ENG1007 P3 15.2A

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Terceira prova – turma A 17/11/2015 
1a Questão (2,5 pontos) 
Calcular as reações de apoio da viga ao 
lado. 
(Não se esqueça de usar uma terceira 
equação para verificar as contas.) 
 
Resposta: 
 
2 1 2 1 4 2 2 0 1A B BM R R kN= × + × − − − = ⇒ = −∑ 
2 1 2 1 4 2 2 0 5B A AM R R kN= − × − × − − + = ⇒ =∑ 
Verificação: 1 2 2 (5 1) 0yF = × + − − =∑ 
 
2a Questão (2,5 pontos) 
 
A viga biapoiada ao lado está submetida a um 
carregamento triangular e a uma carga momento 
na seção que dista 1 m do apoio esquerdo, 
conforme indicado. 
As reações de apoio são RA = 5kN e RB = 1kN. 
Determinar as expressões e traçar os diagramas 
de esforço cortante e momento fletor. 
 
Resposta: 
 
 
)()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
Expressão do carregamento: ( ) 3q x x= 
 
Diagrama de esforço cortante: 
5
2
3 2 +−= xV ( 20 << x ) 
Diagrama de momento fletor: 
xxM 5
2
1 3 +−= ( 10 <≤ x ) 
65
2
1 3
−+−= xxM ( 21 ≤< x ) 
 
1 m 1 m 
A B 
2kNm
1 /kN m2kN
4kNm
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
x 
M=6 kNm 1m 1m 
q =6 kN/m 
5=AR 1=BR
V
5
1−
5,3
M
4,5
1,5-
0,09
9 
1 
20 
2 
E2 
E1 
E1 
16 cm 
20 
3a Questão (2,5 pontos) 
À direita está esquematizada a seção transversal 
de uma viga, construída com dois materiais 
distintos, de módulos de elasticidade E1 = 50 
GPa e E2 = 100 GPa. Calcular 
a) onde passa a linha neutra da seção e 
qual o valor da rigidez 2
A
Ey dA∫ . 
Resposta: 
 
Seja 212 == EEn . Distância da linha neutra a 
partir do bordo superior: 
 
Linha neutral da seção: 
2 16 9 4,5 2 20 19 20 1 29,5 9cm
2 16 9 2 20 20 1c
y × × × + × × + × ×= =
× × + × + ×
 
Valor da rigidez: 
2
1 eqA
Ey dA E I=∫ , onde 
 
2 2 2
2 2 2 49 20 12 16 9 (9 4,5) 2 20 (9 19) 20 1 (9 29,5) 18600cm
12 12 12eq
I
     
= × × × + − + × × + − + × × + − =     
      
4a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura abaixo está biapoiada e submetida a um 
carregamento uniformemente distribuído. Conforme 
esquematizado à direita (dimensões em cm), a viga é construída 
com dois materiais distintos, de módulos de elasticidade E1 = 10 
GPa e E2 = 100 GPa. 
A linha neutra da seção transversal está a 9,0 cm do topo. A rigidez 
da seção à flexão foi calculada como 2 4 193.000A Ey dA cm E=∫ . 
Calcular o carregamento máximo qmáx que esta viga pode suportar, 
sabendo que 
a) a máxima tensão normal do material 1 é 1 50máx MPaσ = e 
b) a máxima tensão de cisalhamento do material 1 é 
1 20máx MPaτ = . 
 
 
Resposta: 
4 2
2 2máx
q qV q×= = =ℓ nos apoios. 
2 24 2
8 8máx
q qM q×= = =ℓ no meio do vão. 
qmáx = ? 
m4=ℓ
9 
20 
1 
10 
E1 
E2 
E2 
A tensão normal do material 1 é máxima para 20y cm= : 
2
1 1
8
1
2 20 10 50
93.000 10máx
q E MPa
E
σ
−
−
× × ×
= ≤
× ×
 116,250q kN m⇒ ≤ 
A tensão de cisalhamento é máxima na linha neutra: 31 10
9d 10 10 9 4.050
2
máxy
y
Ey A E cm E
=
= × × × =∫ 
6
1 1
8
1
2 4.050 10 20
0,1 93.000 10máx
q E MPa
E
τ
−
−
× × ×
= ≤
× × ×
 229,629q kN m⇒ ≤ 
 
Portanto, 116,250máxq kN m=