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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS CIÊNCIAS CONTÁBEIS APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR CAIO FERRARI SÃO PAULO 2018 2 APRESENTAÇÃO: Olá aluno da UNIP, apresento a disciplina de Matemática Financeira do curso de Ciências Contábeis e Administração. Meu nome é Caio Ferrari Bacharel e Licenciado em Matemática, docente desde 1996 e na UNIP desde 2003. A finalidade básica da disciplina Matemática Financeira é estabelecer os critérios de recálculo dos valores financeiros na alteração das suas datas, bem como discutir as consequências desse recálculo, servindo como instrumento gerador dos dados que subsidiarão as conclusões dos profissionais da área. A Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar aos alunos o domínio dos seus conceitos e nomenclatura, bem como instrumentalizá-los no uso das fórmulas e das calculadoras financeiras, facilitando-lhes o trânsito na área de finanças, de acordo com seu perfil profissional e servindo como base/instrumento para outras disciplinas do curso. Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de identificar e calcular as operações financeiras, relacionando-as às situações do dia-a-dia das empresas e da sua própria vida, utilizando- se de uma calculadora financeira. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1– Introdução à Matemática Financeira 1.1 - Porcentagem. 1.2 – Conceitos básicos de capital, juro, taxa, prazo, montante. 2– Capitalização Simples 2.1- Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial. 2.2- Desconto Simples 3– Capitalização Composta 3.1- Juro e Montante compostos 3.2- Desconto composto 3.3- Taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais. 3.4 - Equivalência composta de capitais 4– Rendas 4.1- Capitalização 4.2- Financiamento 4.3- Renda diferida 4.4- Renda perpétua 5– Empréstimos 5.1- Sistemas de amortização de curto prazo 5.1- SAC 5.2- Sistema Francês (Price) 3 O material aqui apresentado contém, resumidamente, conceitos, definições, exercícios e problemas extraídos dos textos abaixo relacionados: ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 8.ed. São Paulo: Atlas, 2003. BODIE, Z.; MERTON, R. C. Finanças. São Paulo: Bookman, 2002. BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira com HP 12C. 5.ed. São Paulo: Atlas, 2009. CASAROTTO, F. N.; KOPITTKE, B. H. Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 2000. FORTUNA, E. Mercado Financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2002. GITMAN, L. J. Princípios de Administração Financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 1997. GUIMARÃES, L. ; NOBRE, J. Apostila de Matemática Financeira. São Paulo: Centro Universitário Ítalo Brasileiro, 2010. HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. São Paulo: Atlas, 2000. MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 6.ed. São Paulo: Atlas, 2010. RAMIRO, W. Apostila de Administração Financeira e Orçamentária I e II. São Paulo: Universidade Ibirapuera, 1999. ROSS, S. et al. Princípios de Administração Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2000. SECURATO, J. R. Cálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e Empresas. São Paulo: Saint Paul, 2003. VERAS, L. L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações do mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. 6.ed. São Paulo: Atlas, 2007. VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 4 UNIDADE 01 – IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA – APLICAÇÕES TEMPO E DINHEIRO: OBJETOS DE ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Se algum amigo lhe pedisse $ 1.000,00 emprestados para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um ano, você acharia a proposta atraente? Por melhor que seja o seu amigo, com certeza esse pedido não lhe agradaria. Algumas questões surgiriam em sua mente: “Será que ele me pagará na data prevista?” “Será que o poder de compra dos $ 1.000,00 permanecerá inalterado durante um ano inteiro?” “Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo satisfazendo as minhas necessidades, ou poderia aplicá-lo na caderneta de poupança, ganhando os juros e rendimentos do período.” Intuitivamente, você destacaria o principal aspecto da matemática financeira: DINHEIRO TEM UM CUSTO ASSOCIADO AO TEMPO Diversas razões influenciam a preferência pela posse atual do dinheiro: Risco: existe sempre a possibilidade de não ocorrer os planos confirme o previsto; em outras palavras, sempre haverá o risco de não receber os valores programados em decorrência de fatos imprevistos. Utilidade: o investimento implica em, deixar de consumir hoje para consumir no futuro, o que somente será atraente se existir alguma compensação. Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no presente, permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que surgirem. Logo existe um custo associado à posse do dinheiro no tempo, estudado pela Matemática Financeira e discutido nas próximas unidades. A Matemática Financeira compreende um conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de um modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro no tempo. Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se à ideia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se a oportunidade de aplicá-lo, obtendo-se, assim uma remuneração (juros) sobre a quantia envolvida, quer em função de sua desvalorização por causa da inflação. Dessa forma alguns princípios básicos sempre deverão ser respeitados: Só se pode comparar valores ($) se estes estiverem referenciados na mesma data; Só se pode efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma data; NUNCA SOME VALORES EM DATAS DIFERENTES O tempo é uma das variáveis chaves para a Matemática Financeira. Existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo: o regime de capitalização simples e o regime de capitalização composta. A Matemática Financeira tem por objetivo o manuseio de fluxos de caixa visando suas transformações em outros fluxos equivalentes que permitam as suas comparações de maneira mais fácil e segura. Assim, por exemplo, considere o caso de um indivíduo que deseja vender um equipamento por $ 100.000,00 à vista. Acontece que, ao receber as propostas constatou que todas incluíam uma parte à vista e outra parte financiada. O pior é que as modalidades de financiamentos variam de proposta para proposta. Como decidir qual é a melhor? A solução será, com o auxílio da Matemática Financeira, transformar a cada proposta em 5 seu “valor equivalente à vista” e comparar todos os “valores à vista” assim obtidos, pois essa comparação se torna espontânea. A transformação desses fluxos de caixa só pode ser feita com a fixação dos juros e pode-se ainda dizer que a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, se prende, exclusivamente, à existência dos mesmos. Dada essa importância dos juros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados em uma unidade à parte. MOEDA ESTÁVEL E INFLAÇÃO Todo o conteúdo da disciplina foi desenvolvido na hipótese de moeda estável, isto é, assume-se que a moeda utilizada no fluxo de caixa tem o mesmopoder aquisitivo ao longo do tempo. Essa moeda será genericamente representada pelo símbolo ($). É importante destacar que nessa hipótese de moeda estável, um determinado equipamento pode ser adquirido pela mesma quantidade de unidades monetárias ao longo do tempo (hoje, daqui a um mês, daqui a um ano, etc). UNIDADE 02 – FUNDAMENTOS – PORCENTAGEM TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA PORCENTAGEM HISTÓRICO A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é uma deturpação da abreviatura Cto (Ciento) – usada pelos mercadores italianos do século XV nas suas transações comerciais – e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francês, Le Guide de Negotien (O Guia do Comerciante). CONCEITO Toda razão 𝑎 100 centesimal chama-se taxa percentual 47% = 47 100 = 47 ÷ 100 = 0,47 TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA (o denominador desta fração é igual a 100) (o denominador desta fração é igual a 1) São exemplos de razões centesimais: 37 100 4 100 52,34 100 215 100 As razões centesimais podem ser representadas na forma decimal (taxa unitária) e, também, em taxas percentuais utilizando o símbolo %, como é mostrado a seguir: 37 100 = 0,37 = 37% 4 100 = 0,04 = 4% 52,34 100 = 0,5234 = 52,34% 215 100 = 2,15 = 215% Observa-se, portanto, que a expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa centésimos. Assim, 20% é simplesmente uma outra maneira de expressar 20 centésimos ou 20 100 ou 0,20 ou 1 5 , etc. 6 Exemplo 1 Calcule 27,5% de R$ 5.800,00. Como 27,5% = 27,5 100 = 0,275 Então, o cálculo a ser feito é: 0,275 x 5.800 = 1.595 reais Exemplo 2 Calcule R$ 700,00 + 32% de R$ 700,00. Como 32% = 32 100 = 0,32 Então, o cálculo a ser feito é: 700 + 0,32 x 700 = 700 + 224 = 924 reais Exemplo 3 Calcule R$ 900,00 – 5,2% de R$ 900,00. Como 5,2% = 5,2 100 = 0,052 Então, o cálculo a ser feito é: 900 - 0,052 x 900 = 900 – 46,80 = 853,20 reais Exemplo 4 Em uma blitz ocorrida em uma avenida da cidade de São Paulo, dos 25 automóveis fiscalizados 4 deles apresentaram documentação irregular. A razão entre o número de automóveis com documentação irregular e o número total de automóveis é: 4 25 = 16 100 = 0,16 = 16% é a taxa percentual de automóveis com problemas na documentação. Exemplo 5 Os 360 funcionários de uma empresa submeteram-se a exames clínicos para verificação dos níveis de colesterol no sangue. Desse total, 35% apresentaram níveis acima do limite sugerido pelo teste. Para calcular o número de funcionários com nível de colesterol superior ao recomendado, pode-se estabelecer a proporção: 360 100% 360 𝑥 = 100 35 X . 100 = 360 . 35 X = 126 funcionários X 35% O cálculo também poderia ser feito diretamente 35% de 360 = 0,35 x 360 = 126 Exemplo 6 Uma calça é vendida por R$ 56,00. Se seu preço for aumentado em 9%, quanto passará a custar? Têm-se: novo preço = preço antigo + aumento novo preço = 56 + 0,09 x 56 = 56 x (1 + 0,09) = 56 x 1,09 = 61,04 reais Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,09 ou (1 + 0,09). 7 Exemplo 7 Uma agência de turismo anunciou redução de 28% no preço de seus pacotes. Se 3 dias em Buenos Aires custavam US$ 340,00, quanto passará a custar essa viagem? Têm-se: novo valor = valor antigo – desconto novo valor = 340 – 0,28 x 340 = 340 x (1 – 0,28) = 340 x 0,72 = 244,80 dólares Observe que o valor original fica multiplicado por 0,72 ou (1 – 0,28). O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Assim, por exemplo, falamos em 12% ao ano. Neste caso, a taxa de juros de 12% ao ano significa que, se empregarmos um certo capital àquela taxa, por um ano, obteremos 12% do capital. As taxas de juros geralmente são apresentadas de dois modos: FORMA PERCENTUAL Exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação algébrica imediata. Neste caso a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100. Ex: Qual o juro que rende um capital de $ 1.000,00 aplicado por um ano à taxa de juros de 10% ao ano? Resolução: 𝑗𝑢𝑟𝑜 = 1.000,00 × ( 10 100 ) × 1 𝑗𝑢𝑟𝑜 = 1.000,00 × 0,10 × 1 = $ 100,00 Então, é de $ 100,00 o total de juros que a aplicação rende em um ano. Abreviaturas de períodos: Abreviatura Significado a.d. ao dia a.m. ao mês a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano FORMA UNITÁRIA Agora a taxa refere-se á unidade do capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido. Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de $ 1,00 por um ano gera um juro de $ 0,12. Ex: Qual o juro que rende um capital de $ 1.000,00 aplicado por um ano à taxa de forma unitária de 0,10 ao ano? 8 Resolução: Juro = 1.000,00 x 0,10 x 1 Juro = $ 100,00 Para transformar a forma percentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na forma percentual por 100. Exemplo: Forma Percentual Transformação Forma Unitária 12% a.a. 0,12 a.a. 6% a.s. 0,06 a.s 1% a.m. 0,01 a.m De modo análogo, para transformar a taxa de juros da forma unitária para a forma percentual, basta que se multiplique a taxa de juros unitária por 100. Devemos observar que é mais fácil trabalhar-se com a forma unitária, pois isto simplifica a notação e os cálculos. Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 9 DETERMINAÇÃO DE ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS PERCENTUAIS: TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL (∆%) Quando comparamos a diferença entre o valor novo e o valor antigo de uma variável com seu valor antigo, obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em porcentagem, ela é chamada de taxa de variação percentual. Portanto: Exemplo O Produto Interno Bruto (PIB) de certo país variou de 10.000 a 12.100 bilhões de dólares entre os anos de 1990 e 2000. Qual foi o aumento percentual do PIB? Primeiramente, identificamos os valores novo e antigo do PIB: Vant = US$ 10.000 bilhões e Vnovo = US$ 12.100 bilhões Aplicamos, então, a fórmula: A variação percentual (no caso, o aumento percentual) é dado pela variação dos valores em relação ao valor mais antigo, ou seja, houve umaumento de 21% no PIB do país em uma década. Para esse caso, poderia ser feito, também: UNIDADE 03 – FUNDAMENTOS – CAPITAL, JUROS E MONTANTE CAPITAL (INICIAL OU VALOR PRESENTE) (VP) É a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outro, temporariamente, mediante determinada remuneração. JUROS (J) Equivalem ao aluguel do dinheiro e são genericamente representados por taxa expressa em forma percentual ao período simbolizada pela letra i ( do inglês Interest rate, taxa de juros). É o nome que se dá à remuneração paga para que um indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe. Deve ser eficiente, de maneira a remunerar o risco (σ) envolvido na operação de empréstimo ou aplicação, representado genericamente pela incerteza em relação ao futuro do capital emprestado ou aplicado. Os juros devem gerar um ganho real (r) ao proprietário do capital como forma de compensar sua privação por determinado período de tempo (o ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimento). A perda do poder aquisitivo, que é corroído pela inflação (θ). 10 Expressando algebricamente a taxa de juros: ( 1 + i ) = ( 1 + r ) . ( 1 + σ ) . ( 1 + θ ). Embora seu valor seja comumente representado em taxa percentual ao período, matematicamente, a taxa de juros deve ser operada em sua forma unitária. MONTANTE (VALOR FUTURO) (VF) É o resultado da aplicação do Capital Inicial. Matematicamente, representa a soma do Capital Inicial mais os Juros capitalizados durante o período. Em algumas situações, como nas operações de Desconto Comercial, o valor futuro também é denominado valor nominal. É, portanto, a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser usufruída no futuro. Com isso temos o Montante como sendo: VF = VP + J UNIDADE 04 – FUNDAMENTOS – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (RCS) No Regime de Capitalização Simples, ou simplesmente, no regime dos juros simples, a taxa de juros incide somente sobre o valor inicial aplicado ou tomado emprestado. Por exemplo, $ 100,00 aplicado a 5% ao período renderá sempre $ 5,00 (que é igual a 0,05 x $ 100,00) por período. Em três períodos, o total dos juros será igual a 3 x $ 5,00 = $ 15,00) O exemplo abaixo mostra a capitalização simples de uma aplicação no valor de $ 800,00, capitalizada a 8% ao mês durante 6 meses. A incidência de taxa de juros ocorre sempre sobre o capital inicial: Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 0 800,00 - 800,00 1 800,00 64,00 864,00 2 864,00 64,00 928,00 3 928,00 64,00 992,00 4 992,00 64,00 1.056,00 5 1.056,00 64,00 1.120,00 6 1.120,00 64,00 1.184,00 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (RCC) No Regime de Capitalização Composta, ou regime de juros compostos, a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior. Por exemplo, em uma operação de empréstimo de $ 100,00 por três meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 0 100,00 - 100,00 1 100,00 60,00 160,00 2 160,00 96,00 256,00 3 256,00 153,60 409,60 11 UNIDADE 05 – FLUXO DE CAIXA Para facilitar a representação das operações financeiras, costuma-se em pregar o diagrama de fluxo de caixa ou, simplesmente, DFC, que consiste na representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). No diagrama de fluxo de caixa, alguns aspectos merecem ser destacados: A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos etc. Os pontos 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim, o 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada seja meses, então consideram-se n meses. As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sempre sinal positivo e são representadas por setas apontadas para cima. As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são representadas por setas apontadas para baixo Operação de Empréstimo Operação de Aplicação Exemplos: 1. Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: uma empresa fez uma aplicação de $ 50.000,00 em um banco e, após dois meses, resgatou $ 52.500,00. Período de Capitalização Período de Capitalização 0 0 n n Valor Presente Valor Presente Valor Futuro = Valor Presente + Juros Valor Futuro = Valor Presente + Juros 12 2. Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: um indivíduo (pessoa física) tomou um empréstimo de $ 20.000,00 em um banco e pagará o mesmo em quatro prestações mensais de $ 5.500,00 cada uma, a partir do mês seguinte. UNIDADE 06 – JUROS SIMPLES – FÓRMULA DO JURO E MONTANTE REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (RCS) No Regime de Capitalização Simples, ou simplesmente, no regime dos juros simples, a taxa de juros incide somente sobre o valor inicial aplicado ou tomado emprestado. Por exemplo, $ 100,00 aplicado a 5% ao período renderá sempre $ 5,00 (que é igual a 0,05 x $ 100,00) por período. Em três períodos, o total dos juros será igual a 3 x $ 5,00 = $ 15,00) O exemplo abaixo mostra a capitalização simples de uma aplicação no valor de $ 800,00, capitalizada a 8% ao mês durante 6 meses. A incidência de taxa de juros ocorre sempre sobre o capital inicial: Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 0 800,00 - 800,00 1 800,00 64,00 864,00 2 864,00 64,00 928,00 3 928,00 64,00 992,00 4 992,00 64,00 1.056,00 5 1.056,00 64,00 1.120,00 6 1.120,00 64,00 1.184,00 Assim, genericamente, os juros capitalizados no regime de capitalização simples poderiam ser apresentados como: J = VP . i Onde: J = Juros VP = Valor Presente i = taxa Em n períodos, os juros totais serão iguais aos juros por período multiplicados pelo número de períodos, ou: J = VP . i . n Onde: J = Juros VP = Valor Presente i = taxa n = números de períodos da capitalização 13 É importante ressaltar que a taxa e n devem estar sempre na mesma base, refletindo o mesmo período. Por exemplo, se n representa o número de meses, i deve ser expressa na forma unitária ao mês. Deve-se sempre que possível, evitar transformar i. Embora no regime de capitalização simples a transformação da taxa seja extremamente simples, no regime de capitalização composta isso não é verdade. Assim, sempre que n e i divergirem, n deve ser colocado na mesma base de i. Para melhor fixação desse conceito: Importante: Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!! Sugestão: Altere sempre n e evite alterar i. O montante ou o Valor Futuro no regime de capitalização simples pode ser representado como: VF = VP + J Como vimos anteriormente, substituindo J por ”VP . i . n” ficamos com: VF = VP + VP . i . n ... ou VF = VP . ( 1 + i . n ) 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖. 𝑛) 𝑖 = 𝑉𝐹 𝑉𝑃 − 1 𝑛 𝑛 = 𝑉𝐹 𝑉𝑃 − 1 𝑖 Onde: VF = Valor Futuro (Montante) VP = Valor Presente J = Juros i = Taxa n = Números de Períodos da Capitalização Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciais em juros simples, ter-se o prazo definido em número dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:a) Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O Juro apurado desta maneira denomina-se juro exato. 14 b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: a) Juro Exato: b) Juro Comercial: Exemplos 1. Calcular os juros recebidos por um investidor que aplicou $ 5.000,00 por 3 meses à taxa de juros simples de 3% ao mês. Dados: Solução: VP = 5.000 Como J = VP.i.n , então, substituindo os valores dados, temos: i = 3 % a.m. n = 3 meses J = 5000 . 0,03 . 3 J = ? J = 5000 . 0,09 J = 450,00 Resposta: Os juros recebidos nessa aplicação foram iguais a $ 450,00. 2. Imagine que você toma emprestado hoje $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização simples para a taxa de 10% a.m., qual o valor dos juros (J)? Quanto deverá ser devolvido (VF)? 1º modo: Cálculo dos juros (J): J = VP.i.n J = 1000 . 0,1 . 5 J = 500,00 Cálculo do Montante ou Valor Futuro (VF): FV = VP + J FV = 1000 + 500 FV = 1.500,00 2º modo: Cálculo do Montante ou Valor Futuro (VF): VF = VP ( 1 + i.n ) VF = 1000 ( 1 + 0,10. 5 ) VF = 1000 . (1 + 0,5) VF = 1000 . (1,5) VF = 1.500,00 Cálculo dos juros (J): J = VF – VP J = 1.500 – 1.000 J = 500,00 Resposta: Os juros pagos por este empréstimo foram iguais a $ 500,00 e, portanto, deverá ser devolvido o valor de R$ 1.500,00. Nos exemplos acima podemos notar que os períodos de tempo (n) e taxa de juro (i) são homogêneos, ou seja, as variáveis estão na mesma unidade de tempo (nestes exemplos, a taxa e o prazo estão em meses). 15 UNIDADE 07 – JUROS SIMPLES – TAXAS EQUIVALENTES Dizemos que as duas taxas são equivalentes se, considerando o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. De outro modo, considerando-se um mesmo capital aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas as taxas produzirão um mesmo montante se forem equivalentes. Para conversão de um prazo curto para outro maior: i = ik x n Ex: Para converter a taxa ao mês para taxa ao ano basta multiplicar a taxa por 12. Para conversão de um prazo longo para outro menor: ik = i/n Ex: Para converter a taxa ao ano para taxa ao mês basta dividir a taxa por 12. UNIDADE 08 – JUROS SIMPLES – VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL (OU VALOR PRESENTE) VALOR NOMINAL É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Se após o vencimento o compromisso não for saldado, entendemos que o mesmo continuará tendo o seu valor nominal, acrescido de juros e de eventuais multas por atraso. Exemplo: Uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai resgatá-la por $ 20.000,00 aqui a 12 meses. O valor nominal da aplicação é, portanto, igual a $ 20.000,00 no mês 12. VALOR ATUAL É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Para calcular o valor atual, é necessário especificar o valor nominal, a data de cálculo e a taxa de juros a ser utilizada na operação. Note então que o cálculo do valor atual pressupõe que já tenhamos um compromisso que vence numa data futura. UNIDADE 09 – JUROS SIMPLES – DESCONTO – CONCEITOS BÁSICOS Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é comum um devedor oferecer ao credor um título que comprove essa operação. De posse desse título, empregado para formalizar um compromisso que não será liquidado imediatamente, mas dentro de um prazo, previamente estipulado, o credor poderá negociar com uma instituição financeira o resgate antecipado desse título. Normalmente os títulos de crédito podem ser dos seguintes tipos: Nota Promissória: pode ser usada entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e instituições financeiras. Consiste em título de crédito que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vão especificados: valor nominal e a quantia a ser paga (que é a dívida inicial acrescida de juros); data do vencimento do título (em que a dívida deve ser paga) ; nome e assinatura do devedor; nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. 16 Duplicata Mercantil: é usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadoria a prazo, ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). Da duplicata devem constar o aceite do cliente; o valor nominal; a data do vencimento; o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita com base na Nota Fiscal. Letra de Câmbio: é um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma Letra de Câmbio tem especificados: valor de resgate (que é o valor nominal acrescido de juros), data de vencimento do título e quem deve pagar. Cheques Pré-Datados: embora não especificados pela legislação, têm sido cada vez mais empregados em operações comerciais com função da facilidade operacional do uso. De forma similar à Letra de Câmbio, o cheque pré-datado deve ter especificado: o valor nominal, a data programada para o depósito e o emitente (quem deve pagar). As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado ao tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor futuro torna- se igual ao valor presente mais o desconto. Note que o desconto representa os juros associados a operação. O conceito de juros, porém, está associado a operações de capitalização (levar do presente para o futuro), enquanto o desconto costuma referir-se a operações de descapitalização (ou operações de desconto, trazer do futuro para o presente). Nas operações de desconto, é comum o emprego de uma nomenclatura um pouco diferenciada. Por exemplo, no lugar de Valor Futuro é comum empregar a terminologia Valor Nominal. Em vez de Valor Presente, é comum usar a expressão Valor Líquido (ou Valor Recebido). UNIDADE 10 – JUROS SIMPLES – DESCONTO RACIONAL OU “POR DENTRO” DESCONTO RACIONAL OU “POR DENTRO” No regime de capitalização simples, os juros sempre incidem sobre o valor aplicado inicialmente. Nesse regime, as operações de desconto racional, ou por dentro, representam a aplicação direta da fórmula de capitalização de juros simples, objetivando encontrar o Valor Presente: A taxa de juros incide sobre o Valor Presente (Valor Líquido). D = VF – VP (1) Se: VP = VF (2) (1 + i * n) Então, substituindo (2) em (1): D = VF - VF (1 + i * n) Onde: D = Desconto VF = Valor Final (Valor Nominal) VP = Valor Presente (Valor Líquido) i = Taxa de Juros n = Número de Períodos de Capitalização (ou de Desconto) 17 UNIDADE 11 – JUROS SIMPLES – DESCONTO COMERCIAL OU “POR FORA” DESCONTO COMERCIAL OU “POR FORA” Comumente falando, o desconto comercial é aquele valor que se obtém pelo cálculo de juros simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o valor nominal. Ou seja, a incidência da taxa de desconto comercial dá-se sobre o Valor Futuro (Valor Nominal) da operação. D = VF * id * n (1) Assim o Valor Presente (ou Valor Líquido) poderá ser expresso como: VP = VF – D (2) Então, substituindo (2)em (1): VP = VF – VF * id * n Colocando VF em evidência: VP = VF (1 – id * n) Onde: VP = Valor Presente (Valor Líquido) VF = Valor Final (Valor Nominal) id = Taxa de Desconto Comercial ou Por Fora n = Número de Períodos de Capitalização (ou de Desconto) Após algumas operações algébricas, as fórmulas aplicáveis às operações de desconto comercial podem ser apresentadas segundo as fórmulas abaixo: VF = VP (1 - id * n) id = 1 – VP VF n n = 1 – VP VF id 18 UNIDADE 12 – JUROS SIMPLES – DESCONTO BANCÁRIO DESCONTO BANCÁRIO As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), o que altera levemente a fórmula do Desconto Comercial. De modo geral, o Desconto Bancário será igual ao Desconto Comercial mais uma taxa prefixada incidente sobre o Valor Futuro (Valor Nominal). Algebricamente, pode ser apresentado da seguinte forma: DB = DC + t * VP Onde: t = Taxa Prefixada DB = Desconto Bancário DC = Desconto Comercial Ou seja, VP = VF – D Então, substituindo (2) em (1): VP = VF – VF * id * n - t Colocando VF em evidência: VP = VF (1 – id * n – t) Obs: Embora exista a cobrança de taxa incidente sobre o valor nominal, na prática, a expressão desconto bancário é empregada como sinônimo de desconto comercial. De modo geral neste curso, não distinguiremos as expressões. O desconto comercial e o desconto bancário são tratados como sinônimos, e a taxa incidente sobre o valor nominal é, na maior parte das vezes, desprezada. UNIDADE 13 – JUROS COMPOSTOS – FÓRMULA DO JURO E MONTANTE REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (RCC) No Regime de Capitalização Composta, ou regime de juros compostos, a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior. Por exemplo, em uma operação de empréstimo de $ 100,00 por três meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 0 100,00 - 100,00 1 100,00 60,00 160,00 2 160,00 96,00 256,00 3 256,00 153,60 409,60 O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido no regime de capitalização simples para períodos superiores à unidade (por exemplo: um mês). Para períodos menores que 1, o valor futuro, calculado mediante o emprego de juros simples, é maior. 19 Note que a forma de capitalização da taxa de juros no regime de capitalização composta impede quaisquer operações de multiplicação ou divisão de taxa de juros (a exemplo do regime de capitalização simples). Para tornar compatíveis as taxas e prazos, converta sempre os prazos para a mesma base das taxas fornecidas. Evite mais uma vez, converter taxas. Importante: NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS NUNCA MULTIPLIQUE OU DIVIDA A TAXA DE JUROS!! Genericamente, a equação de capitalização de juros compostos pode ser apresentada da seguinte maneira: VF = VP x ( 1 + i ) n Da equação anterior, é possível deduzirem-se outras equações que permitam a obtenção direta do valor presente, da taxa ou do prazo da operação. VF = VP . ( 1 + i ) n CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS Quando o prazo da operação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa considerada, são adotadas duas convenções: a exponencial e a linear. Convenção Exponencial Calcula-se o montante correspondente ao prazo total da operação (n) no sistema de juros compostos: VF = VP.(1+ i)n Atenção: HP-12C C no visor: convenção exponencial. Sem a letra C no visor: convenção linear. Com a sequência de teclas [STO] [EEX] aparecerá ou desaparecerá a letra C no visor. 20 Convenção Linear - Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos (k) no sistema de juros compostos e - Na fração de tempo não inteiro restante, calcula-se os juros segundo o sistema de capitalização simples. VF = VP.(1 + i)k.(1 + i.m) Onde: k = parte inteira de períodos m = parte fracionária de períodos ou seja, k + m = n EXEMPLOS DE RESOLUÇÃO PELA FÓRMULA E USO DA HP-12C PARA CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS 1. Imagine que você toma emprestado $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização composta para taxa de 10% a.m., quanto deverá ser devolvido (VF)? VF = VP.(1 + i)n VF = 1000 . (1 + 0,10)5 VF = 1000 . (1,10)5 VF = 1000 . 1,610510000 VF = 1.610,51 Resposta: O valor a ser devolvido (VF) é igual a $ 1.610,51. 21 2. Qual será o valor de resgate (VF) de uma aplicação inicial de $ 1.800,00 (VP) no final de 12 meses à taxa composta de 1 % a.m.? VF = VP.(1 + i)n VF = 1800 . (1 + 0,01)12 VF = 1800 . (1,01)12 VF = 1800 . 1,126825030 VF = 2.028,29 Resposta: O valor resgatado (VF) é igual a $ 2.028,29. 3. Determinar o valor de emissão (VP) de um título que, no fim de 10 meses à taxa composta de 3% a.m., tem $ 6.719,58 de valor de resgate (VF). VF = VP.(1 + i)n 6719,58 = VP . (1 + 0,03)10 6719,58 = VP . (1,03)10 6719,58 = VP . 1,343916379 VP = 6719,58 1,343916379 VP = 5.000,00 Resposta: O valor de emissão (VP) para esse título foi de $ 5.000,00 22 4. Uma pessoa aplicou $ 13.000,00 (VP) e deseja resgatar $ 15.000,00 (VF) ao final de 1 ano (n) para pagar uma dívida. A que taxa mensal composta deve aplicar seu capital? VF = VP.(1 + i)n 15000 = 13000 . (1 + i)12 Ou 13000 . (1 + i)12 = 15000 (1+i)12 = 15000 13000 (1+i)12 = 1,153846154 1+i = √1,153846154 12 1+i = (1,153846154) 1 12 1+i = 1,011996457 i = 1,011996457 – 1 i = 0,011996457 a.m. (x100) i ≈ 1,20% a.m. Resposta: i ≈ 1,20% a.m. 5. Qual será o prazo (em anos) necessário para que $ 10.000,00 (VP) aplicado à taxa composta de 12% a.a. se transforme em $ 34.785,50 (VF)? VF = VP.(1 + i)n 34785,50 = 10000 . (1 + 0,12)n 10000 . (1 + 0,12)n = 34785,50 (1+0,12)n = 34785,50 10000 1,12n = 3,47855 ln 1,12n = ln 3,47855 n.ln 1,12 = ln 3,47855 n = ln 3,47855 ln 1,12 n = 1,24661554 0,11332868 n = 11 anos Resposta: n = 11 anos 23 6. Utilizando a convenção linear, calcular o montante (FV) produzido por $ 1.000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 40% a.a., capitalizados anualmente, ao final de 2 anos e 3 meses. VF = VP.(1 + i)k.(1 + i.m) k = 2 anos m = 3 12 = 0,25 anos VF = 1000.(1 + 0,40)2.(1 + 0,40.0,25) VF = 1000 . (1,40)2.(1 + 0,10) VF = 1000 . 1,96 . 1,10 VF = 2.156,00 Resposta: O montante produzido (VF) é igual a $ 2.156,00. 24 UNIDADE 14 – JUROS COMPOSTOS - DESCONTO COMPOSTO Ao estudarmos o sistema financeiro notamos que o mecanismo atualmente utilizado nas operações é o juro composto, o qual entendemos como juros sobre juros. Aplicações financeiras e empréstimos são efetuados por inúmeras pessoas no dia a dia, as quais utilizam os produtos oferecidos pelo mercado financeiro, como: promissórias, letras de câmbio, ações de empresas, títulos do tesouro nacional, financiamentos, leasing, consórciosentre outros. Uma operação bastante utilizada no meio financeiro são os descontos, eles se referem ao abatimento que recebemos no pagamento de um título antes do vencimento estabelecido. Os descontos podem ser simples ou compostos, enfatizaremos nosso estudo nos descontos compostos racionais. Ao realizarmos uma aplicação, nosso dinheiro é submetido a um fator de capitalização, que depende do valor da taxa de juros e do tempo da aplicação. Já nas situações de desconto, utiliza-se um fator de descapitalização. Para determinarmos o valor atual de um título utilizamos a seguinte expressão matemática: DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 𝐷𝑟 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 EXEMPLO: 1. Calcule o desconto de um título com valor nominal igual a $ 600,00, descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4% a.m. i = 4% a.m. 0,04 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 𝑉𝑃 = 600 (1 + 0,04)5 𝑉𝑃 = 600 (1,04)5 𝑉𝑃 = 600 1,216652 𝑉𝑃 = 493,15 𝐷𝑟 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 𝐷𝑟 = 600 − 493,15 𝑫𝒓 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟖𝟓 25 DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO Embora muito pouco usual na prática, o desconto comercial composto implica a incidência de sucessivos descontos sobre o valor nominal. O valor líquido pode ser definido como: 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 . (1 − 𝑖)𝑛 𝐷𝑐 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 Exemplo: Uma duplicata no valor de $ 8.000,00 foi descontada para quatro meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto igual a 3% a.m. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título. 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 . (1 − 𝑖)𝑛 𝑉𝑃 = 8000 . (1 − 0,03)4 𝑉𝑃 = 8000 . (0,97)4 𝑉𝑃 = 8000 . (0,885292) 𝑉𝑃 = 7082,34 𝐷𝑐 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 𝐷𝑐 = 8000 − 7082,34 𝐷𝑐 = 917,66 26 UNIDADE 15 – JUROS COMPOSTOS – TAXAS EQUIVALENTES, EFETIVAS, NOMINAIS E PROPORCIONAIS. TAXA EQUIVALENTE: De forma similar ao regime de capitalização simples, pelo critério de equivalência de taxas de juros diz-se que duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização composta, são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. Assim: VFa = VPa ( 1 + ia )na e VFb = VPb ( 1 + ib )nb Como VFa e VFb são iguais; VPa e VPb também são iguais, tem-se que: ( 1 + ia )na = ( 1 + ib )nb Note que ia e na, da mesma forma que ib e nb, devem estar na mesma base. Para encontrar a fórmula de equivalência, basta operar algebricamente a expressão anterior: Exemplos: 1. Qual é a taxa mensal equivalente à taxa anual de 18% a.a.? 𝑖𝑎 = [(1 + 0,18) 1 12 − 1] 𝑖𝑎 = [(1,18) 0,08333 − 1] 𝑖𝑎 = [1,013888 − 1] 𝑖𝑎 = 0,013888 𝑖𝑎 = 1,39 % 𝑎. 𝑎. 2. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? 𝑖𝑎 = [(1 + 0,02) 12 1 − 1] 𝑖𝑎 = [(1,02) 12 − 1] 𝑖𝑎 = [1,268241 − 1] 𝑖𝑎 = 0,268241 𝑖𝑎 = 26,8241% 𝑎. 𝑎. 27 3. Qual a taxa mensal equivalente a 15,39% a.a.? 𝑖𝑎 = [(1 + 0,1539) 1 12 − 1] 𝑖𝑎 = [(1,1539) 0,08333 − 1] 𝑖𝑎 = [1,012 − 1] 𝑖𝑎 = 0,012 𝑖𝑎 = 1,2 % 𝑎. 𝑎. TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas se dizem proporcionais se: 𝑖1 𝑛1 = 𝑖2 𝑛2 Onde n1 e n2 representam os períodos de capitalização de cada taxa e i1 e i2 representam os percentuais das taxas consideradas. Exemplo: As taxas 72% a.a., 36% a.s., 18% a.t. e 6% a.m. são proporcionais, pois tomando o período de um mês como unidade de tempo, tem-se: 72% 12 = 36% 6 = 18% 3 = 6% 1 ⟹ 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 6% 𝑎. 𝑚. TAXAS NOMINAIS A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 340% ao semestre com capitalização mensal. - 1150% ao ano com capitalização mensal. - 300% ao ano com capitalização trimestral. Exemplo: Se a taxa negociada é de 18% a.a. capitalizada mensalmente, a taxa aplicada é a taxa proporcional do período da capitalização, ou seja, a taxa aplicada é a taxa mensal proporcional: 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 18 12 = 1,5% 𝑎. 𝑚. (taxa nominal) TAXAS EFETIVAS Taxa efetiva é a taxa efetivamente aplicada na operação financeira. Neste caso, a unidade de tempo referida na taxa coincide com o período de capitalização. A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: - 140% ao mês com capitalização mensal. - 250% ao semestre com capitalização semestral. - 1250% ao ano com capitalização anual. 28 Regra: Para se calcular a taxa efetiva quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa: a) Calcula-se a taxa simples (proporcional) correspondente a um período de capitalização; b) Potencia-se essa taxa simples ao número de períodos de capitalização existente no intervalo de tempo a que se refere a taxa nominal. Ou seja: 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1 + 𝑖 𝑘 ) 𝑘 − 1] 𝑥100 Exemplos: 1. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 12% a.a. capitalizada mensalmente? 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1 + 𝑖 𝑘 ) 𝑘 − 1] 𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1 + 0,12 12 ) 12 − 1] 𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1 + 0,01) 12 − 1]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1,01) 12 − 1]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [1,12682503 − 1]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [0,12682503]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = 12,682503% 𝑎. 𝑎. Observação: Um exemplo clássico da utilização de taxas efetivas ocorre no financiamento de imóveis. Nesses contratos sempre estará informada a taxa nominal, por exemplo, 12% ao ano capitalizada mensalmente. Para cada parcela mensal incidirá 1%, o que equivale à taxa efetiva de 12,682503% ao ano. Por que não se divulga diretamente no contrato 12,682503% ao ano? Simplesmente, por ser uma prática usual de mercado!!! Correta ou não, essa é uma prática de mercado amplamente usada e aceita no nosso país. 2. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 10% a.a. capitalizada semestralmente? 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1 + 𝑖 𝑘 ) 𝑘 − 1] 𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1 + 0,10 2 ) 2 − 1] 𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1 + 0,05) 2 − 1]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [(1,05) 2 − 1]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [1,1025 − 1]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = [0,1025]𝑥100 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡 = 10,25% 𝑎. 𝑎. 29 UNIDADE 16 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Equivalência de capitais: constitui um conceito essencial ao cálculo financeiro, isto é, dois capitais podem ser equivalentes mesmo se colocados em épocas diferentes. Mas, os capitais só podem ser comparados em uma mesma data. O conceito de equivalência de capitais é utilizado na antecipação ou prorrogação de um ou mais títulos em operações financeiras, as quais dizem respeito, de um modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma data taxa de juros. Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando tiverem valores iguais, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros. A transferência de capitais de uma data para a outra posterior é feita pela fórmula: 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 . (1 + 𝑖)𝑛 A transferência de capitais de uma data para a outra anterior é feita pela fórmula: 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 É importante ressaltar que, no regime de juros compostos, dois conjuntos de capitais que sejam equivalentes em uma determinada data o serão em qualquer outra. Data Focal: também chamada de datade referência ou data de avaliação, é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Equação de valor: permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada a taxa de juros. Exemplos: 1. Um comerciante deve $ 6.000,00 que deverá ser pago daqui a 5 meses. Entretanto, ele deseja quitar sua dívida 2 meses antes do prazo. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é de 5% a.m., capitalizada mensalmente? 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 𝑉𝑃 = 6000 (1 + 0,05)2 𝑉𝑃 = 6000 (1,05)2 𝑉𝑃 = 6000 1,1025 𝑉𝑃 = 6000 1,1025 𝑉𝑃 = 5442,18 30 2. Uma pessoa deve $ 5.000,00 que deverá ser pago daqui a 1 mês. Entretanto, ela sabe que não poderá honrar sua dívida nesse prazo, mas somente daqui a 6 meses. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é de 8% a.m., capitalizada mensalmente? 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 . (1 + 𝑖)𝑛 𝑉𝐹 = 5000 . (1 + 0,08)5 𝑉𝐹 = 5000 . (1,08)5 𝑉𝐹 = 5000 . (1,469328) 𝑉𝐹 = 7.346,64 UNIDADE 17 – SÉRIES UNIFORMES (SÉRIES DE CAPITAIS) – CONCEITO De modo geral, uma série corresponde a toda e qualquer sequência de entradas ou saídas de caixa com um dos seguintes objetivos: (1) amortização de uma dívida ou (2) capitalização de um montante. As séries podem ser classificadas de diferentes formas: Quanto ao número de prestações Finitas: quando ocorrem durante um período predeterminado de tempo. Infinitas: ou perpetuidades, quando ocorrem de forma ad eternum, isto é, quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente. Quanto à periodicidade dos pagamentos Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem a intervalos constantes. Não Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo. Quanto ao valor das prestações Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são iguais. Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos. Quanto ao prazo de pagamento Postecipadas: quando os pagamentos ou recebimentos iniciam após o final do primeiro período. Antecipadas: quando o primeiro pagamento ou recebimento ocorre na entrada, do início da série. Quanto ao primeiro pagamento Diferidas: ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestação. Não Diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento. As séries uniformes apresentam prestações iguais. São bastante comuns em operações comerciais como financiamentos de eletrônicos, financiamento imobiliário, etc. Matematicamente, as séries uniformes podem ser representadas por meio de seu valor futuro, conforme descrito na seguinte fórmula: 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖 Onde: VF = Valor Futuro PMT = Valor da Prestação Periódica i = Taxa de Juros n = Número de Pagamentos da Série 31 Para séries postecipadas, ou seja, sem carência e com o primeiro pagamento realizado ao final do primeiro período, utiliza-se a seguinte fórmula: 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] Onde: VP = Valor Presente PMT = Valor da Prestação Periódica i = Taxa de Juros n = Número de Pagamentos da Série Logo: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] Se a série tiver carência de m + 1 períodos, a fórmula genérica para séries uniformes torna-se igual a: 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖)𝑚 Onde: VP = Valor Presente PMT = Valor da Prestação Periódica i = Taxa de Juros n = Número de Pagamentos da Série m + 1 = Carência até o primeiro pagamento Dica para cálculo de m: Quando a série de pagamentos terá parcelas mensais e sem entrada (ou seja, o primeiro pagamento vence após decorrer um período) sabemos que m=0 pois se m+1 = 1 então m=0. Se tiver carência, ou seja, se o primeiro pagamento for após mais de um período (por exemplo, em pagamentos mensais, primeiro pagamento após 120 dias) sabemos que m=3 pois m+1=4 então m=3. E assim por diante. Para calcular o valor final de uma aplicação, deve-se usar: 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖 × (1 + 𝑖) 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝐹 × 𝑖 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖) 32 Exemplo 1: Uma geladeira possui preço a vista igual a $ 800,00, podendo ser paga em 3 parcelas mensais e iguais sem entrada. Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é igual a 5% a.m., calcule o valor da prestação a ser cobrada pela loja. 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖)𝑚 PMT = ? VP = 800 i = 5% a.m 0,05 a.m. n = 3 m = 0 (pois m + 1 = 1 , ou seja, o primeiro pagamento será realizado após vencer o primeiro período de 30 dias) 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1 + 0,05)3] [(1 + 0,05)3 − 1] × (1 + 0,05)0 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1,05)3] [(1,05)3 − 1] × (1,05)0 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1,157625)] [1,157625 − 1] × 1 𝑃𝑀𝑇 = 800 × 0,057881 0,157625 𝑃𝑀𝑇 = 800 × 0,367208 𝑃𝑀𝑇 = 293,77 Exemplo 2: A mesma geladeira possui preço a vista igual a $ 800,00, podendo ser paga em 3 parcelas mensais e iguais e sua primeira parcela após 90 dias. Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é igual a 5% a.m., calcule o valor da prestação a ser cobrada pela loja. 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖)𝑚 PMT = ? VP = 800 i = 5% a.m. 0,05 a.m. n = 3 m = 2 (pois m + 1 = 3 , ou seja, o primeiro pagamento será realizado após vencer 3 períodos de 30 dias) 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1 + 0,05)3] [(1 + 0,05)3 − 1] × (1 + 0,05)2 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1,05)3] [(1,05)3 − 1] × (1,05)2 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1,157625)] [1,157625 − 1] × 1,1025 33 𝑃𝑀𝑇 = 800 × 0,057881 0,157625 × 1,1025 𝑃𝑀𝑇 = 800 × 0,367208 × 1,1025 𝑃𝑀𝑇 = 323,88 SÉRIES UNIFORMES (SÉRIES DE CAPITAIS) – SÉRIES POSTECIPADAS E ANTECIPADAS Embora o modelo genérico de séries tenha sido apresentado anteriormente, as séries uniformes mais usuais são classificadas como postecipadas (quando o primeiro pagamento ocorre um período depois; nesse caso m = 0) ou antecipadas (quando o primeiro pagamento ocorre no ato, ou seja, com entrada de uma parcela; nesse caso m = -1). Exemplo 3 (com Séries Antecipadas): A mesma geladeira possui preço a vista igual a $ 800,00, podendo ser paga em 3 parcelas mensais e iguais e sua primeira parcela no ato e mais duas a vencer em 30 e 60 dias. Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é igual a 5% a.m., calcule o valor da prestação a ser cobrada pela loja. 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖)𝑚 PMT = ? VP = 800 i = 5% a.m. 0,05 a.m. n = 3 m = -1 (pois m + 1 = 0 , ou seja, o primeiro pagamento será realizado antes de vencer um período de 30 dias, quer dizer, no ato da compra) 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1 + 0,05)3] [(1 + 0,05)3 − 1] × (1 + 0,05)−1 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1,05)3] [(1,05)3 − 1] × (1,05)−1 𝑃𝑀𝑇 = 800 × [0,05(1,157625)] [1,157625 − 1] × 0,95238 𝑃𝑀𝑇 = 800 × 0,057881 0,157625 × 0,95238 𝑃𝑀𝑇 = 800 × 0,367208 × 0,95238 𝑃𝑀𝑇 = 279,78 34 Outros exemplos: Exemplo 1: Calcular o valor de um financiamento a ser quitado por seis pagamentos mensais de $ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo a taxa de juros negociada na operação igual a 3,5% a.m.. VP = ? i = 3,5% a.m. 0,035 a.m. PMT = 1500 n= 6 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] 𝑉𝑃 = 1500 × [(1 + 0,035)6 − 1] [0,035(1 + 0,035)6] 𝑉𝑃 = 1500 × [(1,035)6 − 1] [0,035(1,035)6] 𝑉𝑃 = 1500 × [1,229255326 − 1] [0,035.1,229255326] 𝑉𝑃 = 1500 × 0,229255326 0,043023936 𝑉𝑃 = 1500 × 5,328553013 𝑉𝑃 = 7992,83 Na HP12C: [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora [ f ] 2 = coloca 2 casas decimais 1500 [ CHS ] [ PMT ] 6 [ n ] 3,5 [ i ] Lembrando que na HP12C deve-se inserir a taxa em modo percentual [ PV ] = logo após teclar isso aparecerá no visor 7.992,83 Exemplo 2: Uma pessoa necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de $ 37.500,00 e acredita que, se na data de hoje aplicar $ 500,00 mensalmente em um fundo de renda fixa que paga a taxa de 0,8% ao mês, ele terá o valor de que precisa. Pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular esse valor? VF = ? i = 0,8% a.m. 0,008 a.m. PMT = 500 n = 5 anos = 60 meses 35 𝑉𝐹 = 𝑃𝑀𝑇 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖 × (1 + 𝑖) 𝑉𝐹 = 500 × [(1 + 0,008)60 − 1] 0,008 × (1 + 0,008) 𝑉𝐹 = 500 × [(1,008)60 − 1] 0,008 × 1,008 𝑉𝐹 = 500 × [1,612990935 − 1] 0,008 × 1,008 𝑉𝐹 = 500 × [0,612990935] 0,008 × 1,008 𝑉𝐹 = 500 × 76,62386688 × 1,008 𝑉𝐹 = 38.618,43 Na HP12C: [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora [ f ] 2 = coloca 2 casas decimais [ g ] [ BEG ] 500 [ CHS ] [ PMT ] 60 [ n ] 0,8 [ i ] Lembrando que na HP12C deve-se inserir a taxa em modo percentual [ FV ] = logo após teclar isso aparecerá no visor 38.618,43 Resposta: O poupador não só conseguirá acumular $ 37.500,00 como ainda sobrarão $ 1.118,43. Cálculo com séries uniformes na HP12C: As principais funções financeiras da HP12C para operações com séries uniformes são: [ n ]: número de pagamento (ou parcelas), sempre aproximando para o inteiro superior; [ i ]: taxa da série, como já vimos, na HP12c sempre aparece a taxa percentual; [ PV ]: do inglês Present Value, Valor Presente da série; [ PMT ]: do inglês PayMenT, valor da prestação (ou pagamento) da série; [ FV ]: do inglês Future Value, Valor Futuro da série. Para poder operar com PMT da HP12C, é preciso previamente determinar, se a série calculada é postecipadas ou antecipada: [ g ] [ END ]: Postecipada (padrão da calculadora, não aparece informação na tela) [ g ] [ BEGIN ]: Antecipada (aparece a palavra BEGIN na tela) Exemplo 1: Um Fogão no valor de $ 950,00 a vista, é vendido em 12 pagamentos mensais iguais e sem entrada no valor de $ 100,00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? 36 Para encontrar com o auxílio da HP12C, a taxa de juros cobrada no financiamento, basta empregar: [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora 12 [ n ] 950 [ PV ] 100 [ CHS ] [ PMT ] [ g ] [ END ] [ i ] = logo após teclar isso aparecerá no visor 3,7909 (lembrando que a taxa na HP12C já aparece em %) Exemplo 2: Uma loja de decorações anuncia a venda de um objeto de arte por $ 600,00 a vista ou em 1 + 8 (isto é, com uma entrada e oito parcelas mensais) de $ 80,00. Qual a taxa cobrada pela loja? Para encontrar com o auxílio da HP12C, a taxa de juros cobrada no financiamento, basta empregar: [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora 9 [ n ] 600 [ PV ] 80 [ CHS ] [ PMT ] [ g ] [ BEG ] [ i ] = logo após teclar isso aparecerá no visor 4,8598 (lembrando que a taxa na HP12C já aparece em %) Exemplo 3: Um empréstimo no valor de $ 400,00 deve ser pago em 3 parcelas mensais iguais a $ 190,00 com a primeira parcela vencendo após 30 dias após a liberação dos recursos. Qual a taxa de juros compostos mensal cobrada na operação? [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora 3 [ n ] 400 [ PV ] 190 [ CHS ] [ PMT ] [ g ] [ END ] [ i ] = logo após teclar isso aparecerá no visor 20,037 (lembrando que a taxa na HP12C já aparece em %) Exemplo 4: Um aparelho de som é anunciado com preço a vista de $ 1.200,00 ou três parcelas mensais iguais a $ 500,00. Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a primeira parcela seja paga: a) no ato: [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora 3 [ n ] 1200 [ PV ] 500 [ CHS ] [ PMT ] [ g ] [ BEG ] [ i ] = logo após teclar isso aparecerá no visor 27,4659 (lembrando que a taxa na HP12C já aparece em %) 37 b) 30 dias após a compra [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora 3 [ n ] 1200 [ PV ] 500 [ CHS ] [ PMT ] [ g ] [ END ] [ i ] = logo após teclar isso aparecerá no visor 12,0444 (lembrando que a taxa na HP12C já aparece em %) Séries ou Rendas Uniformes Diferidas Nas séries uniformes de pagamentos diferidas são aquelas em que há um período de carência, ou seja, se considerarmos um período de carência qualquer como n, a primeira prestação será paga no período seguinte (n+1). 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 × 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑖 (1 + 𝑖)𝑐−1 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × (1 + 𝑖)𝑐−1 1−(1 + 𝑖)−𝑛 Onde c é o período de carência Exemplo: Certa loja vende determinada mercadoria à vista por $ 850,00, em 24 parcelas mensais, devendo a primeira parcela ser paga após 4 meses do fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada prestação. 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × (1 + 𝑖)𝑐−1 1−(1 + 𝑖)−𝑛 𝑃𝑀𝑇 = 850 × 0,04 × (1 + 0,04)4−1 1−(1 + 0,04)−24 𝑃𝑀𝑇 = 34 × (1,04)3 1−(1,04)−24 𝑃𝑀𝑇 = 34 × 1,124864 1 − 0,390121474 𝑃𝑀𝑇 = 34 × 1,124864 0,609878536 𝑃𝑀𝑇 = 34 × 1,844406636 𝑃𝑀𝑇 = 62,71 38 Na HP12C: Observação: Na HP-12C considera-se, inicialmente, o período de carência e calcula-se o valor realmente devido (FV) após a carência. Esse valor torna-se, então, o novo PV que será pago em prestações no prazo contratado e que, portanto, não gerará nenhum valor devido (FV = 0). [ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora [ f ] 2 = (duas casas decimais) 3 [ n ] 4 [ i ] 850 [ CHS ] [ PV ] [ FV ] Visor = 956,13 [ CHS ] [ PV ] 0 [ FV ] 24 [ n ] [ PMT ] Visor = 62,71 Rendas Perpétuas Existem casos em que os pagamentos ou recebimentos são uniformes e o número de termos tende ao infinito. Estas séries encontram aplicações práticas principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis, na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de dividendos, etc. No caso das séries perpétuas, determina-se unicamente o seu valor presente, dado pela expressão: 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 𝑖 Exemplo 1: Uma empresa está pensando em emitir 600 debêntures (títulos de dívidas emitidos por empresas não financeiras) que pagam juros anuais perpétuos no valor de $ 8200,00. Sabendo que o custo de oportunidade dos recursos da empresa são iguais a 25% a.a., estime: a) Qual será o valor negociado de cada debênture? b) Quanto a empresa conseguirá captar? a) 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 𝑖 𝑉𝑃 = 8200 0,25 𝑉𝑃 = 32800 R: a empresa captará por debênture $ 32.800,00 39 b) Valor Total = 600 x 32.800 = 19.680.000 R: As empresa receberá nas 600 debêntures o total de $ 19.680.000,00 Exemplo 2: Um plano de aposentadoria particular oferece a um cliente a possibilidade de comprar um certificado de investimento no valor de $ 156.000,00 que permite ao titular receber rendimentos mensais ad eternum no valor de $ 4.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros associada ao risco desta operação é igual a 28% a.a., será um bom negócioa compra do título? R: Primeiro devemos calcular a taxa equivalente mensal à taxa de 28% a.a. 𝑖𝑎 = [(1 + 0,28) 1 12 − 1] 𝑖𝑎 = [(1,28) 0,833 − 1] 𝑖𝑎 = [1,0207847 − 1] 𝑖𝑎 = 0,0207847 𝑖𝑎 = 2,0785% 𝑎. 𝑚. Após descobrir que a taxa equivalente composta de 28% a.a. é igual a 2,0785% a.m. aplicamos a fórmula de séries perpétuas: 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 𝑖 𝑉𝑃 = 4000 0,020785 𝑉𝑃 = 192446,48 Como o valor cobrado pelo plano é menor (156.000,00), seria um bom negócio. Outra forma de avaliação envolveria a análise da prestação mensal: PMT vitalícia 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × 𝑖 𝑃𝑀𝑇 = 156000 × 0,020785 𝑃𝑀𝑇 = 3242,46 O que é menor do que está proposto receber. Exemplo 3: Marcela completou hoje 24 anos e gostaria de analisar a possibilidade de contribuir para um plano de aposentadoria privada. Pensa em aposentar-se ao completar 55 anos, quando gostaria de contar, a partir de seu aniversário, com uma renda mensal ad eternum igual a $ 3.700,00. Sabendo que a taxa de juros em vigor no mercado para planos de aposentadoria do tipo desejado é igual a 8% a.a., quanto ela deveria começar a depositar hoje de forma a atingir o que deseja? R: Primeiro devemos calcular a taxa equivalente mensal à taxa de 8% a.a. 40 𝑖𝑎 = [(1 + 0,08) 1 12 − 1] 𝑖𝑎 = [(1,08) 0,833 − 1] 𝑖𝑎 = [1,006434 − 1] 𝑖𝑎 = 0,006434 𝑖𝑎 = 0,6434% 𝑎. 𝑚. Se ela deseja receber uma renda perpétua de $ 3.700,00 por mês, um mês antes da data de aniversário ela precisaria possuir uma valor igual a: 𝑉𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 𝑖 𝑉𝑃 = 3700 0,006434 𝑉𝑃 = 575.069,94 Esse valor corresponderia ao Valor Futuro da série de contribuições que marcela deveria efetuar entre 24 e 55 anos ou durante 372 meses [(55-24)x12]. 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝐹 × 𝑖 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖) 𝑃𝑀𝑇 = 575069,94 × 0,006434 [(1 + 0,006434)372 − 1] × (1 + 0,006434) 𝑃𝑀𝑇 = 575069,94 × 0,006434 [(1,006434)372 − 1] × 1,006434 𝑃𝑀𝑇 = 575069,94 × 0,006434 [10,8675 − 1] × 1,006434 𝑃𝑀𝑇 = 575069,94 × 0,006434 9,8675 × 1,006434 𝑃𝑀𝑇 = 575069,94 × 0,000652036 × 1,006434 𝑃𝑀𝑇 = 377,38 41 UNIDADE 18 – EMPRÉSTIMOS - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO SAC - SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES A dívida (VP) assumida é quitada em n parcelas iguais, em que o valor de cada amortização é igual a 𝑉𝑃 𝑛⁄ . Os juros incidentes sobre o saldo devedor são quitados juntamente com a amortização do principal. Assim, como o saldo devedor e o pagamento de juros decrescem, as parcelas pagas são decrescentes. Exemplo: Um empréstimo de $ 16.000,00 deve ser quitado em 4 parcelas mensais mediante o emprego do Sistema de Amortizações Constantes – SAC. A taxa de juros mensal da operação é igual a 2%. Calcule o valor de cada parcela, sabendo que a primeira será paga dentro de 30 dias. 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 𝑛 𝑃𝑀𝑇 = 16000 4 𝑃𝑀𝑇 = 4000 Com base no PMT calculado, seria possível compor a seguinte tabela: PERÍODO N SALDO INICIAL PAGAMENTO SALDO FINAL JUROS AMORTIZAÇÃO TOTAL 1 16.000,00 (320,00) (4.000,00) (4.320,00) 12.000,00 2 12.000,00 (240,00) (4.000,00) (4.240,00) 8.000,00 3 8.000,00 (160,00) (4.000,00) (4.160,00) 4.000,00 4 4.000,00 (80,00) (4.000,00) (4.080,00) (0,00) SISTEMA FRANCÊS (PRICE) Nesta modalidade, a dívida é resgatada ou quitada mediante a uma série n de pagamentos periódicos iguais. Quando as prestações são mensais e a taxa apresentada é anual com capitalização mensal, o sistema francês recebe o nome de Tabela Price (embora genericamente o sistema Francês seja chamado de Tabela Price, independentemente de apresentar taxa nominal). Corresponde às séries uniformes postecipadas já estudadas anteriormente. As Tabelas Prices costumam apresentar os valores das prestações, discriminando a amortização do principal e o pagamento dos juros. Exemplo: Um empréstimo no valor de $ 400,00 deve ser pago em 3 parcelas mensais iguais, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação do principal. A taxa acordada para a operação foi igual a 20% a.m. Qual o valor dos juros e da amortização quitada em cada parcela? R: Para responder a questão, o primeiro passo envolve o cálculo de cada de cada uma das 3 parcelas. Para isso basta aplicar a fórmula de série uniforme, já apresentada anteriormente: 42 𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃 × [𝑖(1 + 𝑖)𝑛] [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] × (1 + 𝑖)𝑚 𝑃𝑀𝑇 = 400 × [0,20(1 − 0,20)3] [(1 + 0,20)3 − 1] × (1 + 0,20)0 𝑃𝑀𝑇 = 400 × [0,20(1,20)3] [(1,20)3 − 1] × (1,20)0 𝑃𝑀𝑇 = 400 × [0,20(1,20)3] [(1,20)3 − 1] × (1,20)0 𝑃𝑀𝑇 = 400 × [0,20 × 1,728] [1,728 − 1] × 1 𝑃𝑀𝑇 = 400 × [0,3456] [0,728] 𝑃𝑀𝑇 = 400 × 0,47472527 𝑃𝑀𝑇 = 189,89 Com base no PMT calculado, seria possível compor a seguinte tabela: PERÍODO N SALDO INICIAL PAGAMENTO SALDO FINAL JUROS AMORTIZAÇÃO TOTAL 1 400,00 (189,89) 2 (189,89) 3 (189,89) Os juros devidos e pagos no mês 1 são iguais à taxa multiplicada pelo Saldo Inicial: J1 = 400 x 20% = -80,00 (como representam um desembolso de caixa, deve-se empregar o sinal negativo). Se o total pago na parcela 1 foi (189,89) e o valor dos juros foi igual a (80,00), a amortização do principal feita na parcela 1 foi igual à diferença: (189,89) – (80) = (109,89). O Saldo Devedor Final é igual ao Saldo Devedor Inicial subtraído da amortização, o que é igual a: SDF = 400 – 109,89 = 290,11. Os juros devidos e pagos no mês 2, analogamente aos juros do período 1, são iguais à multiplicação da taxa de juros pelo saldo devedor inicial no período 2 e assim por diante. Após a realização de todos os cálculos para os períodos 2 e 3, pode-se obter o resultado da tabela seguinte. Note que, obrigatoriamente, o saldo final deve ser nulo. PERÍODO N SALDO INICIAL PAGAMENTO SALDO FINAL JUROS AMORTIZAÇÃO TOTAL 1 400,00 (80,00) (109,89) (189,89) 290,11 2 290,11 (58,02) (131,87) (189,89) 158,24 3 158,24 (31,65) (158,24) (189,89) (0,00) Total Pago: (569,67) 43 Note que, no sistema francês, as amortizações são crescentes, enquanto que o pagamento de juros é decrescente e o pagamento periódico é fixo ou constante. Vamos fazer uma comparação com esse último exemplo utilizando a tabela SAC: PERÍODO N SALDO INICIAL PAGAMENTO SALDO FINAL JUROS AMORTIZAÇÃO TOTAL 1 400,00 (80,00) (133,34) 213,34 266,66 2 266,66 (53,33) (133,33) 186,66 133,33 3 133,33 (26,67) (133,33) 160,00 (0,00) Total Pago: (560,00) Percebemos então que o sistema de amortização SAC é mais vantajoso pois paga-se menos juros, porém as primeiras parcelas são maiores do que no sistema Price.
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