Engenharia Economica 1

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Engenharia Econômica 
 GPRO 7702 
Prof. Inessa Salomão 
 
Conceitos 
• Matemática Financeira: 
• Conjunto de técnicas 
• Objetivo de analisar situações financeiras 
• Valor do dinheiro no tempo 
• Juro é a remuneração do capital 
• Capital é qualquer valor disponível (expresso em moeda) para 
investimento em uma determinada data 
• Taxa de juros: 
• Razão entre os juros recebidos e o capital empregado 
 
• Taxa de juros = Juros/Capital 
Exemplo 1 
• Um banco nos apresenta a seguinte proposta de investimento: 
capital inicial $100,00 por um prazo de 6 meses, ao fim do 
qual receberemos $125,00 
• Qual é a taxa de juros nesta operação? 
• Co = 100,00 
• Cf = 125,00 
• Juros recebidos = 125-100 = 25,00 
• Prazo = 6 meses ou 1 semestre! 
Ex. 2 
• Um banco concorrente nos apresenta a seguinte proposta: 
capital inicial $100,00 por um prazo de 1 ano, ao fim do qual 
recebemos $140,00. 
• Qual é a nova taxa de juros? 
Convenções 
• Valor Presente (VP ou PV): capital inicial ou valor atual 
• Valor Futuro (VF ou FV): capital acumulado ou valor capitalizado, 
montante, valor de resgate 
• Tempo: prazo de duração do investimento ou empréstimo 
• Taxa de juros: 
• Diária 
• Mensal 
• Bimestral 
• Trimestral 
• Semestral 
• Anual 
• Instantânea 
• Pagamento (PMT): prestações com valores constantes distribuídos 
periodicamente no tempo 
Prazo da Operação financeira 
• Prazo comercial: 
• Ano = 360 dias 
• Mês = 30 dias 
 
• Prazo civil: 
• Ano comum: 365 
• Ano bissexto: 366 
• Mês é de acordo com o calendário 
 
 
Fluxo de caixa 
• Representação das entradas e saídas de dinheiro 
• Representação gráfica 
 
• Setas verticais = entradas ou saídas de caixa 
 
• Setas para cima= entrada (valores positivos) 
• Seta para baixo = saída (valores negativos) 
Ex. 3 
• Um indivíduo contrai um emprestimo em um banco no valor 
de $200,00, por um prazo de 1 trimestre e valor de resgate de 
$300,00. 
• Qual é a taxa de juros implícita na operação? 
• Qual a representação gráfica do fluxo de caixa? 
Regimes de capitalização 
• Como o dinheiro cresce ao longo do tempo???? 
• Juros Simples x Juros Compostos 
 
• Vamos analisar a evolução de um capital inicial de $100,00 
aplicado por 5 anos, a uma taxa de 10% a.a. 
Regimes de capitalização 
Juros Simples 
An
o 
PV Juros FV 
1 100,00 10% x 100,00 = 10,00 110,00 
2 110,00 10% x 100,00 = 10,00 120,00 
3 120,00 10% x 100,00 = 10,00 130,00 
4 130,00 10% x 100,00 = 10,00 140,00 
5 140,00 10% x 100,00 = 10,00 150,00 
Juros compostos 
An
o 
PV Juros FV 
1 100,00 10% x 100,00 = 10,00 110,00 
2 110,00 10% x 110,00 = 11,00 121,00 
3 121,00 10% x 121,00 = 12,10 133,10 
4 133,10 10% x 133,10 = 13,31 146,41 
5 146,41 10% x 146,41 = 14,64 161,05 
FV = PV * (1+ i * n) FV = PV * (1+ i)n 
Exercícios 
• 2.1. Determinar os juros e o valor do resgate de um 
emprestimo de $ 50.000,00, com taxa de juros de 5% a.m., 
com prazo de três trimestres. 
• Juros Simples 
• FV = PV x(1+ i x n) = 50.000 x(1+ 5% x 9) = 72.500 
• Juros = 72500-50.000 = 22.500 
 
• Juros Compostos 
• FV = PV * (1+ i)n = 50.000 x (1+5%)^9 = 77.566,41 
• Juros = 77566,41-50.000 = 27.566,41 
 
 
 
• Calcular os juros e o montante de um empréstimo de 
$800.000 com prazo de 175 dias, à taxa de 9%a.a. Analisar nas 
hipóteses de ano comercial e ano civil. 
• Juros simples 
• Ano comercial n = 175/360 
• Juros = 800.000 x 9% x 0,4861 = 35.000,00 
• Ou i = 9%/360 = 0,0250% a.d. 
 
• Ano civil n=175/365 
• Depois de quantos meses um investimento dobra de valor, 
considerando uma taxa de juros 10% a.a.? 
• n = FV – 1 = 
• PV 
• i 
 
• FV = 2PV 
Exercícios de Juros compostos 
• Determinar o valor do resgate de um empréstimo de 
$50.000,00 com taxa de juros de 5% a.m. e prazo de 15 dias. 
• FV = PV x (1+i)n = 50.000 x (1+5%)0,5 = 
 
• Calcular o investimento necessário para produzir um 
montante de $23.000,00 a uma taxa de juros de 18,2% a.a., 
daqui a 288 dias. Considerar o ano comercial. 
• Excel 
 
Classificação de taxas de juros 
• Taxas proporcionais 
• Taxas de juros em períodos diferentes de tempo 
• Regime de juros simples 
• Resultam no mesmo montante no final da operação 
• EX: iano= 2 x isemestre= 4 x itrimestre= 6 x ibimestre= 12 x imês= 360 x idia 
 
• Taxas Equivalentes 
• Taxas de juros em períodos diferentes de tempo 
• Regime de juros compostos 
• Resultam no mesmo montante no final da operação 
• EX: (1 + iano)= (1+ isemestre)
2 =...= (1+ imês)
12 = (1+ idia)
360 
Classificação de taxas de juros 
• Taxas proporcionais 
• Um investimento de $100, aplicado à taxa de 1% a.m. durante 12 meses 
é proporcional a um investimento de 12% a.a. 
• Regime de juros simples 
 
 
• Taxas Equivalentes 
• Um investimento de $100, aplicado à taxa de 1% a.m. durante 12 
meses é proporcional a um investimento de 12,68% a.a. 
• Regime de juros compostos 
• Como obtemos a taxa? 
• [(1 + 1%) 12 – 1] = 12,68% 
• Exemplos: 
• Determinar a tx semestral e anual proporcional a 2% a.m. 
• is = 2% x 6 = 12% a.s. 
• ia = 2% x 12 = 24% a.a. 
 
• Determinar a tx semestral e anual equivalente a 2% a.m. 
• (1+ 2%)6 – 1= 12,62% a.s. 
• (1+ 2%)12 – 1= 26,82% a.a. 
100,00 CHS PV 
2 i 
0 PMT 
6 n 
FV 112,62 
Na 12 c, 
Arbitra-se um PV igual 
a $100,00 
• Exercício 
• Determinar a tx mensal proporcional a: a) 6% a.t. b) 36% a.a. 
• im = 6% a.t./3 = 2% a.m. 
• im = 36%a.a./12 = 3% a.a. 
 
• Determinar a tx mensal equivalente a: a) 6% a.t. b) 36% a.a. 
• (1+ i%)n – 1= 
• (1+ i%)n – 1= 
Na 12 c, 
Arbitra-se um PV igual 
a $100,00 
• Exercício 
• Determinar a tx mensal proporcional a: a) 6% a.t. b) 36% a.a. 
• im = 6% a.t./3 = 2% a.m. 
• im = 36%a.a./12 = 3% a.m. 
 
• Determinar a tx mensal equivalente a: a) 6% a.t. b) 36% a.a. 
• (1+ it)1/3 – 1= 1,96% a.m. 
• (1+ ia)1/12 – 1= 2,60% a.m. 
100,00 CHS PV 
6 i 
0 PMT 
1 [enter] 3 [/] n 
FV 101,96 
Os valores das taxas equivalentes são menores 
do que os das taxas proporcionais por causa 
do n fracionário 
Taxas nominais e efetivas 
• Em algumas operações financeiras, as taxas de juros são expressas 
em uma unidade de tempo e capitalizadas em outra 
• Taxa efetiva: 
• Unidade temporal coincide com o período de capitalização 
• Ex.: 
• 17% a.a., capitalizados anualmente 
• 12% a.s., capitalizados semestralmente 
• 1,5% a.m., capitalizados mensalmente 
• Taxa nominal: 
• Unidade temporal não coincide com o período de capitalização 
• Ex.: 
• 17% a.a., capitalizados semestralmente 
• 12% a.s., capitalizados trimestralmente 
• 1,5% a.m., capitalizados diariamente 
 
Calculando uma taxa efetiva 
• Fazer a transformação em regime de juros simples: 
• 17% a.a., capitalizados semestralmente 
• i = 17% a.a./2 semestres = 8,5% a.s. 
 
 
• 12% a.s., capitalizados trimestralmente 
• i = 12% a.s./2 semestres = 6% a.t. 
 
• 1,5% a.m., capitalizados diariamente 
• i =1,5% a.m./30 dias = 0,05% a.d. 
 
 
Calculando uma taxa efetiva 
• Fazer a transformação em regime de juros simples: 
• 17% a.a., capitalizados semestralmente 
• i = 17% a.a./2 semestres = 8,5% a.s. -> taxa efetiva semestral 
• (1+ 8,5%) 2 – 1= 17,72% a.a. -> taxa efetiva anual 
 
• 12% a.s., capitalizados trimestralmente 
• i = 12% a.s./2 semestres = 6% a.t. 
• (1+ 6%) 2 – 1= 12,36% a.s. -> taxa efetiva semestral 
 
 
• 1,5% a.m., capitalizados diariamente 
• i =1,5%a.m./30 dias = 0,05% a.d. 
• (1+ 0,05%) 30 – 1= 1,51% a.m. -> taxa efetiva mensal 
 
 
Exemplo 
• Determinar a taxa efetiva anual equivalente a: 
a) 12% a.a., capitalizados diariamente 
b) 12% a.a., capitalizados mensalmente 
c) 12% a.a., capitalizados bimestralmente 
d) 12% a.a., capitalizados semestralmente 
 
 
100,00 CHS PV 
12 [enter] 360 [/] i 
0 PMT 
360 n 
FV 112,75 
Exemplo 
• Determinar a taxa efetiva anual equivalente a: 
a) 12% a.a., capitalizados diariamente 
b) 12% a.a., capitalizados mensalmente 
c) 12% a.a., capitalizados bimestralmente 
d) 12% a.a., capitalizados semestralmente 
 
 
Capitalização 
Número de 
Capitalizações 
Taxa efetiva Anual 
(%a.a.) 
Diária 360 12,75 
Mensal 12 12,68 
Bimestral 6 12,62 
Trimestral 4 12,55 
Semestral 2 12,36 
Anual 1 12 
OPERAÇÃO DE DESCONTO 
Operação de desconto 
• Operações de desconto correspondem à aquisição antecipada 
de uma promessa de pagamento. 
• É uma operação largamente utilizada no país. 
• Desconto (definição): 
• O abatimento ou o juro cobrado do devedor pelo credor para 
antecipar o pagamento de um título. 
• Títulos: 
• Promissórias: promessa de pagamento de determinada 
importância no futuro 
• Duplicatas: títulos emitidos por uma empresa contra seu cliente 
• Letra de câmbio: título emitido por uma financeira em uma 
operação de crédito 
• Cheque pré-datado 
Classificação de Desconto 
• Desconto Comercial (ou bancário): 
• Desconto “por fora” 
• A taxa de desconto incide sobre o Valor Futuro (FV) 
• No Brasil, é utilizado o regime de juros simples 
 
• Desconto Racional: 
• Desconto “por dentro” 
• A taxa de desconto incide sobre o Valor Presente (PV) 
• No Brasil, é utilizado o regime de juros compostos 
 
Desconto Racional simples 
• “por dentro” + juros simples 
 
FV = PV x (1+ i x n) 
D = FV – PV 
PV = FV x (1-d x n) 
• Ex. 5.1: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota 
promissória com valor de R$ 65.000,00 , com vencimento em 
8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 
desconto racional simples de 3% a.m. 
 
 
5.1. Solução (pp.57) 
• FV = 65.000 
• n = 8 meses 
• i = 3% a.m. 
• PV = ? 
• D = ? 
• D= FV – PV 
• PV = FV – D 
• FV = PV x (1 + i x n) 
Desconto Comercial ou 
Bancário 
• “por fora” + juros simples 
• Multiplica-se a taxa de desconto (d) pelo FV e pelo prazo da 
operação (n) 
D = FV x d x n 
D = FV – PV 
PV = FV x (1-d x n) 
• Ex. 5.3: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota 
promissória com valor de R$ 65.000,00 , com vencimento em 
8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto 
comercial simples de 3% a.m. 
• Qual é a taxa mensal de juros (desconto racional simples) 
implícita na operação? 
 
 
5.3. Solução (pp.59) 
• FV = 65.000 
• n = 8 meses 
• d = 3% a.m. 
• PV = ? 
• i = ? 
• D= FV x d x n 
• PV = FV – D 
• FV = PV x (1 + i x n) 
Outro Exemplo 
 
• Ex. 5.4: Um empresário descontou uma duplicata com valor 
nominal de $12.000 , com vencimento em 5 meses. 
Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples, 
sabendo que o desconto aplicado foi de $2.400,00. 
 
• D = FV x d x n 
5.4. Solução (pp.59) 
• FV = 12.000 
• n = 5 meses 
• d = ? 
• PV = ? 
• i = ? 
• D= FV x d x n = 2.400 
• PV = FV – D 
Desconto Racional (por 
dentro) composto 
• A taxa de juros (i) ou desconto racional incide sobre o PV a 
juros compostos. 
• FV = PV x (1+i)n 
• D = FV – PV 
• D = FV x
1+𝑖 𝑛 −1
1+𝑖 𝑛
 
• Cálculo na HP – 12C 
 
Valor Presente PV 
Tempo n 
Taxa de juros I 
Valor Futuro FV 
Prestação PMT 
5.5 Solução (pp.60) 
• Ex. 5.5: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota 
promissória com valor de R$ 65.000,00 , com vencimento em 
8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 
desconto racional composto de 3% a.m. 
• PV=? 
• D = ? 
65.000,00 [CHS] FV 
0 PMT 
3 I 
8 n 
PV 51.311,60 
Desconto Comercial (por fora) 
composto 
• A taxa de desconto (d) incide sobre o FV a juros compostos. 
• PV = FV x (1 - d)n 
• D = FV – PV 
• D = FV x [1 – (1 – d)n] 
• Cálculo na HP – 12C 
 
Valor Presente PV 
Tempo n 
Taxa de juros I 
Valor Futuro FV 
Prestação PMT 
5.7 Solução (pp.62) 
• Ex. 5.7: Uma loja procurou um banco para descontar uma nota 
promissória com valor de R$ 65.000,00 , com vencimento em 
8 meses. Determinar o valor recebido pela loja e o desconto 
aplicado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 
desconto racional composto de 3% a.m. 
• Qual é a taxa mensal de juros compostos implícita na 
operação? 
• PV = ? 
• FV= PV x (1 + i)n 
• i =? 
• D = ? 
PV PV 
65.000 [CHS] FV 
0 PMT 
8 N 
i 3,09 
Análise comparativa 
Modalidade de desconto Desconto PV i 
(composto) 
Desconto Racional simples 12.580,65 52.419,35 2,73% a.m. 
Desconto Comercial simples 15.600,00 49.400,00 3,49% a.m. 
Desconto Racional Composto 13.688,40 51.311,60 3,00% a.m. 
Desconto Comercial Composto 14.056,68 50.943,32 3,09% a.m. 
• Taxa efetiva varia de acordo coma modalidade do financiamento 
• Prática: maioria das operações usam desconto comercial simples 
• Cabe à loja (tomador) calcular o custo efetivo do financiamento 
Outro Exemplo 
 
• Ex. 5.13: Uma duplicata com valor nominal de $45.000 , com 
prazo de 88 dias, foi descontada a taxa mensal de desconto 
comercial simples de 4% a.m. Assumindo o ano comercial, 
determinar o valor antecipado e a taxa anual de juros 
compostos implícita na operação. 
• FV = 45.000 
• d = 4% a.m. 
• n = 88 dias 
• PV = ? 
• i = ? 
• D = FV x d x n 
• Para determinar i a juros compostos, use FV = PV x (1 + i)n 
5.13 Solução (pp. 66) 
• D = 5.280,00 
• PV = 39.720,00 
• i = 66,63% a.a. 
39.720,00 PV 
45.000 [CHS] FV 
0 PMT 
88 [ENTER] 360 [/] n 
i 66,63 
FLUXO DE CAIXA UNIFORME 
Conceito de anuidade ou série 
• Fluxo de caixa uniforme contém os 5 elementos básicos: 
• PV 
• FV 
• n 
• I 
• PMT ( prestações) 
• Anuidade ou série 
• É um conjunto de prestações positivas (recebimentos, entradas 
de caixa) ou negativas (pagamentos, saídas de caixa), periódicas e 
CONSTANTES!!!! 
• Podem ser finitas ou infinitas 
Fluxo de caixa 
• Representação das entradas e saídas de dinheiro 
• Representação gráfica 
 
• Setas verticais = entradas ou saídas de caixa 
 
• Setas para cima= entrada (valores positivos) 
• Seta para baixo = saída (valores negativos) 
Classificação das anuidades 
• Quanto ao período: 
• Postecipadas: quando ocorrem ao final do período 
• Antecipadas: quando ocorrem no início de cada período (BEGIN 
função [BEG]) 
 
• Quanto à carência: 
• Diferidas: há prazo de carência para a primeira prestação 
• Indiferidas: não há carência 
Fórmulas das anuidades 
• Valor Futuro de uma série de prestações: 
• FAC (i, n) 
 
• Valor Presente de uma série de prestações 
• FVA (i, n) 
 
 
• Quando n tende a infinito 
 
Exemplo 6.1 
• Um empresário adquiriu equipamentos, com valor de 
$36.0000,00 , a ser pago em 36 prestações mensais iguais, 
com uma taxa de juros de 1,8% a.m. 
• Determinar o valor das prestações, caso a primeira parcela 
seja paga: a) 1 mês após a compra (postecipado ou vencido); 
b) a vista (antecipado). 
 
• PV = 36.000 
• FV = 0,00 
• n = 36 meses 
• i = 1,8% a.m.• PMT= ?