02 Matematica

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TJ-PR 
Técnico Judiciário 
 
Operações com números inteiros fracionários e decimais. Conjuntos e funções. Progressões 
aritméticas e geométricas. Logaritmos. Porcentagem e juros. Razões e proporções. Medidas de tempo. 
Equações de primeiro e segundo graus; sistemas de equações. Relações trigonométricas. Formas 
geométricas básicas. Perímetros, área e volume de figuras geométricas. Raciocínio lógico e noções de 
função exponencial. Matemática financeira. ............................................................................................. 1 
 
 
 
 
 
 
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Bons estudos! 
 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores @maxieduca.com.br 
 
CONJUNTOS 
 
Conjunto é uma reunião, agrupamento de pessoas, seres, objetos, classes…, que possuem a mesma 
característica, nos dá ideia de coleção. 
 
Noções Primitivas 
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definições: 
- Conjunto; 
- Elemento; 
- E a pertinência entre um elemento e um conjunto. 
 
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de 
conjuntos. 
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser 
uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de 
algum outro conjunto. 
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras 
minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. 
A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. 
 
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x

A. 
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. 
 
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x

A. 
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. 
 
Como representar um conjunto 
1) Pela designação de seus elementos: 
Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. 
Exemplos: 
{a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais 
{1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 
 
2) Pela sua característica 
Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos. 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: 
{x, | (tal que) x tem a propriedade P} 
Exemplos: 
- {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u} 
- {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10} 
 
Operações com números inteiros fracionários e decimais. Conjuntos e 
funções. Progressões aritméticas e geométricas. Logaritmos. 
Porcentagem e juros. Razões e proporções. Medidas de tempo. 
Equações de primeiro e segundo graus; sistemas de equações. 
Relações trigonométricas. Formas geométricas básicas. Perímetros, 
área e volume de figuras geométricas. Raciocínio lógico e noções de 
função exponencial. Matemática financeira 
 
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3) Pelo diagrama de Venn-Euler 
Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada diagrama 
de Venn. 
 
Exemplos: 
- Conjunto das vogais 
 
 
- Conjunto dos divisores naturais de 10 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos A = B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e 
escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja dizemos que estes conjuntos são distintos e 
escrevemos A ≠ B. 
Exemplos: 
1) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 
2) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade 
dos conjuntos. 
 
Tipos de Conjuntos 
 
- Conjunto Universo 
Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. 
Exemplo: 
Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. 
 
- Conjunto Vazio 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 
0 ou, simplesmente { }. 
Exemplo: 
A = {x| x é natural e menor que 0} 
 
- Conjunto Unitário 
Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. 
Exemplos: 
- Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3} 
- Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6} 
 
- Conjuntos Finitos e Infinitos 
Finito = quando podemos enumerar todos os seus elementos. Exemplo: Conjuntos dos Estados da 
Região Sudeste, S= {Rio de Janeiro, São Paulo, Espirito Santo, Minas Gerais} 
Infinito = contrário do finito. Exemplo: Conjunto dos números inteiros, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
...}. A reticências representa o infinito. 
 
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Relação de Pertinência 
A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou 

com conjunto. 
Exemplo: 
Seja o conjunto B={1, 3, 5, 7} 
* 1ϵ B, 3 ϵ B, 5 ϵ B 
* 2 
 
 B , 9 

B 
 
Subconjuntos 
Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, dizemos 
que A é subconjunto de B. 
Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas 
caraterísticas de um conjunto maior. 
Exemplos: 
- B = {2, 4} 

A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2 

 {2, 3, 4, 5, 6} e 4 

 {2, 3, 4, 5 ,6} 
 
 
- C = {2, 7, 4}

 A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 7 

{2, 3, 4, 5, 6} 
- D = {2, 3} 

 E = {2, 3}, pois 2 ϵ {2, 3} e 3 ϵ {2, 3} 
 
 
 
1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio; 
2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; 
3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 
 
Exemplo: Pegando o conjunto B acima, temos as partes de B: 
B= {{ },{2},{4},B} 
Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos então B possui 2n 
subconjuntos e, portanto, P(B) possui 2n elementos. 
Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A (exemplo acima), basta 
calcularmos aplicando o fórmula: 
Números de elementos(n)= 5 → 2n = 25 = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e ele 
próprio. 
 
Relação de inclusão 
Deve ser usada para estabelecer relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto 
é subconjunto ou não de outro conjunto. 
Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos: 
 
⊂→Está contido ⊃→Contém 
⊄→Não está contido ⊅→Não contém 
 
Operações com Conjuntos 
 
- União de conjuntos 
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A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todosos elementos que pertencem 
a A ou a B. Representa-se por A B. 
Simbolicamente: A

B = {x | x

A ou x

B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3} 

{4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} 
- {2, 3, 4} 

{3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} 
- {2, 3} 

{1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 
- {a, b}

 = {a, b} 
 
- Intersecção de conjuntos 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, 
simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A

B. Simbolicamente: A

B = {x | x 

 A e x 

 B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3, 4} 

 {3, 5} = {3} 
- {1, 2, 3} 

{2, 3, 4} = {2, 3} 
- {2, 3} 

{1, 2, 3, 5} = {2, 3} 
- {2, 4} 

{3, 5, 7} = 

 
 
Observação: Se A

B =

, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
- Propriedades dos conjuntos disjuntos 
1) A U (A ∩ B) = A 
2) A ∩ (A U B) = A 
3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 
4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
 
- Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre 
os respectivos números de elementos. 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas 
vezes. 
Observações: 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim 
a relação dada será verdadeira. 
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b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma 
eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove: 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
- Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 
1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 
2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 
3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 
4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
 
- Diferença 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A 
e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta 
observamos o que o conjunto A tem de diferente de B. 
Simbolicamente: A – B = {x | x 

 A e x 

 B} 
 
 
Exemplos: 
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}  A – B = {1, 3} e B – A =
 
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}  A – B = {1} e B – A = {4} 
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}  A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5} 
 
Note que A – B ≠ B - A 
 
- Complementar 
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B 
em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. 
 
Dizemos complementar de B em relação a A. 
 
 
Exemplos: 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
a) A = {2, 3, 4} 
A
 = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 } 
B
= {0, 1, 2} 
c) C = 

C
= S 
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Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos 
Muitos dos problemas constituem- se de perguntas, tarefas a serem executadas. Nos utilizaremos 
dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para 
resolvê-los. 
 
Exemplos: 
1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes 
resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam do 
partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam 
a pesquisa? 
Resolução pela Fórmula 
» n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
» n(A U B) = 92 + 80 – 35 
» n(A U B) = 137 
 
Resolução pelo diagrama: 
- Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos, 
então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57. 
- Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos, 
então o número de operários que gostam somente do partido B é: 80 – 35 = 45. 
- Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido B e 35 
responderam que gostam dos dois partidos políticos, então o número de pessoas que responderam à 
pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137. 
 
 
2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem 
automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo? 
(A) 16 motoristas 
(B) 32 motoristas 
(C) 48 motoristas 
(D) 36 motoristas 
Resolução: 
 
Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 
Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 
Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 
A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. 
Resposta: B 
 
3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos 
estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da 
cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas? 
(A) 20% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 33% 
(E) 35% 
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Resolução: 
 
70 – 50 = 20. 
20% utilizam as duas empresas. 
Resposta: A. 
Questões 
 
01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Dos 43 vereadores de 
uma cidade, 13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete 
dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas 
comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e 
Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número 
de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a 
(A) 15. 
(B) 21. 
(C) 18. 
(D) 27. 
(E) 16. 
 
02. (EBSERH/HU-UFS/SE - Tecnólogo em Radiologia - AOCP) Em uma pequena cidade, circulam 
apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os moradores dessa 
cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, 
quantos por centos não leem nenhum dos dois jornais? 
(A) 15% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 29% 
(E) 35% 
 
03. (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar 
documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para 
atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes 
de arquivar documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de 
classificar processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. 
Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles 
somam um total de 
(A) 58. 
(B) 65. 
(C) 76. 
(D) 53. 
(E) 95. 
 
04. (METRÔ/SP – OFICIAL LOGISTICA –ALMOXARIFADO I – FCC) O diagrama indica a distribuição 
de atletas da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse 
país conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da 
delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo 
tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país 
ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 8A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas 
conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de 
(A) 15. 
(B) 29. 
(C) 52. 
(D) 46. 
(E) 40. 
 
05. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP) Qual é o número de 
elementos que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 31? 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
06. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP) Considere dois conjuntos 
A e B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que 
apresenta o conjunto B. 
(A) {1;2;3} 
(B) {0;3} 
(C) {0;1;2;3;5} 
(D) {3;5} 
(E) {0;3;5} 
 
07. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa biblioteca são lidos apenas 
dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que todo 
frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de 
frequentadores que leem ambos, é representado: 
(A) 26% 
(B) 40% 
(C) 34% 
(D) 78% 
(E) 38% 
 
08. (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC) Uma pesquisa, com 200 
pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se 
que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam 
as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total 
de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente 
que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a 
(A) 50. 
(B) 26. 
(C) 56. 
(D) 10. 
(E) 18. 
 
09. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa recepção, foram servidos 
os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram pastel, 7 
comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados? 
(A) 0 
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(B) 5 
(C) 1 
(D) 3 
(E) 2 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma 
pesquisa realizada com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular, 
constatou-se que 300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam as duas 
operadoras (A e B) e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
(A) 420 
(B) 650 
(C) 500 
(D) 720 
(E) 800 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
De acordo com os dados temos: 
7 vereadores se inscreveram nas 3. 
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer 
nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) 
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico. 
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram. 
Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3 
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores. 
 
Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 
 
02. Resposta: D. 
 
26 + 7 + 38 + x = 100 
x = 100 - 71 
x = 29% 
 
03. Resposta: B. 
Técnicos arquivam e classificam: 15 
Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 
Classificam e atendem: 4 
Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 
Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 - 
4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. 
Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos. 
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04. Resposta: D. 
O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. 
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três 
medalhas multiplica-se por 3. 
Intersecções: 
6 ∙ 2 = 12 
1 ∙ 2 = 2 
4 ∙ 2 = 8 
3 ∙ 3 = 9 
Somando as outras: 
2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 
 
05. Resposta: B. 
Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto 
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
10 elementos. 
 
06. Resposta: E. 
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. 
A – B são os elementos que tem em A e não em B. 
Então de A  B, tiramos que B = {0; 3; 5}. 
 
07. Resposta: B. 
 
80 – x + x + 60 – x = 100 
- x = 100 - 140 
x = 40% 
 
08. Resposta: E. 
 
92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 
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92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 
92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 
x + 462 – 280 = 200  x + 182 = 200  x = 200-182  x = 18 
 
09. Resposta: C. 
 
 
2 + 3 + 4 + x = 10 
x = 10 - 9 
x = 1 
 
10. Resposta: C. 
 
300 – 150 = 150 
270 – 150 = 120 
Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total) 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são 
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos 
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que estes números. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este 
conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos 
números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
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. 12 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P={2,3,5,7,11,13...} 
 
A construção dos Números Naturais 
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando 
também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessor de 3 é 4. 
 
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do 
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 7, 8 e 9 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número 
dado). 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência 
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação 
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também 
chamados, a sequência dos números ímpares.I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. 
 
- Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
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. 13 
-Subtração de Números Naturais 
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação 
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b 
tal que a≥ 𝑏. 
Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. 
 
- Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” 
(vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). 
 
- Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no 
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente 
obteremos o dividendo. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um 
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
 
 
 
Relações essenciais numa divisão de números naturais: 
 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
- A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente 
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! 
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
 
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. 14 
Questões 
 
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema 
de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito 
e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina 
e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e 
os pagamentos na seguinte tabela: 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI) José, funcionário 
público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 
de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o 
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 25 
(D) 50 
(E) 100 
 
04. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) 
Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar 
uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: 
(A) R$ 150,00. 
(B) R$ 175,00. 
(C) R$ 200,00. 
(D) R$ 225,00. 
 
05. PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Ontem, eu tinha 
345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e 
perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, 
depois de participar do campeonato? 
(A) 368 
(B) 270 
(C) 365 
(D) 290 
(E) 376 
 
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. 15 
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas 
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 
 
 1ª Zona 
Eleitoral 
2ª Zona 
Eleitoral 
João 1750 2245 
Maria 850 2320 
Nulos 150 217 
Brancos 18 25 
Abstenções 183 175 
(A) 3995 
(B) 7165 
(C) 7532 
(D) 7575 
(E) 7933 
 
07. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Durante um 
mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre 
as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: 
(A) 2500 
(B) 3200 
(C) 1500 
(D) 3000 
(E) 2000 
 
08. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado 
número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor 
que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, 
quantos bombons ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
09. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP) O sucessor do dobro de determinado número é 23. 
Esse mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a 
(A) 24. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em uma 
gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 
calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. 
 
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos 
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é 
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi 
(A) 3 642. 
(B) 3 828. 
(C) 4 093. 
(D) 4 167. 
(E) 4 256. 
 
 
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Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 
120 – 127 = - 7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
02. Resposta: B. 
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 
O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 
 
03. Resposta: E. 
D= dividendo 
d= divisor 
Q = quociente = 10 
R= resto = 0 (divisão exata) 
Equacionando: 
D = d.Q + R 
D= d.10 + 0  D = 10d 
Pela nova divisão temos: 
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄 , isolando Q temos: 
 
𝑄 = 
50𝑑
𝑑
2
 → 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 
 
04. Resposta: B. 
 
2100
12
= 175 
 
Cada prestação será de R$175,00 
 
05. Resposta: A. 
345 – 67 = 278 
Depois ganhou 90 
278 + 90 = 368 
 
06. Resposta: E. 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 
 
07. Resposta: D. 
15000
5
= 3000 
Cada região terá 3000 voluntários. 
 
08. Resposta: E. 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
09. Resposta: A. 
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. 
(11 + 1)2 = 24 
 
10. Resposta: D. 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 
5000 / 6 = 833 + resto 2. 
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. 17 
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram 
na conta de divisão. 
Assim, são 4167 calendários perfeitos. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
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. 18 
 
 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
está repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
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Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é 
denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
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. 20 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 
. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (-
13)8 : (-13)6 = (-13)8 –6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto 
que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9
 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 
9
 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8
 = 2, pois 2³ = 8. 
(b) 
3 8
 = –2, pois (–2)³ = -8. 
(c) 
3 27
= 3, pois 3³ = 27. 
(d) 
3 27
 = –3, pois (–3)³ = -27. 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 21 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso 
 z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01 (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados 
e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades 
educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” 
e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse 
suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a 
maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número 
inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC) Em um jogo de 
tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: 
Carla Mateus 
1ª Partida Ganhou 520 pontos 1ª Partida Perdeu 280 pontos 
2ª Partida Perdeu 220 pontos 2ª Partida Ganhou 675 pontos 
3ª Partida Perdeu 485 pontos 3ª Partida Ganhou 295 pontos 
4ª partida Ganhou 635 pontos 4ª partida Perdeu 115 pontos 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 22 
05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE - 
UFT) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante 
uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era 
de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento 
naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
Curitiba +240 
Rio de Janeiro -194 
+158 
Brasília -108 
+94 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes 
o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, 
em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa 
R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele 
levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no 
oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 
25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 23 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D. 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C. 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575– 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B. 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D. 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E. 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D. 
420 : 35 = 12 meses 
 
09. Resposta: D. 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E. 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 24 
MDC 
 
O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de 
todos os números dados. Consideremos: 
 
- o número 18 e os seus divisores naturais: 
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 
 
- o número 24 e os seus divisores naturais: 
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
 
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: 
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}. 
 
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, 
ou seja: MDC (18, 24) = 6. 
 
Outra técnica para o cálculo do MDC: 
 
Decomposição em fatores primos 
Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente. 
Exemplo: 
 
 
MMC 
 
O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo 
comum de todos os números dados. Consideremos: 
 
- O número 6 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 
 
- O número 8 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} 
 
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: 
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...} 
 
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, 
ou seja: MMC (6, 8) = 24 
 
Outra técnica para o cálculo do MMC: 
 
Decomposição isolada em fatores primos 
Para obter o MMC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
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. 25 
- O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior 
expoente. 
Exemplo: 
 
O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: 
 
MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Um professor quer guardar 60 provas amarelas, 72 provas verdes e 48 provas roxas, 
entre vários envelopes, de modo que cada envelope receba a mesma quantidade e o menor número 
possível de cada prova. Qual a quantidade de envelopes, que o professor precisará, para guardar as 
provas? 
(A) 4; 
(B) 6; 
(C) 12; 
(D) 15. 
 
02. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) O policiamento em uma praça da cidade é realizado por 
um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira: 
 
Grupo Intervalo de passagem 
Policiais a pé 40 em 40 minutos 
Policiais de moto 60 em 60 minutos 
Policiais em viaturas 80 em 80 minutos 
 
Toda vez que o grupo completo se encontra, troca informações sobre as ocorrências. O tempo mínimo 
em minutos, entre dois encontros desse grupo completo será: 
(A) 160 
(B) 200 
(C) 240 
(D) 150 
(E) 180 
 
03. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens 
partem 2,4 em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se 
dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse dia em que 
partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, 
(A) 10 minutos e 48 segundos. 
(B) 7 minutos e 12 segundos. 
(C) 6 minutos e 30 segundos. 
(D) 7 minutos e 20 segundos. 
(E) 6 minutos e 48 segundos. 
 
04. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Fernanda divide as despesas de um 
apartamento com suas amigas. À Fernanda coube pagar a conta de água a cada três meses, a conta de 
luz a cada dois meses e o aluguel a cada quatro meses. Sabendo-se que ela pagou as três contas juntas 
em março deste ano, esses três pagamentos irão coincidir, novamente, no ano que vem, em 
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. 26 
(A) fevereiro. 
(B) março. 
(C) abril. 
(D) maio. 
(E) junho. 
 
05. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Marcelo é encarregado de dividir as entregas 
da empresa em que trabalha. No início do seu turno, ele observou que todas as entregas do dia poderão 
ser divididas igualmente entre 4, 6, 8, 10 ou 12 entregadores, sem deixar sobras. 
Assinale a alternativa que representa o menor número de entregas que deverão ser divididas por ele 
nesse turno. 
(A) 48 
(B) 60 
(C) 80 
(D) 120 
(E) 180 
 
06. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em janeiro 
de 2010, três entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A, B e C, realizaram bazares beneficentes para 
arrecadação de fundos para obras assistenciais. Sabendo-se que a entidade A realiza bazares a cada 4 
meses (isto é, faz o bazar em janeiro, o próximo em maio e assim sucessivamente), a entidade B realiza 
bazares a cada 5 meses e C, a cada 6 meses, então a próxima vez que os bazares dessas três entidades 
irão coincidir no mesmo mês será no ano de 
(A) 2019. 
(B) 2018. 
(C) 2017. 
(D) 2016. 
(E) 2015. 
 
07. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Osvaldo é responsável pela manutenção das 
motocicletas, dos automóveis e dos caminhões de sua empresa. Esses veículos são revisados 
periodicamente, com a seguinte frequência: 
Todas as motocicletas a cada 3 meses; 
Todos os automóveis a cada 6 meses; 
Todos os caminhões a cada 8 meses. 
Se todos os veículos foram revisados, ao mesmo tempo, no dia 19 de maio de 2014, o número mínimo 
de meses para que todos eles sejam revisados juntos novamente é: 
(A) 48 
(B) 32 
(C) 24 
(D) 16 
(E) 12 
 
08. (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP) Dois produtos líquidos A 
e B estão armazenados em galões separados. Em um dos galões há 18 litros do produto A e no outro, 
há 42 litros do produto B. Carlos precisa distribuir esses líquidos, sem desperdiçá-los e sem misturá-los, 
em galões menores, de forma que cada galão menor tenha a mesma quantidade e o maior volume 
possível de cada produto. Após essa distribuição, o número total de galões menores será 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
09. (UNIFESP – Mestre em Edificações - Infraestrutura – VUNESP) Uma pessoa comprou um 
pedaço de tecido de 3 m de comprimento por 1,40 m de largura para confeccionar lenços. Para isso, 
decide cortar esse tecido em pedaços quadrados, todos de mesmo tamanho e de maior lado possível. 
Sabendo que não ocorreu nenhuma sobra de tecido e que o tecido todo custou R$ 31,50, então o preço 
de custo, em tecido, de cada lenço foi de 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 27 
(A) R$ 0,30. 
(B) R$ 0,25. 
(C) R$ 0,20. 
(D) R$ 0,15. 
(E) R$ 0,10. 
 
10. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP) Iniciando seu treinamento, dois ciclistas partem 
simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. Mantendo velocidades constantes, Lucas demora 
18 minutos para completar cada volta, enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. Sabe-se que 
às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez, desde o início do treinamento. 
Desse modo, é correto afirmar que às 8 h 25 min, Daniel já havia completado um número de voltas igual 
a 
(A) 2.(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5 
(E) 7. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Fazendo o mdc entre os números teremos: 
60 = 2².3.5 
72 = 2³.3³ 
48 = 24.3 
Mdc(60,72,48) = 2².3 = 12 
60/12 = 5 
72/12 = 6 
48/12 = 4 
Somando a quantidade de envelopes por provas teremos: 5 + 6 + 4 = 15 envelopes ao todo. 
 
02. Resposta: C. 
Devemos achar o mmc (40,60,80) 
 
 
 
𝑚𝑚𝑐(40,60,80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 
 
03. Resposta: B. 
Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o mmc(18,24) e dividir por 10, assim 
acharemos os minutos 
 
 
 
Mmc(18,24)=72 
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. 28 
Portanto, será 7,2 minutos 
1 minuto---60s 
0,2--------x 
x = 12 segundos 
Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos 
 
04. Resposta: B. 
Devemos fazer o m.m.c. (3, 2, 4) = 12 meses 
Como ela pagou as três contas juntas em MARÇO, após 12 meses, pagará as três contas juntas 
novamente em MARÇO. 
 
05. Resposta: D. 
m.m.c. (4, 6, 8, 10, 12) = 120 
 
06. Resposta: E. 
m.m.c. (4, 5, 6) = 60 meses 
60 meses / 12 = 5 anos 
Portanto, 2010 + 5 = 2015 
 
07. Resposta: C. 
m.m.c. (3, 6, 8) = 24 meses 
 
08. Resposta: C. 
m.d.c. (18, 42) = 6 
Assim: 
* Produto A: 18 / 6 = 3 galões 
* Produto B: 42 / 6 = 7 galões 
Total = 3 + 7 = 10 galões 
 
09. Resposta: A. 
m.d.c. (140, 300) = 20 cm 
* Área de cada lenço: 20 . 20 = 400 cm² 
* Área Total: 300 . 140 = 42000 cm² 
42000 / 400 = 105 lenços 
31,50 / 105 = R$ 0,30 (preço de 1 lenço) 
 
10. Resposta: B. 
m.m.c. (15, 18) = 90 min = 1h30 
Portanto, às 9h10, Daniel completou: 90 / 15 = 6 voltas. 
Como 9h10 – 8h25 = 45 min, equivale à metade do que Daniel percorreu, temos que: 
6 / 2 = 3 voltas. 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. 
Podemos dizer então que: 
 
“30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” 
Um número natural a é divisível por um número natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal 
que c . b = a. 
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. 
 
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela 
sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números 
da sucessão dos naturais: 
 
7 x 0 = 0 
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. 29 
7 x 1 = 7 
7 x 2 = 14 
7 x 3 = 21 
7 x 4 = 28 
7 x 5 = 35 
⋮ 
 
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 
14, 21, 28,...}. 
 
Observações: 
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. 
- Todo número natural é múltiplo de 1. 
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. 
- O zero é múltiplo de qualquer número natural. 
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2k 
(k

N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k

 
N). 
O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k

 Z. 
 
Critérios de divisibilidade 
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão. 
 
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando 
ele é par. 
Exemplos: 
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par. 
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1, e não é par. 
 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos é divisível por 3. 
Exemplos: 
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. 
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um 
número divisível por 4. 
Exemplos: 
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. 
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. 
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. 
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. 
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). 
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). 
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. 
 
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. 30 
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número, multiplicado 
por 2, subtraído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Neste, o processo será 
repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7. 
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ; 
417 – 4 = 413 → 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7. 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou 
formarem um número divisível por 8. 
Exemplos: 
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. 
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 
8. 
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é 
divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos formam um número divisível por 9. 
Exemplos: 
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. 
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em 
zero. 
Exemplos: 
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. 
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. 
 
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos 
de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou 
quando essas somas forem iguais. 
Exemplos: 
 - 43813: 
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 
15.) 
 4 3 8 1 3 
 2º 4º  Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 
 
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. 
 
-83415721: 
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 
 8 3 4 1 5 7 2 1 
 2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 
 
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11. 
 
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). 
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11). 
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). 
 
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 650430 é divisívelpor 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). 
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2). 
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). 
 
 
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. 31 
Fatoração numérica 
Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos. Para decompormos um número 
natural em fatores primos, dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo, após pegamos o quociente 
e dividimos o pelo seu menor divisor, e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. O produto de 
todos os fatores primos representa o número fatorado. 
Exemplo: 
 
Divisores de um número natural 
Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada: 
12 = 22 . 31 
 O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. 
Logo o número de divisores de 12 são: 
22⏟
(2+1)
. 31⏟
(1+1)
 → (2 + 1) .(1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais 
 
Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu 
respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na 
decomposição do número natural. 
Exemplo: 
12 = 22 . 31 → 22 = 20,21 e 22 ; 31 = 30 e 31, teremos: 
20 . 30=1 
20 . 31=3 
21 . 30=2 
21 . 31=2.3=6 
22 . 31=4.3=12 
22 . 30=4 
O conjunto de divisores de 12 são: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 
 
Observação 
Para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12, basta multiplicarmos o resultado por 2 (dois 
divisores, um negativo e o outro positivo). 
Assim teremos que D(12) = 6.2 = 12 divisores inteiros. 
 
Questões 
 
01. (Fuvest-SP) O número de divisores positivos do número 40 é: 
(A) 8 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 20 
 
02. (Professor/Pref.Itaboraí) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto 
dos mesmos 96. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 10 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 32 
03. (Pedagogia/DEPEN) Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e 
pertencentes ao conjunto A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser formados sob tais 
condições é: 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 8 
(E) 10 
 
04. (Pref.de Niterói) No número a=3x4, x representa um algarismo de a. Sabendo-se que a é divisível 
por 6, a soma dos valores possíveis para o algarismo x vale: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 8 
(D) 12 
(E) 15 
 
05. (BANCO DO BRASIL/CESGRANRIO) Em uma caixa há cartões. Em cada um dos cartões está 
escrito um múltiplo de 4 compreendido entre 22 e 82. Não há dois cartões com o mesmo número escrito, 
e a quantidade de cartões é a maior possível. Se forem retirados dessa caixa todos os cartões nos quais 
está escrito um múltiplo de 6 menor que 60, quantos cartões restarão na caixa? 
(A)12 
(B)11 
(C)3 
(D)5 
(E) 10 
 
06. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – Motorista – ZAMBINI/2016) Na sequência matemática a 
seguir, os dois próximos números são 
65 536 ; 16 384 ; 4 096 ; 1 024 ; _________ ; ________ 
(A) 256 e 64 
(B) 256 e 128 
(C) 128 e 64 
(D) 64 e 32 
 
07. (BRDE-RS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural positivo. 
I) 10n + 2 
II) 2 . 10n + 1 
III) 10n+3 – 10n 
 
Quais são divisíveis por 6? 
(A) apenas II 
(B) apenas III 
(C) apenas I e III 
(D) apenas II e III 
(E) I, II e III 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos decompor o número 40 em fatores primos. 
40 = 23 . 51 ; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente: 
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores 
de 40. 
 
02. Resposta: D. 
Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: 
MDC (A, B). MMC (A, B) = A.B, temos que MDC (A, B) = 4 e o produto entre eles 96, logo: 
4 . MMC (A, B) = 96 → MMC (A, B) = 96/4 → MMC (A, B) = 24, fatorando o número 24 temos: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 33 
24 = 23 .3 , para determinarmos o número de divisores, pela regra, somamos 1 a cada expoente e 
multiplicamos o resultado: 
(3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 
 
03. Resposta: D. 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par 
também, e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3. 
Logo os finais devem ser 4 e 6: 
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números. 
 
04. Resposta: E. 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 
quando a sua soma for múltiplo de 3. 
3 + x + 4 = .... os valores possíveis de x são 2, 5 e 8, logo 2 + 5 + 8 = 15 
 
05. Resposta: A. 
Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 
4. 
Vamos enumerar todos os múltiplos de 4: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80 (15 
ao todo). 
Retirando os múltiplos de 6 menores que 60 temos: 24, 36 e 48 (3 ao todo) 
Logo: 15 – 3 = 12 
 
06. Resposta: A. 
Se dividimos 4096 por 1024, obtemos como resultado 4. Com isso percebemos que 4096 é o produto 
de 1024 x 4, e 4096 x 4 = 16384. Então fica evidente que todos os números são múltiplos de 4. Logo para 
sabermos a sequência basta dividirmos 1024/4 = 256 e 256/4 = 64. 
Com isso completamos a sequência: 256; 64. 
 
07. Resposta: C. 
n ∈ N divisíveis por 6: 
 
 I) II) III) 
N 10n + 2 2 x 10n+1 10n+3 – 10n 
1 10 + 2 = 12 20 + 1 = 21 10.000 -10 = 9.990 
2 100 + 2 = 102 200 + 1 = 201 100.000 - 100 = 99.900 
3 1.000 + 2 = 1.002 2.000 + 1 = 2.001 1.000.000 – 1.000 = 999.000 
4 10.000 + 2 = 10.002 20.000 + 1 = 20.001 10.000.000 - 10.000 = 9.990.000 
 
I) É divisível por 2 e por 3, logo é por 6. (Verdadeira) 
II) Os resultados são ímpares, logo não são por 2. (Falsa) 
III) É Verdadeira, pela mesma razão que a I 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo 
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
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. 34 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
5
2
= 0,4 
4
1
= 0,25 
4
35
= 8,75 
50
153
= 3,06 
 
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
3
1
= 0,333... 
22
1
= 0,04545... 
66
167
= 2,53030... 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: existe um período. 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 .1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
 
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. 35 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
0,9 = 
10
9
 
5,7 = 
10
57
 
0,76 = 
100
76
 
3,48 = 
100
348
 
0,005 = 
1000
5
= 
200
1
 
 
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
Exemplos: 
 
1) Seja a dízima 0, 333.... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
2) Seja a dízima 5, 1717.... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. 
 
3) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do ante período com o período. Neste caso temos um dízima periódica é 
composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um ante 
período (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2), obtemos 232, o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período, neste caso 
0(um zero). 
 
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. 36 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
b
a
 + 
d
c
 = 
bd
bcad 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o 
oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) 
b
a
 - 
d
c
 = 
bd
bcad 
 
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. 37 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
b
a
 x 
d
c
 = 
bd
ac
 
 
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para 
realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em 
toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
 
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 
1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. 
2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 
4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, 
isto é: q + 0 = q 
5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 
6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 
7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 
8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o 
próprio q, isto é: q × 1 = q 
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a
 em Q, q diferente de zero, existe : 
q-1 = 
a
b
em Q: q × q-1 = 1 
b
a
x 
a
b
 = 1 
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
a) 3
5
2






= 






5
2 . 






5
2 . 






5
2 = 
125
8
 
 
b) 3
2
1







= 







2
1 . 







2
1 . 







2
1 = 
8
1

 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 38 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
0
5
2







 = 1 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
1
4
9







 = 
4
9

 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
2
5
3








= 2
3
5







= 
9
25
 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
3
3
2






= 






3
2 . 






3
2 . 






3
2 = 
27
8
 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
2
5
1







= 







5
1 . 







5
1 = 
25
1
 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
2
5
2






. 3
5
2






= 532
5
2
5
2
5
2
.
5
2
.
5
2
.
52
.
5
2
























 
 
7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base 
a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
32525
2
3
2
3
2
3
.
2
3
2
3
.
2
3
.
2
3
.
2
3
.
2
3
2
3
:
2
3

























 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
623222222
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1



















































 ou 62.332
2
1
2
1
2
1


























 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou 2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1 = 
3
1
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 39 
2) 0,216 Representa o produto 0,6. 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0
= 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 
O número 
9
100

 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10

 como 
3
10

, quando elevados ao 
quadrado, dão 
9
100
. 
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
O número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Na escola onde 
estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como 
favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm 
ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em 
cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais 
ela recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
03. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) De um total de 180 
candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O 
número de candidatos que estuda alemão é: 
 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
04. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) Em um estado do 
Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma 
gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou 
faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 40 
05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 
 
Obtém-se 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 : 
(A) ½ 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 3 
 
06. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
 (𝐴) − 4; −1; √16; √25;
14
3
 
(𝐵) − 1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(𝐶) − 1; −4; 
14
3
; √16; ; √25 
(𝐷) − 4; −1; √16;
14
3
; √25 
(𝐸 ) − 4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x 
ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como 
resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
10. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Quando 
perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 41 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
Respostas 
01. Resposta: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Resposta: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco:100 – 58 = 42 reais 
 
03. Resposta: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
04. Resposta: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
05. Resposta: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
 
4
3 +
3
2
3
2 +
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
06. Resposta: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é : −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
07. Resposta B. 
2 + 𝑥
3 − 𝑥
= 5 
15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 42 
6𝑥 = 13 
𝑥 =
13
6
 
 
08. Resposta: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
09. Resposta: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
10. Resposta: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
67515
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
 
Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de 
várias formam o que chamamos de uma fração do todo. Para se representar uma fração são, portanto, 
necessários dois números inteiros: 
a) O primeiro, para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a 
cada parte e, por essa razão, chama-se denominador da fração; 
b) O segundo, que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e, por isso, 
chama-se numerador da fração. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos 
da fração. 
Observe a figura abaixo: 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 43 
A primeira nota dó é 14/14 ou 1 inteiro, pois representa a fração cheia; a ré é 12/14 e assim 
sucessivamente. 
 
Nomenclaturas das Frações 
 
 
Numerador → Indica quantas partes 
tomamos do total que foi dividida a 
unidade. 
 
Denominador → Indica quantas 
partes iguais foi dividida a unidade. 
 
No figura acima lê-se: três oitavos. 
 
-Frações com denominadores de 1 a 10: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos, oitavos, 
nonos e décimos. 
-Frações com denominadores potências de 10: décimos, centésimos, milésimos, décimos de 
milésimos, centésimos de milésimos etc. 
- Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e, em seguida, o 
denominador seguido da palavra “avos”. 
 
Exemplos: 
8
25
 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑜𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑎𝑣𝑜𝑠; 
 
2
100
 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠; 
 
 
Tipos de Frações 
 
- Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. 
Exemplos: 
1
6
;
5
8
;
3
4
; … 
 
- Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador. 
Exemplos: 
6
5
;
8
5
;
4
3
; … 
 
- Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. As mesmas pertencem também ao 
grupo das frações impróprias. 
Exemplos: 
6
1
;
8
4
;
4
2
; … 
 
- Frações particulares: Para formamos uma fração de uma grandeza, dividimos esta pelo 
denominador e multiplicamos pelo numerador. 
Exemplos: 
1 – Se o numerador é igual a zero, a fração é igual a zero: 0/7 = 0; 0/5=0 
2- Se o denominador é 1, a fração é igual ao denominador: 25/1 = 25; 325/1 = 325 
 
- Quando o denominador é zero, a fração não tem sentido, pois a divisão por zero é impossível. 
- Quando o numerador e denominador são iguais, o resultado da divisão é sempre 1. 
 
- Números mistos: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária. Podemos 
transformar uma fração imprópria na forma mista e vice e versa. 
Exemplos: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 44 
𝑨) 
25
7
= 3
4
7
⇒ 
 
𝑩) 3
4
7
=
25
7
⇒ 
 
 
- Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade. 
Exemplo: 
4: 4
8: 4
=
1
2
; 𝑜𝑢 
4: 2
8: 2
=
2
4
; 𝑜𝑢 
2: 2
4: 2
=
1
2
 
 
As frações 
4
8
,
2
4
 e 
1
2
 são equivalentes. 
 
-Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si. 
Exemplo: 5/11 ; 17/29; 5/3 
 
Comparação e simplificação de frações 
 
Comparação: 
- Quando duas frações tem o mesmo denominador, a maior será aquela que possuir o maior 
numerador. 
Exemplo: 5/7 >3/7 
 
- Quando os denominadores são diferentes, devemos reduzi-lo ao mesmo denominador. 
Exemplo: 7/6 e 3/7 
1º - Fazer o mmc dos denominadores → mmc(6,7) = 42 
7.7
42
 𝑒 
3.6
42
→
49
42
 𝑒 
18
42
 
2º - Compararmos as frações: 
49/42 > 18/42. 
 
Simplificação: É dividir os termos por um mesmo número até obtermos termos menores que os 
iniciais. Com isso formamos frações equivalentes a primeira. 
Exemplo: 
4: 4
8: 4
=
1
2
 
 
Operações com frações 
 
- Adição e Subtração 
Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se os numeradores. 
 
 
Com denominadores diferentes: Reduz-se ao mesmo denominador através do mmc entre os 
denominadores. 
O processo é valido tanto para adição quanto para subtração. 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 45 
 
 
 
 
Multiplicação e Divisão 
 
- Multiplicação: É produto dos numerados dados e dos denominadores dados. 
Exemplo: 
 
 
Podemos ainda simplificar a fração resultante: 
288: 2
10: 2
=
144
5
 
 
- Divisão: O quociente de uma fração é igual a primeira fração multiplicados pelo inverso da segunda 
fração. 
Exemplo: 
 
Simplificando a fração resultante: 
168: 8
24: 8
=
21
3
 
 
 
NÚMEROS DECIMAIS 
 
O sistema de numeração decimal apresenta ordem posicional: unidades, dezenas, centenas, etc. 
 
Leitura e escrita dos números decimais 
 
Exemplos: 
 
 
Lê-se: Quinhentos e setenta e nove mil, trezentos e sessenta e oito inteiros e quatrocentos e treze 
milésimos. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 46 
0,9 → nove décimos. 
5,6 → cinco inteiros e seis décimos. 
472,1256 → quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil, duzentos, cinquenta e seis décimos-
milésimos. 
 
Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa 
 
A quantidade de 
zeros corresponde 
ao números de 
casas decimais após 
a vírgula e vice-
versa (transformar 
para fração). 
 
Operações com números decimais 
 
- Adição e Subtração 
Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra: 
- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros. 
- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula embaixo de vírgula. 
- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais. 
- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados. 
 
Exemplos: 
 
 
- Multiplicação 
Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: 
- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais. 
- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às dos 
outros fatores. 
Exemplos: 
1) 652,2 x 2,03 
Disposição prática: 
 
 
2) 3,49 x 2,5 
Disposição prática: 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 47 
 
- Divisão 
Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: 
- Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor. 
- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais. 
 
Exemplos: 
1) 24 : 0,5 
Disposição prática: 
 
 
Nesse caso, o resto da divisão é igual a zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o 
quociente é exato. 
 
2) 31,775 : 15,5 
Disposição prática: 
 
 
 
Acrescentamos ao divisor a quantidade de zeros para que ele fique igual ao dividendo, e assim 
sucessivamente até chegarmos ao resto zero. 
 
3) 0,14 : 28 
Disposição prática: 
 
 
4) 2 : 16 
Disposição prática: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) João gastou R$ 23,00, equivalente a terça parte de 3/5 de sua mesada. Desse modo, 
a metade do valor da mesada de João é igual a: 
(A) R$ 57,50; 
(B) R$ 115,00; 
(C) R$ 172,50; 
(D) R$ 68,50; 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 48 
02. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Uma revista 
perdeu 
1
5
 dos seus 200.000 leitores. 
Quantos leitores essa revista perdeu? 
(A) 40.000. 
(B) 50.000. 
(C)75.000. 
(D) 95.000. 
(E) 100.000. 
 
03. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Dona Amélia e seus quatro filhos foram a 
uma doceria comer tortas. Dona Amélia comeu 2 / 3 de uma torta. O 1º filho comeu 3 / 2 do que sua mãe 
havia comido. O 2º filho comeu 3 / 2 do que o 1º filho havia comido. O 3º filho comeu 3 / 2 do que o 2º 
filho havia comido e o 4º filho comeu 3 / 2 do que o 3º filho havia comido. Eles compraram a menor 
quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. Assim, é possível calcular corretamente 
que a fração de uma torta que sobrou foi 
(A) 5 / 6. 
(B) 5 / 9. 
(C) 7 / 8. 
(D) 2 / 3. 
(E) 5 / 24. 
 
04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma pessoa está montando um quebra-cabeça que 
possui, no total, 512 peças. No 1.º dia foram montados 
5
16
 do número total de peças e, no 2.º dia foram 
montados 
3
8
 do número de peças restantes. O número de peças que ainda precisam ser montadas para 
finalizar o quebra-cabeça é: 
(A) 190. 
(B) 200. 
(C) 210. 
(D) 220. 
(E) 230. 
 
05. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24 pedaços, 
todos de mesmo tamanho. A mãe e o pai comeram juntos, ¼ do bolo. O Vitor e a sua irmã comeram, 
cada um deles, 1/4do bolo. Quantos pedaços de bolo sobraram? 
(A) 4 
(B) 6 
(C) 8 
(D) 10 
(E) 12 
 
06. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada 
uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela 
recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
07. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Certa praça tem 720 m2 de área. 
Nessa praça será construído um chafariz que ocupará 600 dm2. 
Que fração da área da praça será ocupada pelo chafariz? 
(A) 
1
600
 
 
(B) 
1
120
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 49 
(C) 
1
90
 
 
(D) 
1
60
 
 
(E) 
1
12
 
 
08. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Se 1 kg de 
um determinado tipo de carne custa R$ 45,00, quanto custará 
7
5
 desta mesma carne? 
(A) R$ 90,00. 
(B) R$ 73,00. 
(C) R$ 68,00. 
(D) R$ 63,00. 
(E) R$ 55,00. 
 
09. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou ¼ do 
salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos 
reais ainda restam? 
(A) R$ 120,00 
(B) R$ 150,00 
(C) R$ 180,00 
(D) R$ 210,00 
(E) R$ 240,00 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos chamar de x a mesada. 
Como ele gastou a terça parte 1/3 de 3/5 da mesada que equivale a 23,00. Podemos escrever da 
seguinte maneira: 
1
3
.
3
5
𝑥 =
𝑥
5
= 23 → 𝑥 = 23.5 → 𝑥 = 115 
 
Logo a metade de 115 = 115/2 = 57,50 
 
02. Resposta: A. 
1
5
 . 200000 = 40000 
 
03. Resposta: E. 
Vamos chamar a quantidade de tortas de (x). Assim: 
* Dona Amélia: 
𝟐
𝟑
 . 𝟏 = 
𝟐
𝟑
 
 
* 1º filho: 
𝟑
𝟐
 . 
𝟐
𝟑
= 𝟏 
 
* 2º filho: 
𝟑
𝟐
 . 𝟏 = 
𝟑
𝟐
 
 
* 3º filho: 
𝟑
𝟐
 . 
𝟑
𝟐
= 
𝟗
𝟒
 
 
* 4º filho: 
𝟑
𝟐
 . 
𝟗
𝟒
 = 
𝟐𝟕
𝟖
 
 
𝟐
𝟑
+ 𝟏 + 
𝟑
𝟐
 + 
𝟗
𝟒
 + 
𝟐𝟕
𝟖
 
 
𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟔 + 𝟓𝟒 + 𝟖𝟏
𝟐𝟒
= 
𝟐𝟏𝟏
𝟐𝟒
= 𝟖 .
𝟐𝟒
𝟐𝟒
+ 
𝟏𝟗
𝟐𝟒
 = 𝟖 + 
𝟏𝟗
𝟐𝟒
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 50 
Ou seja, eles comeram 8 tortas, mais 19/24 de uma torta. 
Por fim, a fração de uma torta que sobrou foi: 
 
𝟐𝟒
𝟐𝟒
− 
𝟏𝟗
𝟐𝟒
= 
𝟓
𝟐𝟒
 
 
04. Resposta: D. 
* 1º dia: 
5
16
 . 512 = 
2560
16
= 160 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 
 
* Restante = 512 – 160 = 352 peças 
 
* 2º dia: 
3
8
 . 352 = 
1056
8
= 132 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 
 
* Ainda restam = 352 – 132 = 220 peças 
 
05. Resposta: B. 
1
4
+
1
4
+
1
4
=
3
4
 
Sobrou 1/4 do bolo. 
 24 ∙
1
4
= 6 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 
 
06. Resposta: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco:100 – 58 = 42 reais 
 
07. Resposta: B. 
600 dm² = 6 m² 
 
6
720
∶ 
6
6
= 
1
120
 
 
08. Resposta: D. 
7
5
 . 45 = 7 . 9 = 63 
 
09. Resposta: B. 
Aluguel:1000 ∙
1
4
= 250 
Outras despesas: 1000 ∙
3
5
= 600 
 250 + 600 = 850 
Restam :1000 – 850 = R$ 150,00 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,...). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 51 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples: 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = -b → x = -b / a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1 
2º membro composto pelo termo x e +7 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos: 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
Registro: 
 3x – 2 = 16 
 3x = 16 + 2 
 3x = 18 
 x = 
3
18
 
 x = 6 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 52 
isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações 
feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. 
Registro: 
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2 
 
1. (10) − 3𝑥. (10) + 2. (2)
10
= 
𝑥. (10) + 1. (5)
10
 
 
10 – 30x + 4 = 10 x + 5 
-30x -10x = 5 – 10 – 4 
-40x = -9 (-1) 
40x = 9 
x = 9/40 
x = 0,225 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo;na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os 
demais termos do outro lado. 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ) Certa quantia em dinheiro foi dividida 
igualmente entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do 
restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a 
quantia dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 53 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Um funcionário de uma 
empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. 
Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Bia tem 10 anos a mais 
que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINSTRATIVO – SHDIAS) Em uma praça, Graziela 
estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da 
seguinte forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Dois amigos foram a uma 
pizzaria. O mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 
da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi 
comido, a fração da pizza que restou foi 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 54 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 
3 exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos é 65 
anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, que por 
sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais velho será, 
em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Respostas 
 
 01. Resposta: E. 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Resposta: D. 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 55 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Resposta: E. 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Resposta: A. 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Resposta: A. 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Resposta: B. 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 56 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Resposta: C. 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Resposta: E. 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Resposta: C. 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 57x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
 
- Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 58 
Exemplo: 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por (-
1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
 
 
Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveisMétodo 
prático: 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial. 
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. 59 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence 
o ponto auxiliar. 
 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele 
ao qual pertence o ponto auxiliar. 
 
 
Exemplo: 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √x < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
 
02. (ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. enfermagem/PM) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
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. 60 
04. (AUX. TRT 6ª/FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o número 525. A seguir, 
foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela 
apertou a tecla correspondente ao 6? 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
07. (SEE/AC – Professor de Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias – FUNCAB) 
Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento, Orçamento e Finanças – Ciências Contábeis – CS-
UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, R$ 100,00 para uma compra de batata e 
feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, respectivamente, na compra de batata e de feijão, a 
inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 61 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
02. Resposta: D. 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
 
03. Resposta: C. 
4x + 2 – 2 > x -12 
4x + 2x – x > -12 +2 
5x > -10 
x > -2 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Resposta: A. 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Resposta: B. 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 
11x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06 . Resposta: E. 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Resposta: B. 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Resposta: B. 
Batata = X 
Feijão = Y 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
SISTEMA DO 1º GRAU 
 
- Definição 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava 
do preço unitário dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno 
com as informações que temos? Será visto mais à frente. 
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. 62 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela 
que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
- Observações gerais 
Já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas incógnitas, como exemplo: x + y = 7; x – y 
= 30 ; x + 2y = 9 x – 3y = 15 
Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções: 
x + y = 6 x – y = 7 
 
 
Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 
e y = 2, é a solução para as duas equações. 
 
Assim, é possível dizer que as equações 
x + y = 6 
x – y = 7 
 
Formam um sistema de equações do 1º grau. 
Exemplos de sistemas: 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
- Resolução de sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
 
Exemplos: 
a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema 
x – y = 2 
x + y = 6 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x - y = 2 ; x + y = 6 
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
 
b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema 
x – y = 2 
x + y = 8 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 63 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x – y = 2 ; x + y = 8 
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro) 
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
- Métodos para solução de sistemas do 1º grau. 
 
Método de substituição 
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita 
é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
x – y = 2 
x + y = 4 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 → x = 2 + y 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y ) + y = 4 
2 + 2y = 4 → 2y = 4 – 2 → 2y = 2 → y = 1 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
Método da adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações 
fornecidas. 
Observe: 
x – y = - 2 
3x + y = 5 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
x – y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer 
para que possamos achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
3x + 2y = 4 
2x + 3y = 1 
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por +2 
» multiplica-se a 2ª equação por – 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 ( x +2) 
2x + 3y = 1 ( x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
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. 64 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
- Gráfico de um sistema do 1º grau 
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los graficamente em um plano cartesiano. A figura 
formada por esses pontos é uma reta. 
Exemplo: 
Dado x + y = 4 , vamos traçar o gráfico desta equação. Vamos atribuir valores a x e a y para 
acharmos os pontos no gráfico. 
 
 
Unindo os pontos traçamos a reta, que contém todos os pontos da equação. A essa reta damos o 
nome de reta suporte. 
 
 
Questões 
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, 
vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 
quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe 
branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370 
 
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. 65 
02. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Os cidadãos que aderem voluntariamente à 
Campanha Nacional de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de 
acordo com o tipo e calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 
armas e pagou indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 18 
 
03. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – ORIENTADOR SOCIAL – IDECAN) A razão entre a idade 
de Cláudio e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual 
a diferença entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
04. (PREF. NEPOMUCENO/MG – PORTEIRO – CONSULPLAN) Numa adega encontram-se 
armazenadas garrafas de vinho seco e suave num total de 300 garrafas, sendo que o número de garrafas 
de vinho seco excede em 3 unidades o dobro do número de garrafas de vinho suave. Assim, a 
porcentagem de garrafas de vinho seco dessa adega é igual a 
(A) 60%. 
(B) 63%. 
(C) 65%. 
(D) 67%. 
(E) 70%. 
 
05. (PETROBRAS - TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – CESGRANRIO) 
Maria vende salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, R$1,50. Ontem ela faturou 
R$95,00 vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades. 
Quantos doces Maria vendeu? 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 40 
 
06. (TRT 6ª – ANALISTA JUDICIÁRIO –ADMINISTRATIVA – FCC) Para fazer um trabalho, um 
professor vai dividir os seus 86 alunos em 15 grupos, alguns formados por cinco, outros formados por 
seis alunos. Dessa forma, sendo C o número de grupos formados por cinco e S o número de grupos 
formados por seis alunos, o produto C⋅S será igual a 
(A) 56. 
(B) 54. 
(C) 50. 
(D) 44. 
(E) 36. 
 
07. (BANCO DO BRASIL – ESCRITURÁRIO – FCC) Dos 56 funcionários de uma agência bancária, 
alguns decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3mulheres, e 1 a cada 4 
homens, totalizando 24 pessoas. 
 A razão do número de funcionárias mulheres para o número de funcionários homens dessa agência 
é de 
(A) 3 para 4. 
(B) 2 para 3. 
(C) 1 para 2. 
(D) 3 para 2. 
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. 66 
(E) 4 para 5. 
 
08. (SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC) Em um campeonato de futebol, 
as equipes recebem, em cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto 
se forem derrotadas. Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido 
apenas dois jogos e acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 
partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
 
09. (TJ/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VUNESP) Uma empresa comprou um 
determinado número de folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para 
facilitar a sua distribuição entre os diversos setores. 
Todo o material deverá ser entregue pelo fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. 
Se o fornecedor colocar 25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por 
caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi 
(A) 2200. 
(B) 2000. 
(C) 1800. 
(D )2400. 
(E) 2500. 
 
10. SEAP – AGENTE DE ESCOLTA E VIGILÂNCIA PENITENCIÁRIA – VUNESP) A razão entre o 
número de litros de óleo de milho e o número de litros de óleo de soja vendidos por uma mercearia, nessa 
ordem, foi de 5/7. Se o número total de litros de óleo vendidos (soja + milho) foi 288, então o número de 
litros de óleo de soja vendidos foi 
(A) 170. 
(B) 176. 
(C) 174. 
(D) 168. 
(E) 172. 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Amarela: x 
Vermelha: y 
Branca: z 
x = y + 50 
y = z - 30 
z = y + 30 
 {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
 
Substituindo a II e a III equação na I: 
 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 
 3𝑦 = 1040 − 80 
y = 320 
Substituindo na equação II 
x = 320 + 50 = 370 
z=320+30=350 
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 
 
02. Resposta: A. 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
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. 67 
 {
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
 
 
x = 30 – y 
Substituindo na 1ª equação: 
 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 
 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 
 300𝑦 = 3000 
 𝑦 = 10 
 𝑥 = 30 − 10 = 20 
O total de indenizações foi de 20. 
 
03. Resposta: C. 
Cláudio :x 
Otávio: y 
 
𝑥
𝑦
= 3 
 {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
 
 𝑥 + 𝑦 = 28 
3y + y = 28 
4y = 28 
y = 7 x = 21 
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 
 
04. Resposta: D. 
Vinho seco: x 
Vinho suave: y 
 {
𝑥 + 𝑦 = 300 (𝐼)
𝑥 = 2𝑦 + 3 (𝐼𝐼)
 
Substituindo II em I 
2y + 3 + y = 300 
3y = 297 
y = 99 
x = 201 
300------100% 
201-----x 
x = 67% 
 
05. Resposta: C. 
Doces: x 
Salgados: y 
{
𝑥 + 𝑦 = 55 
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Resolvendo pelo método da adição, vamos multiplicar todos os termos da 1ª equação por -1,5: 
{
−1,5𝑥 − 1,5𝑦 = −82,5
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Assim temos: 
0,5𝑦 = 12,5 
𝑦 = 25 ∴ 𝑥 = 30 
 Ela vendeu 30 doces 
 
06. Resposta: D. 
{
5𝐶 + 6𝑆 = 86
𝐶 + 𝑆 = 15
 
C = 15 – S 
Substituindo na primeira equação: 
5(15 – S) + 6S = 86 
75 – 5S + 6S = 86 
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. 68 
S = 11 
C = 15 – 11 = 4 
 𝐶 ∙ 𝑆 = 4 ∙ 11 = 44 
 
07. Resposta: A. 
Mulheres: x 
Homens: y 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 56 (. −
2
3
)
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
 
{
−
2
3
𝑥 −
2
3
𝑦 = −
112
3
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
Somando as duas equações: 
 
−
2
3
𝑦 +
1
4
𝑦 = −
112
3
+ 24 
 
mmc(3,4)=12 
 
−8𝑦 + 3𝑦 = −448 + 288 
-5y = - 160 
y = 32 
x = 24 
razão de mulheres pra homens: 
24
32
=
3
4
 
 
08. Resposta: E. 
Vitórias: x 
Empate: y 
Derrotas: 2 
Pelo método da adição temos: 
 {
𝑥 + 𝑦 + 2 = 30. (−1)
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 {
−𝑥 − 𝑦 = −28
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 
2x = 30 
x = 15 
 
09. Resposta: D. 
Total de pacotes: x 
Caixas: y 
 
𝑥
25
= 𝑦 + 16 
 
25𝑦 + 400 = 𝑥 
𝑥
30
= 𝑦 
𝑥 = 30𝑦 
 
{
25𝑦 − 𝑥 = −400
𝑥 = 30𝑦
 
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. 69 
Substituindo: 
25𝑦 − 30𝑦 = −400 
−5𝑦 = −400 
𝑦 = 80 
𝑥 = 30 ∙ 80 = 2400 
 
10. Resposta: D. 
Óleo de milho: M 
Óleo de soja: S 
 
𝑀
𝑆
=
5
7
 7𝑀 = 5𝑆 
{
𝑀 + 𝑆 = 288 . (−7)
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
{
−7𝑀 − 7𝑆 = −2016 
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
−12𝑆 = −2016 
𝑆 = 168 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação: 
 
Equação completa e incompleta: 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
Exemplos: 
x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
-3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
Exemplos: 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
Exemplo: Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
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. 70 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo: Pelo princípio multiplicativo. 
42
12


x
x
x 
 
   
   42
2
42
44.4 2




xx
x
xx
xxx 
4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2 
4x – 16 – x2 + 4x = 2x2 
– x2 + 8x – 16 = 2x2 
– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0 
– 3x2 + 8x – 16 = 0 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. 
Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vainos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 
 
2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √y ou x=-√y 
 
 
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. 71 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
1º caso 
Δ > 0 
(Positivo) 
Duas raízes reais distintas. 
a
b
x
.2
' 
 
a
b
x
.2
'' 
 
2º caso 
Δ = 0 
(Nulo) 
Duas raízes reais iguais. 
x’ = x” = 
a
b
2

 
3º caso 
Δ < 0 
(Negativo) 
Não temos raízes reais. 
 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos: 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
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. 72 
x2 – Sx + P=0 
Exemplos: 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14 → Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 
Observe que S=7 e P=12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3+4 = 7 e P = 4.3=12, logo o conjunto solução é: S={3,4} 
 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja 
uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
 (A) 1. 
 (B) 2. 
 (C) 3. 
 (D) 0. 
 (E) 9. 
 
02. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas 
raízes são 1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 
2º grau dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Temos que a raiz do 
polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
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. 73 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN) Considere a seguinte 
equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que 
a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são 
as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
(C) 1. 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² 
- 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D. 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
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. 74 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B. 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A. 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B. 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
34
2
= 17 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
 
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. 75 
06. Resposta: B. 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C. 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B. 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D. 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C. 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
S = P 
 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
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. 76 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c , para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
a > 0 
 
 
 
a < 0 
 
 
 
 
Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
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. 77 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Observe que ao montarmos no gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos. Logo: 
S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Resolvendo por Bháskara: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
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. 78 
 
 
S = {
1
3
} 
 
02. Resposta: E. 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
𝑥 =
−9±5
−2
  𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
03. Resposta: C. 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
SISTEMA DO 2º GRAU 
 
Precisamos antes de resolvermos, interpretarmos minuciosamente cada questão e depois equaciona-
las de forma a transcrever o texto em linguagem matemática. 
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. 79 
Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas de 1º grau, por adição, substituições, etc. A 
diferença é que teremos como solução um sistema pares ordenados. 
 
Uma sequencia prática para acharmos sua solução é: 
- Estabelecer o sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática; 
- Resolver o sistema de equações; 
- Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. 
 
Exemplo: 
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma área retangular de 4 m². Quais as 
medidas dos lados desse retângulo? 
 
 
 
Temos: 
Comprimento: x 
Largura: y 
 
Deduzimos acima que seu perímetro é 10 → x + y + x + y = 10 ou 2x + 2y = 10 → x + y = 5 (dividindo 
todos os termos por 2). 
E sua área é 4, como a área do retângulo é dada por largura x comprimento, temos: 
x.y = 4 
 
Montando o sistema temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥. 𝑦 = 4
 → ( isolando x na 1ª equação ) x = 5 – y,→ (substituindo na 2ª equação) (5 – y).y = 4 
 
Resolvendo: 
5y – y2 = 4 → - y2 + 5y – 4 = 0.(.-1) → y2 – 5y + 4 =0 (Temos então uma equação do 2ª grau) 
 
a = 1 ; b= -5 e c= 4 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.1. (4)
2.1
→ 𝑥 =
5 ± √25 − 16
2
 
 
𝑥 =
5 ± √9
2
 ∴ 𝑥1 =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 𝑒 𝑥2 =
5 + 3
2
=
8
2
= 4 
 
Logo : 
Se x = 1 → y=5-1 → y=4 
Se x= 4 → y = 5 -4 → y = 1 
 
Observando temos os valores 1 e 4 ,tanto para x como para y. Então as medidas dos lados são 1 e 4 
, podendo x ou y assumirem os mesmos. 
Fazendo a conferência temos: 
x + y = 5 ∴ x.y = 4 
4 + 1 = 5 4.1 = 4 
5 = 5 4 = 4 
O par ordenado (1,4) ou (4,1) satisfaz o sistema de equações. 
 
 
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. 80 
Questões 
 
01. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) A soma entre 
dois números positivos é 37. Se o produto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o 
menor número é: 
(A) 7. 
(B) 23. 
(C) 61. 
(D) 17. 
(E) 49. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) Marque, dentre 
as alternativas abaixo, a que identifica os pontos comuns aos gráficos de y = x2 + 2x e y = x + 2. 
(A) (-2, 1) e (-1,3). 
(B) (-2, 0) e (-1,3). 
(C) (2,0) e (1,3). 
(D) (-2,0) e (1,3). 
 
03. (CPTM - Médico do trabalho – Makiyama) Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade 
de Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a soma das idades de Miguel e Lucas? 
(A) 40. 
(B) 55. 
(C) 65. 
(D) 50. 
(E) 45. 
 
04. O produto de dois números inteiros e positivos é 10. O maior é igual ao dobro do menor mais 1.O 
valor desse número é: 
(A) 3 e 5 
(B) 5 e 2 
(C) 8 e 2 
(D) 2 e 3 
(E) 1 e 5 
 
05. (TJ- FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto é igual a 20, a soma de 
seus quadrados é igual a: 
(A) 30 
(B) 40 
(C) 50 
(D) 60 
(E) 80 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Sendo x e y os dois números procurados: 
x + y = 37 (I) 
x.y = 330 (II) 
isolando y na equação (I) temos x + y = 37 → y = 37 – x, substituindo na equação (II): 
x.(37 – x) = 330 
37x – x2 = 330 
x2 – 37x + 330 = 0 , a = 1; b = - 37 e c = 330 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (- 37)2 – 4.1.330 
∆ = 1369 – 1320 
∆ = 49 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2.𝑎
 → 𝑥 =
−(−37)±√49
2.1
 = 
37±7
2
 → 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 81 
𝑥 =
37+7
2
=
44
2
= 22 ou 𝑥 =
37−7
2
=
30
2
= 15 
 
Se x = 22 → y = 37 – 22 = 1522 – 15 = 7 
 
02. Resposta: D. 
Do enunciado y = x2 + 2x e y = x + 2, então: 
x2 + 2x = x + 2 
x2 + 2x – x – 2 = 0 
x2 + x – 2 = 0, a = 1, b = 1 e c = - 2 
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 12 − 4.1. (−2) 
∆ = 1 + 8 = 9 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−1±√9
2.1
 
 
𝑥 =
−1±3
2
 → 𝑥 =
−1+3
2
= 1 ou 𝑥 =
−1−3
2
= −2 
 
Se x = 1 → y = 1 + 2 = 3 (1, 3) 
Se x = - 2 → y = - 2 + 2 = 0 (-2, 0) 
 
03. Resposta: E. 
Sendo Miguel M e Lucas L: 
M.L = 500 (I) 
M = L + 5 (II) 
substituindo II em I, temos: 
(L + 5).L = 500 
L2 + 5L – 500 = 0, a = 1, b = 5 e c = - 500 
 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = 52 – 4.1.(- 500) 
∆ = 25 + 2000 
∆ = 2025 
 
𝐿 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝐿 =
−5±√2025
2.1
=
−5±45
2
 → 𝐿 =
−5+45
2
=
40
2
= 20 ou 𝐿 =
−5−45
2
=
−50
2
= −25 esta não convém pois L (idade) 
tem que ser positivo. 
Então L = 20 → M.20 = 500 → m = 500 : 20 = 25 
M + L = 25 + 20 = 45 
 
04. Resposta: B. 
Pelo enunciado temos: 
{
𝑥. 𝑦 = 10
𝑥 = 2𝑦 + 1
 → (2y+1).y = 10 → 2y2+y -10 = 0 → a= 2 ; b = 1 e c = -10 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑦 =
−1 ± √(1)2 − 4.2. (−10)
2.2
→ 𝑦 = 
−1 ± √1 + 80
4
 
 
𝑦 =
−1 ± 9
4
 ∴ 𝑦1 =
−1 − 9
4
=
−10
4
= −2,5 𝑒 𝑦2 =
−1 + 9
4
=
8
4
= 2 
 
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. 82 
Como são números positivos então descartamos o valor de y1 
Substituindo: 
Se y = 2 ; x = 2.2 +1 → x = 5 
Os números são 5 e 2. 
 
05. Resposta: D. 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥. 𝑦 = 20
 
Eu quero saber a soma de seus quadrados x2 + y2 
Vamos elevar o x + y ao quadrado: 
(x + y)2 = (10)2 → x2 + 2xy + y2 = 100 , como x . y=20 substituímos o valor : 
x2 + 2.20 + y2 = 100 → x2 + 40 + y2 = 100 → x2 + y2 = 100 – 40 → x2 + y2 = 60 
 
RAZÃO 
 
É o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
Sendo a e b dois números a sua razão, chama-se razão de a para b: 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 Onde: 
 
Exemplos: 
1 - Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão 
entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. 
 
2 - Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
 
Daniel teve o melhor desempenho. 
 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
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. 83 
- Razões Especiais 
Escala → Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então 
utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média → É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades 
utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Densidade → É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, 
kg/m³, entre outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção. 
Onde: 
 
Exemplo: 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6,8,...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3,4,...). 
 
- Propriedades da Proporção 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a . d = b . c 
 
Exemplo: 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 esta para 30 , assim como 9 esta para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental , temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
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. 84 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
- Problemas envolvendo razão e proporção 
1 - Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: I 
Usuários externos: E 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → E = 140 
𝐼
𝐼+𝐸
=
3
5
=
𝐼
𝐼+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5I = 3(I + 140) → 5I = 3I + 420 → 5I – 3I = 420 → 2I = 420 → I = 420 / 2 → I = 210 
I + E = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
1290748 E-book gerado especialmentepara KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 85 
2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
3 - Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 2/5 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 min 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) André, Bruno, Carlos e Diego são irmãos e suas idades formam, na ordem 
apresentada, uma proporção. Considere que André tem 3 anos, Diego tem 18 anos e Bruno é 3 anos 
mais novo que Carlos. Assim, a soma das idades, destes quatro irmãos, é igual a 
(A) 30 
(B) 32; 
(C) 34; 
(D) 36. 
 
02. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP/2016) Alfredo irá doar seus livros para três 
bibliotecas da universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos 
livros, para a biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. 
O número de livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 86 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. 
A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
04. (EBSERH/ HUPAA-UFAL - Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões 
especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo 
que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma 
excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus 
durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
05. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Em uma ação policial, foram apreendidos 
1 traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou 
que o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar 
que, para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma gráfica produz blocos de papel em dois 
tamanhos diferentes: médios ou pequenos e, para transportá-los utiliza caixas que comportam 
exatamente 80 blocos médios. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 
5 blocos pequenos, então, se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios, o número de 
blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: 
(A) 60. 
(B) 70. 
(C) 75. 
(D) 80. 
(E) 85. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Eu tenho duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra 
tem 30 cm, portanto, a régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 87 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta 
vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca 
com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta 
branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) A medida do comprimento de 
um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, 
foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de 
ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos 
necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Pelo enunciado temos que: 
A = 3 
B = C – 3 
C 
D = 18 
Como eles são proporcionais podemos dizer que: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
→
3
𝐶 − 3
=
𝐶
18
→ 𝐶2 − 3𝐶 = 3.18 → 𝐶2 − 3𝐶 − 54 = 0 
 
Vamos resolver a equação do 2º grau: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→
−(−3) ± √(−3)2 − 4.1. (−54)
2.1
→
3 ± √225
2
→
3 ± 15
2
 
 
𝑥1 =
3 + 15
2
=
18
2
= 9 ∴ 𝑥2 =
3 − 15
2
=
−12
2
= −6 
 
Como não existe idade negativa, então vamos considerar somente o 9. Logo C = 9 
B = C – 3 = 9 – 3 = 6 
Somando teremos: 3 + 6 + 9 + 18 = 36 
 
02. Resposta: E. 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x , restou ¼ de x 
Física = 1/3.1/4 = 1/12 
Química = 36 livros 
 
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. 88 
Logo o número de livros é: 3/4x + 1/12x + 36 = x 
Fazendo o mmc dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro:2k 
Segundo:5k 
2k + 5k = 14 → 7k = 14 → k = 2 
Primeiro: 2.2 = 4 
Segundo5.2=10 
Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
x = 6000 l 
 
04. Resposta: C. 
5h30 = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
05. Resposta: C. 
 O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo : 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
06. Resposta: C. 
Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos.𝑚
𝑝
= 
2
5
 , ou seja , 2p = 5m 
 
- 80 blocos médios correspondem a: 
2p = 5.80 → p = 400 / 2 → p = 200 blocos pequenos 
- Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). 
2p = 5.30 → p = 150 / 2 → p = 75 blocos pequenos 
 
07. Resposta: C. 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100% = 80% 
 
08. Resposta: A. 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51 . 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A. 
2
3
= 
450
𝑥
 
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A. 
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. 89 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 , que fica 4L = 3C 
 
Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos: 
 
28
𝐿
= 
4
3
 
 
4L = 28 . 3 → L = 84 / 4 → L = 21 ladrilhos 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28 . 21 = 588 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o 
plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguinte propriedades em relação 
ao par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
 
Par Ordenado 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto de formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Propriedade 
Dois pares ordenados (a, b) = (c, d) são iguais se e somente se, a = c e b = d 
Ou 
Dois pares ordenados (x, y) = (w, z) são iguais se e somente se, x = w e y = z 
 
 
 
 
 
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. 90 
Gráfico cartesiano do par ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo: 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
a) Listagem dos elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
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. 91 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 
 
b) Diagrama de flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
 
 
c) Plano cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
Noção de Relação 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
x 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 
y 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 
x + y 9 10 11 12 10 11 12 13 11 12 13 14 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
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. 92 
Noção de Função 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
Todos os elementos de A tem um único correspondente em B, 
mesmo que existam elementos de B que sofram mais de uma 
correspondência dos elementos de A. 
Logo é função. 
Existe um elemento em A não tem correspondência em B, logo: 
Não é função. 
Todos os elementos de A tem um único correspondente em B. 
Logo é função. 
Existe elemento do conjunto A que se corresponde mais de uma 
vez com o de B, logo: 
Não é função. 
Todos os elementos de A se correspondem com um único em 
B; mesmo que sobrem elementos em B que não sofram 
correspondência. 
Logo é função. 
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. 93 
 
 
 
 
 
Elementos da função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
Se observamos o gráfico, cada elemento de x, tem um único 
correspondente em y. 
Logo é função. 
Observe que existem elementos de x 
que tem mais deum correspondente em 
y. Logo não é função. 
 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, 
é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x 
existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos dizer se é 
ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 94 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, 
dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ 
B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo: 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma função real de variável real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos: 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
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. 95 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição: Toda função f: R → R, definida 
por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma função 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
Vamos construir o gráfico no plano cartesiano 
 
 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
Observe que a reta de 
uma função afim é sempre 
uma reta. 
E como a > 0 ela é função 
crescente, que veremos 
mais à frente 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 96 
 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
Observe que a < 0, logo 
é uma função descrente. 
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. 97 
 
 
Função Injetora: Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também 
distintas no contradomínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Função Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos 
um elemento do domínio. 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao 
eixo x, notaremos que o mesmo cortará a reta 
formada pela função em um único ponto (o 
que representa uma imagem distinta), logo 
concluímos que se trata de uma função injetora. 
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. 98 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
Função Bijetora: uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
Observe que todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente 
em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
Observe que nem todos os 
elementos do contradomínio tem um 
correspondente em x. Logo não é 
sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
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. 99 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
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. 100 
 
 
 
 
 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) também 
aumentam. 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) diminuem. 
Através do gráfico da função notamos que: 
-Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo 
x (horizontal) é agudo (< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
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. 101 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a >0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
 
 
Estudo do sinal da função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
 
 
Se a > 0 (função 
crescente) 
𝑥 <
−𝑏
𝑎
→ 𝑦 < 0 
 
𝑥 >
−𝑏
𝑎
→ 𝑦 > 0 
 
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. 102 
 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
Se a < 0 (função 
decrescente) 
𝑥 <
−𝑏
𝑎
→ 𝑦 > 0 
 
𝑥 >
−𝑏
𝑎
→ 𝑦 < 0 
 
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. 103 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP/2016) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre 
a venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se 
R$ 3,00 por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada 
à tarifa final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale 
a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
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. 104 
04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo 
médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz 
de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE-RS) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o 
faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para que a firma não tenha 
prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 10.000,00 
(B) R$ 13.000,00 
(C) R$ 15.000,00 
(D) R$ 18.000,00 
(E) R$ 20.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 105 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa 
pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O planeta 
Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas 
seu núcleo ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B. 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D. 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E. 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 106 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C. 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + bb = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E. 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
f(x) = c(x) 
 
2
3
 𝑥 > 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 > 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000 x = 
10000
1
6
  x = 60000 
 
Substituindo no faturamento temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Se tivermos um lucro de 60.000 – 40.000 de faturamento, logo o nosso faturamento mínimo é de 
20.000. 
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. 107 
Portanto o resultado final é de R$ 20.000,00. 
 
08. Resposta: C. 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C. 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2 
b é o coeficiente de x 
c é o termo independente 
 
Exemplos: 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
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. 108 
 
 
Exemplo: 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
x y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
-1/2 -1/4 
0 0 
1 2 
2 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função 
definida por um polinômio do 2º grau. 
 
 
 
Vértice da parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y neste caso, no 0 (zero) 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -
1/4 
 
 
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. 109 
 
 
- Eixo de simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
𝑰𝒎 = {𝒚 ∈ 𝑹| 𝒚 ≥ 
−∆
𝟒𝒂
} 𝒐𝒖 𝑰𝒎 = [
−∆
𝟒𝒂
; +∞[ 
 
 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
𝑰𝒎 = {𝒚 ∈ 𝑹| 𝒚 ≤ 
−∆
𝟒𝒂
} 𝒐𝒖 𝑰𝒎 = ]−∞;
−∆
𝟒𝒂
] 
 
 
 
 
Coordenadas do vértice da parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
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. 110 
 
 
Valor máximo e valor mínimo da função definida por um polinômio do 2º grau 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo: 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico festa função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
 
 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}. 
 
Raízes ou zeros da função definida por um polinômio do 2º grau 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
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. 111 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2


 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da variação do sinal da função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatoradatemos: 
f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (-2,4), temos: 
4 = a.(-2 + 4).(-2) → a = -1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (-x – 4x).x → -x2 – 4x 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e 
temos duas raízes reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo dos x em um ponto e temos 
duas raízes iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo dos x em nenhum 
ponto e não temos raízes reais. 
 
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. 112 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5 → 3 = -4 + 2k + 8 – 5 → 2k + 8 – 9 = 3 → 2 k – 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 
→ k = 2. 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO) Uma indústria produz 
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e 
o custo mensal da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença 
entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa 
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP) A figura ilustra um arco 
decorativo de parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (POLICIA MILITAR/MG – SOLDADO – POLICA MILITAR) A interseção entre os gráficos das 
funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 113 
05. (PARANAEDUCAÇÃO – MOTORISTA – UEL/COPS) Considere o gráfico da função f a seguir. 
 
Com base no gráfico, assinale a alternativa correta. 
(A) f(-2) < 0 
(B) f(0) = -3 
(C) f(1/2) > 0 
(D) f(1) = 1 
(E) f(2) < 0 
 
06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura h atingida 
por uma bala, em metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t)=-3t²+15t. Portanto, é 
correto afirmar que, depois de 3s, a bala atingirá 
(A) 18 metros. 
(B) 20 metros. 
(C) 27 metros. 
(D) 32 metros. 
 
07. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO) Sejam f(x)=-2x²+4x+16 e 
g(x)=ax²+bx+c funções quadráticas de domínio real, cujos gráficos estão representados acima. A função 
f(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos P(xP,0) e M(xM,0) e g(x), nos pontos (1,0) e Q(xQ,0). 
 
Se g(x) assume valor máximo quando x=xM, conclui-se que xQ é igual a: 
(A) 3 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 11 
(E) 13 
 
08. (TRANSPETRO – TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – CESGRANRIO) A 
raiz da função f(x) = 2x − 8 é também raiz da função quadrática g(x) = ax²+ bx + c. Se o vértice da parábola, 
gráfico da função g(x), é o ponto V(−1, −25), a soma a + b + c é igual a: 
(A) − 25 
(B) − 24 
(C) − 23 
(D) − 22 
(E) – 21 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 114 
09. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP) Na figura, tem-se o gráfico de uma parábola. 
 
 
 
Os vértices do triângulo AVB estão sobre a parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo 
das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo AVB, cujas medidas dos 
lados estão em centímetros, é, em centímetros quadrados, igual a 
(A) 8. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 16. 
 
10. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDATEC) Supondo que o valor d (em milhares de 
reais) gasto com cimento por uma prefeitura, de janeiro a dezembro de 2011, pode ser aproximado pelo 
modelo d(t)= − t2 + 12t + 13, 1 ≤ t ≤ 12, em que t representa o mês, com t=1 correspondendo a janeiro, 
qual o mês em que a prefeitura teve o maior gasto com cimento? 
(A) Janeiro. 
(B) Maio. 
(C) Junho. 
(D) Setembro. 
(E) Dezembro. 
 
11. (BRB – Escriturário – CESPEUnB) Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a 
receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x2– 14x + 13). O custo de 
produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5). 
Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue o próximo item. Com a venda 
de qualquer quantia do produto, superior a 2.000 unidades, o lucro líquido da fábrica será sempre positivo. 
(certo) (errado) 
 
12. (BRB – Escriturário – CESPEUnB) Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a 
receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x2 – 14x + 13). O custo de 
produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5). 
Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue o próximo item. O lucro líquido 
máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto. 
(certo) (errado) 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 115 
02. Resposta: D. 
L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40 
L(x)=-2x²+28x+40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B. 
C=0,81, pois é exatamente a distância de V 
F(x)=-x²+0,81 
0=-x²+0,81 
X²=0,81 
X=0,9 
A distância AB é 0,9+0,9=1,8 
 
04. Resposta: A. 
-2x+3=x²+5x-6 
X²+7x-9=0 
=49+36=85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
Y=-2.1,105+3=0,79 
Para x=-8,105 
Y=19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
05. Resposta: B. 
f(-2)>0 
f(0)=-3 
F(1/2)<0 
F(1)<0 
F(2)=0 
 
06. Resposta: A. 
ℎ(3) = −3 ∙ 32 + 15 ∙ 3 = 18 
 
07. Resposta: B. 
∆= 16 + 128 = 144 
 
𝑥 =
−4 ± 12
−4
 
 
𝑥1 = −2 
𝑥2 = 4 
−
𝑏
2𝑎
= 4 
 
−𝑏 = 8𝑎 
A soma das raízes é –b/a 
−
𝑏
𝑎
= 8 
 
Se já sabemos que uma raiz é 1: 
1 + 𝑥𝑄 = 8 
𝑥𝑄 = 7 
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. 116 
08. Resposta: E. 
2x-8=0 
2x=8 
X=4 
𝑥𝑣 =
𝑥1 + 𝑥2
2
 
 
−1 =
4 + 𝑥2
2
 
 
𝑥2 = −2 − 4 = −6 
Lembrando que para encontrar a equação, temos: 
(x - 4)(x + 6) = x² + 6x - 4x - 24 = x² + 2x - 24 
a=1 
b=2 
c=-24 
a + b + c = 1 + 2 – 24 = -21 
 
09. Resposta: A. 
As raízes são -1 e 3 
Sendo função do 2º grau: -(x²-Sx+P)=0(concavidade pra baixo a<0)-x²+Sx-P=0 
S=-1+3=2 
P=-13=-3 
-𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0 
ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑉𝑦 = −
∆
4𝑎
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4 + 12 = 16 
ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 4 
Base: -1até 0 e 0 até 3 
Base: 1+3=4 
 𝐴𝑡𝑟𝑖Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏 ∙
ℎ
2
= 4 ∙
4
2
= 8𝑐𝑚² 
 
10. Resposta: C. 
Maior gasto corresponde ao maior valor de X. 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
12
−2
= 6 
6 corresponde ao mês de junho. 
 
11. Resposta: ERRADO. 
O lucro da fábrica é obtido pela diferença entre receita e custo: 
L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = f(x) – g(x) 
L(x) = - 10.000(x2 – 14x + 3) – 20.000(x + 3,5) 
L(x) = - 10.000x2 + 140.000x – 130.000 – 20.000x – 7.000x 
L(x) = - 10.000x2 + 120.000x – 200.000 
Resolvendo a equação: 
- 10.000x2 + 120.000x – 200.000 = 0 (cortando 4 zeros) 
- x2 + 12x – 20 = 0 , a = -1, b = 12 e c = -20 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = 122 – 4.(- 1).(- 20) 
∆ = 144 – 80 
∆ = 64 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−12±√64
2.(−1)
=
−12±8
−2
 → 𝑥 =
−12+8
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥 =
−12−8
−2
=
−20
−2
= 10 
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. 117 
Como, pelo enunciado, x está em milhares: x = 2.000 ou x= 10.000, temos que fazer o gráfico da 
função. O a da função é negativo, a concavidade parábola é voltada para baixo. 
 
Como podemos ver pelo gráfico com a venda de x milhares entre 2000 e 10000 o lucro será positivo, 
acima de 10000 o lucro será negativo. 
 
12. Resposta: CERTO. 
Mesma equação do exercício anterior, o lucro máximo será alcançado quando forem vendidas xv 
milhares de unidades. 
 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
=
−120.000
2.(−10.000)
=
−120.000
−20.000
= 6, como x é em milhares, x = 6.000 
 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Chama-se equação exponencial, toda equação onde a variável x se encontra no expoente. 
 
Exemplos: 
3𝑥 = 1 ; 5.22𝑥+2 = 20 
 
Para resolução precisamos achar os valores da variável que a tornem uma sentença numérica 
verdadeira. Vamos relembrar algumas das propriedades da potenciação para darmos continuidade: 
 
 
 
Vamos ver o passo a passo para resolução de uma equação exponencial: 
 
Exemplos: 
 
1) 2x = 8 
1º) Algumas equações podem ser transformadas em outras equivalentes, as quais possuem nos dois 
membros potências de mesma base. Neste caso o 8 pode ser transformado em potência de base 2. 
Fatorando o 8 obtemos 23 = 8 
2º) Aplicando a propriedade da potenciação: 2x = 23  base iguais, igualamos os expoentes, logo 
 x = 3 
 
2) 2m . 24 = 210 
2 m + 4 = 210  m + 4 = 10  m = 10 - 4  m = 6 
S = {6} 
 
3) 6 2m – 1 : 6 m – 3 = 64 
6 (2m – 1 ) – (m – 3) = 64  2m – 1 – m + 3 = 4  2m – m = 4 + 1 – 3  m = 5 – 3  m = 2 
 
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. 118 
S = {2} 
 
4) (3x)2 + 4.3x + 3 = 0. 
A expressão dada pode ser escrita na forma: 
(3x)2 – 4.3x + 3 = 0 
Criamos argumentos para resolução da equação exponencial. 
Fazendo 3x = y, temos: 
y2 – 4y + 3 = 0 y = 1 ou y = 3 
Como 3x= y, então 3x = 1 = 0 ou 
3x = 3 x = 1 
S = {0,1} 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – CABO – CETRO) O valor de x na equação é 5 ∙ 3𝑥+1 + 3𝑥−2 = 408 é 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
 
02. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) É correto afirmar que a solução da equação exponencial 
3 ∙ 9x − 4 ∙ 3x + 1 = 0 é 
(A) S = {0, 1}. 
(B) S = {-1, 0}. 
(C) S = {-2, 1}. 
(D) S = {1/3,1} 
 
03. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) Se 5x+2=100, então 52x é igual a: 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 16. 
(E) 100. 
 
04. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS –MÚSICA– EXÉRCITO BRASILEIRO) O conjunto 
solução da equação exponencial 4x-2x=56 é: 
(A) {-7,8} 
(B) {3,8} 
(C) {3} 
(D) {2,3} 
(E) {8} 
 
05. (BANESE – TÉCNICO BANCÁRIO I – FCC) Uma empresa utiliza a função y = (1,2)x − 1 para 
estimar o volume de vendas de um produto em um determinado dia. A variável y representa o volume de 
vendas em milhares de reais. A variável x é um número real e representa a quantidade de horas que a 
empresa dedicou no dia para vender o produto (0 ≤ x ≤ 6). Em um dia em que o volume de vendas 
estimado foi de R$ 500,00, o valor utilizado para x, em horas, é tal que 
(A) 1 < x ≤ 2. 
(B) 2 < x ≤ 3. 
(C) 3 < x ≤ 4. 
(D) 4 < x ≤ 5. 
(E) 5 < x ≤ 6. 
 
06. (PREF. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE 
SANEAMENTO – CETRO) O conjunto solução da equação:(16𝑥−1)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 é 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 119 
(A) S = {-2, 3} 
(B) S = {-1, 4} 
(C) S = {0, 6} 
(D) S = {-4, 1} 
 
07. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Após o processo de recuperação de uma reserva ambiental, 
uma espécie de aves, que havia sido extinta nessa reserva, foi reintroduzida. Os biólogos responsáveis 
por essa área estimam que o número P de aves dessa espécie, t anos após ser reintroduzida na reserva, 
possa ser calculado pela expressão 
 
𝑃 =
300
7 + 8 × (0,5)𝑡
 
 
De acordo com essa estimativa, quantos anos serão necessários para dobrar a população inicialmente 
reintroduzida? 
(A) 2 anos. 
(B) 4 anos. 
(C) 8 anos. 
(D) 16 anos. 
 
08. (CREA/PR – ADMINISTRADOR – FUNDATEC) Se 5n + 5-n = 10, o valor de 25n + 25-n é 
(A) 100. 
(B) 98. 
(C) 75. 
(D) 50. 
(E) 68. 
 
09. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Sendo 23X+1 = 128 e y = 5 . x - 3, o valor de y² , é: 
(A) 49 
(B) 36 
(C) 25 
(D) 16 
(E) 9 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
3𝑥+1(5 + 3−3) = 408 
 3𝑥+1 (5 +
1
27
) = 408 
 3𝑥+1 (
136
27
) = 408 
 3𝑥+1 = 408 ∙
27
136
 
 3𝑥+1 = 81 
 3𝑥 . 3 = 81 
 3𝑥 = 27 
 3𝑥 = 33 
 𝑥 = 3 
 
02. Resposta: B. 
3. (3𝑥)² − 4 ∙ 3𝑥 + 1 = 0 
3𝑥 = 𝑦 
3𝑦2 − 4𝑦 + 1 = 0 
∆= 16 − 12 = 4 
𝑦 =
(4 ± 2)
6
 
𝑦1 = 1 𝑦2 =
1
3
 
Voltando: 
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. 120 
3𝑥 = 1 
3𝑥 = 30 
𝑥 = 0 
3𝑥 =
1
3
 
3𝑥 = 3−1 
𝑥 = −1 
 
03. Resposta: E. 
1
𝑋1
+
1
𝑋2
= 8 
 
(𝑋2 + 𝑋1)
𝑋1 ∙ 𝑋2
= 8 
 
Sendo x1+x2=-b/a 
E x1.x2=c/a 
(−
𝑏
𝑎)
𝑐
𝑎
= −
𝑏
𝑐
= 8 
 
-b = 8 
b = -8 
 
04. Resposta: D. 
5𝑥 ∙ 25 = 100 
5𝑥 = 4 
52𝑥 = (5𝑥)2 = 42 = 16 
 
05. Resposta: B. 
0,5 = (1,2)x − 1 
 1,5 = 1,2x 
1,2²=1,44 
1,2³=1,728 
Portanto, 2 < x ≤ 3. 
 
06. Resposta: A. 
(42𝑥−2)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 
(2x-2)(x+1)=x²+x+4 
2x²+2x-2x-2=x²+x+4 
x²-x-6=0 
=1+24=25 
 
 𝑥 =
1±5
2
 
𝑥1 =
1 + 5
2
= 3 
𝑥2 =
1 − 5
2
= −2 
 
07. Resposta: B. 
Vamos verificar quantos animais foram reintroduzidos inicialmente (t = 0): 
𝑃 =
300
7+8×(0,5)0
= 
300
7+8 𝑋 1
= 
300
15
= 20 (população inicial) 
 
População dobrada: 2 . 20 = 40 
Assim: 
40 =
300
7+8×(0,5)𝑡
 
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. 121 
40 . (7 + 8 . 0,5𝑡) = 300 
7 + 8 . 0,5𝑡 = 
300
40
 
8 . 0,5𝑡 = 7,5 − 7 
0,5𝑡 = 
0,5
8
 
0,5𝑡 = 0,0625 = 0,54 
Excluindo as bases (0,5), temos que t = 4 anos. 
 
08. Resposta: B. 
Elevando ao quadrado: 
(5𝑛 + 5−𝑛)2 = 102 
52𝑛 + 2.5𝑛. 5−𝑛 + 5−2𝑛 = 100 
5𝑛 . 5−𝑛 = 50 = 1 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 100 − 2 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 98 
25 = 5² 
 
09. Resposta: A. 
128=27 
23X+1 = 27 
3X-1=7 
X=2 
Y=5.2-3=7 
Y²=7²=49 
INEQUAÇÂO EXPONENCIAL 
 
Assim como as equações exponenciais, as inequações são aquelas cujo a variável se encontra no 
expoente. São representadas por uma desigualdade > , < , ≤ ou ≥. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
Resolução de inequação exponencial 
Resolver uma inequação exponencial é achar valores para variável que satisfaça a sentença 
matemática. 
 Antes de resolver uma inequação exponencial,deve-se observar a situação das bases nos dois 
membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma 
inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais: 
 
 
 
Exemplos: 
 
A) 2x ≥ 128 
Por fatoração, 128 = 27. 
Caso a > 1, mantenha o sinal original. 
 
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 122 
2x ≥ 27  como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes  x ≥ 7 
S = {x ∈ R | x ≥ 7} 
 
𝑩) ( 
𝟏
𝟑
)
𝒙
< (
𝟏
𝟑
)
𝟐
 
 
Como as bases são iguais então igualamos os expoentes: x < 2. E como as bases estão 
compreendidas entre 0 e 1, inverte-se o sinal, logo: x > 2. 
S = {x ϵ R | x > 2} 
 
C) 4x + 4 > 5 . 2x 
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². Vamos reescrever a inequação, temos: 
(2x)² + 4 > 5 . 2x 
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com: 
t2 + 4 > 5t 
t2 – 5t + 4 > 0, observe que caímos em uma equação do 2º grau, resolvendo a equação encontramos 
as raízes da mesma t’ = 1 e t’’ = 4. Como a > 0, concavidade fica para cima; e isto também significa que 
estamos procurando valores que tornem a inequação positiva, ficamos com: 
t < 1 ou t > 4 
Retornando a equação inicial: 
t = 2x 
2x < 1  x < 0  lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que todo 
número elevado a zero é igual a 1. 
2x > 4  2x > 22  x > 2. 
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2} 
Questões 
 
01. A soma das raízes da equação 5x2– 2x+1 = 5625 é: 
(A) -4 
(B) -2 
(C) -1 
(D) 2 
(E) 4 
 
02. (PUC-SP) Na função exponencial 
y = 2x2 – 4x , determine os valores de x para os quais 1<y<32. 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
5𝑥
2−2𝑥+1 = 54 → 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 4 → 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 → 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 −
𝑏
𝑎
→ −
−2
1
= 2 
 
02 . Devemos determinar esta inequação obtendo números em mesma base numérica. 
 
Como agora temos somente números na base numérica 2, podemos escrever essa desigualdade em 
relação aos expoentes. 
0 < x2 – 4x < 5  Vamos fazer cada desigualdade separadamente: 
0 < x2 – 4x  Devemos encontrar as raízes da equação do segundo grau x2-4x=0 e comparar o 
intervalo de valores em relação à desigualdade. 
x2 – 4x = 0  x’ = 0 e x’’ = 4 
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. 123 
Devemos comparar a desigualdade em três intervalos, (o intervalo menor que o x’, o intervalo entre x’ 
e x’’ e o intervalo maior que x’’). 
Para valores menores que x’’, teremos o seguinte: 
 
Portanto, os valores menores que x = 0 satisfazem essa inequação. Vejamos valores entre 0 e 4. 
 
Portanto, não é um intervalo válido. Agora os valores maiores que 4. 
 
Portanto para a desigualdade 0 < x2 – 4x a solução é: 
S = { x ϵ R| x < 0 e x > 4} 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). 
Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula um relacionamento gráfico entre diagramas 
representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência 
pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada 
par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de 
unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor 
independente x. 
Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leibniz em 1694, para descrever quantidades 
relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções 
relacionadas à curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções 
mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; 
ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, 
formando a base do cálculo infinitesimal. 
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma 
expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos 
foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis 
em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas 
genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a 
construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano. 
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da 
matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés 
de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização 
da análise). Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática 
usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em 
termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna. 
 
Função Exponencial 
 Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de 
diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, 
então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. 
Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu 
então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo 
a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado 
o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou 
que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram 
a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que corresponde a 
aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor 
entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido! 
A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2x. 
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas 
desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, 
Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. 
 
Definição 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 124 
 
 
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: 
 
Gráficos da Função Exponencial 
 
Função exponencial 
0 < a < 1 
Função exponencial 
a > 1 
 
- Domínio = lR 
- Contradomínio = lR+ 
- f é injetora 
- f(x) > 0 , ⍱ x Є lR 
- f é continua e diferenciável em lR 
- A função é estritamente decrescente. 
- limx→ -∞ ax = + ∞ 
- limx→ +∞ ax = 0 
- y = 0 é assíntota horizontal 
 
- Domínio = lR 
- Contradomínio = lR+ 
- f é injetiva 
- f(x) > 0 , ⍱ x Є lR 
- f é continua e diferenciável em lR 
- A função é estritamente crescente. 
- limx→ +∞ ax = + ∞ 
- limx→ -∞ ax = 0 
- y = 0 é assíntota horizontal 
 
Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax ay= ax + y 
- ax / ay= ax - y 
- (ax) y= ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x =1 / ax 
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
- ln(ex) =x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
A Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos 
que: 
Ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um 
dos primeiros a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 125 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
 
X Y 
-3 1
8
 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
02. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos. 
 
Respostas 
01. Resposta: C. 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 126 
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
02. Resposta: A. 
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕 
𝟓𝟎,𝟏 .𝒕 = 
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎
 
𝟓𝟎,𝟏 .𝒕 = 𝟓𝟐 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
t = 20 anos 
 
 
LOGARITMO 
 
Sendo a um número real, positivo e diferente de 1 e N um número real positivo, chama-se logaritmo 
de N na base a o número ao qual devemos elevar a base a para obtermos N. 
 
Definição: loga N = x <=> a
x = N, onde: 
- N é chamado de logaritmando e N > 0. 
- a é chamado de base e a > 0 e a ≠ 1. 
 
Exemplo: log8 64 = 2 <=> 8
2 = 64 
 
Casos particulares: 
1) log𝑎 𝑎 = 1, pois a
1 = a 
 
2) log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛, pois na = na 
 
3) log𝑎 1 = 0, pois a
0 = 1 
 
 Propriedades dos logaritmos 
I) Logaritmo do Produto: o logaritmo de um produto é igual à soma de logaritmos. 
 
Log𝑎 𝑀. 𝑁 = log𝑎 𝑀 + log𝑎 𝑁 
 
II) Logaritmo da Divisão: o logaritmo da divisão é igual à subtração de dois logaritmos. 
 
Log𝑎
𝑀
𝑁
= log𝑎 𝑀 − log𝑎 𝑁 
 
III) Logaritmo da Potência: o expoente passa multiplicando. 
Log𝑎 𝑁
𝑚 = 𝑚. log𝑎 𝑁 
 
 Mudança de Base 
Em alguns casos é necessário efetuar uma mudança na base que foi dada, para isto temos a seguinte 
fórmula: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 127 
log𝑎 𝑁 =
log𝑏 𝑁
log𝑏 𝑎
 
 
Questões 
 
01. (CPTM - Médico do trabalho – Makiyama) Uma bactéria se espalhava no ambiente em que estava 
seguindo uma função logarítmica 𝑓(𝑥) = log2 𝑥(x >1), em que x é o tempo medido em minutos e F(x) é a 
área que possui a presença da bactéria em m². Após 32 minutos, a área ocupada será de: 
(A) 1 m². 
(B) 2 m². 
(C) 3 m². 
(D) 4 m². 
(E) 5 m². 
 
02. (BRB – Escriturário – CESPEUnB) Um estudo constatou que a população de uma comunidade é 
expressa pela função P(t) = 5.000e0,18t, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que 
ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 
1,8 como os valores aproximados para e0,18e ln 6, respectivamente, julgue o item a seguir. A população 
será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial. 
(certo) (errado) 
 
03. (BRB – Escriturário – CESPEUnB) Um estudo constatou que a população de uma comunidade é 
expressa pela função P(t) = 5.000e0,18t, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que 
ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando1,2 e 1,8 
como os valores aproximados para e0,18e ln 6, respectivamente, julgue o item a seguir. 
Um ano após a contagem inicial, a população da comunidade aumentou em 20%. 
(certo) (errado) 
 
04. (SAEB-BA – Professor – Matemática – CESPE) 
 
A obra acima foi pintada por Pablo Picasso em um único dia do ano de 1932. Em 1951, a tela foi 
adquirida por US$ 20 milhões e, em maio de 2010, foi vendida, em Nova Iorque, em um leilão que durou 
apenas 9 minutos, por US$ 95 milhões, sem incluir as comissões. 
A respeito dessa situação, considere que o investimento tenha evoluído a uma taxa de juros R, 
compostos continuamente, de acordo com o modelo C (t) =C0eRt , em que C(t) é o valor da tela, em 
milhões de dólares, t anos após 1951. Nesse caso, assumindo 1,56 como o valor aproximado de ln(4,75), 
é correto afirmar que a taxa de juros de tal investimento foi 
(A) superior a 5% e inferior a 10%. 
(B) inferior a 5%. 
(C) superior a 20%. 
(D) superior a 10% e inferior a 20%. 
 
05. (CBM/ES – Oficial Bombeiro Militar Combatente – CESPE) A soma dos logaritmos na base 10 
de 2 números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue o item 
a seguir. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 128 
O produto desses números é igual a 1 milhão. 
(certo) (errado) 
 
06. (CBM/ES - Oficial Bombeiro Militar Combatente – CESPE) A soma dos logaritmos na base 10 
de 2 números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue o item 
a seguir. 
A soma desses números é igual a 2.000. 
(certo) (errado) 
 
07. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – EB) Se 𝑓(𝑥) = log√5 𝑥
2, com x 
real e maior que zero, então o valor de f(f(5)) é: 
 (A) 
2𝑙𝑜𝑔2
1+𝑙𝑜𝑔2
 
 
(B) 
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2+2
 
 
 (C) 
5𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2+1
 
 
(D) 
8𝑙𝑜𝑔2
1−𝑙𝑜𝑔2
 
 
(E) 
5𝑙𝑜𝑔2
1−𝑙𝑜𝑔2
 
 
08. (PREVIC – Técnico Administrativo – Básicos – CESPEUnB) Com o objetivo de despertar mais 
interesse de seus alunos para a resolução das expressões algébricas que com frequência ocorrem nos 
problemas, um professor de matemática propôs uma atividade em forma de desafio. Os estudantes 
deveriam preencher retângulos dispostos em forma triangular de modo que cada retângulo fosse o 
resultado da soma das expressões contidas nos dois retângulos imediatamente embaixo dele, exceto 
para aqueles da base do triângulo.Portanto, na figura a seguir, D = A + B, E = B + C e F = D + E. 
 
Com base nos dados acima, julgue o item que se segue. 
Os estudantes que preencheram corretamente os retângulos em branco encontraram F = In (4x) + 4x 
√x. 
(certo) (errado) 
 
09. (Petrobras – Engenheiro de Petróleo Júnior – CESGRANRIO) Dado log3(2) = 0,63, tem-se que 
log6(24) é igual a 
(A) 1,89. 
(B) 1,77. 
(C) 1,63. 
(D) 1,51. 
(E) 1,43. 
 
10. (Pref. Chupinguaia/RO - Professor – Matemática – MSCONCURSOS) 
O conjunto solução da equação log (x² - 8) = 0: 
(A) ∅. 
(B) {0}. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 129 
(C) {– 3, 3}. 
(D) {– 9, 9}. 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
 Fazendo x = 32, temos: 
𝐹(𝑥) = log2 32 , fatorando o 32 temos 2
5. Então: 
𝐹(𝑥) = log2 2
5 , pela propriedade log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛, temos que F(x) = 5 m2 
 
02. Resposta: CERTO. 
Pelo enunciado que saber o valor de t quando P(t) = 30.000: 
P(t) = 30.000 
 
5.000.𝑒0,18𝑡 = 30.000 
𝑒0,18𝑡=
30.000
5.000
 
 
𝑒0,18𝑡 = 6 , colocando logaritmo (ln) nos dois membros: 
ln 𝑒0,18𝑡 = ln 6 , pela propriedade log𝑏 𝑎
𝑛 = 𝑛. log𝑏 𝑎 
 
0,18t = 1,8 → t = 1,8 : 0,18 = 10 
 
03. Resposta: CERTO. 
Se após u 1 ano houve um aumento de 20% temos 100% + 20% = 120% = 120 : 100 = 1,2. Fazendo 
t = 1 nós teremos: 
P(1) = 1.2.P(0) 
5000 e0,18.1 = 5000 e0,18.0 
e0,18 = 1,2.e0 
1,2 = 1,2 – Certo 
 
04. Resposta: B. 
Do enunciado: preço em 2010 (final) 95 mi, preço em 1951 (inicial) 20 mi, tempo t = 2010 – 1951 = 59 
anos e C(t) é preço final e C0 preço inicial. 
C(t) = C0.eRt 
95 = 20.eR.59 
95 : 20 = e59R 
4,75 = e59R , neste ponto para calcularmos o valor de R temos que utilizar logaritmo, já que temos a 
seguinte propriedade log𝑎 𝑁
𝑚 = 𝑚. log𝑎 𝑁, então colocaremos logaritmo nos dois membros da equação. 
E, pelo enunciado, usaremos ln (log. Neperiano de base e). Então: 
ln4,75 = lne59R 
1,56 = 59R 
R = 1,56 : 59 = 0,02644 (x100) → R = 2,644% 
 
05. Resposta: CERTO. 
Sendo x e y os logaritmandos, temos: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 
2. log 𝑥 = 4 
Para esta questão só precisamos para soma (1ª equação) e da propriedade que diz: a soma de dois 
logaritmos é igual ao logaritmo do produto. Então: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 → log 𝑥𝑦 = 6 → como a base é 10 → 106 = x.y 
x.y = 1.000.000 
 
06. Resposta: ERRADO. 
Sendo x e y os logaritmandos, temos: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 
2. log 𝑥 = 4 
log 𝑥 =
4
2
 → log 𝑥 = 2 → 102 = x → x = 100 
 
Da questão anterior xy = 1.000.000, então: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 130 
100.y = 1.000.000 → y = 1.000.000 : 100 → y = 10.000 
x + y = 100 + 10.000 = 10.100 
 
07. Resposta: D. 
f(x) = log√5 𝑥
2 calcular f(f(5)), primeiro vamos calcular f(5): 
f(5) = log√5 5
2 = log
5
1
2
52 = 
2
1
2
 = 2.2 = 4 
f(f(5)) = f(4) = log√5 4
2 = 2. log√5 4, agora usamos a mudança de base log𝑎 𝑁 =
log𝑏 𝑁
log𝑏 𝑎
, mudando para 
base 10: 
2. log√5 4 = 2. (
log 4
log √5
) = 2. (
log 22
5
1
2
) = 2. (
2.log 2
1
2
.log 5
) = 2. (
2.log 2
1
2
.log
10
2
) → lembrando que 
2
1
2
= 4: 
 
2. (
4.log 2
log 10−log 2
) = 
8.log 2
1−log 2
 
 
08. Resposta: CERTO. 
D = A + B → D = ln(
x
2
) + x√x + B 
E = B + C 
-x√x + 2.ln(2) = B – 5x√x + ln(2) 
-x√x + 2.ln(2) + 5x√x - ln(2) = B 
B = 4x√x + ln(2) 
F = D +E 
𝐹 = 𝑙𝑛 (
𝑥
2
) + 𝑥√𝑥 + 𝐵 − 𝑥√𝑥 + 2. ln(2) → 𝐹 = ln(𝑥) − ln(2) + 4𝑥√𝑥 + ln(2) + ln (22) 
F = 4x√x + ln(x) + ln(4) 
F = ln(4x) + 4x√x 
 
09. Resposta: B. 
Sabemos que log3 2 = 0,6. O log que foi dado está na base 3 e o que pede para calcular na base 6. 
Primeiro precisamos mudar de base e para isto temos a fórmula log𝑎 𝑁 =
log𝑏 𝑁
log𝑏 𝑎
. 
log6 24 =
log3 24
log3 6
 = 
 
= 
log3 2
3.3
log6 2.3
 = 
log3 2
3+log3 3
log3 2+log3 3
 = 
 
= 
3.log3 2+1
0,63+1
 = 
3.0,63+1
1,63
 = 
2,89
1,63
≅ 1,77 
 
10. Resposta: C. 
Temos um logaritmo de base 10. 
log10(𝑥
2 − 8) = 0 , pela definição de logaritmo, temos: 
100 = x2 – 8 
1 = x2 – 8 
1 + 8 = x2 
x2 = 9 → x = ±√9 → x = 3 ou x = - 3. 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTIMICA 
 
Existem equações que não podem ser reduzidas a uma igualdade de mesma base pela simples 
aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação desse tipo baseia-se na 
definição de logaritmo. 
 
𝒂𝒙 = 𝒃 → 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 , 𝒄𝒐𝒎 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 > 𝟎. 
 
Existem quatro tipos de equações logarítmicas: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 131 
1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒈(𝒙) 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0. 
 
Exemplo: 
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑𝒙 + 𝟏 
Temos que: 
2x + 4 = 3x + 1 
2x – 3x = 1 – 4 
– x = – 3 
x = 3 
Portanto, S = {3} 
 
2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos e um número real: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒓 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = ar. 
 
Exemplo: 
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟑 
Pela definição de logaritmo temos: 
5x + 2 = 33 
5x + 2 = 27 
5x = 27 – 2 
5x = 25 
x = 5 
Portanto S = {5}. 
 
3º) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita: 
Exemplo: 
(𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙)
𝟐 − 𝟑. 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝟒 
Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita: 
𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝒚 
 
Substituindo na equação inicial, ficaremos com: 
 
4º) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base: 
 
Exemplo: 
𝐥𝐨𝐠(𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟐) = 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝒙 
 
Usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: 
log[(2𝑥 + 3)(𝑥 + 2)] = log 𝑥2 
 
Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades: 
log 𝑥. 𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦 
log 𝑥𝑛 = 𝑛. log 𝑥 
Vamos retornar à equação: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 132 
 
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que: 
(2x +3)(x + 2) = x2 
ou 
2x2 + 4x + 3x + 6 = x2 
2x2 – x2 + 7x + 6 = 0 
x2 + 7x + 6 = 0 
 
x = -1 ou x = - 6 
 
Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos. Com os valores 
encontrados para x, o logaritmando ficará negativo. Sendo assim, a equação não tem solução ou S = ø. 
 
Questões 
 
01. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de 
cada fator, mantendo-se a mesma base. Identifique a alternativa que representa a propriedade do 
logaritmo anunciada. 
(A) Logb(a.c )= logba + logbc 
(B) Logb(a.c) = logb(a + c) 
(C) Logb(a + c) = logba.logbc 
(D) Logb(a + c) = logb(a.c) 
(E) Loge(a.c) = logba + logfc 
 
02. (FUSA/PR – AGENTE COMUNITÁRIO DE SAÚDE – UNIUV) Aplicando as propriedades de 
logaritmo na equação log A - log B = 0, teremos: 
(A) A . B = 0 
(B) A . B > 0 
(C) A = B 
(D) A / B = 0 
(E) A é o inverso de B 
 
03. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS –MÚSICA – EXÉRCITO BRASILEIRO) Sabendo que 
log P = 3loga - 4logb + 1/2logc, assinale a alternativa que representa o valor de P. 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
(A) 12 
(B) 52 
(C) 16 
(D) 24 
(E) 73 
 
04. (SESI/PA – NUTRICIONISTA – FIDESA) Para calcular o pH de um efluente, os técnicos do 
departamento de controle ambiental utilizam a fórmula: 𝑝𝐻 = log (
1
|𝐻+|
), onde |H+|é a concentração de 
íons H+ nas amostras do efluente. Considerando que a concentração de íons é |H+|=5x10-5 e log 2 = 0,3, 
o pH das amostras coletadas desse efluente é de: 
(A) 3,6 
(B) 4,3 
(C) 6,4 
(D) 7,2 
 
05. (LIQUIGÁS – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO– CESGRANRIO) Qual é o produto das raízes da 
equação [log(x)]² - log(x²) - 3 = 0 ? 
(A) - 3.000 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 133 
(B) - 3 
(C) 0,001 
(D) 100 
(E) 1.000 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Logb(a.c )= logba + logbc 
 
02. Resposta: C. 
log(A/B)=0 
Pela propriedade do log: 
A/B=1 
A=B 
 
03. Resposta: C. 
log P = log a3 − logb4 + logc
1
2 
log P = log (a3.
c
1
2
b4
) 
 P =
43√16
24
= 16 
 
04. Resposta: B. 
 
pH = log (
1
|5x10−5|
) 
 
pH = log(0,2x105) 
pH = log 0,2 + log105 
 
pH = log (
2
10
) + 5log10 
 
pH = log 2 − log 10 + 5log10 
pH=0,3-1+5=4,3 
 
05. Resposta: D. 
[log(x)]²- 2logx - 3 = 0 
Fazendo logx=y 
y²-2y-3=0 
=4+12=16 
 
𝑦 =
2 ± 4
2
 
y1 = 3 
y2 = −1 
 
Substituindo: 
Log x=3 
X=10³=1000 
Log x=-1 
X=10-1=0,1 
Produto das raízes: 10000,1=100 
 
 
 
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. 134 
INEQUAÇÃO LOGARITMICA 
 
A forma de se resolver a inequação logarítmica é a mesma da equação, mas é preciso ter muito 
cuidado quando a base for 0 < a < 1. 
São dois tipos de inequação logarítmica. 
 
1º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒈(𝒙) 
 
Neste caso há ainda dois casos a considerar 
 
a > 1 0 < a < 1 
Nesse caso, a relação entre f(x) e g(x) tem o 
mesmo sentido que a desigualdade entre os 
logaritmos. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) ⟹ 0 < 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 
Nesse caso, a relação entre f(x) e g(x) tem 
sentido contrário a desigualdade entre os 
logaritmos. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) > 0 
 
 
Exemplo: 
A inequação 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟑𝒙 − 𝟐) ≤ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 
Temos a seguinte condição: 0 < 3x – 2 ≤ x. 
Fazendo cada membro da equação separadamente: 
0 < 3x – 2  x > 2/3 (I) 
3x – 2 ≤ x  2x ≤ 2  x ≤ 1 (II) 
Da interseção de (I) com (II), resulta: 
S = { x ϵ R| 2/3 < x ≤ 1}. 
 
2º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒓 𝒐𝒖 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝒓 
 
Para resolver uma inequação desse tipo, basta substituir r por log𝑎 𝑎
𝑟; assim teremos: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝒓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂
𝒓 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂
𝒓 
 
Exemplo: 
A inequação 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟒𝒙 − 𝟏) < 𝟑. 
 
log3(4𝑥 − 1) < 3 → log3(4𝑥 − 1) < log3 3
3 → 0 < 4𝑥 − 1 < 27 → 1 < 4𝑥 < 28 →
1
4
< 𝑥 < 7 
S = { x ϵ R| 1/4 < x < 7}. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada 
equação logarítmica. Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: 
log2 𝑥 = 3 
log𝑥 100 = 2 
7log5 625𝑥 = 42 
3log2𝑥 64 = 9 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
 
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um 
logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos 
logaritmos. 
 
Solucionando Equações Logarítmicas 
Vamos solucionar cada uma das equações acima, começando pela primeira: 
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. 135 
log2 𝑥 = 3 
 
Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que: 
log2 𝑥 = 3 ⟺ 2
3 = 𝑥 
 
Logo x é igual a 8: 23 = x ⇒ x = 2.2.2 ⇒ x = 8 
 
De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 
é um número real positivo, podemos aceitá-lo como solução da equação. A esta restrição damos o nome 
de condição de existência. 
 
log𝑥 100 = 2 
 
Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1. 
Então a nossa condição de existência da equação acima é que: x ϵ R*+ - {1} 
 
Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença: 
log𝑥 100 = 2 ⟺ 𝑥
2 = 100 
 
Que nos leva aos seguintes valores de x: 
𝑥2 = 100 ⟹ 𝑥 = ±√100 ⟹ {
𝑥 = −10
𝑥 = 10
 
 
Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de 
existência, já que -10 é um número negativo. 
Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a 
condição de existência, visto que 10 é positivo e diferente de 1. 
 
7log5 625𝑥 = 42 
 
Neste caso temos a seguinte condição de existência: 
625𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
0
625
⟹ 𝑥 > 0 
Voltando à equação temos: 
7log5 625𝑥 = 42 ⟹ log5 625𝑥 =
42
7
⟹ log5 625𝑥 = 6 
 
Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos 
temos: Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação. Se 
quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim: 
⇒ log5 𝑥 = 2 ⟺ 5
2 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = 25 
 
Lembre-se que: 
 log𝑏(𝑀. 𝑁) = log𝑏 𝑀 + log𝑏 𝑁 e que log5 625 = 4, pois 5
4 = 625. 
3 log2𝑥 64 = 9 
 
Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa: 
2𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
1
2
⟹ 𝑥 > 0 
 
E, além disto, temos também a seguinte condição: 2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2 
 
Portanto a condição de existência é: x ϵ R*+ - {1/2} 
 
Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição 
de existência da equação logarítmica, então 2 é solução da equação. Assim como no exercício anterior, 
este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos: 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
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. 136 
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos 
verificar quais são as condições de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação. 
Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x: 
Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e 
não pode ser solução da equação. Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência 
do logaritmando 2x: 2x > 0 ⇒ x > 0 
 
Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero 
que você veja. O que eu quero que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra 
diz que x > 0. Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0? 
Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que 
seja maior que zero, então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não 
possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente. O conjunto 
solução da equação é portanto S = { }, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições 
de existência da equação. 
 
Função Logarítmica 
A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, 
lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
 
 
O domínio da função ln é R*+=]0,∞[ e a imagem é o conjunto R=]-∞,+∞[. 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da reta 
x=0 
O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando 
comparado ao gráfico de y=ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. Consideremos uma 
função logarítmica cuja expressão é dada por y=f1(x)=ln x+k, onde k é uma constante real. A pergunta 
natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando comparado ao 
gráfico da função inicial y=f0(x)=ln x ? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pelaexpressão y=f2(x)=a.ln x onde a 
é uma constante real, a 0. Observe que se a=0, a função obtida não será logarítmica, pois será a 
constante real nula. Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo 
y=f3(x)=ln(x+m), onde m é um número real não nulo. Se g(x)=3.ln(x-2) + 2/3, desenhe seu gráfico, fazendo 
os gráficos intermediários, todos num mesmo par de eixos. 
y=a.ln(x+m)+k 
 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, 
onde o coeficiente a não é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f0 
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, finalmente, 
y=a.ln(x+m)+k. 
 
Analisemos o que aconteceu: 
- em primeiro lugar, y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o 
papel que x=0 exercia em y=ln x; 
- a seguir, no gráfico de y=a.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada 
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coeficiente a; 
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. 137 
- por fim, o gráfico de y=a.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada 
abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m)+k ficaram acrescidas de k, quando 
comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m). 
 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois 
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das 
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. 
 
Função logarítmica de base a é toda função f:R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 com a ϵ R*+ e a ≠ 
1. 
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a 
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, 
mas sim um número real. 
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois: 
log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏
𝑥 = 𝑎 
 
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano 
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a 
função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os 
respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do 
gráfico. Vamos representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥 e como estamos trabalhando com um 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências 
de 10: 
0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2. 
 
Temos então seguinte a tabela: 
 
x y = log x 
0,001 y = log 0,001 = -3 
0,01 y = log 0,01 = -2 
0,1 y = log 0,1 = -1 
1 y = log 1 = 0 
10 y = log 10 = 1 
 
 
 
Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos 
da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão 
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de 
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, 
se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: 
 
{
𝑓(100) = log 100 = 2
𝑓(1000000) = log 1000000 = 6
 
 
 
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. 138 
Função Crescente e Decrescente 
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser 
classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser 
maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica f:R*+ → R, definida 
por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 , temos que a > 0 e a ≠ 1. 
 
- Função Logarítmica Crescente 
 
 
 
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No 
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, 
que para dois valor de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais 
positivos, com a > 1. 
 
- Função Logarítmica Decrescente 
 
 
 
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva 
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que 
log𝑎 𝑥2 < log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante 
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre 
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log𝑎 𝑥2 =
log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 = 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. 
 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS-GEOFISICO JUNIOR – CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 
10 de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é: 
(A) 2000 
(B) 1000 
(C) 500 
(D) 100 
(E) 10 
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. 139 
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo 
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5. 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 * 1 
onde 1 = log 10 então: 
log (n * 2) = 3 * log 10 
log(n*2) = log 10 ^3 
2n = 10^3 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
02. Resposta: D. 
E = log20 + log5 
E = log(2 x 10) + log5 
E = log2 + log10 + log5 
E = log10 + log (2 x 5) 
E = log10 + log10 
E = 2 log10 
E = 2 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
1. Igualdade 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
 
 
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. 140 
Exemplo 
 Asequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
2. Formula Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada de termo an 
em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor 
do termo an é chamada formula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos: 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a: 
an = n2 – 2n,com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
3. Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos: 
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4 , em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
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. 141 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
formula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,.... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25,......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30,.....) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15,....) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
 
Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
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. 142 
 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades: 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11,......) 
 
 
Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38,......) 
 
 
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 =
a3
a1
. 
Exemplo: 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMETRICA 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,.... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯ … … … = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
 
Exemplos: 
- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫 
𝐒𝐧 =
(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧). 𝐧
𝟐
 
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. 143 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do termo geral 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32,.....) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125;.....) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
an = a1.qn – 1 
𝐒𝐧 =
𝐚𝟏. (𝐪
𝐧 − 𝟏)
𝐪 − 𝟏
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 144 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,....) 
 
 
Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,....) 
 
 
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. 
Porém, só existe termos médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 = √a3. a1. 
 
Exemplo: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51,...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
𝐒 =
𝐚𝟏
𝟏 − 𝐪
 → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏 
|𝐏𝐧| = √(𝐚𝟏. 𝐚𝐧)𝐧 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 145 
 
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o 
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. 
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em 
que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: 
(A) 58 
(B) 59 
(C) 60 
(D) 61 
(E) 62 
 
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: 
(A) 3,1 
(B) 3,9 
(C) 3,99 
(D) 3, 999 
(E) 4 
 
05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Observe a 
sequência: 
 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B) 184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
 
06. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN) 
O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. 
A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se 
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser 
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 146 
 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
11. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRATIVO – FCC) Considere a sequência numérica 
formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são 
dados a seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
Respostas 
01. Resposta: A. 
r = 48 – 45 = 3 
𝑎1 = 45 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
02. Resposta: D. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 147 
𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 
𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - 
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - 
(8; 9; 10; 11; …). 
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: 
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está 
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: 
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; 
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. 
Daqui e de (1) obtemos que: 
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar 
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par 
Logo: 
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e 
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 
E, portanto: 
a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 
 
04. Resposta: E. 
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de 
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: 
S = 3 + S1 
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: 
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 
 
05. Resposta: C. 
Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2
𝑛−1 . 
Assim: 
𝑎6 = 2
6−1 = 25 = 32 
 
𝑎8 = 2
8−1 = 27 = 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
06. Resposta: E. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
 
100 = 4 ∙ 𝑞2 
𝑞2 = 25 
𝑞 = 5 
 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
07. Resposta: B. 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
A64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 148 
 𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
08. Resposta: D. 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2.Assim: 𝑟1
2 = 144 
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
09. Resposta: C. 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
10. Resposta: A. 
 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
 10𝑛 − 10 + 9 = 99 
 𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 
 99 = 90 + (𝑛 − 1) 
 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
11. Resposta: D. 
r = 4 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" 
se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 Banco Saldo em 
02/02/2013 
Saldo em 
02/02/2014 
Rendimento 
Oscar A 500 550 50 
Marta B 400 450 50 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 149 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
, = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
, = 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
- Lucro e Prejuízo 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 150 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% 
sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
- Aumento e Desconto Percentuais 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200% , equivale a multiplicá-lo por 3 , pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
A)35% 
B)30% 
C)3,5% 
D)3,8% 
E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 151 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
% Fator de multiplicação - Acréscimo Fator de multiplicação - Decréscimo 
10% 1,1 0,9 
15% 1,15 0,85 
18% 1,18 0,82 
20% 1,2 0,8 
63% 1,63 0,37 
86% 1,86 0,14 
100% 2 0 
 
 - Aumentos e Descontos Sucessivos 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1 , como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Marcos comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse 
comprado o produto, com 25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20funcionários, sendo que 
15% deles são estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 152 
estagiários. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é 
igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Quando calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60; 
(D) 169,50. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC) O Relatório Setorial do 
Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
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. 153 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Marcos gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A 
porcentagem que lhe sobrou do valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
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. 154 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
JUROS 
 
A Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada que estuda as operações financeiras de 
uma forma geral, analisando seus diferentes fluxos de caixa ao longo do tempo, muito utilizada hoje para 
programar a vida financeira não só de empresas mais também dos indivíduos. 
Existe também o que chamamos de Regime de Capitalização, que é a maneira pelo qual será pago 
o juro por um capital aplicado ou tomado emprestado. 
 
Elementos Básicos: 
- Valor Presente ou Capital Inicial ou Principal (PV, P ou C): termo proveniente do inglês “Present 
Value”, sendo caracterizado como a quantidade inicial de moeda que uma pessoa tem em disponibilidade 
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. 155 
e concorda em ceder a outra pessoa, por um determinado período, mediante o pagamento de 
determinada remuneração. 
 
- Taxa de Juros (i): termo proveniente do inglês “Interest Rate” (taxa de juros) e relacionado à sua 
maneira de incidência. Salientamos que a taxa pode ser mensal, anual, semestral, bimestral, diária, entre 
outras. 
 
- Juros (J): é o que pagamos pelo aluguel de determinadaquantia por um dado período, ou seja, é a 
nomenclatura dada à remuneração paga para que um indivíduo ceda temporariamente o capital que 
dispõe. 
 
- Montante ou Valor Futuro (FV ou M): termo proveniente do inglês “Future Value”, sendo 
caracterizado em termos matemáticos como a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante 
o período. Em outras palavras, é a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser usufruída no futuro. 
Em símbolos, escrevemos FV = PV + J. 
 
- Tempo ou período de capitalização (n ou t): nada mais é do que a duração da operação financeira, 
ou seja, o horizonte da operação financeira em questão. O prazo pode ser descrito em dias, meses, anos, 
semestres, entre outros. 
JUROS SIMPLES 
 
Em regime linear de juros (ou juros simples), o juro é determinado tomando como base de cálculo 
o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da operação. 
As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, “Hot Money” entre 
outras. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade: 
Taxa anual Tempo em anos 
Taxa mensal Tempo em meses 
Taxa diária Tempo em dias 
E assim sucessivamente 
 
Exemplo: 
Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, à 
taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
Resolução: 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
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. 156 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
------------------------------------------------------------------------------ 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J = C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J  M = C. (1+i.t) 
 
 
Exemplos: 
1) A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
2) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15 meses, 
sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m.? 
120,00
240,00
360,00
480,00
600,00
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
1 2 3 4 5
Ju
ro
s(
J)
Meses(t)
Juros a serem Pagos
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. 157 
Dados: 
PV = 10.000,00 
n = 15 meses 
i = 3% a.m = 0,03 
J = ? 
Solução: 
J = PV.i.n → J = 10.000 x 0,03 x 15 → J = 4.500,00 
 
Para não esquecer!!! 
Só podemos efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma unidade, ou seja, 
se apresentarmos a taxa de juros como a anual, o prazo em questão também deve ser 
referenciado em anos. Ou seja, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período 
(t), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser 
esquecido! 
 
 
Questões 
 
01. (BAHIAGAS – Analista de Processos Organizacionais – Administração – IESES/2016) Uma 
aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 12 meses. Dentro do 
regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
02. (CODAR – Motorista II – EXATUS-PR/2016) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de 
juros simples, por um período de 16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A 
taxa de juros praticada nessa transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
03. (Pref.de Flores da Cunha/RS – Atendente de Farmácia – UMA Concursos/2015) Qual o valor 
do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% ao mês, em regime de juros simples 
resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
04. (Pref.de Flores da Cunha/RS – Atendente de Farmácia – UMA Concursos/2015) Por quanto 
tempo deve ficar aplicado um capital para que o juro seja igual a três vezes o capital, se a taxa de juros 
simples for 5% ao mês? 
(A) 2 anos 
(B) 7 anos 
(C) 5 anos 
(D) 10 meses 
 
05. (Pref. de Santo André/SP – Atendente de Copa – IBAM/2015) Ao aplicarmos o valor de R$ 
1.800,00, por um período de 3 meses, pelo sistema de capitalização simples e a uma taxa de 
remuneração de 39% ao ano, receberemos um valor de juro igual a: 
(A) R$ 156,80 
(B) R$ 162,20 
(C) R$175,50 
(D) R$181,00 
 
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. 158 
06. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma pessoa pegou emprestada certa quantia por 
dez meses, à taxa de juros simples de 4% ao mês. O valor do empréstimo, acrescido dos juros, deverá 
ser pago em 10 parcelas iguais de R$1.260,00. Nesse caso, o juro total desse empréstimo será 
(A) R$4.800,00. 
(B) R$3.800,00. 
(C) R$4.600,00. 
(D) R$3.600,00. 
(E) R$4.200,00. 
 
07. (COPASA – Agente de Saneamento – Técnico em Informática – FUNDEP) Um capital de R$ 
100,00 foi aplicado, a juros simples de 1% ao mês, durante 1 trimestre. O montante produzido nesse 
período foi de 
(A) R$ 1,00. 
(B) R$ 3,00. 
(C) R$ 101,00. 
(D) R$ 103,00. 
 
08. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um capital de R$ 2.400,00 foi investido no 
sistema de juros simples e gerou um montante de R$ 6.720,00 no período de 15 meses. A taxa mensal 
de juros desse investimento foi: 
(A) 5 % 
(B) 6 % 
(C) 8 % 
(D) 12 % 
(E) 15 % 
 
09. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um capital de R$ 45.000,00 foi dividido em 
duas parcelas, uma delas igual ao dobro da outra, e aplicado a taxas e prazos diferentes. A maior parcela 
foi aplicada a juros simples de 10% ao mês durante oito meses, e a outra, a juros simples de 5% ao mês, 
durante um (01) ano. 
O total de juros obtidos com as duas aplicações foi: 
(A) R$ 22.500,00 
(B) R$ 25.000,00 
(C) R$ 27.000,00 
(D) R$ 33.000,00 
(E) R$ 36.000,00 
 
10. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP) Certo capital C foi aplicado a jurossimples, a uma 
taxa de 9,6% ao ano, e o montante resgatado, ao final da aplicação, foi igual a 1,12 C. Esse capital 
permaneceu aplicado durante 
(A) 1 ano e 2 meses. 
(B) 1 ano e 3 meses. 
(C) 1 ano e 4 meses. 
(D) 1 ano e 5 meses. 
(E) 1 ano e meio. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
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. 159 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
02. Resposta: B. 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
03. Resposta: C. 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
04. Resposta: C. 
C 
J = 3C 
i = 5%a.m = 0,05 
t = ? 
Sabemos que: J = C.i.t → 3C = C.0,05.t → t = 3C / 0,05.C → t = 60 meses, como 1 ano tem 12 meses 
60 / 12 = 5 anos 
 
05. Resposta: C. 
C = 1800 
n = 3 meses 
i = 39% a.a , logo 39/12 = 3,25% a.m = 0,0325 
J = ? 
Transformamos a taxa de juros para a mesma unidade do tempo, o contrário também poderia ser feito. 
Logo, J = C.in → J = 1800.0,0325.3 → J = 175,50 
 
06. Resposta: D. 
M = C.(1 + i.n) 
1260.10 = C.(1 + 0,04.10) 
C = 9000 
J = C.i.n 
J = 9000.0,04.10 = 3600 
Dica: para lembrar da fórmula do Juro Simples: J = Cin (JURO SIMples) 
 
07. Resposta: D. 
Fórmula dos juros simples: 𝑗 = 
𝐶 .𝑖 .𝑡
100
 
 
𝑗 = 
100 . 1 . 3
100
= 𝑅$ 3,00 
 
Montante = 100 + 3 = R$ 103,000 
 
08. Resposta: D. 
Primeiramente, vamos calcular os juros: 
M = C + j 
6720 = 2400 + j 
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. 160 
j = 6720 – 2400 
j = R$ 4320,00 
Agora, vamos calcular a taxa mensal: 
 
𝑗 = 
𝐶 .𝑖 .𝑡
100
 
 
4320 = 
2400 .𝑖 .15
100
 
 
4320 = 
36000 .𝑖
100
 
 
360 . i = 4320 
i = 4320 / 360 
i = 12% 
 
09. Resposta: D. 
Vamos chamar o valor da menor parcela de ( x ). Assim: 
2.x + x = 45000 
3.x = 45000 
x = 45000 / 3 
x = R$ 15.000,00 (menor) 
E a maior: 2 . 15000 = R$ 30.000,00 (maior) 
 
* Maior parcela: juros simples de 10% a.m., durante 8 meses: 
 
𝑗 = 
𝐶 .𝑖 .𝑡
100
 
 
𝑗 = 
30000 .10 . 8
100
 
 
j = R$ 24.000,00 
* Menor parcela: juros simples de 5% a.m., durante 12 meses (1 ano): 
 
𝑗 = 
𝐶 .𝑖 .𝑡
100
 
 
𝑗 = 
15000 . 5 . 12
100
 
 
j = R$ 9.000,00 
Total de juros: 24000 + 9000 = R$ 33.000,00 
 
10. Resposta: B. 
M = C + j , ou seja, 1,12.C = C + j, que fica 1,12.C – C = j 
j = 0,12.C 
 
𝑗 = 
𝐶 .𝑖 .𝑡
100
 
0,12. 𝐶 = 
𝐶 .9,6 .𝑡
100
 
 
9,6 . 𝑡 . 𝐶 = 0,12 . 𝐶 . 100 
t = 12 / 9,6 
t = 1,25 ano = 1 ano + 0,25 de ano 
0,25 . 12 = 3 meses 
Portanto, t = 1 ano e 3 meses 
 
 
 
 
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. 161 
JUROS COMPOSTOS 
 
No regime exponencial de juros (ou juros compostos) é incorporado ao capital não somente os 
juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior. 
Pode-se falar que é um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG), pela qual os 
juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente 
sobre o capital inicial). É o que chamamos no linguajar habitual de “juros sobre juros”. 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos 
na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo: 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Saiba mais!!! 
(1+i)t ou (1+i)n é conhecido como fator de acumulação de capital (FC) e o seu inverso, 
1/(1+i)n é o fator de atualização de capital (FA). 
 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
 
 
- O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
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. 162 
 
Fique por dentro!! 
 
A inflação, termo 
também que ouvimos 
comumente no 
cotidiano, é um 
fenômeno que desgasta 
o capital, determinando 
o volume cada vez 
menor de compra com o 
mesmo montante. 
 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
Exemplos: 
1) Expresse o número de períodos t de uma aplicação, em função do montante M e da taxa de 
aplicação i por período. 
Solução: 
Temos M = C(1+i)t 
Logo, M/C = (1+i)t 
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever: 
t = log (1+ i ) (M/C) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem: 
 
𝒕 =
𝐥𝐨𝐠 ⟨𝑴|𝑪⟩
𝐥𝐨𝐠 (𝟏 + 𝒊)
=
𝐥𝐨𝐠 𝑴 − 𝐥𝐨𝐠 𝑪
𝐥𝐨𝐠 (𝟏 + 𝒊)
 
 
Temos também da expressão acima que: t.log(1 + i) = logM – logC 
 
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo 
dos logaritmos. 
 
2) Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois 
de quanto tempo este capital estará duplicado? 
Solução: 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários,ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
Fica a dica!!! 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), 
pode-se colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 163 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Um capital foi aplicado 
por um período de 3 anos, com taxa de juros compostos de 10% ao ano. É correto afirmar que essa 
aplicação rendeu juros que corresponderam a, exatamente: 
(A) 30% do capital aplicado. 
(B) 31,20% do capital aplicado. 
(C) 32% do capital aplicado. 
(D) 33,10% do capital aplicado. 
 
02. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) José Luiz aplicou 
R$60.000,00 num fundo de investimento, em regime de juros compostos, com taxa de 2% ao mês. Após 
3 meses, o montante que José Luiz poderá sacar é 
(A) R$63.600,00. 
(B) R$63.672,48. 
(C) R$63.854,58. 
(D) R$62.425,00. 
(E) R$62.400,00. 
 
03. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP) Pretendendo aplicar em um fundo que rende juros compostos, um 
investidor fez uma simulação. Na simulação feita, se ele aplicar hoje R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 daqui 
a um ano, e não fizer nenhuma retirada, o saldo daqui a dois anos será de R$ 38.400,00. Desse modo, é 
correto afirmar que a taxa anual de juros considerada nessa simulação foi de 
(A) 12%. 
(B) 15%. 
(C) 18%. 
(D) 20%. 
(E) 21%. 
 
04. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) Uma aplicação financeira rende 
mensalmente 0,72%. Após 3 meses, um capital investido de R$ 14.000,00 renderá: (Considere juros 
compostos) 
(A) R$ 267,92 
(B) R$ 285,49 
(C) R$ 300,45 
(D) R$ 304,58 
 
05. (BANCO DO BRASIL – ESCRITURÁRIO – CESGRANRIO) João tomou um empréstimo de 
R$900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$600,00 e, um mês após 
esse pagamento, liquidou o empréstimo. 
O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente, 
(A) 240,00 
(B) 330,00 
(C) 429,00 
(D) 489,00 
(E) 538,00 
 
06. (FGV-SP) Uma aplicação financeira rende juros de 10% ao ano, compostos anualmente. Utilizando 
para cálculos a aproximação de log 1,1 = 0,04, pode-se estimar que uma aplicação de R$ 1.000,00 seria 
resgatada no montante de R$ 1.000.000,00 após: 
(A) Mais de um século. 
(B) 1 século 
(C) 4/5 de século 
(D) 2/3 de século 
(E) ¾ de século 
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. 164 
07. (COLÉGIO MILITAR DE BELO HORIZONTE/MG – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. m. no 
regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
08. (Banco do Brasil – Escriturário – FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento 
que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na 
data da aplicação, custava R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir 
da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
09. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06 ; ln(1,03) = 0,03) 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
10% = 0,1 
𝑀 = 𝐶 . (1 + 𝑖)𝑡 
𝑀 = 𝐶 . (1 + 0,1)3 
𝑀 = 𝐶 . (1,1)3 
𝑀 = 1,331. 𝐶 
Como, M = C + j , ou seja , j = M – C , temos: 
j = 1,331.C – C = 0,331 . C 
0,331 = 33,10 / 100 = 33,10% 
 
02. Resposta: B. 
C=60.000 ; i = 2% a.m = 0,02 ; t = 3m 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 ⇒ 𝑀 = 60000(1 + 0,02)3 ⇒ 𝑀 = 60000 + (1,02)3 ⇒ 𝑀 = 63672,48 
 
O montante a ser sacado será de R$ 63.672,48. 
 
03. Resposta: D. 
C1º ano = 10.000 ; C2º ano = 20.000 
𝑀1 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
𝑀1 = 10000(1 + 𝑖)2 𝑀2 = 20000(1 + 𝑖)1 
M1+M2 = 384000 
38400 = 10000(1 + 𝑖)2 + 20000(1 + 𝑖) (: 400) 
96 = 25(1 + 2𝑖 + 𝑖2) + 50 + 50𝑖 
96 = 25 + 50𝑖 + 25𝑖2 + 50 + 50𝑖 
25𝑖2 + 100𝑖 − 21 = 0 
Têm se uma equação do segundo grau, usa-se então a fórmula de Bháskara: 
 ∆= 1002 − 4 ∙ 25 ∙ (−21) = 12100 
 𝑖 =
−100±110
50
 
 𝑖1 =
−100+110
50
=
10
50
= 0,2 
 𝑖2 =
−100−110
50
= −4,4 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 165 
É correto afirmar que a taxa é de 20% 
 
04. Resposta: D. 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
𝑀 = 14.000(1 + 0,0072)3 = 14304,58 
M=C+J 
J=14304,58-14000=304,58 
 
05. Resposta: E. 
C = 900 ; i = 10% a.m=0,10 ; t = 2m ; pagou 2 meses depois R$ 600,00 e liquidou após 1 mês 
 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
 𝑀 = 900(1 + 0,1)2 → 𝑀 = 1089,00 
Depois de dois meses João pagou R$ 600,00. 
1089-600=489 
 𝑀 = 489(1 + 0,1)1 = 537,90 
 
06. Resposta: E. 
 A fórmula de juros compostos é M = C(1 + i)t e do enunciado temos que M = 1.000.000, C = 1.000, i 
= 10% = 0,1: 
 
1.000.000 = 1.000(1 + 0,1)t 
1.000.000
1.000
= (1,1)𝑡 
 
(1,1)𝑡 = 1.000 (agora para calcular t temos que usar logaritmo no dois lados da equação para pode 
utilizar a propriedade log𝑎 𝑁
𝑚 = 𝑚. log𝑎 𝑁, o expoente m passa multiplicando) 
 
log(1,1)𝑡 = log 1.000 
 
t.log 1,1 = log 103 (lembrando que 1000 = 103 e que o logaritmo é de base 10) 
 
t.0,04 = 3 
t = 
3
0,04
=
3
4.10−2
=
3
4
. 102 
 
t = 
3
4
. 100 anos, portanto, ¾ de século. 
 
07. Resposta: A. 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 
0,3=0,08t 
T=3,75 meses 
 
08. Resposta: B. 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
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. 166 
log3 = t.log (10/9) 
0,48 = (log10 - log9).t 
0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t 
0,48 = (1 - 0,96).t 
0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 
t = 12 
 
09. Resposta: 05. 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 
0,15 = t . 0,03 
t = 5 
 
 
DESCONTOS 
 
Quando temos um título, seja ele uma duplicata, uma nota promissória, letra de câmbio etc, e temos a 
necessidade de obtermos o seu valor antes da data de vencimento, as instituições financeiras cobram 
por esta antecipação uma taxa administrativa que incide sobre o valor do título (valor nominal). 
 
Exemplo: 
 
 
 
Fonte: https://centraldefavoritos.wordpress.com/2012/05/30/titulos-de-credito/ 
 
Ao resgatar uma duplicata dois meses, antes da data do vencimento (04/03/2005), o credor José da 
Silva (aquele que receber o valor da mesma) recebe uma quantia de R$ 460,00. 
A essa diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual) damos o nome 
de desconto. 
 
D = N – A 
Onde: 
D = desconto 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 167 
N = valor nominal 
A = valor atual 
 
O desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento é maior, resultando 
num resgate de menor valor parao proprietário do título. O desconto é o contrário da capitalização. 
 
 
 
Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido 
no regime de juros simples ou compostos, respectivamente. Os descontos (simples ou compostos) 
podem ser divididos em: 
 
Simples {
Racional
Comercial
 
 
Composto {
Racional
Comercial
 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
Desconto Racional Simples (por dentro) 
O desconto racional nos passa a ideia de “honesto”, pois todas a taxas são cobradas em cima do valor 
atual (A) do título. 
 
Associando com o juros simples teremos: 
 
 
 
 
 
Das fórmulas acimas podemos escrever também uma outra: 
DRS = A.i.t e 
𝐴 =
N
1+i.t
 , então 
 
 Comparando com o regime de juros, observamos que: 
 
- o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante; 
- o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de 
Capital; 
- e o Desconto nos dá ideia de Juros. 
Onde: 
 
DRS = Desconto Racional Simples 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
Onde: 
 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
𝐃𝐑𝐒 =
𝐍. 𝐢. 𝐭
𝟏 + 𝐢. 𝐭
 
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. 168 
Caso na hora da prova você não lembre a fórmula acima, basta lembrar as de juros simples e fazer as 
respectivamente as associações. 
 
Exemplo: 
(ASSAF NETO). Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo 
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-
se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. 
N = 4 000 
t = 3 meses 
i = 42% a.a = 42 / 12 = 3,5% a.m = 0,035 
D = ? 
Vd = ? 
 
DRS =
N. i. t
1 + i. t
=
4000.0,035.3
1 + 0,035.3
=
420
1,105
= 380,10 
 
Vd = 4 000 – 380,10 = 3 619,90 
 
 
 Desconto Comercial Simples (por fora) 
O desconto comercial ou bancário nos passa a ideia de que alguém está “levando” um por fora, pois 
todas as taxas são cobradas em cima do valor nominal (N) do título. O valor nominal é sempre maior 
e é justamente onde eles querem ganhar. 
 
Como associamos as fórmulas a juros simples, escrevemos a mesma como fizemos com desconto 
racional, alterando o valor atual pelo nominal. 
 
 
 
Exemplo: 
Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence 
daqui a 45 dias. 
I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, 
recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. 
II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples. 
Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante 
receberá no ato do desconto o valor de: 
(A) R$ 27.200,00 
(B) R$ 27.800,00 
(C) R$ 28.000,00 
(D) R$ 28.160,00 
(E) R$ 28.401,60 
 
Observe que todas as taxas estão no mesmo período. 
Banco A (desconto comercial simples) 
i = 2% a.m = 0,02 
A = 28 178,50 
N = ? 
 
Dcs = N.i.t ; D = N – A , vamos igualar os descontos: 
N – A = N.i.t → N – 28 178,5 = N.0,02.1,5 → N – 0,03.N = 28 178,5 → 0,97N = 28 178,5 → 
N = 28 178,5 / 0,97 → N = 29 050. 
 
Onde: 
 
DCS = Desconto Comercial Simples 
N = Valor Nominal 
i = taxa 
t = tempo ou período 
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. 169 
Banco B (desconto racional simples) 
i = 2,5% a.m = 0,025 
t = 1,5 meses 
A =? 
N = A.(1 + i.t) 
29 050 = A.(1 + 0,025.1,5) → 29 050 = A .1,0375 → A = 29 050 / 1,0375 → A = 28 000 
Resposta: C. 
 
Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada 
Em alguns casos teremos acréscimos de taxas pré-fixadas aos títulos, que são as taxas de despesas 
bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) cobradas sobre o valor nominal (N). Quando 
as mesmas aparecem nos enunciados, devemos soma-la a taxa de juros, conforme a fórmula abaixo: 
 
Db = N. (i.t + h) 
 
Onde: 
Dc = desconto comercial ou bancário 
N = valor nominal 
i = taxa de juros cobrada 
t = tempo ou período 
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias. 
 
Temos ainda o valor bancário recebido, que nada mais é que: Vb = N – Db , na qual podemos escrever 
da seguinte forma: 
 
V = N – Db → Vb = N – N (i.t + h) → Vb = N.[ 1 - (i.t + h)] 
 
Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr) 
Algumas questões propõem a utilização dessa relação para sabermos o valor do desconto caso fosse 
utilizado o desconto comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa. 
A relação é dada por: 
 
Dc = Dr . (1 + i.t) 
 
Questões 
 
01. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros 
simples de 12% a.m. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da 
promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível 
em três meses. O valor da comissão é de: 
 
02. (MPE/RN – Analista Administração - FCC) Dois títulos são descontados em um banco 4 meses 
antes de seus vencimentos com uma taxa de desconto, em ambos os casos, de 2% ao mês. O valor atual 
do primeiro título foi igual a R$ 29.440,00 e foi utilizada a operação de desconto comercial simples. O 
valor atual do segundo título foi igual a R$ 20.000,00 e foi utilizada a operação de desconto racional 
simples. A soma dos valores nominais destes dois títulos é igual a 
(A) R$ 53.600,00. 
(B) R$ 54.200,00. 
(C) R$ 55.400,00. 
(D) R$ 56.000,00. 
(E) R$ 56.400,00. 
 
03. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. O 
valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o 
tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de: 
 
04. (MPE/PE – Analista Ministerial – Ciências Contábeis - FCC) Dois títulos de valores nominais 
iguais são descontados, na data de hoje, com uma taxa de desconto de 2% ao mês. O primeiro título foi 
descontado 4 meses antes de seu vencimento segundo uma operação de desconto comercial simples. O 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 170 
segundo título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento segundo uma operação de desconto 
racional simples. Se o valor presente do segundo título apresentou um valor de R$ 20.000,00, então a 
soma dos valores dos descontos dos dois títulos é igual a 
(A) R$ 2.400,00. 
(B) R$ 2.896,00. 
(C) R$ 3.100,00. 
(D) R$ 3.304,00. 
(E) R$ 3.392,00. 
 
05. (MPE/PE – Técnico Ministerial – Contabilidade - FCC) Um título de valor nominal igual a R$ 
35.000,00 é descontado em um banco e o valor presente foi igual a R$ 31.850,00. A operação utilizada 
foi a do desconto comercial simples com uma taxa anual de desconto de 18%. O número de meses em 
que este título foi descontado antes de seu vencimento foi 
(A) 7. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 3. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 200 000. 
h = 0,04 
t = 3 
iB = 0,12 . 3 
AB = N . [1 - (iB + h)] 
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)] 
300 000 = N . [1 – 0,4] 
N = 500 000 
Vc = 0,04 . N 
Vc = 0,04 . 500 000 
Vc = 20 000 
 
02. Resposta: A. 
1º título - Dcs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 29440 
N1 = ? 
D = N – A 
Dcs = N.i.t → N – A = N.i.t → N – 29440 = N.0,02.4 → N – 29440 = N.0,08 → N – 0,08N = 29440 → 
0,02N = 29440 → N = 29440 / 0,02 → N = 32000 
 
2º título - Drs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 20000 
N2 = ? 
N = A (1 + i.t) → N = 20000 (1 + 0,02.4) → N = 20000 (1 + 0,08) → N = 20000.1,08 → N = 21600 
Como o enunciado da questão pede a soma dos valores nominais, então teremos: 
N1 + N2 → 32000 + 21600 = 53600. 
 
03. Resposta: 8600,22. 
Dc = 860 
Dr = 781,82 
Usando N = (Dc . Dr) / (Dc – Dr),N = (860 . 781,82) / (860 – 781,82) = 672365,2 / 78,18 = 8600,22 
 
04. Resposta: B. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 171 
N1 = N2 ; D1 + D2 = ? 
2º título – Drs – vamos calcular primeiro o valor deste título pois é o único que foi informado o valor do 
Atual. 
i = 2% a.m = 0,02 
t = 3 m 
A = 20000 
N = A (1+i.t) → N = 20000 (1 + 0,02.3) → N = 21200 , o desconto é dado por: 
D = N – A → D = 21200 – 20000 → D = 1200 
 
1º título – Dcs 
i = 2% a.m = 0,02 
t = 4 meses 
Dcs = N.i.t → Dcs = 21200.0,02.4 → Dcs = 1696 
Como queremos saber as somas dos descontos então: Dcs + Drs = 1696 + 1200 = 2896. 
 
05. Resposta: D. 
Pelo enunciado temos: 
N = 35000 
A = 31850 
i = 18% a.a = 18/12 = 1,5% a. m = 0,015 
t = ? 
Como trata-se de desconto comercial simples (Dcs). 
Sabemos que D = N – A → D = 35000 – 31850 = 3150 
Dcs = N.i.t → 3150 = 35000. 0,015. t → 3150 = 525t → t = 3150/525 → t = 6 meses 
 
DESCONTO COMPOSTOS 
 
Desconto Racional Composto (por dentro) 
As fórmulas estão associadas com os juros compostos, assim teremos: 
 
 
 
 
 
Desconto Comercial Composto (por fora) 
Como a taxa incide sobre o Valor Nominal (maior valor), trocamos na fórmula o N pelo A e vice versa, 
mudando o sinal da taxa (de positivo para negativo). 
 
Onde: 
 
D = Desconto Racional Composto 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
Onde: 
 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 172 
 
 
 
 
Questões 
 
 
01. (PREF.MUNICIPAL DE SÃO PAULO – Auditor Fiscal Tributário Municipal – FCC) Dois títulos, 
um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, foram descontados hoje, 
com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de seus valores nominais 
é R$ 5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$ 5.005,00. O maior dos valores nominais 
supera o menor deles em 
(A) R$ 1.195,00. 
(B) R$ 1.215,50. 
(C) R$ 1.417,50. 
(D) R$ 1.484,00. 
(E) R$ 1.502,50. 
 
02. (TCU – Auditor Federal de Controle Esterno – CESPE) Na contração de determinada empresa 
por certo órgão público, ficou acordado que o administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do 
serviço, mais quatro parcelas iguais no valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no 
final do primeiro, segundo, terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que 
a empresa tenha concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido 
negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda 
parcela. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na 
antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que seria 
obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (TCE/PR – Analista de Controle – Área Atuarial - FCC) O valor do desconto de um título de valor 
nominal igual a R$ 15.961,25, resgatado 2 anos antes de seu vencimento e segundo o critério do desconto 
composto real, é igual a R$ 3.461,25. A taxa anual de desconto utilizada foi de 
(A) 11%. 
(B) 13%. 
(C) 14%. 
(D) 15%. 
(E) 16%. 
 
04. Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor 
de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m. 
(despreze os centavos, se houver). 
 
Onde: 
 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
Observações: 
 
Algumas literaturas representam o tempo pela letra n ao invés de t, para o tempo, S ou 
FN (VN) ao invés de N para o valor nominal e C ao invés de A ou FA (VA) para o valor 
atual, d ao invés de i para a taxa de juros, entre outras. Essas convenções literárias não 
alteram os cálculos, só precisamos saber o que cada letra representa dentro do contexto e 
aplica-los. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 173 
05. (Prefeitura de São Paulo/SP - Auditor Fiscal Municipal – CETRO) Com adiantamento de dois 
meses do vencimento, um título de valor nominal de R$30.000,00 é descontado a uma taxa composta de 
10% a.m.. A diferença entre o desconto racional composto e o desconto comercial composto será de: 
(A) R$246,59. 
(B) R$366,89. 
(C) R$493,39. 
(D) R$576,29. 
(E) R$606,49. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
t = 30 dias = 1 mês (1º título) e 60d = 2 meses(2º título) 
Drc 
i = 5% a.m = 0,05 
N1 + N2 = 5418 
A1 + A2 = 5005 → A1 = 5005 – A2 
Temos que o Drc é dado por : 
N = A (1 + i)t → N1 = A1 (1 + 0,05)1 e N2 = A2 (1,05)2 → N2 = A2.(1,1025) 
N1 + N2 = 5418 , substituindo teremos: 
A1 (1,05) + A2(1,1025) = 5418 , como temos que A1 = 5005 – A2 : 
(5005 – A2).(1,05) + A2(1,1025) = 5418 → 5255,25 – 1,05 A2 + 1,1025 A2 = 5418 → 
0,0525 A2 = 5418 – 5255,25 → 0,0525 A2 = 162,75 → A2 = 3100 e A1 = 5005 – 3100 = 1905 
N1 = 1,05 .1905 = 2000,25 e N2 = 1,1025. 3100 = 3417,75 
O maior é N2 e o menor N1 , assim faremos N2 – N1 = 3417,75 – 2000,25 = 1417,5 
 
02. Resposta: CERTO. 
Como ele pede para saber se antecipássemos o valor da 3º parcela em um 1 ano, termos: 
N = 132.000 
t = 1 
i = 10% a.a = 0,10 
- Para o Desconto Racional Composto: A = N / (1 + i)t 
A = 132.000 / (1 + 0,1)¹ → A = 132.000 / 1,1 
- Fazendo no Desconto Racional Simples: A = N / (1 + i.t) 
A = 132.000 / (1 + 0,1.1) 
A = 132.000 / 1,1 
Ao anteciparmos 3° parcela em um ano, o desconto obtido com o valor desta parcela será o mesmo 
que seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
 
03. Resposta: B. 
O termo real faz referência a racional. 
N = 15961,25 
t = 2 anos 
Drc = 3461,25 
i = ? 
D = N – A → 3461,25 = 15961,25 – A → A = 15961,25 – 3461,25 → A = 12500 
N = A (1 + i)t → 15961,25 = 12500.(1 + i)2 → (1 + i)2 = 15961,25 / 12500 → (1 + i)2 = 1,2769 → 1 + i = 
√ 1,279 → 1,13 = 1 + i → i = 1,13 – 1 → i = 0,13 → i = 13% 
 
04. Resposta: 4952,23. 
A = 4400 
t = 4 meses 
i = 0,03 a.m. 
A = N – Drc 
A + Drc = N 
Drc = N . [1 - (1 / (1 + i)t)] 
(1 + i)t = 1,12550881 
Drc = N . 0,12550881 / 1,12550881 
Drc = (A + Drc) . 0.12550881 / 1,12550881 
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. 174 
Drc = (4400 + Drc) . 0,12550881 / 1,12550881 
Drc = (4400 + Drc) . 0,12550881 / 1,12550881 
Drc = 490,657 + Drc . 0,12550881 / 1,12550881 
Drc – Drc . 0,12550881 / 1,12550881 = 490,657 
Drc . (1 – 0.12550881 / 1,12550881) = 490,657 
Drc . 0,888487048 = 490,657 
Drc = 552.23 
N = A + Drc 
N = 4400 + 552,23 
N = 4952,23 
 
05. Resposta: C 
N = 30000 
t = 2 meses 
i = 10% am = 0,10 
Vamos utilizar a formula do Drc: 
N = A(1 + i)t → 30.000= A (1+ 0,1)2 → 30000 = A (1,1)2 → 30000 = A.1,21 → A = 30000 / 1,21 = 
24793,39 
Como D = N – A → D = 30000 – 24793,39 
Drc = 30.000 - 24.793,39 = 5206,61 
Para o desconto comercial composto (lembre-se que a taxa recaí sobre o nominal, então trocamos na 
formula o A pelo N e vice e versa e mudamos o sinal), temos: 
A = N.(1 - i)t → A = 30000 . (1 - 0,1)2 → A = 30000 . 0,81 → A = 24300 
Como D = N – A → D = 30000 – 24300 = 5700, que é o desconto comercial composto 
A diferença será dada pelo módulo, uma vez que sabemos que o Desconto Comercial é maior que o 
racional: |Drc - Dcc| → |5.206,61 - 5.700 | = 493,39 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E NÃO DECIMAL 
 
→ Sistema de Medidas Decimais 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico.A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 há. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 175 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
Unidades de Massa e suas Transformações 
 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 176 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades: 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
Questões 
 
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
02. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
03. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 177 
04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
05. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC/2015) Uma peça de um determinado tecido 
tem 30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com 
duas peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC/2015) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
02. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
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. 178 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
03. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
04. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 (.1000) 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
05. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
06. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
07. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
→ Não Decimais 
 
Medidas de Tempo (Hora) e suas Transformações 
 
 
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido.A unidade utilizada como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
1h → 60 minutos → 3 600 segundos 
 
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60. 
 
Exemplo: 
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos, quantos minutos indica 0,3 horas? 
 
1 hora 60 minutos 
0,3 x 
 
Efetuando temos: 0,3 . 60 = 1. x → x = 18 minutos. Concluímos que 0,3horas = 18 minutos. 
 
- Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 179 
 Hora Minutos 
1 50 
+ 30 
1 80 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, 
temos, então acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
 Hora Minutos 
1 50 
+ 30 
1 80 
+1 -60 
 
 
 
2 20 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
 Hora Minutos 
2 20 
-1 30 
 
 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) dos 2 
para a coluna minutos. 
 
 Hora Minutos 
-1 +60 
2 20 
 
 
-1 30 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 Hora Minutos 
 1 80 
-1 30 
0 50 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
Questões 
 
01. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 
minutos para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma 
prova. Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 180 
02. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
Questão (dificuldade) Tempo (minutos) 
Fácil 8 
Média 10 
Difícil 15 
Muito difícil 20 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
03. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
03. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 181 
POLÍGONOS 
 
Um polígono é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não 
colineares. 
 
Elementos de um polígono 
 
 
 
Um polígono possui os seguintes elementos: 
 
- Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅ ̅̅ , DE̅̅ ̅̅ e AE̅̅̅̅ . 
 
- Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A, B, C, D e E. 
 
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , CE̅̅̅̅ e BE̅̅̅̅ . 
 
- Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): 
, , , , . 
 
- Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo 
(assinalados em vermelho na figura): , , , , . 
 
Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela 
abaixo. 
N° de lados Nome 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o números de lados ou de 
ângulos ou de vértices de um polígonos, pois um polígono de 5 lados tem também e vértices e 5 ângulos. 
 
1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3. 
 
2 - Total de diagonais: 𝐝 =
(𝐧−𝟑).𝐧
𝟐
. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 182 
3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°. 
 
4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma 
constante, isto é, Se = 360°. 
 
Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes 
(iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 
90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das 
quatro acima: 
 
1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 =
(𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐢 =
𝐒𝐢
𝐧
. 
 
2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 =
𝟑𝟔𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐞 =
𝐒𝐞
𝐧
. 
 
Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 
Vejamos: 
 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
1) Os ângulos correspondentes são congruentes: 
 
 
2) Os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
 𝑜𝑢 
 
3,8
5,7
=
4
6
=
2,4
3,6
=
2
3
 
 
Podemos dizer que os polígonos são semelhantes. Mas a semelhança só 
será válida se ambas condições existirem simultaneamente. 
 
 A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de 
semelhança, ou seja: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
= 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
2
3
 
 
Outras figuras semelhantes (formas iguais e tamanhos diferentes): 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 183 
 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
 
Questões 
 
01. A soma dos ângulos internos de um heptágono é: 
(A) 360° 
(B) 540° 
(C) 1400° 
(D) 900° 
(E) 180° 
 
02. Qual é o número de diagonais de um icoságono? 
(A) 20 
(B) 70 
(C) 160 
(D) 170 
(E) 200 
 
03. O valor de x na figura abaixo é: 
 
(A) 80° 
(B) 90° 
(C) 100° 
(D) 70° 
(E) 50° 
 
04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número 
de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia: 
(A) Triangular 
(B) Quadrangular 
(C) Pentagonal 
(D) Hexagonal 
(E) Decagonal 
 
05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. 
O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são: 
(A) 54 e 12 
(B) 18 e 60 
(C) 12 e 54 
(D) 60 e 18 
(E) 15 e 30 
 
06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse 
polígono? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 26 
1290748 E-book geradoespecialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 184 
(D) 30 
(E) 32 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Heptágono (7 lados) → n = 7 
Si = (n – 2).180° 
Si = (7 – 2).180° 
Si = 5.180° = 900° 
 
02. Resposta: D. 
Icoságono (20 lados) → n = 20 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(20−3).20
2
= 17.10 
 
d = 170 
 
03. Resposta: A. 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
Si = (n – 2).180º 
Si = (5 – 2).180º 
Si = 3.180º → Si = 540º 
540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º 
540º = 5x + 3x / 2 + 20º 
520º = 10x + 3x / 2 
1040º = 13x 
X = 1040º / 13 → x = 80º 
 
04. Resposta: C. 
Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter: 
d = n 
 
(𝑛−3).𝑛
2
= 𝑛 (passando o 2 multiplicando) 
 
(n – 3).n = 2n 
n – 3 = 2 
n = 2 + 3 
n = 5 → pentagonal 
 
05. Resposta: C. 
Do enunciado, temos: 
Si = 5.Se 
(n – 2).180º = 5.360° 
(n – 2).180° = 1800° 
n – 2 = 
1800
180
 
n – 2 = 10 
n = 10 + 2 = 12 lados 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(12−3).12
2
 
 
d = 9.6 = 54 diagonais 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 185 
06. Resposta: B. 
Temos que ae = 15° 
 
𝑎𝑒 =
360°
𝑛
 
 
15° =
360°
𝑛
 
 
15n = 360 
n = 360 : 15 
n = 24 lados 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado 
e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do 
centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais. 
 
I) Triângulo Equilátero: 
 
 
 
II) Quadrado: 
 
 
III) Hexágono Regular 
 
 
 
Questões 
 
01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em 
centímetros: 
(A) 4 
- Lado: l = r√3 
- Apótema: a =
r
2
 
- Lado: l = r√2 
- Apótema: a =
r√2
2
 
- Lado: l = r 
- Apótema: a =
r√3
2
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 186 
(B) 4√3 
(C) 8 
(D) 8√2 
(E) 12 
 
02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa 
circunferência é: 
(A) 15 cm 
(B) 10 cm 
(C) 8 cm 
(D) 20 cm 
(E) 25 cm 
 
03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado 
está inscrito, em dm, vale: 
(A) 4√2 dm 
(B) 5√2 dm 
(C) 6√2 dm 
(D) 7√2 dm 
(E) 8√2 dm 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 
𝑎 =
𝑟√3
2
 →𝑎 =
8√3
2
= 4√3 cm 
 
02. Resposta: D. 
Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. 
𝑎 =
𝑟
2
 → 10 =
𝑟
2
 → r = 2.10 → r = 20 cm 
 
03. Resposta: C. 
Sendo a = 6, temos: 
𝑎 =
𝑟√2
2
 
 
6 =
𝑟√2
2
 → 𝑟√2 = 2.6 → 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) 
r = 
12
√2
 (temos que racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2) 
 
𝑟 =
12.√2
√2.√2
 → 𝑟 =
12√2
2
 → 𝑟 = 6√2 dm 
 
RAZÃO ENTRE ÁREAS 
 
- Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes 
 
 
Vamos chamar de S1 a área do triângulo ABC = S1 e de S2 a do triângulo A’B’C’ = S2 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 187 
Δ ABC ~ Δ A’B’C’ → 
𝑏1
𝑏2
=
ℎ1
ℎ2
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 = 
𝑏.ℎ
2
 
 
Aplicando as razões temos que: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1. ℎ1
2
𝑏2. ℎ2
2
=
𝑏1
𝑏2
.
ℎ1
ℎ2
= 𝑘. 𝑘 = 𝑘2 →
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
- Razão entre áreas de dois polígonos semelhantes 
 
 
 
Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 
 
ABCDE ... MN = S1 ~ A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 → ΔABC ~ ΔA’B’C’ e ΔACD ~ ΔAMN → 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= ⋯ =
𝑀𝑁
𝑀′𝑁′
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Fazendo: 
 
Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2 
 
Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2 
 
Anteriormente vimos que: 
𝑡𝑖
𝑇𝑖
= 𝑘2 → 𝑡𝑖 = 𝑘
2𝑇𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 − 2 
 
Então: 
 
𝑆1
𝑆2
=
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛−2
𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + ⋯ + 𝑇𝑛−2
→
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
 
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
 
Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 188 
 
 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. É o único 
polígono que não tem diagonais. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, 
lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. 
 
1. Vértices: A, B e C. 
2. Lados: AB̅̅ ̅̅ ,BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ . 
3. Ângulos internos: a, b e c. 
 
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao 
vértice formando um ângulo reto. BH̅̅ ̅̅ é uma altura do triângulo. 
 
 
 
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM̅̅ ̅̅ é uma mediana. 
 
 
 
Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B̂ está dividido ao meio 
e neste caso Ê = Ô. 
 
 
 
Ângulo Interno: Todo triângulo possui três ângulos internos, na figura são Â, B̂ e Ĉ 
 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 189 
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente a 
este lado, na figura são D̂, Ê e F̂ (na cor em destaque). 
 
Classificação 
O triângulo pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto aos lados: 
 
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(BC̅̅̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e os três ângulos 
iguais. 
 
 
Triângulo Isósceles: Tem dois lados com medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e dois ângulos iguais. 
 
 
 
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes, m(AB̅̅ ̅̅ ) ≠ m(AC̅̅̅̅ ) ≠ m(BC̅̅̅̅ ) e os três 
ângulos diferentes. 
 
 
2 - Quanto aos ângulos: 
 
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são 
menores do que 90º. 
 
 
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do 
que 90º. 
 
 
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90° graus). 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 190 
Propriedade dos ângulos 
 
1- Ângulos Internos: a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. 
 
 
a + b + c = 180º 
2- Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC onde as letras minúsculas representam os 
ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Temos que em todo triângulo 
cada ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos apostos. 
 
 
 
 = b̂ + ĉ; B̂ = â + ĉ e Ĉ = â + b̂ 
 
Semelhança de triângulos 
Dois triângulos são semelhantes se tiverem, entre si, os lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos congruentes (iguais). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critérios de semelhança 
1- Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem, entre si, dois ângulos correspondentes 
congruentes iguais, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
 
2- Dois lados congruentes: Se doistriângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
 
Dados os triângulos acima, onde: 
AB̅̅ ̅̅
DE̅̅ ̅̅
=
BC̅̅̅̅
EF̅̅̅̅
=
AC̅̅̅̅
DF̅̅̅̅
 
 
e  = D̂ B̂ = Ê Ĉ = F̂, então os triângulos ABC e DEF 
são semelhantes e escrevemos ABC~DEF. 
Nas figuras ao lado: Â = D̂ e Ĉ = F̂ 
 
então: ABC ~ DEF 
 
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. 191 
 
 
3- Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, 
então os triângulos são semelhantes. 
 
 
 
Observação: temos três critérios de semelhança, porém o mais utilizado para resolução de exercícios, 
isto é, para provar que dois triângulos são semelhantes, basta provar que eles tem dois ângulos 
correspondentes congruentes (iguais). 
 
Questões 
 
01. O valor de x na figura abaixo é: 
 
(A) 30° 
(B) 40° 
(C) 50° 
(D) 60° 
(E) 70° 
 
02. Na figura abaixo AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅ , CB̅̅̅̅ = CD̅̅̅̅ , a medida do ângulo DĈB é: 
 
(A) 34° 
(B) 72° 
(C) 36° 
(D) 45° 
(E) 30° 
 
03. Na figura seguinte, o ângulo AD̂C é reto. O valor em graus do ângulo CB̂D é igual a: 
 
(A) 120° 
Nas figuras ao lado: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅̅̅
=
BC̅̅̅̅
FG̅̅̅̅
→
6
3
=
8
4
= 2 
então: ABC ~ EFG 
Nas figuras ao lado: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝑅𝑇̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑅𝑆̅̅̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝑆𝑇̅̅̅̅
→
3
1,5
=
5
2,5
=
4
2
= 2 
 
então: ABC ~ RST 
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. 192 
(B) 110° 
(C) 105° 
(D) 100° 
(E) 95° 
 
04. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto 
mede o lado do quadrado? 
 
(A) 0,70 
(B) 0,75 
(C) 0,80 
(D) 0,85 
(E) 0,90 
 
05. Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, 
que estacionou a aproximadamente 50 m do solo. Um helicóptero do Exército, situado a 
aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. 
A sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro. 
 
Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é 
aproximadamente: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Da figura temos que 3x é um ângulo externo do triângulo e, portanto, é igual à soma dos dois 
internos opostos, então: 
3x = x + 80º 
3x – x = 80º 
2x = 80° 
x = 80° : 2 
x = 40° 
 
02. Resposta: C. 
Na figura dada, temos três triângulos: ABC, ACD e BCD. Do enunciado AB = AC, o triângulo ABC 
tem dois lados iguais, então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais: 
AĈB = AB̂C = x. A soma dos três ângulos é igual a 180°. 
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. 193 
36° + x + x = 180° 
2x = 180° - 36° 
2x = 144 
x = 144 : 2 
x = 72 
Logo: AĈB = AB̂C = 72° 
Também temos que CB = CD, o triângulo BCD é isósceles: 
CB̂D = CD̂B = 72°, sendo y o ângulo DĈB, a soma é igual a 180°. 
72° + 72° + y = 180° 
144° + y = 180° 
y = 180° - 144° 
y = 36º 
 
03. Resposta: D. 
Na figura temos três triângulos. Do enunciado o ângulo AD̂C = 90° (reto). 
O ângulo BD̂C = 30° → AD̂B = 60º. 
 
O ângulo CB̂D (x) é ângulo externo do triângulo ABD, então: 
x = 60º + 40° (propriedade do ângulo externo) 
x = 100° 
 
04. Resposta: B. 
Sendo x o lado do quadrado: 
 
 
Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes. 
O ângulo BÂC é reto, o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF, logo 
estes dois triângulos são semelhantes. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AC̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅
CF̅̅ ̅̅
 
1
x
=
3
3−x
 (multiplicando em “cruz”) 
 
3x = 1.(3 – x) 
3x = 3 – x 
3x + x = 3 
4x = 3 
x = ¾ 
x = 0,75 
 
05. Resposta: A. 
Da figura dada, podemos observar os seguintes triângulos: 
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. 194 
 
Os triângulos ABC e ADE são isósceles. A altura divide as bases em duas partes iguais. E esses dois 
triângulos são semelhantes, pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. Então: 
CG̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AG̅̅ ̅̅
AF̅̅ ̅̅
 
 
8
r
=
80
30
 
 
8r = 8.3 
r = 3 m 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
Em um triângulo qualquer nós temos alguns elementos chamados de cevianas. Estes elementos são: 
- Altura: segmento que sai do vértice e forma um ângulo de 90° com o lado oposto a esse vértice. 
- Mediana: segmento que sai do vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice, isto é, 
divide o lado oposto em duas partes iguais. 
- Bissetriz do ângulo interno: semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais. 
- Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio do lado formando um ângulo de 90° 
 
 
 
E todo triângulo tem três desses elementos, isto é, o triângulo tem três alturas, três medianas, três 
bissetrizes e três mediatrizes. Os pontos de intersecção desses elementos são chamados de pontos 
notáveis do triângulo. 
 
- Baricentro: é o ponto de intersecção das três medianas de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
E divide as medianas na razão de 2:1. É ponto de gravidade do triângulo. 
- AH̅̅ ̅̅ : altura relativa ao vértice A (ou ao lado BC̅̅̅̅ ). 
- AS̅̅̅̅ : bissetriz interna relativa ao vértice A. 
- AM̅̅̅̅̅: mediana relativa do vértice A (ou al lado BC̅̅̅̅ ) 
- r: mediatriz relativa ao lado BC̅̅̅̅ . 
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. 195 
 
 
- Incentro: é o ponto de intersecção das três bissetrizes de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
É o centro da circunferência circunscrita (está dentro do triângulo tangenciando seus três lados). 
 
 
- Circuncentro: é o ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo. É o centro da 
circunferência circunscrita (está por fora do triângulo passando por seus três vértices). No triângulo 
acutângulo o circuncentro é um ponto interno, no triângulo obtusângulo é um ponto externo e no triângulo 
retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
 
 
- Ortocentro: é o ponto de intersecção das três alturas de um triângulo. No triângulo acutângulo é um 
ponto interno, no triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto e no triângulo obtusângulo é um ponto 
externo. 
 
 
Um triângulo cujos vértices são os “pés” das alturas de um outro triângulo chama-se triângulo órtico 
do primeiro triângulo. 
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. 196 
 
Observações: 
1) Num triângulo isósceles (dois lados iguais) os quatro pontos notáveis são colineares (estão numa 
alinhados). 
2) Num triângulo equilátero (três lados iguais) os quatro pontos notáveis são coincidentes, isto é, um 
só ponto já é o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. 
3) As iniciais dos quatro pontos formam a palavra BICO. 
 
Questões 
 
01. Assinale a afirmação falsa: 
(A) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes. 
(B) O encentro de qualquer triângulo é sempre um ponto interno. 
(C) O ortocentro de um triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto. 
(D) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
(E) O baricentro de qualquer triângulo é o ponto médio de cada mediana. 
 
02. (UC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro O e raio 2 
cm. AD̅̅ ̅̅ é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE̅̅̅̅ , em centímetros, é:(A) 2√3 
(B) 2√5 
(C) 3 
(D) 5 
(E) √26 
 
03. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
(A) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo acutângulo. 
(B) O baricentro pode ser um ponto de um dos lados do triângulo e isto ocorre no triângulo escaleno. 
(C) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(D) O baricentro pode ser um ponto dos vértices do triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(E) O baricentro sempre será um ponto interior ao triângulo. 
 
04. Na figura a seguir, H é o ortocentro do triângulo ABC, AĈH = 30° e BĈH = 40°. Determine as 
medidas dos ângulos de vértices A e B. 
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. 197 
 
 
05. O ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo é o: 
(A) Baricentro 
(B) Incentro 
(C) Circuncentro 
(D) Ortocentro 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
O baricentro divide as medianas na razão de 2 para 1, logo não é ponto médio. 
 
02. Resposta: A. 
Do enunciado temos que O é o circuncentro (centro da circunferência inscrita) então O também é 
baricentro (no triângulo equilátero os 4 pontos notáveis são coincidentes), logo pela propriedade do 
baricentro temos que AO̅̅ ̅̅ é o dobro de OD̅̅ ̅̅ . Se OD̅̅ ̅̅ = 2 (raio da circunferência) → AO̅̅ ̅̅ = 4 cm. 
O ponto E é ponto de tangência, logo o raio traçado no ponto de tangência forma ângulo reto (90°) e 
OE̅̅ ̅̅ = 2 cm. Portanto o triângulo AEO é retângulo, basta aplicar o Teorema de Pitágoras e sendo AE̅̅̅̅ = x: 
 
(AO̅̅ ̅̅ )2 = (AE̅̅̅̅ )2 + (OE̅̅ ̅̅ )2 
42 = x2 + 22 
16 − 4 = x2 
x2 = 12 
x = √12 
x = 2√3 cm 
 
03. Resposta: E. 
O baricentro é sempre interno, pois as 3 medianas de um triângulo são segmentos internos. 
 
04. Respostas: A = 60° e B = 50° 
Ortocentro é ponto de intersecção das alturas de um triângulo, então se prolongarmos o segmento CH 
até a base formará um ângulo de 90° (reto). Formando dois triângulos retângulos ACD e BCD, de acordo 
com a figura abaixo: 
 
 
A soma do ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
No triângulo ACD: A + 90° + 30° = 180° → A = 180° - 90° - 30° = 60° 
No triângulo BCD: B + 90° + 40° = 180° → B = 180° - 90° - 40° = 50° 
 
05. Resposta: C. 
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. 198 
QUADRILÁTEROS 
 
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades: 
- Tem 4 lados. 
- Tem 2 diagonais. 
- A soma dos ângulos internos Si = 360º 
- A soma dos ângulos externos Se = 360º 
 
Observação: é o único polígono em que Si = Se 
 
 
 
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos: 
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D. 
- Os ângulos internos são A, B, C e D. 
- Os lados são os segmentos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ . 
 
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos 
e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma 
dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus. 
 
 
 
 
Quadriláteros Notáveis: 
 
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ é paralelo a CD̅̅̅̅ 
 
Os trapézios podem ser: 
 
- Retângulo: dois ângulos retos. 
- Isósceles: lados não paralelos congruentes (iguais). 
- Escaleno: os quatro lados diferentes. 
 
 
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. 199 
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos 
opostos são congruentes e os lados apostos também são congruentes. 
 
 
 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ //CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ //BC̅̅̅̅ 
- AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ = BC̅̅̅̅ (lados opostos iguais) 
- Â = Ĉ e B̂ = D̂ (ângulos opostos iguais) 
- AC̅̅̅̅ ≠ BD̅̅ ̅̅ (duas diagonais diferentes) 
 
Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: 
 
- Losango: 4 lados congruentes 
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) 
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. 
 
 
 
Observações: 
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais) 
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são 
bissetrizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio). 
 
Fórmulas da área dos quadriláteros: 
1 - Trapézio: A =
(B+b).h
2
, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida 
da altura. 
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. 
3 - Retângulo: A = b.h 
4 - Losango: A =
D.d
2
, onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor. 
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado. 
 
Questões 
 
01. Determine a medida dos ângulos indicados: 
 
a) 
 
 
 
 
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. 200 
b) 
 
c) 
 
02. Com relação aos quadriláteros, assinale a alternativa incorreta: 
(A) Todo quadrado é um trapézio. 
(B) Todo retângulo é um paralelogramo. 
(C) Todo quadrado é um losango. 
(D) Todo trapézio é um paralelogramo. 
(E) Todo losango é um paralelogramo. 
 
03. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles, onde AD = 4, CD = 1, A = 60° e a altura vale 2√3. A área 
desse trapézio é 
 
(A) 4. 
(B) (4√3)/3. 
(C) 5√3. 
(D) 6√3. 
(E) 7. 
 
04. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos 
desse trapézio. Determine a medida de a, b, c. 
 
(A) a = 63°, b = 117° e c = 63° 
(B) a = 117°, b = 63° e c = 117° 
(C) a = 63°, b = 63° e c = 117° 
(D) a = 117°, b = 117° e c = 63° 
(E) a = b = c = 63° 
 
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. 201 
05. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da 
base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, as medidas de x e y são, respectivamente: 
(A) 3 e 8 
(B) 5 e 6 
(C) 4 e 7 
(D) 6 e 5 
(E) 8 e 3 
 
Respostas 
 
01. Respostas: a = 70º; b = 162º e c = 18º. 
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º 
x + 290° = 360° 
x = 360° - 290° 
x = 70º 
 
b) x + 80° + 82° = 180° 
x + 162° = 180° 
x = 180º - 162º 
x = 18° 
18º + 90º + y + 90º = 360° 
y + 198° = 360° 
y = 360º - 198° 
y = 162º 
 
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º 
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 
10a = 720º 
a = 720° / 10 
a = 72° 
 72° + b + 90° = 180° 
b + 162° = 180° 
b = 180° - 162° 
b = 18°. 
 
02. Resposta: D. 
Trata-se de uma pergunta teórica. 
a) V → o quadrado tem dois lados paralelos, portanto é um trapézio. 
b) V → o retângulo tem os lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
c) V → o quadrado tem os lados opostos paralelos e os 4 lados congruentes, portanto é um 
losango. 
d) F 
e) V → o losango tem lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
 
03. Resposta: D. 
De acordo com e enunciado, temos: 
 
 
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. 202 
- sen60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
√3
2
=
ℎ
4
 → 2h = 4√3 → h = 2√3 
 
- cos60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
1
2
=
𝑥
4
 → 2x = 4 → x = 2 
 
- base maior AB = x + 1 + x = 2 + 1 + 2 = 5 
 
- base menor CD = 1 
 
A = 
(𝐵+𝑏).ℎ
2
 → A = 
(5+1).2√3
2
 → A = 6√3 
 
 
04. Resposta: C. 
Em um trapézio isósceles como o da figura, os ângulos da base são congruentes e os ângulos 
superiores também são congruentes. E a soma de uma superior mais um da base é igual a 180°. 
c = 117° 
a + 117° = 180° 
a = 180° - 117° 
a = 63° 
b = 63° 
 
05. Resposta:E. 
 
x + y = 11 
x - y = 5 
_________ 
 
2x + 0 = 16 
2x = 16/2 
x = 8 
 
x + y = 11 
8 + y = 11 
y = 11 – 8 
y = 3 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
 
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão 
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez 
seja a curva mais importante no contexto das aplicações. 
 
 
 
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. 203 
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é 
menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O 
círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico 
acima, a circunferência é a linha de cor verde escuro que envolve a região verde claro, enquanto o círculo 
é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. 
 
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo 
 
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na 
circunferência. 
 
 
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. 
 
Raio, Corda e Diâmetro 
 
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no 
centro da circunferência (ou do círculo) e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na 
figura abaixo, os segmentos de reta OA̅̅ ̅̅ , OB̅̅ ̅̅ e OC̅̅̅̅ são raios. 
 
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à 
circunferência (ou seja, um segmento que une dois pontos de uma circunferência). Na figura abaixo, os 
segmentos de reta AC̅̅̅̅ e DE̅̅ ̅̅ são cordas. 
 
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da 
circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura abaixo, o 
segmento de reta AC̅̅̅̅ é um diâmetro. 
 
 
Posições relativas de uma reta e uma circunferência 
 
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em 
dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. 
 
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência 
em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura 
ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à 
circunferência. 
 
 
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. 204 
Reta externa (ou exterior): é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência. Na figura 
abaixo a reta t é externa. 
 
 
Propriedades das secantes e tangentes 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta 
secante s. 
 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B, a perpendicular às retas que passam pelo centro O da circunferência, passa também pelo 
ponto médio da corda AB. 
 
 
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta 
perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. 
 
 
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
Posições relativas de duas circunferências 
 
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é 
denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. 
 
 
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em 
dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, 
temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão 
em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. 
 
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. 205 
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os 
pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus 
pontos são pontos externos à outra. 
 
 
 
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios 
diferentes são circunferências concêntricas. 
 
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à 
outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. 
 
 
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da 
reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado 
da reta tangente comum. 
 
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. 
 
 
 
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e 
B, então esses segmentos AP e BP são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS (OU ARCOS) NA CIRCURFERÊNCIA 
 
Ângulo central: é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Este ângulo 
determina um arco na circunferência, e a medida do ângulo central e do arco são iguais. 
 
 
 
O ângulo central determina na circunferência um arco𝐴�̂� e sua medida é igual a esse arco. 
 
 
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. 206 
α = AB̂ 
Ângulo Inscrito: é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. 
 
 
 
O ângulo inscrito determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual à metade do arco. 
α =
AB̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Interno: é formado por duas cordas da circunferência. 
 
 
 
O ângulo excêntrico interno determina na circunferência dois arcos AB e CD e sua medida é igual à 
metade da soma dos dois arcos. 
α =
AB̂ + CD̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Externo: é formado por duas retas secantes à circunferência. 
 
O ângulo excêntrico externo determina na circunferência dois arcos 𝐴�̂� e 𝐶�̂� e sua medida é igual à 
metade da diferença dos dois arcos. 
 
 α =
AB̂ − CD̂
2
 
 
 
Questões 
 
01. O valor de x na figura abaixo é: 
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. 207 
 
 
(A) 90° 
(B) 92° 
(C) 96° 
(D) 98° 
(E) 100° 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de y? 
 
 
(A) 30° 
(B) 45° 
(C) 60° 
(D) 35° 
(E) 25° 
 
03. Na figura seguinte, a medida do ângulo x, em graus, é: 
 
(A) 80° 
(B) 82° 
(C) 84° 
(D) 86° 
(E) 90° 
 
04. A medida do arco x na figura abaixo é: 
 
(A) 15° 
(B) 20° 
(C) 25° 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 208 
(D) 30° 
(E) 45° 
 
05. Uma reta é tangente a uma circunferência quando: 
(A) tem dois pontos em comum. 
(B) tem três pontos em comum. 
(C) não tem ponto em comum. 
(D) tem um único ponto em comum. 
(E) nda 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
O ângulo dado na figura (46°) é um ângulo inscrito, portanto é igual à metade do arco x: 
 
46° =
𝑥
2
 
 
 x = 46°.2 
 x = 92° 
 
02. Resposta: D. 
O ângulo da figura é um ângulo excêntrico externo, portanto é igual à metade da diferença dos dois 
arcos dados. 
 
𝑦 =
110° − 40°
2
 
 
𝑦 =
70°
2
= 35°03. Resposta: C. 
O ângulo x é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 
𝑥 =
108° + 60°
2
 
 
𝑥 =
168°
2
= 84° 
 
04. Resposta: A. 
O ângulo de 55 é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 
55° =
95° + 𝑥
2
 
 
55°. 2 = 95° + 𝑥 
110° − 95° = 𝑥 
𝑥 = 15° 
 
05. Resposta: D. 
Questão teórica 
 
MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS 
 
Arcos (e ângulos) na circunferência 
Se forem tomados dois pontos A e B sobre uma circunferência, ela ficará dividida em duas partes 
chamadas arcos. Estes dois pontos A e B são as extremidades dos arcos. 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 209 
 
 
Usamos a seguinte representação: AB. 
Observação: quando A e B são pontos coincidentes, um arco é chamado de nulo e o outro arco de 
uma volta. 
 
Unidades de medidas de arcos (e ângulos) 
I) Grau: para medir ângulos a circunferência foi dividida em 360° partes iguais, e cada uma dessas 
partes passou a ser chamada de 1 grau (1°). 
1° =
1
360
 (𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑒𝑧𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒 𝑠𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑜𝑠) 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎. 
- submúltiplos do grau 
O grau tem dois submúltiplos (medidas menores que o grau). São o minuto e o segundo, de forma que: 
1° = 60′ ou seja 1 minutos é igual a 1/60 do grau. 
1’ = 60” ou seja 1 segundo é igual a 1/60 do minuto. 
 
II) Radiano 
A medida de um arco, em radianos, é a razão (divisão) entre o comprimento do arco e o raio da 
circunferência sobre a qual está arco está determinado. 
 
 
Sendo α o ângulo (ou arco), r o raio e l o comprimento do arco, temos: 
α =
l
r
 
O arco l terá seu comprimento máximo (ou maior) quando for igual ao comprimento total de uma 
circunferência (C = 2πr – fórmula do comprimento da circunferência), ou seja lmáximo = C → lmax = 2πr. 
Então, o valor máximo do ângulo α em radianos será: 
α =
2πr
r
 ==> α = 2π rad 
 
Observação: uma volta na circunferência é igual a 360° ou 2π rad. 
 
Conversões 
- graus para radianos: para converter grau para radianos usamos uma regra de três simples. 
exemplo: 
Converter 150° para radianos. 
180° π rad 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 210 
150° x rad 
 
180°
150°
=
π
x
 
180𝑥 = 150𝜋 
x =
150π
180
 (simplificando) 
x =
5π
6
 rad 
 
- radianos para graus: basta substituir o π por 180°. 
exemplo: 
Converter 
3π
2
 rad para graus (ou podemos usar regra de três simples também). 
3𝜋
2
=
3.180
2
=
540
2
= 270° 
 
Questões 
 
01. Um ângulo de 120° equivale a quantos radianos? 
 
02. Um ângulo de 
5𝜋
4
 rad equivale a quantos graus? 
 
03. (FUVEST) Quantos graus, mede aproximadamente, um arco de 0,105 rad? (usar π = 3,14) 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 
𝟐𝝅
𝟑
 𝒓𝒂𝒅 
 
180° π rad 
120° x rad 
 
180°
120°
=
𝜋
𝑥
 
 
180x = 120π 
𝑥 =
120𝜋
180
 (simplificando) 
𝑥 =
2𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
02. Resposta: 225° 
5𝜋
4
=
5.180°
4
=
900°
4
= 225° 
 
03. Resposta: 6° 
Neste caso, usamos regra de três: 
180° π rad 
 x 0,105 rad 
 
180°
𝑥
=
𝜋
0,105
 
 
π.x = 180°.0,105 
3,14x = 18,9 
x = 18,9 : 3,14 ≅ 6,01 
x ≅ 6° 
 
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. 211 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
 
Área é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
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. 212 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
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. 213 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
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. 214 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar apipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
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. 215 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo é igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
Respostas 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
d2 = l2 + l2 
(2√7)
2
= 2l2 
4.7 = 2l2 
2l2 = 28 
l2 =
28
2
 
A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
S =
x2 + 302 − 2.30. x + x2
16
 
S =
x2 + 900 − 60x + x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
xv =
− (
−60
16 )
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
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. 216 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
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. 217 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: Atotal =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 218 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (Petrobrás - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 219 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
1290748 E-book gerado especialmente para KETRYN WISTUBA DE FRANCA
 
. 220 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
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. 221 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: 3(2π - 3√𝟑) cm2. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
Sólidos Geométricos são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por 
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera. 
 
- Principio de Cavalieri 
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de 
determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este 
princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções 
planas de iguais altura possuírem a mesma área. 
Vejamos: 
Suponhamos a existência de uma coleção de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de 
mesmas dimensões, e consequentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois 
sólidos com essa coleção de chapas. 
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. 222 
 
 
Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja, o volume ocupado, pela coleção de 
chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B tem o mesmo volume. 
Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo plano α e situados num mesmo semi espaço 
dos determinados por α. 
 
 
Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina em A e em B superfícies de áreas 
iguais (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com igual número 
de moedas congruentes. 
 
 
Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado 
plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies 
equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes). 
 
 
 
A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na colocação dos sólidos com base num mesmo 
plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência) 
 
 
 
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. 223 
- Sólidos geométricos 
 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 
 
 
 Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo 
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim 
por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, 
que são: 
 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. 
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. 224 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo comprimento, largura e altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
 
- Diagonal: D = a√3 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas 
laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um 
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um