Lista problemas Oscilador Harmônico

Prévia do material em texto

2. Um oscilador harmônico simples ´pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: . 
Considere as seguintes equações abaixo, onde A, ω e β são constantes, e verifique se
elas descrevem um movimento MHS.
a) 
b)
c) 
02
2
=+ x
m
k
dt
xd
)βtω(Asenx +=
βtωAx += 2
)βtω(i
Aex
+
=
3. Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A.
a) Quais são os valores (módulos) da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual 
a energia cinética? 
Resp: A/√2; ω A/√2 
b) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo e qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências 
consecutivas? Resp: 4 ; pi/2ω
c) Quando o deslocamento é a metade da amplitude quais os valores das frações de energia cinética e 
energia potencial? Resp: 3/4 ; 1/4.
1. Um objeto de massa m oscila em um movimento harmônico simples. Sabendo-se que a distancia 
máxima em relação ao ponto de equilíbrio é dada por A, que o período é T e que no instante t=0 o objeto 
está na origem, x=0, mas movendo-se na direção –x, mostre que (Obs: Estas equações são válidas para 
qualquer Oscilador Hamônico Simples): 
a) A equação do movimento pode ser dada por 
b) A velocidade máxima do objeto é: 
c) A aceleração máxima do objeto é dada por:
d) A energia total do sistema pode ser dada por:
)t
T
2(Asen)t(x pi−=
T
A2
vmax
pi
=
22
max Aa ω=
2
22
tot T
mA2E pi=
Lista problemas sobre Oscilador Harmônico
4. Sobre a superfície muito lisa de uma mesa se encontra uma mola, cuja a constante é de 16 N/m. Uma
das extremidades da mola está fixada na mesa e na outra está presa um bloco de 2 kg que também
repousa sobre a mesa. Um outro bloco (também de 2 kg) desloca sobre a superfície com velocidade de 8
m/s e colide com o bloco preso à mola. Após a colisão os dois blocos permanecem grudados um no outro e
o sistema começa a oscilar. Considerando t=0 e x=0 no instante da colisão, encontre a equação do
movimento harmônico resultante.
Resposta: )t2(sen2)t(x =
5. Um tubo de secção transversal A é dobrado na forma de um U. Um fluido é 
inserido no tubo ocupando um comprimento l. do tubo. O fluido é sugado de
um lado do tubo e então é solto resultando em um movimento oscilatório
(considere que não tem atrito).
Mostre que o período de osculação do movimento harmônico resultante é
dado por:
g2
l2T pi=
11. O gráfico ao lado representa o movimento de um oscilador harmônico
amortecido.
a) Usando as informações do gráfico faça uma estimativa dos valores da
frequência de oscilação (ω1) e do coeficiente de amortecimento
(β = -b/2m). (Dica: se necessário amplie a figura)
b) Determine a frequência natural do MHS
c) Determine o período de oscilação do oscilador amortecido.
d) Escreva a equação para o oscilador amortecido.
13. A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa 
m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma
mola. Usando as informações constantes do gráfico determine:
a) A constante de fase (ϕ) do movimento. Resp: 3.864 rad
b) Escreva a equação do deslocamento em função do tempo.
c) Qual a constante de mola?
d) Calcule a velocidade máxima. Resp: 3,14 m/s
e) Calcule a aceleração máxima. Resp: 98,7 m/s2
f) Quando exatamente o corpo estará na posição de equilíbrio mas
movendo-se para a direita? Resp: 0.027 s
g) Onde exatamente se encontra o corpo no momento correspon-
dente ao ponto C? Resp: 0.277 s
10. Mostre que para um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força do tipo F = - bv, oscilações
ocorrerão somente quando for satisfeita a condição b ≤ 2 √km
9. Quando deslocados da posição de equilíbrio, os dois átomos da molécula de H2 são submetidos a uma 
força restauradora do tipo F = - kx com
a constante k = 580 N/m. Calcule a frequência de oscilação da molécula de H2.
Obs: busque na literatura os dados que você precisará usar para resolver o problema.
8. Um peso desconhecido é preso a uma das extremidades de uma mola e provoca uma elongação da mola 
de uma distância L., na posição de 
equilíbrio. Mostre que, nestas condições, se o peso for colocado para oscilar em MHS, o período de 
oscilação é o mesmo de um pendulo simples de comprimento L. (Obs: considere a mola de massa 
desprezível).
7. Um pendulo de 0,240 m de comprimento é deslocado lateralmente até um ângulo de 3,50º e então é 
liberado. 
a) Quanto tempo leva o peso do pendulo para atingir a velocidade mais elevada?
b) Quanto empo levaria se o pendulo fosse liberado em um ângulo de 1,75º ?
6. Um certo pêndulo simples possui na Terra um período igual a 1,60 s. Qual é o período na superfície de 
Marte?
14. O problema do “Bungee Jump”
Uma pessoa cuja massa é de 60,0 kg executa um salto de Bungee Jump com uma corda elástica de 
comprimento natural de 9,00 m. Quando ele atinge a parte mais baixa, a corda sofreu uma distensão 
de 18,0 m e ele se encontra a 3,00 m do solo.
a) Calcule a constante-de-mola dessa corda. Resp: 98 N.m-1
b) Qual é a força máxima exercida sobre a pessoa? Resp: 1.2×103 N 
c) Qual é a aceleração máxima sofrida pela pessoa? Resp: 20 m.s-2
d) Depois de chegar à parte mais baixa do salto a pessoa tende a oscilar. Calcule a frequência de oscilação
considerando que o movimento fosse do tipo MHS.
e) Normalmente em saltos de Bungee Jump observa-se uma constante de amortecimente da ordem de 25 
kg/s. 
Considerando esse valor, calcule a frequência e o período da oscilação sofrida pelo nosso saltador.
f) Seria possível fazer uma estimativa do tempo em que o individuo ficaria oscilando? Explique
g) Considere agora, que uma outra pessoa ( adepta de consumo farto de massas, chocolates, doces , 
cerveja, 
etc..) pesando 120 kg, inadivertidamente toma da mesma corda e decide pular !! Supondo que a corda
e os
cintos resistam ao seu peso, analise com cuidado se essa pessoa correrá algum risco no seu salto. 
15. Através de uma força de 4,0 N, um oscilador harmônico amortecido é deslocado de 0,2 m da sua 
posição de equilíbrio. Em t =0 ele é solto (do repouso) e começa a oscilar. O movimento é então registrado 
como mostrado no gráfico abaixo. Faça uma estimativa , mais precisa que você conseguir, dos valores da 
do período, da massa e do coeficiente de amortecimento (b).
16. Na figura ao lado está representada uma onda propagando em uma 
corda.
a) Determine a amplitude e o comprimento de onda da onda.
b) Sabendo-se que a frequência de oscilação é de 16 Hz, determine a 
velocidade da onda. 
c) Determine o numero de onda (κ)
d) Sabendo-se que se trata de uma onda transversal escreva a equação 
para o deslocamento y em função de x e t.
y
(m
)
t(s)
17. A figura ao lado mostra o deslocamento em função do
tempo de um ponto de uma mola na qual existe uma onda
viajante de comprimento de onda igual a 50 cm.
a) Determine a velocidade da onda.
b) Se a frequência for reduzida à metade qual será a 
velocidade
da onda
18. Na figura abaixo estão representadas duas ondas deslocando para a direita em molas idênticas e com a 
mesma velocidade de 4,0 m/s.
a) Determine os comprimentos de onda, as amplitudes e as frequências de cada uma das ondas.
b) Qual é o tempo em que as ondas voltarão a apresentar a mesma configuração mostrada na figura?
c) Para qual onda a velocidade máxima das partículas da mola é maior? Explique. 
19. Uma onda senoidal tem um deslocamento máximo de 2,0cm, um comprimento de onda de 1,2 m e uma
frequência angular de 6.2 Hz. No tempo t=0 e posição x = 0 a mola se encontra no seu deslocamento 
máximo.
a) Encontre a equação para esta onda.
b) Faça um esboço (gráfico) do deslocamento (y) dospontos da mola em função da posição (x) para o 
tempo t = 0.