CURSO DE MATEMÁTICA MÓDULO 5

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CURSO DE MATEMÁTICA - MÓDULO 5
Frações
�
Observação: 
A barra / também 
será usada como 
símbolo de fração !
Parte 1: As idéias básicas 
É fácil aprender frações ?
Para que servem as frações ?
Notou que as partes são iguais ?
Representação e nomes das frações
Qual é a unidade ?
Frações maiores que a unidade
Da escrita mista para a de frações e vice-versa
A mesma parte com escritas diferentes
Equivalentes ou iguais ?
Simplificando frações
Frações são números ?
Um aluno contestador
Exercícios 
	Exercício 1
	Exercício 2
	Exercício 3
	Exercício 4
	Exercício 5
	Exercício 6
	Exercício 7
 
Parte 2: Operações com frações 
Adição
Subtração
Multiplicação
O inverso multiplicativo
Divisão
O uso das operações com frações
Exercícios 
	Exercício 1
	Exercício 2
	Exercício 3
	Exercício 4
 
Leitura 1 - Um enigmático problema com frações 
Um enigmático problema com frações 
 
Leitura 2 - Frações, problemas e material concreto 
Frações, problemas e material concreto
Apresentando as frações
Reconhecendo frações e descobrindo relações
Unidades que são coleções e frações que indicam operações
Medidas e escrita mista
Sugestões para leitura
PARTE 1
É fácil aprender frações? 
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Muitas crianças apresentam grande dificuldade em aprender frações. Nós professores bem o sabemos. Quantos de nossos alunos não sabem reconhecer se é maior ou menor que ? 
Uma das razões dessa dificuldade é que as frações envolvem várias idéias e todas elas devem ser bem trabalhadas na sala de aula. Alguns alunos adquirem noções incompletas, podendo mesmo aprender como somar ou dividir frações, mas de forma mecânica, sem verdadeira compreensão do que estão fazendo. Por isso, acabam cometendo erros do tipo: 
Para superar as dificuldades que as frações apresentam, vamos iniciar nossa discussão examinando as idéias básicas que deram origem à noção de fração. Procuraremos analisar situações do dia-a-dia ou da sala de aula. 
Para que servem as frações? 
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Os números naturais, que abordamos nos quatro módulos anteriores, são aqueles com os quais as crianças têm o primeiro contato: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... 
No entanto, esses números não conseguem resolver certos problemas que as frações resolvem. Vejamos um exemplo: 
Pelo telefone, Dona Maria dá uma receita de bolo a Dona Lúcia. 
-Use 2 xícaras de farinha e menos que a metade de uma xícara de requeijão... Não. É menos que a metade, mas é mais que a metade da metade. 
Ficou complicado, não é mesmo? É provável que Dona Maria estivesse pensando numa quantidade equivalente à fração (um terço): 
	
Se tivesse dito "um terço", Dona Lúcia teria entendido melhor a receita..., se soubesse frações.
Este foi um pequeno exemplo da utilidade das frações. Veremos outros no decorrer dessa lição.
Note que, na maneira de Dona Maria dar a receita, há um outro problema: as xícaras em geral têm um formato que torna difícil saber o que é exatamente a metade. Por isso, na ilustração representamos uma caneca, na qual é fácil marcar a metade.
A altura de uma pessoa, medida em metros pode ser expressa sempre por um número natural? Por que? 
Resposta: 
Notou que as partes são iguais? 
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Cláudia teve sua primeira aula sobre frações. Ela aprendeu que a parte sombreada desse retângulo corresponde à fração (dois terços).
Perguntamos à Cláudia: 
- Por que ? 
- Porque o retângulo foi dividido em três partes e nós pintamos duas partes, respondeu a menina. 
Aparentemente, ela tinha aprendido muito bem a lição. No entanto, ao apresentarmos esta nova figura, Cláudia afirmou que (três quartos) da figura estavam sombreados:
Ora, sabemos que, a região sombreada não corresponde a , porque a figura não foi dividida em 4 partes iguais. 
Para se ter uma fração é preciso considerar: 
uma unidade ou um todo; 
uma divisão dessa unidade ou desse todo em partes iguais; 
um certo número dessas partes iguais. 
Provavelmente ninguém havia alertado Cláudia sobre esse detalhe: as partes devem ser iguais. Embora esta idéia seja muito importante, freqüentemente passa despercebida aos nossos alunos.
a) Por que a parte pintada da figura não corresponde a 2/3?
 (b) A que fração corresponde ela?
Representação e nomes das frações 
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Uma fração é sempre representada por dois números naturais:
Essas designações têm razão de ser: "denominador" significa "aquele que dá o nome" (no exemplo acima, estamos lidando com "terços") e "numerador" significa "aquele que dá o número de partes consideradas". Portanto, os nomes das frações dependem do número de partes em que a unidade é dividida e do número de partes que estamos considerando. 
Vejamos alguns exemplos:
	FRAÇÕES COM DENOMINADORES 10, 100, 1000, 10000, etc. :
	
	3/10
	três décimos
	37/100
	trinta e sete centésimos
	4/1000
	quatro milésimos
	71/10000
	setenta e um sobre dez mil
Como se denomina a fração 7/483 ? 
Os nomes da frações aparecem também em nossa maneira de falar pois convivemos com elas desde que nossa língua começou a se formar a partir do latim, há mais de mil anos atrás. 
Por isso, mesmo sem perceber, usamos, no dia-a-dia, certas expressões que se originaram das frações.Vejamos alguns exemplos interessantes: 
. Meia três quartos: diz-se da meia que chega quase ao joelho. Ela cobre aproximadamente três quartos da distância do joelho até o pé. 
. Rezar o terço: o terço é do rosário. O rosário é um colar de 165 contas correspondentes a 15 dezenas de ave-marias e 15 padre-nossos. Os fiéis que rezavam essa grande quantidade de orações usavam as contas do rosário para não errarem o número de orações. O terço também é um colar de contas, correspondendo a 5 dezenas de ave-marias e 5 padre-nossos, ou seja, do rosário. 
. Quarto de boi: é uma parte do corpo do boi, depois deste ser abatido. Corresponde a aproximadamente de seu corpo. 
. Vá para os quintos!: mandar para os quintos é mandar para longe, para o inferno. A origem da expressão é muito antiga: quando o Brasil pertencia aos portugueses, estes cobravam um imposto que correspondia a do ouro extraído. O imposto era enviado a Portugal no chamado "navio dos quintos", que passou a significar um navio que ia para muito longe, quem sabe até o inferno.
Qual é a unidade? 
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Quando Marcelo começou a aprender frações, resolvia facilmente exercícios como estes:
No entanto, não conseguiu resolver este: 
"Comprei dezoito goiabas e delas tinham bichos. Quantas goiabas estavam estragadas?" 
Marcelo entendeu que de cada goiaba tinha bichos. Nesse caso, todas as goiabas estariam estragadas. 
Como poderia ele ter uma idéia tão esquisita? 
É que Marcelo estava acostumado com frações de uma figura geométrica ou de um objeto. Isto é, a unidade considerada (ou o todo) era sempre uma coisa só. 
No entanto, neste problema são as 18 goiabas que constituem o todo, ou seja, a unidade considerada é uma coleção de objetos. É natural, que neste caso o menino ficasse confuso. 
Temos aqui outra das idéias básicas que formam o conceito de fração: a unidade pode ser de dois tipos: 
. uma única figura ou um único objeto; 
. uma coleção de objetos. 
Normalmente, as crianças começam o aprendizado de frações a partir de um só objeto ou de uma só figura. A dificuldade de Marcelo, que é comum a outras crianças, mostra que a passagem para vários objetos, tomados em conjunto, como um todo, ou como unidade, não é tão simples assim. 
Para que as crianças compreendam essa nova situação, é necessário ir aos poucos. É conveniente pedir inicialmente que identifiquem, por exemplo, , ou , ou de vários grupos de objetos. Podem ser usados fósforos, palitos, pedras, tampinhas, etc. 
Talvez seja necessário ajudar algumas crianças a arrumarem os objetos de modo a visualizar a fração do todo. Outras crianças talvez descubram sozinhas o jeito de arrumar os objetos de maneira a deixar claroo que é , , , etc. 
Somente então deve-se passar para problemas do tipo daquele das goiabas, usando desenhos. O ideal é que as crianças façam os desenhos:
À vista de um desenho como este, as crianças
compreendem que 12 goiabas estavam estragadas. 
Um adulto já familiarizado com a noção de fração de um todo formado por vários objetos percebe que as respostas a problemas desse tipo podem ser obtidas por meio de cálculos. 
No problema das goiabas, por exemplo: 
. Dividimos a unidade (o conjunto de 18 goiabas) em três partes iguais: 
18 : 3 = 6 goiabas 
. Tomamos duas dessas partes: 
2 x 6 = 12 goiabas tinham bichos
a) Quantos dias correspondem a 2/7 da semana ? dias. 
(b) Quantos dias correspondem a 3/5 do mês de setembro ? dias. 
Frações maiores que a unidade 
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Luciano, um menino de 10 anos, não acreditava que a fração pudesse existir, e explicava:
- Como posso dividir uma coisa em 4 partes e pegar 5? 
A opinião de Luciano tem lógica. Ela é reforçada pelo fato de que o significado tradicional da palavra fração é "parte" ou "pedaço".
Os egípcios antigos, que inventaram as frações há cerca de 5000 anos atrás, jamais usaram frações maiores que a unidade. Aliás, só representavam frações de numerador um. Havia uma única exceção, que era a fração . 
A partir dos egípcios, encontramos as frações nas civilizações que se seguiram, pois o seu uso sempre se mostrou necessário. Entretanto, continuavam sendo usadas apenas para expressar quantidades menores que a unidade.
Mas, então, como surgiram as frações maiores que a unidade? 
Elas surgiram para expressar quantidades maiores que a unidade. 
Vejamos um exemplo: 
Esse anúncio, que poderia ter sido feito por uma empresa que constrói casas, na realidade, era de uma fábrica de refrigerantes. Essa fábrica pôs à venda uma garrafa que continha de litro a mais, em comparação com as garrafas comuns que contém um litro. 
Atualmente, não é comum usar frações para indicar medidas. Quase sempre, as pessoas preferem usar a escrita decimal, os "números com vírgula". Assim, em vez de se indicar uma altura de um metro e meio por m ou por m, prefere-se a indicação 1,5m.
No entanto, usar as frações para indicar medidas ajuda a formar o conceito de fração. Em especial, é muito útil para entender as frações maiores que a unidade.
Observe a figura: 
Considere 1 círculo como unidade. 
(a) Toda a parte sombreada é maior ou menor que a unidade ?(responda com todas as letras 
minúsculas) que a unidade.
(b) Use uma fração (usando a barra enclinada) para indicar a parte sombreada. 
(c) Use a escrita mista para indicar a parte sombreada. 
Da escrita mista para a de frações e vice-versa 
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Vamos pensar na seguinte pergunta: Qual é a fração que corresponde a três inteiros e dois quintos ? 
Para responder, vamos recorrer a desenhos: 
Acontece que cada uma das barras que representam o inteiro pode ser subdividida em 5 partes:
Agora vamos pensar no problema contrário: 
Qual é a escrita mista correspondente a ? 
Para achar a resposta, vamos desenhar o inteiro (dividido em 4 partes) tantas vezes quantas forem necessárias para perfazer 13 quartos:
a) Qual é a escrita fracionária de 2 1/2 ? 
(b) Qual é a escrita mista de 7/2 ? 
A mesma parte com escritas diferentes  
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Fazendo desenhos para representar frações, percebemos que podemos indicar uma mesma parte da unidade de maneiras diferentes. Vejamos alguns exemplos:
  
EXEMPLO 1 :
Começamos com um retângulo dividido em 3 partes e sombreamos 1 dessas partes:
Em seguida duplicamos o número de partes em que a unidade foi dividida e duplicamos também o número de partes sombreadas.
O que fizemos foi multiplicar por 2 o numerador e o denominador da fração .
Observando a figura, vemos que essas duas frações representam a mesma parte da unidade.
  
EXEMPLO 2 :
Neste exemplo, triplicamos o número de partes em que o retângulo foi dividido e triplicamos o número de partes sombreadas.
Observando as figuras, vemos que  e  representam a mesma parte da unidade.
  
EXEMPLO 3 :
Dividimos um círcuulo em 2 partes iguais e sombreamos 1 parte. Temos a metade do círculo:
Agora, dividimos o mesmo círculo em 8 partes iguais e sombreamos 4 partes:
Multiplicamos o numerador e o denominador por 4:
e continuamos a ter a mesma parte do círculo. 
Os exemplos que acabamos de apresentar mostram que, multiplicando o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número (qualquer que seja esse número), não alteramos a parte da unidade que estamos considerando.
Observe as divisões do retângulo e a parte pintada.  
Que frações podem ser usadas para representar a parte pintada? 
  
, simplificando 
 Equivalentes ou iguais? 
�
Frações como:
são chamadas de frações equivalentes. 
"Equi" indica igualdade. "Valente" significa "que tem valor". 
Entretanto, em alguns livros, após a afirmação de que, por exemplo, e são equivalentes, encontra-se a representação de igualdade:
Esta situação pode provocar controvérsia: será que é mesmo igual a ? 
Afinal, é um pedaço só e são dois pedaços. 
E quanto a nós professores? Devemos dizer "frações equivalentes" e escrever que são "iguais"? 
Em nossa opinião, podemos dizer e escrever "igual", pois as duas frações representam partes do mesmo tamanho. 
Simplificando frações 
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Já vimos que o valor de uma fração não muda quando multiplicamos seu numerador e seu denominador por um mesmo número.
Agora vamos ver o que acontece quando dividimos o numerador por um mesmo número. 
Usando o exemplo acima, é evidente que, se passamos de para , multiplicando por 3, podemos fazer o caminho inverso e voltar a , dividindo por 3 o numerador e o denominador de .
Quando fazemos isto, dizemos que a fração foi simplificada. 
Note que nem toda fração pode ser simplificada. Por exemplo, a fração não pode ser mais simplificada porque não podemos dividir seu numerador e seu denominador por um mesmo número para obter números naturais menores que 2 e 5. 
Dizemos que é uma fração irredutível.
Qual é a fração irredutível igual a 12/15 ? 
Frações são números? 
�
Mariana já está na 5a. série e sempre gostou de estudar as frações. 
Sabe desenhar de uma figura, calcular de 60, somar com . 
Pedimos a Mariana que nos dissesse um número entre 0 e 1. 
Após pensar um pouco, Mariana disse: 0,8. 
- Muito bem! Está certo! Mas por que você não disse uma fração como ou ? 
Ficamos surpresos com a resposta: 
- Frações não são números! 
Realmente, em certos casos, as frações não parecem números. Vejamos dois exemplos:
	
Sombreamos 5/6 do círculo. 
A fração não parece número. Ela indica uma parte de uma figura ou uma relação parte-todo.
	5/6 de 120 é: 
(120 : 6) x 5 = 100 
A fração não parece número. Ela pode ser interpretada como uma maneira de indicar operações a serem feitas.
Nesses casos as frações não parecem números porque não indicam claramente quantidades e também não indicam medidas. 
No entanto, já vimos que as frações podem indicar medidas e quantidades:
	
	
O segmento AB mede centímetro. 
Neste caso, a fração parece um número, não é? 
Isto nos leva a considerar as frações como números. 
Algumas frações se confundem com os números naturais. Por exemplo:
Outras, como , , não podem ser substituídas por números naturais, mas nem por isso deixam de ser consideradas números. 
Os matemáticos deram o nome de números racionais a todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração com numerador e denominador inteiros.
Observe as frações: 3/8 , 25/7 , 63/9 , 1/4 , 4/1 . 
(a) Quais correspondem a números naturais?(coloque pela ordem em que aparecem acima) 
e 
Quais são esses números naturais?(coloque em ordem crescente) 
e 
(b) Quais não correspondem a números naturais?(coloque pela ordem em queaparecem acima) 
, e 
(c) Como podem ser designados todos os números citados nesta miniquestão?(escreva com letras 
minúsculas) 
números 
Um aluno contestador 
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Era uma vez um ótimo professor de Matemática e um aluno muito esperto, daqueles que não perdem a ocasião de fazer perguntas para atrapalhar o professor. 
O professor foi explicando frações e ia tudo muito bem até o dia em que fez vários desenhos no quadro-negro e pediu aos alunos que copiassem os desenhos e escrevessem em baixo de cada um a fração correspondente. 
Nenhum problema. Praticamente todos os alunos acertaram: 
O professor, muito satisfeito, enfatizou aquilo que todos estavam vendo: 
- As figuras da esquerda mostram pedaços da unidade representados por frações. As da direita podem ser representadas por frações, mas correspondem a unidades inteiras. 
E acrescentou: 
- Apesar dessa diferença, todos esses números são chamados números racionais. 
Zezinho, o aluno esperto, pulou na cadeira e, todo irônico: 
- Professor, por acaso existem números irracionais!? Ou o senhor está brincando com a gente? Eu pensava que a Matemática era toda racional!? 
O professor, que era brincalhão, respondeu muito sério, impertubável: 
- Existem números irracionais. Aliás, são muito mais interessantes do que os racionais. Você vai conhecê-los daqui a cinco ou seis anos. Foram os gregos que descobriram esses números, através da geometria. Eles descobriram que certas grandezas não podem ser expressas por meio de frações com numerador e denominador inteiros. Mas não se impressione com essa designação "racionais". Os Matemáticos poderiam ter inventado outros nomes. 
O sinal tocou. O professor saiu da sala conversando com o Zezinho: 
- Tomara que você ainda seja meu aluno daqui a cinco ou seis anos. Vamos nos divertir muito juntos, com a história dos irracionais. 
Zezinho acabou fazendo curso de Matemática na faculdade e se tornou professor de Matemática.
EXERCÍCIOS
1. Desenhe em uma folha de papel dois retângulos de mesmo tamanho. Pinte 1/3 de um deles e 1/4 do outro. 
Qual a maior fração: 1/3 ou 1/4 ? 
2. Cada parte de uma figura, corresponde à fração 1/5. Responda: 
a) Qual é a fração que representa a figura toda? 
b) Qual é a fração que representa duas dessas figuras? 
3. Faça um desenho representando o número misto 3 6/7 (três inteiros e seis sétimos).
Faça sua opção : 
	(1) 
	(2) 
	(3) 
opção número : 
 
4. O tanque de gasolina do carro estava vazio. 
Colocamos 48 litros de combustível. 
O marcador ficou assim:
Quantos litros de combustível cabem nesse tanque? litros. 
5. Se 2/5 da minha fortuna correspondem a 200 reais, qual é toda a minha fortuna? reais 
6. Dê 5 representações diferentes do número natural 4.
7. Dê 3 exemplos de números racionais não naturais.
PARTE 2
	Nossos objetivos 
	Agora, vamos ver como se efetuam as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações. Embora este seja um assunto um tanto árido, em que regras são usadas para efetuar as operações, procuraremos justificar essas regras, ou seja, vamos explicar por que funcionam. 
Para isso, vamos utilizar as noções de: frações iguais (ou equivalentes) e de simplificação de frações, apresentadas na primeira parte dessa lição.
Adição 
�
A idéia de juntar corresponde, na Matemática, à adição. Podemos então somar frações representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Vejamos a adição :
Este exemplo justifica a regra utilizada para somar frações:
Para somar frações de mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador.
No entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade. 
Como vamos somar e por exemplo?
Agora precisamos descobrir a que fração corresponde a parte sombreada que representa . 
A solução do problema está no fato de que é possível escrever de muitas outras maneiras, o mesmo ocorrendo com . Procuraremos, então, nas várias escritas de e de , aquelas que têm denominadores iguais:
Agora, sim, podemos somar: em vez de escrever , escrevemos , e em vez de , escrevemos . Este processo se chama "reduzir frações ao mesmo denominador". 
Depois que as frações estão com o mesmo denominador, efetuamos a adição:
Para visualizar esta adição, desenhamos novamente o retângulo e o dividimos em 12 partes:
Podemos, então, formular a regra:
Para somar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior.
Qual é o resultado de 2 + 2/3 ? 
Subtração 
�
Para subtrair frações, usa-se um processo semelhante ao da adição. Vejamos, por exemplo, como efetuar :
Dos tiramos :
Restam . 
Portanto: 
Quando os denominadores são diferentes, podemos torná-los iguais usando o mesmo procedimento utilizado na adição. Por exemplo, vamos efetuar a subtração:
Procuramos frações que sejam iguais a estas, mas que tenham o mesmo denominador:
e efetuamos a subtração:
Podemos representar esta subtração por meio de um retângulo dividido em 16 partes:
Tirando de , restam . 
Portanto, as regras para a subtração são análogas às da adição:
Para subtrair frações que têm o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. 
Para subtrair frações que têm denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.
Observe a figura e responda
 : 
Quanto é (1/5 - 1/15) ? 
Multiplicação 
�
Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15. 
Da mesma forma: . 
Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais. 
O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo, . 
Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira. 
Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas. 
Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de", ou de, de, de, conduzem a divisões. 
Para se ter a metade, é necessário dividir por 2. 
Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3. 
E assim por diante. 
Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações. 
Comecemos pelo exemplo citado:
O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de . 
Começamos por representar :
Depois, marcamos "a terça parte" de :
Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte" de :
Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:
Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo?
A parte marcada corresponde a do retângulo todo. 
Concluímos que . 
Podemos resumir tudo isso numa regra simples:
Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.
Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações: 
. Vamos calcular 
Temos �� INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/m5p2f33.gif" \* MERGEFORMATINET 
Queremos a metade de �� INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/m5p2f34.gif" \* MERGEFORMATINET 
A figura nos mostra que a metade de é , ou seja: 
. Agora vamos calcular 
Dividimos em 4 partes:
Agora tomamos 3 dessas partes:
ou seja: 
Dê os resultados de: 
(a) (3/5 x 4/7) 
(b) (1/3 x 1/8) 
O inverso multiplicativo 
�
Existem frações que, multiplicadas, resultam na unidade. Vejamos um exemplo: 
Seguindo a regra da multiplicação, vamos multiplicar a fração pela fração . 
Um desenho mostra que equivalem à unidade:
Podemos chegar à mesma conclusão por outro caminho. Como já vimos, se queremos achar o resultado de , devemos primeiro achar a metadede :
,
e, depois, 3 vezes a metade de :
Chegamos, então, ao mesmo resultado anterior:
Dizemos que é o inverso multiplicativo de . 
Este fato será usado logo adiante.
Divisão 
�
Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.
1° caminho: REPARTINDO
Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir. 
Por exemplo, se repartimos de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de da barra:
Então, o resultado da divisão de por 2 é . Escrevemos: .
2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?
Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro. 
Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2. 
Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de , estamos querendo saber quantas vezes cabe em . Um desenho responde imediatamente:
Então podemos escrever:
Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso.
Encontre os resultados das divisões abaixo. Para isto, comece escolhendo um dos dois caminhos já apresentados. 
(a) 1/3 : 1/6 = 
(b) 4 : 4/5 = 
3° caminho: TRANSFORMANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR
Em certos casos é impraticável encontrar o resultado de uma divisão por meio de desenhos. Por exemplo: qual é o resultado de ? 
Nesses casos, utilizamos duas idéias que já conhecemos: 
1a. idéia: Quando se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não se altera. Tanto faz escrever 10 : 5 ou 20 : 10. 
O resultado é 2. 
2a. idéia: O inverso multiplicativo. Aplicamos essa idéia de maneira a transformar o divisor em 1, o que facilita a divisão pois qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo. 
Mas, atenção: é preciso aplicar simultaneamente as duas idéias. Vejamos um exemplo:
Neste exemplo multiplicamos o dividendo e o divisor por . Mas, por que motivo escolhemos para multiplicar o dividendo e o divisor? Fizemos esta escolha porque é o inverso multiplicativo do divisor e transforma o divisor em 1. 
Então temos:
Acontece que qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo. 
Então, o ponto de interrogação vale 
Ora, o ponto de interrogação está no lugar da resposta do problema inicialmente proposto:
Chegamos à seguinte conclusão, que é a regra mais geral para a multiplicação de frações:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela segunda invertida.
Voltamos ao problema proposto:
Percorrendo todas as etapas de seu raciocínio, indique o resultado da seguinte divisão: 
8/5 : 3/7 = 
O uso das operações com frações 
�
No passado, quando as medidas eram expressas por frações, as operações com frações eram bastante utilizadas. 
Hoje em dia, como usamos os números decimais para expressar as medidas, as operações com frações são menos usadas. Embora os livros didáticos apresentem vários problemas em que essas operações são utilizadas, a maioria é constituída por operações bastante artificiais. 
Isso não quer dizer que as operações com frações sejam inúteis. Elas são importantes e até mesmo essenciais na Matemática mais avançada que envolve cálculos algébricos. 
Por isso vale a pena o ensino das operações com frações. Apenas ressaltamos que, primeiro, as crianças devem compreender bem as idéias básicas e fazer apenas operações simples, sempre com o uso de desenhos e nunca decorando regras. 
As técnicas operatórias, que discutimos nesta segunda parte da lição, só devem ser ensinadas depois que as crianças tenham compreendido perfeitamente o que significa cada operação. 
Como o estudo de frações costuma ser feito em duas etapas ( 3a. ou 4a. série e, de novo, na 5a. série), as técnicas operatórias podem ficar para a segunda etapa. 
Alguns especialistas em ensino de Matemática acham até que as regras só deveriam ser apresentadas quando os alunos já estão estudando os cálculos algébricos. 
É uma questão polêmica que só pode ser resolvida por cada professor, em função de seus alunos. Não é prudente estabelecer regras gerais em casos como este.
EXERCÍCIOS
1. Em alguns casos, é fácil somar ou subtrair frações fazendo figuras. Use esse recurso e calcule:
a) 1/2 + 1/6 = 
b) 1/2 - 1/6 = 
2. Considere as frações 5/8 e 7/12. 
a) Escreva-as de outra maneira para que fiquem com um mesmo denominador.(Utilize o menor denominador possível) 
5/8 : 
7/12 : 
b) Diga qual das duas é maior: 
c) Subtraia a menor da maior: 
3. O prefeito da minha cidade já inaugurou 2 vezes a mesma estrada. Da primeira vez, apenas 1/3 dela estava pronta. Na segunda vez, ele inaugurou 1/3 do trecho restante. 
A que fração da estrada corresponde a parte ainda não concluida? da estrada. 
4. Um pintor verificou que, usando um galão de tinta, consegue pintar 3/8 de uma parede. Ele deve pintar 5 paredes desse mesmo tamanho. 
Quantos galões de tinta precisará comprar? galões. 
LEITURA 1
UM ENIGMÁTICO PROBLEMA COM FRAÇÕES 
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As frações têm servido de inspiração para muitos problemas que são verdadeiros quebra-cabeças para os alunos e, às vezes, para os professores também. A maioria desses problemas apenas prejudica o aprendizado das crianças, causando confusão e frustração. No entanto, há também problemas criados com tanta engenhosidade que se tornam encantadores e surpreendentes. Esses podem ser apreciados por alunos mais velhos, provavelmente após a 6a. série. 
Vamos apresentar um desses problemas. Ele tem uma história e esta tem um herói: um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir. Tudo se passa na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do século X. 
Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente. 
Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança: 
O mais velho receberia a metade. 
Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo! 
O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais de camelo! 
O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e de camelo! 
Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs: 
- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe. 
Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:
. o mais velho recebe: de 36 = 18 
. o irmão do meio recebe: de 36 = 12 
. o caçula recebe: de 36 = 4 
Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando. 
Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo? 
Ouçamos de novo nosso matemático: 
- O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança. 
Veja, colega, que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"? 
Antes de prosseguir a leitura, pense um pouco, releiaa história, tente decifrar o mistério. 
Agora, vamos à explicação. Ela é mais simples do que parece. Basta examinar a situação sob outro ponto de vista. 
Consideremos como unidade (ou total) o conjunto dos camelos que seriam divididos e vejamos se a soma das frações determinadas pelo pai equivale a 1:
Conclusão: a herança estava mal dividida. Vejamos quantos camelos estavam incluídos na partilha inicial.
Chegamos à conclusão de que, na partilha inicial estavam incluídos somente 33 camelos e de camelo. 
Quantos camelos sobravam? Façamos a subtração: 
Portanto, sobravam quase 2 camelos, ou seja, . 
É natural, então, que fosse possível dar um pouco mais a cada irmão e ainda restasse 1 camelo para pagar o hábil Beremiz. 
O interessante problema que examinamos foi extraído de uma das obras do talentoso professor de Matemática e prolífico escritor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, que escreveu mais de cem obras, muitas delas abordando o lado recreativo e histórico da Matemática. 
Seu nome é, no entanto, pouco conhecido. A razão é que ele assinou a maioria de suas obras com o psudônimo de Malba Tahan. 
"O homem que calculava" é o livro mais famoso de Malba Tahan. Converteu-se em um clássico da recreação matemática e da literatura juvenil. Foi daí que retiramos o intrigante enigma dos 35 camelos, esperando que nossos leitores, percebendo o engenho e a arte do autor, venham a ler a narrativa integral das aventuras matemáticas de Beremiz Samir.
LEITURA 2
Frações, problemas e material concreto 
tópico 1 
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O importante, no estudo de frações, como, aliás, de toda a Matemática, é evitar a todo custo a memorização de definições e regras, sem compreensão. Isto vale não apenas na 3a. e na 4a. séries, mas também na 5a. e na 6a., quando habitualmente se faz uma revisão do que já foi visto sobre o tema e se vai adiante, apresentando-se as operações com frações. 
Todo o trabalho com frações pode ser feito a partir de "situações-problema", isto é, desafios para que os alunos descubram soluções de pequenos problemas. 
A descoberta das soluções fica mais fácil, no início, se os alunos utilizarem material concreto: peças recortadas em plástico, madeira, papel, papelão ou cartolina. Se isto for completamente impossível, é importante que os alunos façam, eles mesmos, com a ajuda do professor, todos os desenhos que acharem necessários para compreender o problema e encontrar a solução. 
Seguindo esse caminho, pode-se ter a impressão de que, afinal, os alunos vão aprender muito pouco sobre frações. É verdade que eles não se tornarão capazes de calcular expressões complicadas com frações, mas isto não faz falta. O importante é que se familiarizem com o conceito de fração. Para isso, precisam trabalhar muitos probelmas e, no início, sempre com material concreto (recortado ou desenhado). Pouco a pouco eles se libertarão naturalmente das figuras recortadas ou desenhadas, resolverão mentalmente os problemas mais simples e até mesmo descobrirão regras que passarão a aplicar com compreensão. É importante que o professor incentive esse processo de libertação gradual do aluno em relação ao material concreto. 
Para as operações com frações, é conveniente que continuem usando desenhos até que o professor tenha certeza de que, para eles, as regras de operações não são apenas receitas decoradas, mas problemas compreendidos. 
Em Matemática, como em quase tudo, mais vale a qualidade do que a quantidade. No caso, "qualidade" significa compreensão e capacidade de procurar soluções; "quantidade" significa fazer cálculos mecanicamente, com grande eficiência, sem entender o que se está fazendo. 
A título de sugestão, apresentamos a seguir algumas muito úteis para o início do estudo das frações. 
Apresentando as frações 
tópico 2 
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Já na primeira aula sobre frações, uma atividade é indicada. Cada aluno recebe quatro tiras retangulares de papel, todas de mesmo tamanho, e deve descobrir como dobrá-las, de modo a dividí-los em 2 ou 4 ou 8 partes iguais. Veja qual deve ser o resultado: 
Na tira dobrada em 2 partes iguais, o professor explica que cada parte terá o código . Esse código indica uma (1) das duas (2) partes iguais da divisão. Depois o professor deve incentivar os alunos a tentarem descobrir os códigos das partes nas outras tiras. 
Conhecidos os códigos, o professor pode propor exercícios orais, como estes: 
- Mostre . 
- Mostre . 
- Será que é maior que a metade? 
Note que nessa atividade o aluno aprende os nomes de algumas frações. Mas o mais importante é que ele mesmo faz as divisões da unidade em partes iguais, o que reforça uma das idéias básicas relativas às frações. 
Reconhecendo as frações e descobrindo relações 
tópico 3 
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Montando quebra-cabeças feitos em cartolina ou madeira os alunos ampliam suas noções sobre frações muito mais rapidamente do que quando apenas pintam figuras de livros. 
Por exemplo, imagine estas peças feitas de cartolina: 
�� INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/m5l2f56.gif" \* MERGEFORMATINET �� INCLUDEPICTURE "http://educar.sc.usp.br/matematica/m5l2f57.gif" \* MERGEFORMATINET 
Reunindo as peças de cada cor os alunos podem formar 3 círculos: 
Portanto, cada peça é uma fração do círculo: 
Em uma aula cada grupo de alunos pode receber essas peças. Primeiro eles montam os círculos, para perceberem qual é a fração correspondente a cada peça. Depois, manipulando as peças, podem resolver diversos exercícios propostos pelo professor. Veja exemplos desses exercícios: 
. Que fração do círculo é a peça vermelha? E a azul? E a amarela? 
. Qual a maior fração: ou ? 
. Qual é a maior fração: ou ? 
. Quanto é ? 
O quebra-cabeças é superior às figuras desenhadas nos livros porque permite manipular as peças, colocar umas sobre as outras, para compará-las, ou colocar uma ao lado de outra, para somá-las. A manipulação de peças leva o aluno a uma postura ativa, ao invés da atitude passiva de simples observação de figuras. 
Atividades como esta deveriam ser feitas com vários tipos de figuras. Além dos círculos que mostramos, podem ser usados quadrados, retângulos, hexágonos. 
Unidades que são coleções e frações que indicam operações 
tópico 4 
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Nesta atividade os alunos começam recebendo 5 retângulos quadriculados iguais, todos com 24 quadradinhos. Cortando os retângulos, eles devem obter meios, terços, quartos e sextos. 
	
um retângulo inteiro
	
do retângulo
	
do retângulo
Inicialmente, podem resolver exercícios semelhantes aos da atividade anterior: 
. Qual é a maior fração: ou ? 
. Quantos formam ? 
. Quanto é 
Depois, o professor pode propor um jogo. Os alunos formam grupos. Um representante de cada grupo sorteia um papel com uma fração. As frações devem corresponder às partes dos retângulos que os alunos têm: 
Quem sorteia , por exemplo, ganha 8 pontos, porque do retângulo tem 8 quadradinhos. Quem sorteia ganha 6 pontos e assim por diante. Depois de alguns sorteios, vence o grupo que tem mais pontos. 
Aqui, começa-se a perceber que a unidade ou total é uma coleção de quadradinhos. Após o jogo, pode-se preencher uma tabela como esta: 
	PEÇA 
	QUADRADINHOS
	retângulo todo
	24
	do retângulo
	12
	do retângulo
	...
	.......
	...
Em aulas seguintes, podem ser propostas questões que o aluno deve responder sem apoio do material. Por exemplo: 
-Imagine um retângulo com 36 quadradinhos. Quantos quadradinhos formam desse retângulo? 
Pode ser que alguns alunos precisem desenhar a unidade para responder a questão. Mas, em pouco tempo, alguns perceberão que podem respondê-la efetuando 36 : 3 = 12. Logo a seguir, o professor pode propor problemas como o das goiabas, que foi examinado na lição. 
Medidas e escrita mista 
tópico 5 
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Nesta atividade usa-se uma fita de papel igual àquela utilizada na atividade inicial. 
Usando a fita como unidade de medida, os alunos devem medir comprimentos e registrar o resultado. Assim, surgirá a necessidade da escrita mista. Por exemplo, alargura da mesa do professor pode ser 2 1/4. 
Pode-se também pedir aos alunos que meçam diversas mesas (diferentes entre si) ou outros objetos (livros, cadernos) e calculem qual seria o comprimento total se fossem colocados lado a lado. Com isso, os alunos poderão se familiarizar com o uso e o significado dos números mistos, somando primeiro as partes inteiras e depois as fracionárias. 
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SUGESTÕES DE LEITURA
MATEMÁTICA ATUAL (volume da 5a. série-Cap.9) 
Autor: Antonio José Lopes "Bigode" 
Editora: Atual Editora Ltda 
Endereço da Editora: 
Rua José Antonio Coelho, 785 
04011-062 São Paulo-SP 
Tel. (011) 5751544
MATEMÁTICA E VIDA (volume da 5a. série-Cap.3) 
Autores: Bongiovanni,Visssoto e Laureano 
Editora: Ática 
Endereço da Editora: 
Rua Barão de Iguape, 110 
01507-900 São Paulo-SP 
Tel. (011) 2789322
MATEMÁTICA NA MEDIDA CERTA (volume da 5a. série-Cap.4) 
Autor: José Jakubovic "Jacubo" e Marcelo Lellis 
Editora: Scipione 
Endereço da Editora: 
Pça. Carlos Gomes, 46 
01501-040 São Paulo-SP 
Tel. (011) 2391700
PARA APRENDER MATEMÁTICA (volume da 5a. série-Cap. 5 e 6) 
Autores: Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga 
Editora: Saraiva 
Endereço da Editora: 
Av. Marquês de São Vicente, 1697 
01139-003 São Paulo-SP 
Tel. (011) 8613344
PARA QUE SERVE MATEMÁTICA (coleção de livros paradidáticos) 
Volume de Frações e Decimais 
Autores: Jakubo, Lellis, Imenes 
Editora: Atual Editora Ltda. 
Endereço da Editora: 
Rua José Antonio Coelho, 785 
04011-062 São Paulo-SP 
Tel. (011) 5751544
Neste módulo reproduzimos, em versão livre, o célebre problema dos camelos, que se encontra no mais conhecido dos livros de Malba Taham: "O homem que calculava". Isto pode ter despertado a curiosidade de muitos colegas por conhecer outras obras do mesmo autor.
Quase todas estão esgotadas, mas a editora Record reeditou três delas, que se encontram disponíveis no momento:
O HOMEM QUE CALCULAVA 
(Número de referência: 023143)
MATEMÁTICA DIVERTIDA E CURIOSA 
(Número de referência: 033753)
OS MELHORES CONTOS 
(Número de referência: 032532)
Endereço da Editora: 
Distribuidora Record de Serviços de Imprensa S.A. 
Rua Argentina, 171 
20921-380 Rio de Janeiro-RJ
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