Lista de Exercícios - UFABC

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EN 2702 – Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares 
Lista de Exercícios 03: Série de Fourier 
Para entregar: 
1- Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial: 
a2y”(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b2x”(t)+b1x’(t)+b0x(t) 
onde a2=1, a0=400000, b2=b0=0, b1=1000 e a1 pode ser igual a 50, 500 e 5000. 
Para este sistema, obtenha a função de transferência e a sua resposta em freqüência. 
Considere que este sistema possui como entrada uma função dente de serra periódica com 
período w e amplitude A (mesma forma de onda do exercício 1c). Usando o Matlab, trace os 
sinais de entrada e saída deste sistema para os 3 valores possíveis de a1. 
Lista: 
2- (6.1-1) Para cada um dos sinais periódicos mostrados na fig P6.6-1, determine a 
série exponencial de Fourier e trace seu espectro de amplitude e fase. Analise se 
os coeficientes Dn são pares ou ímpares, reais ou imaginários e explique. 
 
Respostas: D0=0,Dn=2sinc(n/2); D0=0.2,Dn=0.2sinc(n/5); D0=0.5,Dn=j/(2n); D0=0, Dn=-
2j/(n22)(n/2cos(n/2)-sin(n/2); D0=1/6,Dn=3/(42n2)[-1+(1+j2n/3)e-j2n/3];D0=0.5,Dn=3/(2n2)[cos(n/3)-
cos(2n/3)] 
3- (6.1-2) Determine a série exponencial de Fourier para o sinal y(t) mostrado na fig 
P6.1-2. O sinal y(t) pode ser obtido através da reversão temporal do sinal x(t) 
usado no exemplo 2 da aula. Compare os espectros obtidos nos dois casos. 
 
Resposta: Dn=0.504/(1-j4n) 
4- (6.1-3) Determine a série exponencial de Fourier para o sinal y(t) mostrado na fig. 
P6.1-3. Este sinal pode ser obtido através da compressão temporal do sinal x(t) 
usado no exemplo 2 da aula. Compare os espectros (em função de ) obtidos nos 
dois casos. 
 
Resposta: Dn=0.504/(1+j4n) 
5- (6.4-1) Determine a resposta de um sistema LIT com função de transferência: 
ܪ(ݏ) = ݏ
ݏଶ + 2ݏ + 3 
 a entrada periódica usada no exemplo 2 da aula. 
Resposta: y(t)= -1.008n/(16n3-8n+j(12n2+3))ej2nt 
6- (6.4-2) a) Determine a série exponencial de Fourier para o sinal x(t)=cos 5t sen 
3t (é possível obtê-la sem calcular nenhuma integral!) 
b) Trace o espectro de Fourier 
 c) O sinal x(t) é aplicado a entrada de um sistema LIT com resposta em 
frequência mostrada abaixo. Obtenha a saída y(t) 
 
Resposta: D1=-1/4j, D-1=1/4j, D4=1/4j, D-4=-1/4j 
7- (6.4-3) a) Determine a série exponencial de Fourier para um sinal periódico x(t) 
mostrado na figura abaixo. 
b) O sinal x(t) é aplicado a entrada do sistema LIT mostrado na figura 
abaixo. Determine a expressão da saída y(t). 
 
Resposta: y(t)=0.504 j4n/(1+j4n)2 ej4nt 
8- (6.5-4) Para os sinais x(t) e y(t) mostrados abaixo, obtenha a componente na forma 
y(t) contido em x(t), ou seja, obtenha o valor ótimo de c na aproximação x(t)cy(t) 
de tal forma que a energia do erro seja mínima. 
 
Resposta: c=0.5 
9- (6.5-6) Represente o sinal x(t) do problema anterior, no intervalo de 0 a 1 pela série 
trigonométrica de Fourier com freqüência fundamental 0=2. Calcule a energia do 
erro na representação de x(t) usando apenas os N primeiros termos da série para 
N=1,2,3 e 4. 
Respostas: Ee(1)=1/12, Ee(2)=0.03267, Ee(3)=0.02, Ee(4)=0.014378