência ao
dirigente das unidades prisionais.
e)José não é aprovado no concurso e não presta assistência ao dirigente das
unidades prisionais.
2. A proposição composta p → p ∧q é equivalente à proposição:
a) p v q
b) p ∧ q
c) p
d) ~ p v q
e) q
3. Para a resolução das questões de números 84 e 85, considere a seguinte
notação dos conectivos lógicos:
∧para conjunção, ∨para disjunção e ¬ para negação.
Considerando a proposição ¬(p ∨q), assinale a alternativa que apresenta
uma proposição que lhe seja equivalente.
a) ¬ p∧ ¬ q
b) p ∨ q
c) ¬ p ∨ q
d) ¬ p
e) ¬ q
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4. A proposição “se o freio da bicicleta falhou, então não houve
manutenção" é equivalente à proposição
a) o freio da bicicleta falhou e não houve manutenção.
b) o freio da bicicleta falhou ou não houve manutenção
c) o freio da bicicleta não falhou ou não houve manutenção.
d) se não houve manutenção, então o freio da bicicleta falhou.
e) se não houve manutenção, então o freio da bicicleta não falhou.
5. Considere a proposição “Se as plantas são regadas, então elas não
morrem”.
Uma proposição equivalente a essa é
a) Se as plantas morrem, então elas não são regadas.
b) Se as plantas não são regadas, então elas morrem.
c) Se as plantas não morrem, então elas são regadas.
d) As plantas não morrem e elas são regadas.
e) As plantas morrem ou elas são regadas.
6. Considere as proposições: p = “Ana gosta de frutas" e q = “A lâmpada
está acesa". Assim, a proposição ~ ( p ∨q) é equivalente a
a) Ana não gosta de frutas e a lâmpada está acesa.
b) Ana gosta de frutas, mas a lâmpada não está acesa.
c) Ana gosta de frutas e a lâmpada não está acesa.
d) Ana não gosta de frutas ou a lâmpada está acesa.
e) Ana não gosta de frutas e a lâmpada não está acesa.
7. Uma proposição logicamente equivalente a “João não recebeu seu
salário ou Maria gastou todo o dinheiro” está corretamente indicada na
seguinte alternativa opção:
a) Se João recebeu seu salário, então Maria não gastou todo o dinheiro.
b) Se Maria gastou todo o dinheiro, então João recebeu seu salário.
c) Se Maria não gastou todo o dinheiro, então João recebeu seu salário.
d) Se João recebeu seu salário, então Maria gastou todo o dinheiro.
57
8. Considere a seguinte proposição: "Se uma pessoa não faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu
desempenho profissional."
Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:
a) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz
cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
b) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e
não melhora o seu desempenho profissional.
c) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz
cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
d) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
e) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
9. Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas repectivas negações.
Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se e
somente G.
a) F implica G e ~G implica F.
b) F implica G e ~F implica ~G.
c) Se F então G e se ~F então G.
d) F implica G e ~G implica ~F.
e) F se e somente se ~G.
10. Considere a seguinte proposição:
“Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de
aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira.”
Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:
a) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou
ele participa de projetos de aperfeiçoamento.
b) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então
ele progride na carreira.
58
c) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de
aperfeiçoamento e não progride na carreira.
d) Um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de projetos
de aperfeiçoamento.
e) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride
na carreira.
11. A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é logicamente
equivalente a:
a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico.
b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico.
c) Paulo é médico ou Ana trabalha.
d) Ana trabalha e Paulo não é médico.
e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha.
12. Julgue os itens a seguir tendo como base a seguinte proposição P: “Se eu
for barrado pela lei da ficha limpa, não poderei ser candidato nessas eleições,
e se eu não registrar minha candidatura dentro do prazo, não concorrerei a
nenhum cargo nessas eleições”.
A proposição P é logicamente equivalente a “Se eu for barrado pela lei da ficha
limpa ou não registrar minha candidatura dentro do prazo, não poderei concorrer
a nenhum cargo nessas eleições”.
( ) CERTO ( ) ERRADO
13. A proposição “Um engenheiro de som é desnecessário em um filme se,
e somente se, o filme em questão é mudo” é logicamente equivalente a “Um
engenheiro de som é desnecessário e o filme em questão é mudo ou um
engenheiro de som é necessário e o filme em questão não é mudo”.
( ) CERTO ( ) ERRADO
14. Considere as proposições a e b e assinale a expressão que é
logicamente equivalente a .
a)
59
b)
c)
d)
e) a
15. A proposição "um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado
for par" equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro
não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um
número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
16. Uma proposição logicamente equivalente a “todo ato desonesto é
passível de punição" é a seguinte:
a) todo ato passível de punição é desonesto
b) todo ato não passível de punição é desonesto
c) se um ato não é passível de punição, então não é desonesto
d) se um ato não é desonesto, então não é passível de punição
17. Um jovem, visando ganhar um novo smartphone no dia das crianças,
apresentou à sua mãe a seguinte argumentação: “Mãe, se tenho 25 anos, moro
com você e papai, dou despesas a vocês e dependo de mesada, então eu não
ajo como um homem da minha idade. Se estou há 7 anos na faculdade e não
tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho
um mínimo de maturidade. Se não ajo como um homem da minha idade, sou
tratado como criança. Se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado
como criança. Logo, se sou tratado como criança, mereço ganhar um
novo smartphone no dia das crianças”.
Com base nessa argumentação, julgue os itens a seguir.
60
A proposição “Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como
criança, e se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança” é
equivalente a “Se não ajo como um homem da minha idade ou não tenho um
mínimo de maturidade, sou tratado como criança”.
( ) CERTO ( ) ERRADO
18. Determinado aluno resolveu definir um conectivo, para utilizar em seus
estudos com tabelas verdade, da seguinte forma:
o conectivo * é tal que sua tabela verdade é idêntica à tabela verdade da
proposição “se p então não p ou q". Em consequência, a proposição p * r
equivale à proposição
a) não p ou não r
b) Se r então p
c) se p então r
d) p e r
e) p ou r
19. Considere a seguinte proposição P: ( ∃X ∈A) ( ¬ p (X) → q (X) ∧r (X) ).
Assinale a alternativa que contém uma proposição equivalente a ¬ P.
a)
b)
c)
d)
e)
20. Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.
a) As proposições~(p ∧ q) e (~p ∨ ~ q) não são logicamente equivalentes.
b) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está
bom", é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está
bom".
c) A proposição ~[p ∨ ~(p ∧ q)] é logicamente falsa.
d) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta", é logicamente equivalente à
proposição “Não está quente e ele usa camiseta".
e) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular" é falsa.
61
6. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
6.1. Argumento
Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições
P1, P3, ... P,,, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual
chamamos de conclusão do argumento.
{P1, P2,...Pn} C
No lugar dos termos “premissa” e “conclusão” podem ser usados os
correspondentes “hipótese” e “tese”, respectivamente.
6.2. Silogismo
Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como
premissas e a outra como conclusão, é denominado silogismo.
{P1, P2}  C
Assim é exemplo de silogismo o seguinte argumento:
P1: Todos os atletas são altos.
P2: Todos os altos gostam de flores.
C: Todos os atletas gostam de flores.
6.2.1. Silogismos Categóricos
Um silogismo é denominado categórico quando:
1o – é composto por três proposições categóricas;
2o – as três proposições categóricas devem conter, ao todo, três termos;
3o – cada um dos termos deve ocorrer exatamente em duas das três
proposições que compõem o silogismo.
Exemplo: No silogismo:
P1– Todo homem é persistente.
P2 – Neto é um homem.
C – Neto é persistente.
Os três termos são:homem – que ocorre nas duas premissas, P1 e P2;
persistente – que ocorre na primeira premissa e na conclusão;
Neto – que ocorre na segunda premissa e na conclusão.
62
 Termos de um Silogismo
Cada um dos termos que ocorrem num silogismo categórico tem um nome
especial:
• Termo médio – é aquele que ocorre nas duas premissas.
• Termo maior – é o termo que ocorre como predicado da conclusão.
• Termo menor – é o termo que ocorre como sujeito da conclusão.
6.3. Argumento Válido
Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem
construído quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu
conjunto de premissas.
Posto de outra forma:
Um argumento é válido quando, ao assumirmos as premissas do argumento
como verdadeiras, a verdade da conclusão fica logicamente estabelecida.
Isto significa que, num argumento válido, jamais poderemos ter uma
conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras.
É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tão-somente
da validade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são
realmente verdadeiras ou não.
Deste modo, ao se discutir a validade de um argumento é irrelevante saber
se as premissas são realmente verdadeiras ou nulo.
Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas
verdadeiras e verificar se isso obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira.
Exemplo: Considere o silogismo:
“Todos os pardais adoram jogar xadrez.
Nenhum enxadrista gosta de óperas.
Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”
Este silogismo está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo),
sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a verdade das premissas seja
questionável.
63
Op = Conjunto dos que gostam de Óperas
X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez
P = Conjunto dos pardais
Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P
(pardais) pode pertencer ao conjunto Op (os que gostam de Óperas).
6.4. Argumento Inválido
Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal
construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para
garantir a verdade da conclusão.
Exemplo: O silogismo:
“Todos os alunos do curso, passaram.
Maria não á aluna do curso.
Portanto, Mania não passou.”
é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não
garantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo).
P = Conjunto das pessoas que passaram.
C = Conjunto dos alunos do curso.
m = Maria.
Pelo diagrama vê-se que Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do
curso.
(a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam
passado).
Na tabela abaixo podemos ver um resumo das situações possíveis para um
argumento:
64
Se um argumento é... e as premissas... então a conclusão será:
Válido
(bem construído)
são todas verdadeiras
Necessariamente
Verdadeira.
não são todas
verdadeiras
ou Verdadeira
ou Falsa.
Inválido
(mal construído)
são todas verdadeiras
ou Verdadeira
ou Falsa.
não são todas
verdadeiras
ou Verdadeira
ou Falsa.
Vamos agora resumir em um quadro os métodos de resolução de um argumento.
65
Vejamos alguns exercícios resolvidos:
1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
Sol.: (Opção E) Dizer que “todos os bons estudantes são pessoas tenazes” equivale
a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos
todos os bons estudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas
tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
2. Todo baiano gosta de axé music. Sendo assim:
a) Todo aquele que gosta de axé music é baiano.
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de axé music.
c) Todo aquele que não gosta de axé music não é baiano.
d) Algum baiano não gosta de axé music.
e) Alguém que não goste de axé music é baiano.
Sol.: (Opção C) Assumindo que “todo baiano gosta de axé music” podemos dizer
que o conjunto dos baianos (conjunto B) encontra-se completamente dentro do
conjunto dos que gostam de axé music (conjunto A). Qualquer um que esteja fora
do conjunto A não poderá estar no conjunto B pois B está dentro de A. Mas todos
os que não gostam de axé music estão fora do conjunto A. Logo, todos os que não
gostam de axé music estão fora do conjunto B. Ou seja: todo aquele que não gosta
de axé music não é baiano.
3. Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então
Cláudia é conservadora. Sabe-se que Cláudia não é conservadora. Nestas
condições, pode-se concluir que:
a) Ana não é benevolente.
66
b) Bruna não é altruísta.
c) Ana não é conservadora.
d) Cláudia não é altruísta.
e) Ana não é altruísta.
Sol.: (Opção E) Esta questão faz uso de uma estrutura bem conhecida na Lógica: a
cadeia de proposições condicionais - A implica B que implica C ... Por outro lado,
toda vez que uma proposição condicional como “Se A então B” for verdadeira, será
verdadeira também “Se não B então não A”(repare a ordem!), onde não B e não A
são as negações das proposições B e A, respectivamente. Deste modo, quando
sabemos que “Se A então B” e sabemos que B não ocorre, podemos concluir que A
também não ocorre. Neste problema podemos representar a cadeia de proposições
condicionais dada como A implica B que implica C que implica D. Como temos a
negação de D, teremos também não C, não B e não A, consecutivamente. Ou seja:
Cláudia não é conservadora, Bruna não é benevolente e Ana não é altruísta. As
demais opções não podem ser aceitas como conclusões pois não há dados
suficientes no enunciado para decidir se são verdadeiras ou se são falsas.
4. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) algum atleta é celta;
b) nenhum atleta é celta;
c) nenhum atleta é bondoso;
d) alguém que seja bondoso é celta;
e) ninguém que seja bondoso é atleta.
Sol.: (Opção B) Sejam A = o conjuntodos atletas, B o conjunto das pessoas
bondosas e C o conjunto dos celtas. De acordo com o enunciado, o conjunto A está
totalmente dentro de B, pois “todo atleta é bondoso”. O conjunto C está
completamente fora de B, pois “nenhum celta é bondoso”. Sendo assim, os conjunto
A e C não podem ter qualquer elemento em comum, pois o primeiro está dentro de B
e o segundo, fora. Ou seja: Nenhum atleta é celta.
67
5. Se chove então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio.
b) Fazer frio é condição suficiente para chover
c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio.
d) Chover é condição suficiente para fazer frio.
e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover
Sol.: (Opção D) Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e de
suficiência e às relações destes conceitos com as proposições condicionais. Como
já vimos, numa proposição condicional “Se A então B” a ocorrência de A implica
(obriga) a ocorrência de B. Então dizemos que A é uma condição suficiente para a
ocorrência de B, ou, simplesmente, que A é suficiente para B. Por outro lado,
sabemos que a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A, ou seja: sem a
ocorrência de e, certamente A também não ocorreria. Por este motivo, dizemos que
B é uma condição necessária para a ocorrência de A, ou, simplesmente, que B é
necessária para A. No contexto da questão isto nos dará que “Chuva é condição
suficiente para frio” e que “Frio é condição necessária para chuva”.
6. Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia.
Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um
argumento logicamente válido, uma vez que:
a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.
Sol.: Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto,
imediata.
Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa,
tão somente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das
premissas!
É o que diz a opção A  Resposta!
68
7. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não
é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga
de Carol. Logo,
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.
Sol.: O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são
apresentadas abaixo:
P1. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol.
P2. Carmem não é cunhada de Carol.
P3. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol.
Da mesma forma que já fizemos em diversas soluções de questões, vamos
traduzir simbolicamente as frases acima, a fim de tornar a solução mais rápida. Para
isso, vamos definir as seguintes proposições simples:
A = Carina é amiga de Carol
B = Carina é cunhada de Carol
C = Carmem é cunhada de Carol
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. A → C
P2. ~C
P3. ~B → A
Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo:
1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do
conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das
proposições simples (A, B e C).
Veja o procedimento sequencial feito abaixo:
a) Começamos pela 2ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e,
portanto, só possui uma forma de ser verdadeira.
P1. A → C
P2. ~C⇒Como ~C é verdade, logo C é F
69
P3. ~B → A
Resultado: O valor lógico de C é F.
b) Substitua C pelo seu valor lógico F
P1. A → F ⇒para que a condicional seja verdade é necessário que A tenha valor
lógico F
P2. ~F
P3. ~B → A
Resultado: O valor lógico de A é F.
c) Substitua A pelo seu valor lógico F
P1. F → F
P2. ~F
P3. ~B → F⇒para que a condicional seja verdade é necessário que ~B tenha valor
lógico
F, e daí B é V.
Resultado: O valor lógico de B é V.
- Em suma:
A é F , significa que: “Carina é amiga de Carol” é falso.
Daí: (“Carina não é amiga de Carol” é verdade)
B é V , significa que: “Carina é cunhada de Carol” é verdade.
C é F , significa que: “Carmem é cunhada de Carol” é falso.
Daí: (“Carmem não é cunhada de Carol” é verdade)
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a
alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.
Não há necessidade de traduzirmos as frases das alternativas da questão para
linguagem simbólica. Observemos como é fácil descobrir a alternativa correta:
falso falso
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. → falso
70
verdade verdade
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. → verdade
falso falso
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. → falso
falso falso
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. → falso
falso verdade
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. →falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a letra “B” → Resposta!
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA!
1. Considere que todo técnico sabe digitar. Alguns desses técnicos sabem
atender ao público externo e outros desses técnicos não sabem atender ao
público externo. A partir dessas afirmações é correto concluir que
a) os técnicos que sabem atender ao público externo não sabem digitar.
b) os técnicos que não sabem atender ao público externo não sabem digitar.
c) qualquer pessoa que sabe digitar também sabe atender ao público externo.
d) os técnicos que não sabem atender ao público externo sabem digitar.
e) os técnicos que sabem digitar não atendem ao público externo.
2. Considere verdadeiras as afirmações a seguir:
I. Laura é economista ou João é contador.
II. Se Dinorá é programadora, então João não é contador.
III. Beatriz é digitadora ou Roberto é engenheiro.
IV. Roberto é engenheiro e Laura não é economista.
A partir dessas informações é possível concluir, corretamente, que
a) Beatriz é digitadora.
b) João é contador.
c) Dinorá é programadora.
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d) Beatriz não é digitadora.
e) João não é contador.
3. É verdade que todo engenheiro sabe matemática. É verdade que há
pessoas que sabem matemática e não são engenheiros. É verdade que
existem administradores que sabem matemática. A partir dessas
afirmações é possível concluir corretamente que
a) qualquer engenheiro é administrador.
b) todos os administradores sabem matemática.
c) alguns engenheiros não sabem matemática.
d) o administrador que sabe matemática é engenheiro.
e) o administrador que é engenheiro sabe matemática.
4. Se Ana gosta de Beto, então Beto ama Carla. Se Beto ama Carla, então
Débora não ama Luiz. Se Débora não ama Luiz, então Luiz briga com
Débora. Mas Luiz não briga com Débora. Assim:
a) Ana gosta de Beto e Beto ama Carla.
b) Débora não ama Luiz e Ana não gosta de Beto.
c) Débora ama Luiz e Ana gosta de Beto.
d) Ana não gosta de Beto e Beto não ama Carla.
e) Débora não ama Luiz e Ana gosta de Beto.
5. Sobre as atividades fora de casa no domingo, Carlos segue fielmente as
seguintes regras:
- Ando ou corro.
- Tenho companhia ou não ando.
- Calço tênis ou não corro.
Domingo passado Carlos saiu de casa de sandálias.
É correto concluir que, nesse dia, Carlos:
a) correu e andou;
b) não correu e não andou;
c) andou e não teve companhia;
d) teve companhia e andou;
72
e) não correu e nãoteve companhia.
6. Se sou violento, então gosto de moqueca. Se não sou brasileiro, então
não gosto de moqueca. Não sou brasileiro, logo:
a) sou brasileiro.
b) não sou violento.
c) sou violento.
d) sou violento e não gosto de moqueca.
e) gosto de moqueca.
7. Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:
“Algum maranhense é pescador.”
“Todo maranhense é trabalhador.”
Assim pode-se afirmar, do ponto de vista lógico, que:
a) Algum maranhense pescador não é trabalhador
b) Algum maranhense não pescar não é trabalhador
c) Todo maranhense trabalhador é pescador
d) Algum maranhense trabalhador é pescador
e) Todo maranhense pescador não é trabalhador.
8. Considere verdadeiras as afirmações abaixo.
I. Ou Bruno é médico, ou Carlos não é engenheiro.
II. Se Durval é administrador, então Eliane não é secretária.
III. Se Bruno é médico, então Eliane é secretária.
IV. Carlos é engenheiro.
A partir dessas afirmações, pode-se concluir corretamente que
a) Eliane não é secretária e Durval não é administrador.
b) Bruno não é médico ou Durval é administrador.
c) se Eliane não é secretária, então Bruno não é médico.
d) Carlos é engenheiro e Eliane não é secretária.
e) se Carlos é engenheiro, então Eliane não é secretária.
73
9. Um argumento válido para: “Se João estudou, então Paulo foi aprovado
no concurso. Se Paulo foi aprovado no concurso, então Ana não é
dentista”, é:
a) Se João estudou, então Ana é dentista.
b) Se João não estudou, então Ana não é dentista.
c) Se João não estudou, então Ana é dentista.
d) Se João estudou, então Ana não é dentista.
e) Se João não estudou, então Paulo não foi aprovado no concurso.
10. Considere as afirmações:
Se Janete sair mais cedo, então Clara ficará trabalhando até mais tarde.
Se Dalva não for trabalhar, então Janete sairá mais cedo.
Dalva não foi trabalhar.
A partir das afirmações é correto concluir que:
a) Clara ficou trabalhando até mais tarde.
b) Janete não foi trabalhar.
c) Dalva foi trabalhar.
d) Janete não saiu mais cedo.
e) Clara não foi trabalhar.
11. Se corro e pedalo aos domingos, então será feriado na segunda-feira
seguinte. Uma conclusão lógica dessa condicional é:
a) Se não corro aos domingos, então também não pedalo.
b) Se hoje é feriado, então ontem corri e pedalei.
c) Se corro e pedalo, então é feriado no dia seguinte.
d) Se hoje não corri e não pedalei, então hoje não é domingo.
e) Se uma segunda-feira não é feriado, então não corri ou não pedalei no dia
anterior.
12. Considere o seguinte argumento lógico:
p1: ou Rafaela pega um táxi ou Cíntia não vai ao cinema de carro;
p2: Rafaela compra pipoca se e somente se Cíntia também comprar;
p3: Cíntia vai ao cinema de carro se e somente se tiver dinheiro para a
gasolina; e,
74
P4: ou Cíntia tem dinheiro para a gasolina ou compra pipoca.
Sabendo‐se que Cíntia não tem dinheiro para a gasolina, conclui‐se que:
a) Cíntia e Rafaela vão ao cinema de carro.
b) Cíntia não pega um táxi, mas vai ao cinema de carro.
c) Cíntia não vai ao cinema de carro, nem compra pipoca.
d) Nem Rafaela pega um táxi, nem Cíntia vai ao cinema de carro.
13. A bota é preta, ou o sapato é branco ou o tênis é verde. Se o sapato é
branco, então o chinelo é marrom. Se a sapatilha é dourada, então o chinelo
não é marrom. Se o tênis é verde, então a sapatilha não é dourada. Ora,
a sapatilha é dourada. Então:
a) A bota é preta, o sapato é branco e o tênis não é verde;
b) A bota não é preta, o sapato não é branco e o tênis é verde;
c) A bota não é preta, o sapato é branco e o tênis não é verde;
d) A bota é preta, o sapato não é branco e o tênis não é verde.
14. Qual dos argumentos é válido?
a) Natália vai à praia se Beto for. Logo, Natália não vai a praia, pois Beto não vai.
b) Jorge ou Antônia gostam de ir à praia. Assim, Jorge gosta de ir à praia, pois
Antônia também gosta.
c) Se Joana não estuda, então dorme cedo. Sabe-se que Joana estuda. Logo, Joana
não dorme cedo.
d) Pedro é nutricionista. Se Pedro cuida de sua saúde, então é nutricionista. Logo,
Pedro cuida de sua saúde.
e) Se Paula não é médica, então não pode prescrever medicamentos. Como Paula
pode prescrever medicamentos, ela é médica.
15. Considere verdadeiras as afirmações:
− Daniel não bebe cerveja.
− Se André prefere doces, então Bernardo bebe água.
− Se Caio gosta de feijoada, então Daniel bebe cerveja.
− Bernardo bebe água ou Caio gosta de feijoada.
A partir dessas afirmações é possível concluir, corretamente, que
a) Bernardo não bebe água ou André não prefere doces.
75
b) Caio gosta de feijoada e Bernardo bebe água.
c) André prefere doces e Daniel não bebe cerveja.
d) Caio não gosta de feijoada ou André prefere doces.
e) Caio não gosta de feijoada e Daniel bebe cerveja.
16. Considerem-se os seguintes argumentos:
ARGUMENTO DE JOÃO: “Se eu ganhar um aumento, então não me casarei.
Eu me casarei e terei um filho. Logo, terei um filho se, e somente se, ganhar
um aumento."
ARGUMENTO DE MARIA: “Se eu me formar, então conseguirei um emprego.
Portanto, se eu não me formar, então não conseguirei um emprego."
Os argumentos de João e de Maria são, respectivamente, classificados
como:
a) válido e válido
b) inválido e válido
c) inválido e inválido
d) válido e inválido
17. Considere verdadeiras as premissas I, II e III.
I. Se Cláudio é médico, então Ana é advogada.
II. Se Marcelo é professor, então Débora é dentista.
III. Ana não é advogada ou Débora não é dentista.
A alternativa que contém uma conclusão que pode ser associada às
premissas apresentadas, de modo a constituir um argumento válido, é:
a) Marcelo não é professor.
b) Cláudio é médico e Débora não é dentista.
c) Marcelo é professor e Ana é advogada.
d) Cláudio não é médico ou Marcelo não é professor.
e) Cláudio é médico e Marcelo é professor.
18. Assinale a opção que apresenta um argumento lógico válido.
a) Todos os garotos jogam futebol e Maria não é um garoto, então Maria não joga
futebol.
b) Não existem cientistas loucos e Pedro não é louco. Logo, Pedro é um cientista.
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c) O time que ganhou o campeonato não perdeu nenhum jogo em casa, o vice-
colocado também não perdeu nenhum jogo em casa. Portanto, o campeão é o vice-
colocado.
d) Todas as aves são humanas e nenhum cachorro é humano, logo nenhum
cachorro é uma ave.
e) Em Brasília moram muitos funcionários públicos, Gustavo é funcionário público.
Logo, Gustavo mora em Brasília.
19. Sobre os amigos Marcos, Renato e Waldo, sabe-se que:
I - Se Waldo é flamenguista, então Marcos não é tricolor;
II - Se Renato não é vascaíno, então Marcos é tricolor;
III - Se Renato é vascaíno, então Waldo não é flamenguista.
Logo, deduz-se que:
a) Marcos é tricolor;
b) Marcos não é tricolor;
c) Waldo é flamenguista;
d) Waldo não é flamenguista;
e) Renato é vascaíno.
20. Considere as afirmações: Se Paula é uma boa amiga, então Vagner diz a
verdade. Se Vagner diz a verdade, então Helen não é uma boa aluna. Se
Helen não é uma boa aluna, então Paula é uma boa amiga. A análise do
encadeamento lógico da argumentação contida nessas três afirmações
permite concluir que elas:
a) implicam necessariamente que Paula é uma boa amiga;
b) são consistentes entre si, quer Paula seja uma boa amiga, quer Paula não seja
uma boa amiga;
c) implicam necessariamente que Vagner diz a verdade e que Helen não é uma boa
aluna;
d) são equivalentes a dizer que Paula não é uma boa amiga;
e) acarretam necessariamente que Helen é uma boa aluna.
77
7. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
7.1. Tautologia
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ...
será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos
valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição compostaé uma
Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-
verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma
Tautologia. Só isso!
Exemplo: A proposição (A ∧ B) → (A ∨ B) é uma tautologia, pois é sempre
verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode
observar No exemplo abaixo:
Exemplo: A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre
verdadeira independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode
observar na tabela-verdade a seguir:
A B A e B A ou B (A e B)  (A ou B)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Observemos que o valor lógico da proposição composta (A ∧B) → (A ∨B), que
aparece na última coluna, é sempre verdadeiro.
Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p∨q)∧(p∧s)] → p .
Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma
tautologia:
78
Demonstrado! Observemos que o valor lógico da proposição composta
[(p∨q)∧(p∧s)]→p, que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro
independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem.
7.2. Contradição
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma
contradição se e somente se ela for sempre falsa, independentemente dos valores
lógicos das proposições que a compõem.
Portanto, quando uma proposição composta for uma contradição, a última
coluna de sua tabela-verdade será o valor lógico F (falso) em todas as suas linhas.
Exemplo:
A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição, pois é sempre
falsa, independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode
observar na tabela-verdade abaixo:
A A A A
V F F
F V F
O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer A e sua negação, A,
nunca serão ambas verdadeiras nem ambas falsas.
OBS: A negação de uma Tautologia é sempre uma contradição.
e
A negação de uma contradição é sempre uma tautologia.
79
Exemplo 2:
A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme
verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
Observe que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que
aparece na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso,
independentemente dos valores lógicos que p e q assumem.
7.3. Contingência
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma
contingência se e somente se for possível que ela seja verdadeira tanto quanto
que ela também seja falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições que a
compõem.
Assim, quando uma proposição composta for uma contingência a última
coluna de sua tabela-verdade deverá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo
menos uma vez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos uma vez.
Exemplo:
A proposição “Se A então B” é uma contingência, e será Falsa quando A for
Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos.
Exemplo:
A proposição "p  (p∧q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos
valores lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
80
E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma
tautologia e nem é uma contradição! Por isso! Vejamos agora algumas questões de
concurso sobre isso.
Vejamos alguns exercícios resolvidos:
Ex1: Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o
candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a
afirmação da proposição caracteriza:
A) um silogismo.
B) uma tautologia.
C) uma equivalência.
D) uma contingência.
E) uma contradição.
Sol.: Com a finalidade de montarmos a tabela verdade para verificar se a proposição
apresentada no enunciado da questão é uma tautologia ou uma contradição,
definiremos a seguinte proposição simples:
p : o candidato A será eleito
Então, a sentença “o candidato A será eleito OU não será eleito” passará ser
representada simbolicamente como: p∨~p .
Construindo a tabela- verdade, teremos que:
81
Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta
o valor lógico Verdadeiro, estamos inequivocamente diante de uma Tautologia. A
alternativa correta é a letra B.
Passemos a mais uma questão.
Ex2: Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Sol.: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes
proposições simples:
p : João é alto.
q : Guilherme é gordo.
Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q, as
alternativas da questão poderão ser reescritas simbolicamente como:
a) p → (p∨q) (=se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo).
b) p → (p∧q) (=se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo).
c) (p∨q) → q (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo).
d) (p ∨q)→(p ∧q) (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e
Guilherme é gordo).
e) (p∨~p) → q (=se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo).
O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que seja
uma Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de
resposta.
Teste da alternativa “a”: p → (p∨q)
82
Pronto! Mal começamos, e já chegamos à resposta! Observemos que a última
coluna da tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros! Com
isso, concluímos: a proposição da opção A – Se João é alto, então João é alto ou
Guilherme é gordo – é uma Tautologia!
Daí: Resposta: Letra A!
Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B:
Teste da alternativa B: p → (p∧q)
Como podemos observar na última coluna da tabela-verdade acima, o valor
lógico da proposição p → (p ∧ q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a
concluir, portanto, que esta proposição não é uma tautologia, nem uma contradição,
mas, sim, a chamada contingência.
Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão
acima:
Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo “→”, ou seja,
todas as proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo “→” só
temos o valor lógico falso quando na proposição condicional o antecedente for
verdade e o consequente for falso. Sabendo que uma tautologia sempre tem valor
lógico verdade, então dentre as proposições condicionais apresentadas nas
alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o consequente
falso será uma tautologia.
- Análise do item ‘a’: p → (p∨q)
Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o
consequente será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta
proposição é uma tautologia.
A questão terminou, mas vamos analisar os restantes.
83
- Análise do item ‘b’: p → (p∧q)
Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o conseqüente
será verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode
assumir os valores lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia.
- Análise do item ‘c’: (p∨q) → q
O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser
verdade ou falso, e daí o consequente que é dado por q também pode ser
verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma
tautologia.
- Análise do item ‘d’: (p∨q) → (p∧q)
O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser
verdade ou falso, e portanto o consequente também pode ser verdade ou falso,
logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.
- Análise do item ‘e’: (p∨~p) → q
Observem que o antecedenteé sempre verdade independente do valor lógico de p,
já o consequente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto,
concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA!
1. Considere a tabela-verdade:
p ~p p ↔ ~p
V F F
F V F
Assinale a alternativa correspondente:
a) Contradição e contingência.
b) Contingência.
c) Tautologia.
d) Tautologia e contradição.
e) Contradição.
84
2. Assinale a alternativa que contém a classificação correta para a
proposição “Ao lançar-se uma moeda para cima, a face coroa cairá virada
para cima ou não cairá virada para cima''
a) Contradição.
b) Tautologia.
c) Equivalência
d) Conectivo
3. Considere a seguinte proposição:
“Ao participar de um concurso público, João será aprovado ou não será
aprovado.”
Do ponto de vista lógico, a proposição acima é um exemplo de:
a) tautologia
b) silogismo
c) contradição
d) equivalência
4. Um enunciado é uma tautologia quando não puder ser falso. Assinale a
alternativa que contém um enunciado que é uma tautologia.
a) Está chovendo e não está chovendo.
b) Está chovendo.
c) Se está chovendo, então não está chovendo.
d) Está chovendo ou não está chovendo.
e) Não está chovendo.
5. Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma tautologia.
a) p ∨ q → q
b) p ∧ q → q
c) p ∧ q ↔ q
d) (p ∧ q) ∨ q
e) p ∨ q ↔ q
85
6. Sejam p e q duas proposições lógicas simples e E uma expressão
composta a partir de p e q, exclusivamente. Sabe-se que a expressão E é
logicamente equivalente à expressão [(p ˄ q) ˅ ((~p) ˅ (~q))].
A expressão lógica E é um(a)
a) absurdo
b) contradição
c) contigência
d) demonstração
e) tautologia
7. Sejam p e q proposições. Das alternativas abaixo, apenas uma é
tautologia. Assinale-a.
a)
b)
c)
d)
e)
8. Diz-se que uma proposição composta A implica numa proposição
composta B, se:
a) a conjunção entre elas for tautologia
b) o condicional entre elas, nessa ordem, for tautologia.
c) o bicondicional entre elas for tautologia
d) A disjunção entre elas for tautologia.
9. Considere as seguintes proposições:
(I) ~(p V ~q)
(II) (p ^ q) → (p V q)
(III) (p → q) → (p ^ q)
Identifique a opção correta.
a) Somente I e III são tautologias.
b) I, II e III são tautologias.
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c) Somente III é uma tautologia.
d) Somente I é uma tautologia.
e) Somente II é uma tautologia
10. Assinale a alternativa que apresenta uma tautologia.
a)
b)
c)
d)
e)
11. Sabe-se que p e q são proposições e ~p e ~q suas respectivas
negações, então podemos dizer que (~p v q) ~q é uma:
a) Tautologia.
b) Equivalência.
c) Contradição.
d) Contingência.
e) Implicação.
12. Dentre as alternativas a única verdadeira é:
a) Uma proposição p implica numa proposição q, se o bicondicional p <-> q é uma
tautologia.
b) Uma proposição p equivale a uma proposição q, se o condicional p -> q é uma
tautologia.
c) Uma proposição p implica numa proposição q, se o condicional p -> q é uma
tautologia.
d) Uma proposição p equivale a uma proposição q, se o bicondicional p -> q é uma
contingência.
13. Acerca de proposições e seus valores lógicos, assinale a alternativa
que NÃO apresenta uma tautologia.
a) (A ∧ B) → ( A ∨ B)
87
b) ~ ( A ∨ B) → (~ A ∨ B )
c) (A ∧ ~ B) → ~ ( A ∧ B )
d) ( A ∧ B ) ∨ ( ~ B → A )
e) A ∨ ~ A
14. Dentre as alternativas a única incorreta é:
a) Uma proposição p equivale a uma proposição q, se o bicondicional p q é uma
tautologia.
b) Uma proposição p equivale a uma proposição q, se o condicional p → q é uma
tautologia.
c) Uma proposição p implica numa uma proposição q, se o condicional p → q é uma
tautologia.
d) A disjunção entre duas proposições é verdadeira se uma das duas proposições
for verdadeira.
e) A conjunção entre duas proposições é falsa se uma das proposições for falsa.
15. Dadas duas proposições simples, p e q, uma das leis de De Morgan
perpassa a tautologia
[ ~ ( p ∧q ) ] ↔ [ ( ~ p ) ∨( ~ q ) ]
Essa tautologia é logicamente equivalente à expressão.
a) [ ~ (( ~ p ) ∧ ( ~ q )) ] ↔ [ p ∨ q ]
b) [ ~ (( ~ p ) ∨ ( ~ q )) ] ↔ [ p ∨ q ]
c) [ ~ (( ~ p ) ∧ ( ~ q )) ] ∧↔ [ p q ]
d) [ ( ~ p )∧ ∧ ( ~ q ) ] ↔[ ~ ( p q ) ]
e) [ ( ~ p )∨ ∨ ( ~ q ) ] ↔ [ ~ ( p q ) ]
16. Considere as seguintes proposições: (p ∧r) → q, p ∨q, q' onde q' é a
negação de q.
Assinale a alternativa correta.
a) As alternativas são contraditórias, já que não poderiam ser verdadeiras ao mesmo
tempo.
b) A proposição r' é uma consequência das proposições dadas, uma vez que (p∧r)
→ q∧p∨q∧q' ) → r' é uma tautologia.
88
c) As três proposições dadas podem ser verdadeiras, mesmo quando p é falsa.
d) A proposição q' → (p∨q) é uma tautologia.
e) As três proposições podem ser falsas ao mesmo tempo.
17. Com relação à lógica proposicional, julgue os itens que se seguem,
considerando que P e Q sejam proposições adequadas.
A expressão é uma tautologia.
( ) CERTO ( )ERRADO
18. Considerando os símbolos normalmente usados para representar os
conectivos lógicos, julgue o item seguinte, relativos a lógica proposicional
e à lógica de argumentação. Nesse sentido, considere, ainda, que as
proposições lógicas simples sejam representadas por letras maiúsculas.
A expressão é uma tautologia.
( ) CERTO ( )ERRADO
19. A proposição “João comprou um carro novo ou não é verdade que João
comprou um carro novo e não fez a viagem de férias.” é:
a) um paradoxo.
b) um silogismo.
c) uma tautologia.
d) uma contradição.
e) uma contingência.
20. A proposição “Carlito vai ao parque de diversões ou não é verdade que
Carlito vai ao parque de diversões e Florinda não vai ao cinema” é:
a) uma contradição.
b) uma tautologia.
c) uma contingência.
d) um paradoxo.
e) um silogismo.
89
8. DIAGRAMAS LÓGICOS
Um diagrama lógico é um esquema que busca representar as relações
existentes entre as diversas partes que compõem uma proposição.
O modelo mais comum para diagramas lógicos é o dos diagramas de Venn-
Euler.
Neste capitulo aprofundaremos nossos estudos a respeito dos digramas
lógicos estudando uma variação do modelo de Venn-Euler, o que nos permitirá unta
representação mais precisa do que aquela vista anteriormente.
8.1. Diagrama Lógico da Negação
Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for representada pelo
conjunto A, então a negação “não A” corresponderá ao conjunto complementar de
A.
8.2. Diagrama Lógico da Conjunção
Se a proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um
diagrama, a conjunção “A  B” corresponderá à interseção do conjunto A com o
conjunto B, A  B.
8.3. Diagrama Lógico da Disjunção
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um
diagrama, a disjunção “A  B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto
B.
90
8.4. Diagrama Lógico da Disjunção Exclusiva
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um
diagrama, a disjunção exclusiva “A  B” corresponderá à união da parte do conjunto
A que não está em B (A – B) com a parte do conjunto B que não está em A (B – A).
(A – B)  (B – A)
Observe que isto equivale à diferença entre a união e a interseção dos
conjuntos A e B.
(A  B) – (A  B)
8.5. Diagramas Lógicos da Condicional “A B”
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um
diagrama, a proposição condicional “Se A então B” poderá ser indicada como a
inclusão do conjunto A no conjunto B (A está contido em B).
8.6. Diagramas Lógicos da Bicondicional
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um
diagrama, a proposição bicondicional “A se e somente se B”, corresponderá à
igualdade dos conjuntos A e B.
91
8.7. Diagramas de Carroll
Os diagramas de Carroll são tabelas retangularespara organizar dados
ou objetos segundo critérios de sim/não. O nome atribuído a estes diagramas é
uma homenagem a Lewis Carroll, matemático e escritor inglês, que gostava muito
de problemas de lógica e de jogos matemáticos.
Assim, o diagrama de Carrol é outra forma de representar a informação
recolhida ou de analisá-la. Este tipo de diagrama divide o plano em quatro (ou mais)
regiões associando a cada uma delas dois atributos:
 Um na direção vertical;
 Outro na direção horizontal.
Esse tipo de diagrama é bastante utilizado nas questões que envolvem
homens e mulheres, fumantes e não fumantes, pessoas que usam óculos e pessoas
que não usam óculos, etc.
Exemplo:
Foi realizada uma entrevista com 45 candidatos que pretendem ocupar uma
vaga no escritório de uma empresa. Sabe-se que do total de candidatos, 33
são do sexo masculino, 28 usam óculos e 10 são do sexo feminino e não
usam óculos. Assim, o número de candidatos entrevistados que são do
sexo masculino e usam óculos é igual a
a) 33.
b) 7.
c) 26.
d) 2.
e) 10.
92
Sol.: Os dados que a questão deu estão em negrito.
O restante foi só completar a tabela.
C/ óculos S/ óculos TOTAL
Masc. 26 7 33
Fem. 2 10 12
____________________________________
TOTAL 28 17 45
GAB. C
É HORA DE COLOCAR EM PRÁTICA!
1. Dentre os moradores de certa vila de casas, sabe-se que 36 deles gostam
de assistir à TV, 47 gostam de ir à academia e 23 gostam dos dois. Se 92
moradores opinaram, então o total deles que não gostam nem de TV e nem
de ir à academia é:
a) 32
b) 55
c) 14
d) 36
e) 43
2. Uma lanchonete fez uma pesquisa com 42 clientes sobre a preferência
entre dois lanches, sendo que cada cliente respondeu uma única vez. O
resultado foi o seguinte: 23 clientes preferem hambúrguer, 6 clientes
preferem tanto hambúrguer quanto bauru, e 9 clientes optaram por nenhum
dos dois lanches. Desse modo, o total de clientes que preferem somente
bauru é igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
93
3. Uma papelaria fez uma pesquisa de mercado entre 500 de seus clientes.
Nessa pesquisa encontrou os seguintes resultados:
• 160 clientes compraram materiais para seus filhos que cursam o Ensino Médio;
• 180 clientes compraram materiais para seus filhos que cursam o Ensino
Fundamental II;
• 190 clientes compraram materiais para seus filhos que cursam o Ensino
Fundamental I;
• 20 clientes compraram materiais para seus filhos que cursam o Ensino Médio e
Fundamental I;
• 40 clientes compraram materiais para seus filhos que cursam o Ensino Médio e
Fundamental II;
• 30 clientes compraram materiais para seus filhos que cursam o Ensino
Fundamental I e II; e,
• 10 clientes compraram materiais para seus filhos que cursam o Ensino Médio,
Fundamental I e II.
Quantos clientes da papelaria compraram materiais, mas os filhos NÃO
cursam nem o Ensino Médio e nem o Ensino Fundamental I e II?
a) 50.
b) 55.
c) 60.
d) 65.
4. Sejam os conjuntos numéricos: A = {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6, 8}; C = {1, 2,
10, 20} e (o conjunto vazio). Considerando tais informações, marque a
alternativa correta.
a) B ∩ C =
b) A ∩ B = {1, 2}.
c) A - B = {1, 3, 5, 7, 20}.
d) (A - C) ∩ (B - C) =
e) A ∩ C = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 20}.
94
5. Uma pesquisa foi realizada em um colégio com 600 alunos, sobre a
preferência em relação aos sucos A e B, vendidos na cantina. O resultado
foi o seguinte:
- 270 alunos bebem o suco A.
- 220 alunos bebem o suco B.
- 160 alunos não bebem suco.
Quantos alunos bebem tanto o suco A quanto o B?
a) 40 alunos
b) 50 alunos
c) 60 alunos
d) 65 alunos
6. Numa academia de ginástica, 120 frequentadores praticam natação ou
musculação. Sabe-se que 72 praticam natação e 56 praticam musculação.
Desse modo, o total de frequentadores que praticam somente musculação
é:
a) 8
b) 64
c) 52
d) 36
e) 48
7. Numa pesquisa sobre a preferência entre dois esportes, chegou-se ao
seguinte resultado: 130 (cento e trinta) gostavam de vôlei, 85 (oitenta e
cinco) gostavam de vôlei e basquete e 70 (setenta) gostavam de somente
um dos dois. Se todos os entrevistados escolheram pelo menos um dos
esportes, então o total de pessoas que gostam somente de basquete é de:
a) 35
b) 45
c) 15
d) 55
e) 25
95
8. Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, é correto afirmar que se
a) A∪ B = A, então B é subconjunto de A.
b) A − B = A, então necessariamente B é vazio.
c) A − B = B − A, então as cardinalidades de A e B são distintas.
d) A ∪∩ B = A B, então as cardinalidades de A e B são distintas.
e) A ∩ B = A, então B é o conjunto vazio e A é um conjunto não vazio.
9. Assinale a alternativa correta em relação ao Diagrama de Venn da figura.
a) Para qualquer coisa, se é B então é A.
b) Para qualquer coisa, se é A então é B.
c) Todas as coisas são B.
d) Todas as coisas são A.
e) Ninguém é A.
10. Uma estatística sobre o perfil dos inscritos em um concurso público
revelou que 60% são homens e 40% são mulheres, entre eles 80% dos
homens possuem curso superior e 30% das mulheres não possuem curso
superior. Qual a porcentagem dos candidatos que já possuem curso
superior?
a) 40%
b) 50%
c) 62%
d) 76%
e) 82%
96
11. Ao todo são 92 pessoas entre Arquitetos (A), Urbanistas (U) e
Engenheiros (E).
Considere as informações a seguir, com as respectivas legendas, e
sabendo que uma pessoa pode exercer mais de uma dessas funções.
I. São A e U apenas, 15 pessoas.
II. São A e E apenas, 12 pessoas.
III. São E e U apenas, 7 pessoas.
IV. Dentre aqueles que exercem apenas uma dessas funções, há quatro
Urbanistas a mais que Arquitetos, e quatro Engenheiros a mais que
Urbanistas.
V. Os que exercem apenas uma função, ao todo, são quatro pessoas a
menos do que aqueles que exercem as três funções.
A partir dessas informações é correto determinar que o número total de
engenheiros é
a) 60.
b) 63.
c) 61.
d) 64.
e) 62.
12. Dos animais que vivem em um determinado zoológico verificou-se que:
• 41% são carnívoros;
• 51% são mamíferos;
• 36% vivem em grupo;
• 7% são mamíferos e carnívoros, mas não vivem em grupo;
• 5% são carnívoros e vivem em grupo, mas não são mamíferos; e,
• 8% são mamíferos e vivem em grupo, mas não são carnívoros.
Se apenas 12 animais são mamíferos, carnívoros e vivem em grupo, então o
número de animais desse zoológico que vivem em grupo mas não são
carnívoros é:
a) 65.
b) 69.
97
c) 77.
d) 81.
13. Foi realizada uma pesquisa entre os clientes de um restaurante, sobre
três pratos típicos maranhenses.
T = torta de camarão maranhense.
C = caldeirada maranhense.
G = galinhada.
Eles votaram em pelo menos um de cada prato típico acima, e o resultado
foi o seguinte:
Qual o número total de clientes, que votaram em apenas um dos três pratos
típicos?
a) 354
b) 600
c) 468
d) 300
e) 432
14. A respeito de operações com conjuntos, assinale a alternativa correta
considerando que A e B sejam conjuntos quaisquer.
a) Se A tem 3 elementos e B tem 5 elementos, então AUB tem menos de 8
elementos.
b) Se A tem 5 elementos e B tem 7 elementos, então A∩B tem, no máximo, 3
elementos.
c) Se AUB = A∩B, então as quantidades de elementos de A e de B são diferentes.
d) Se AUB tem 12 elementos e A\B tem 8 elementos, então B tem mais de 6
elementos.
98
e) Se A tem 4 elementos, B tem 7 elementos e A∩B tem 2 elementos, então AUB
tem 9 elementos.
15. Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O
número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é
a) exatamente 16.
b) no mínimo 6.
c) exatamente 10.
d) no máximo 6.
e) exatamente 6.
16. Em uma pesquisa de mercado para o lançamento de uma nova marca de
sucos, setenta pessoas foram entrevistadas e deviam responder se
gostavam dos sabores graviola e açaí. Trinta pessoas responderamque
gostavam do sabor graviola e cinquenta pessoas responderam que
gostavam do sabor açaí.
Sobre as setenta pessoas entrevistadas, é correto concluir que
a) no máximo vinte não gostam de graviola nem de açaí.
b) no mínimo dez não gostam de graviola nem de açaí.
c) no máximo dez gostam dos dois sabores.
d) no mínimo trinta gostam dos dois sabores.
e) no máximo vinte gostam dos dois sabores.
17. Em uma escola de 100 alunos, há três recuperações durante o ano,
sendo uma em cada trimestre. Em certo ano, 55 alunos ficaram em
recuperação no 1º trimestre, 48 no 2º e 40 no 3º . Somente com esses
dados, é correto concluir que naquele ano, necessariamente,
a) pelo menos 3 alunos ficaram em recuperação no 1º e também no 2º trimestre.
b) todos os alunos da escola ficaram em recuperação em, pelo menos, um trimestre.
c) 40 alunos ficaram em recuperação em dois trimestres e os demais em um único.
d) pelo menos um aluno da escola ficou em recuperação em somente dois
trimestres.
e) no mínimo 5 e no máximo 40 alunos ficaram em recuperação nos três trimestres.
99
18. Em uma cidade do interior da Bahia, uma pesquisa foi feita sobre a
ocorrência de sintomas em pessoas infectadas pelo vírus da dengue. A
tabela a seguir mostra as respostas dos entrevistados:
Sabendo-se que 250 pessoas foram entrevistadas, pode-se afirmar que o
número total de pessoas que apresentaram somente 2 sintomas foi:
a) 120.
b) 115.
c) 75.
d) 100.
e) 200.
19. Considere verdadeiras as afirmações abaixo.
I. Todos os analistas que são advogados, são contadores também.
II. Nem todos os contadores que são advogados, são analistas também.
III. Há advogados que são apenas advogados e isso também acontece com
alguns analistas, mas não acontece com qualquer um dos contadores.
A partir dessas afirmações, é possível concluir corretamente que
a) todo analista é advogado e é também contador.
b) qualquer contador que seja analista é advogado também.
c) existe analista que é advogado e não é contador.
d) todo contador que é advogado é também analista.
e) existe analista que não é advogado e existe contador que é analista.
20. Em uma empresa trabalham homens e mulheres sendo, ao todo, 80
pessoas. Dentre elas, sabe-se que:
· 20 falam inglês;
· 45 são homens;
100
· 26 mulheres não falam inglês.
O número de homens que trabalham nessa empresa e não falam inglês é:
a) 32;
b) 34;
c) 35;
d) 37;
e) 39.
101
REFERÊNCIAS
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002;
Rocha, Enrique; Aires, Marcos. Lógica do Cotidiano: como o Raciocínio Lógico
contribui para o seu desenvolvimento profissional. 1 ed. São Paulo: Impetus, 2010;
ABDALLA, Samuel Liló. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Saraiva,
2012;
BENZECRY, Vera Syme J.; RANGEL, Kleber A. Como desenvolver o raciocínio
lógico. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008;
PAVIONE, Damares. Matemática e raciocínio lógico. São Paulo: Saraiva, 2012.
ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico: teoria e questões. 2 ed. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2006.
SÁ, Ilydio Pereira de. Raciocínio lógico: concursos públicos/formação de
professores. Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda, 2008.
102
103
CURRÍCULO DO PROFESSOR AUTOR
Wagner Alves Soares Filho é Graduado em Ciências
Contábeis pela Universidade Estadual do Piauí. É professor
de 2º e 3º graus e de pré-vestibular das disciplinas
Matemática, Trigonometria, Geometria e Álgebra. É também
professor de preparatório para concurso das disciplinas
Matemática, Matemática Financeira e Raciocínio Lógico.
Tem formação em Coaching Educacional, através do Curso
de PSC - Professional & Self Coaching pelo Instituto
Brasileiro de Coaching.
104
105
GABARITO
CAPÍTULO 1
1 C 2 E 3 D 4 D 5 A 6 D 7 A 8 E 9 E 10 B
11 C 12CERTO
13
ERRADO
14
ERRADO
15
CERTO
CAPÍTULO 2
1
ERRADO 2 A
3
ERRADO
4
ERRADO
5
ERRADO
CAPÍTULO 3
1 A 2 C 3 E 4 E 5 E 6 B 7 C 8 A 9 E 10 E
11 E 12 D 13 C 14 C 15 A 16 E 17 D 18 C 19 D 20 D
21 B
CAPÍTULO 4
1 C 2 E 3 D 4 A 5 B 6 D 7 B 8 A 9 A 10 D
11 A 12 C 13 B 14 B 15 C 16 A 17 A 18 C 19 C 20 A
21 C
CAPÍTULO 5
1 D 2 D 3 A 4 C 5 A 6 E 7 D 8 E 9 B 10 D
11 A 12CERTO
13
CERTO 14 E 15 A 16 C
17
CERTO 18 C 19 A 20 C
CAPÍTULO 6
1 D 2 B 3 E 4 D 5 D 6 B 7 D 8 C 9 D 10 A
11 E 12 D 13 D 14 E 15 D 16 D 17 D 18 D 19 D 20 B
CAPÍTULO 7
1 E 2 B 3 A 4 D 5 B 6 E 7 C 8 B 9 E 10 A
11 D 12 C 13 D 14 B 15 A 16 B 17CERTO
18
CERTO 19 C 20 B
CAPÍTULO 8
1 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 E 7 E 8 A 9 B 10 D
11 B 12 D 13 C 14 E 15 B 16 A 17 A 18 A 19 E 20 B