Mecânica_1

Prévia do material em texto

Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 1
Modelagem Integrada
Simulação Modelo
Sistema
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 2
Sistema
● Coleção de itens que podem encontrar ou definir 
alguma relação de funcionalidade.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 3
Simulação
● Estuda o comportamento de sistemas reais atra-
vés de modelos, e se aplicam em diferentes áreas.
Simulação +
1) Ferramenta auxiliar na 
resolução de problemas; 
2) Executa vários eventos 
rapidamente.
=
● Alguns fatores desejados:
– Baixo custo;
– Visualização rápida;
– Repetição;
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 4
Modelo
● O ser humano funciona baseado em modelos, e a 
maioria deles é criado pela mente (modelo mental).
● Por exemplo, dirigir um carro é a construção de um 
modelo para dirigir um carro.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 5
Modelo
● E se de repente, o carro muda?
● O carro mudou, mas o modelo de dirigir não.
● Modelo → Aquilo que serve de objeto de imitação. 
(Dicionário On line Aurélio)
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 6
Classificação de modelo
● Na engenharia, os modelos se classificam-se em 
teóricos e matemáticos.
– Teóricos – Protótipos, planta piloto
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 7
Aproximação
ou
Modelo Matemático (MM)
● Representação abstrata da realidade através de 
equações.
– Não incorpora todas as características macroscópi-
cas e microscópicas.
– Leva-se em conta vários fatores, porém um bom 
modelo é equilíbrio entre:
DETALHES
BENEFÍCIOS
TEMPO
ESFORÇO
Processo Real
Equações
Conjunto de equações
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 8
Modelo Matemático
– Podem ser obtidos das seguintes formas (ou 
combinação delas):
● Teórica (modelagem fenomenológica) → Aplicam-se 
os princípios básicos da Física e/ou Química (Leis 
básicas e relações constitutivas);
● Empírica ou Heurística → Observação direta dos 
dados operacionais do processo, ou seja, se analisa 
a entrada e a saída para se inferir o modelo; O mo-
delo é bem restrito, quando comparamos com o teó-
rico.
● Por analogia → Analogia feita com outros sistemas.
f(X,Y,P)X Y
P X – Variáveis de entrada;
Y – Variáveis de saída;
P – Parâmetros do sistema 
e condições de contorno.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 9
Grau de Liberdade
● Número mínimo de coordenadas independentes (coorde-
nadas generalizadas) que descrevem completamente o 
movimento de todos os elementos do sistema.
– Cada massa equivalente (momento de inércia 
equivalente), interligação entre elementos mecâni-
cos diferentes e ponto de aplicação de força (tor-
que) corresponde a 1 GDL.
– Exemplos de sistemas com 1 GDL.
No sistema ao lado, 
podemos usar x ou θ 
para descrever a sua 
dinâmica.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 10
Graus de Liberdade
– Sistemas com dois GDL
– Sistemas com três GDL
Nos sistemas que 
contém pêndulos 
simples, somente o 
ângulo θ é suficiente 
para descrever o sis-
tema, pois x e y se 
relacionam com o 
comprimento l do fio 
(l2 = x2 + y2)
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 11
Sistemas discretos x 
Sistemas contínuos
● Exemplos anteriores → Descritos por um número 
finito de GDL´s (sistemas discretos ou de parâme-
tros concentrados (função apenas do tempo)).
● Alguns sistemas, em especial os que envolve ele-
mentos elásticos contínuos → Número infinito de 
GDL´s (sistemas contínuos ou de parâmetros dis-
tribuídos (função do tempo e do espaço)).
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 12
Sistemas discretos x 
Sistemas contínuos
● Na maioria das vezes, os sistemas contínuos são 
aproximados por sistemas discretos, para que a 
sua solução seja obtida de maneira simples.
● Um sistema contínuo fornece resultados exatos, 
porém os métodos analíticos existentes são limita-
dos a uma pequena parte dos problemas.
● Resultados mais precisos são obtidos com o au-
mento dos componentes e dos GDL´s.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 13
Sistemas Mecânicos
● Objetivos
– Conhecer os elementos elementos mecânicos, 
responsáveis pelo armazenamento ou dissipação 
da energia
– Obter as equações de movimento dos sistemas.
– Simplificar as configurações dos elementos mecâ-
nicos, quando possível.
● Formas de obter as equações de movimento:
– leis de Newton
– equações de Lagrange.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 14
Elementos Mecânicos
● Mola Translacional
– Peça que possui alta flexibilidade elástica.
– Armazenam energia potencial elástica, associada 
à deformação elástica que o corpo sofre.
– Todo corpo possui alguma flexibilidade, ou seja, 
não existe corpo totalmente rígido.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 15
Elementos Mecânicos
– No ensaio de tração se obtém o seguinte gráfico;
– Um modelo de mola bem simples contém parâme-
tros concentrados com:
● amortecimento desprezível, ou se existir, será con-
centrado no amortecedor do sistema;
● massa desprezível, ou se existir, será concentrada 
na na massa do sistema.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 16
Elementos Mecânicos
– Cada mola é caracterizada pela sua rigidez, k;
– Para uma mola linear com extremidade fixa (x > 
x
0
).
– O sistema com esta mola possui no mínimo 1 
GDL.
– Cálculo da energia potencial elástica
Fk=k Δ
E k=
1
2
k 2
Lei de Hooke 
(mola linear)
Energia Potencial Elástica 
de uma mola linear
E k=∫
x0
x
F k dx '
k=dF
dx
=constante Linear
k=dF
dx
= f  x Não Linear
Fk=k (X−X 0)
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 17
Elementos Mecânicos
– Para uma mola linear com as extremidades mó-
veis (x
2
 > x
1
): 
– Sistema com esta mola possui no mínimo 2 
GDL's.
– A força elástica é uma força restauradora que não 
dissipa a energia do sistema.
– Esta força sempre faz a mola retornar ao compri-
mento relaxado, ou seja, dependendo do sentido 
de movimento, ela pode dificultar ou ajudar o mo-
vimento.
– As molas reais são não lineares, e seguem a lei 
de Hooke até certa deformação.
F k=k x2−x1=k
E k=
1
2
k x2−x1
2
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 18
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Objetivo: Entender o sistema abaixo, a sua origem, 
e quais as vantagens desta representação. Mesmo 
tendo diagrama de forças diferentes, eles possuem 
a mesma equação diferencial.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 19
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 1: Um bloco de massa m é preso a uma mola 
ideal, de constante k e massa desprezível, e fica oscilando 
em torno de um ponto l
0
. Determine a equação de 
movimento, supondo que não existe atrito na superfície de 
contato.
– 1º Passo → Escolher o sistema de coordenadas
– 2° Passo → Fazer o diagrama de forças
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 20
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação do exemplo 1:
– 3º Passo → Usar a segunda lei de Newton
● Lei de Hooke → 
● Observando o sistema de referência, e levando 
em conta de que l
0
 é constante, obtém-se:
∑ F=m z¨
F k=k
= z−l 0 z¨= x¨
m x¨=−kx
z=xl 0
x¨ k
m
x=0 ED do oscilador harmônico simples.
Observem que x é medido a 
partir da posição de equilí-
brio.
Prof. SharonDantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 21
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 2: Um bloco de massa m está suspenso do 
teto por uma mola de constante k e comprimento relaxado 
l
0
, cuja massa é desprezível. Após uma perturbação 
externa, o sistema fica oscilando. Considerando o sistema 
ideal, ou seja, não existe dissipação de energia, encontre 
a equação de movimento.
∑ F=0
−F kP=0
−k mg=0
=mg
k
● Em Sistemas na vertical, a resolução do problema 
se inicia analisando a situação estática
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 22
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação do exemplo 2 → Situação Dinâmica
– Relacionando as variáveis
– Usando o resultado obtido na situação estática.
∑ F=m z¨
m z¨=−F kP
F k=k
= z−l0= y
m z¨=−k Δ+mg
m y¨=−k ( y+δ)+mg
y¨ k
m
y=0m y¨=−k y=mg
k
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 23
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Continuação do exemplo 2 → Comentários
– Este problema mostra novamente que podemos considerar 
uma variável, “y”, que é medida a partir da posição de 
equilíbrio estático, na descrição do movimento
– A equação de movimento é a mesma do sistema na 
vertical.
– Usando δ obtido da situação estática, e a variável “y”, faz 
com que o peso não apareça na equação de movimento, 
ou seja, novamente a equação diferencial obtida é 
homogênea.
y¨ k
m
y=0
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 24
Mola Equivalente
● Mola Equivalente → Uma única mola que equivale a 
várias molas.
– A principal vantagem é simplificar a representação 
do sistema.
– Esta mola deve possuir:
● a mesma força resultante das N molas no ponto ou 
massa de interesse;
● a mesma energia potencial elástica correspondente 
as N molas.
∑i=1
N
E k i=E k eq
∑i=1
N
F k i=F k eq
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 25
Molas em Paralelo
● Objetivo: Substituir as duas molas k
1
 e k
2
, por uma 
única mola de constante k
eq
.
● Qual a lei necessária?
– Segunda Lei de Newton
● Qual a restrição do modelo?
– A barra de massa nula não rotaciona.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 26
Molas em Paralelo
● Os deslocamento das molas são iguais.
● Aplicando a segunda lei de Newton na barra 
vermelha de massa desprezível:
Δeq=Δ=Δ1=Δ2
k1Δ1+k2Δ2=k eqΔ
keq=k1+k2
F−Fk1−Fk2=0
∑ F=0
F−k eqΔ=0
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 27
Molas em Paralelo
● O mesmo resultado é obtido usando a energia 
potencial elástica. 
● Para N molas em paralelo, temos:
● Características da associação de molas em 
paralelo:
– A força resultante é a soma das forças elásticas das N 
molas. Note que na configuração em série, a força 
resultante é igual a força elástica de cada mola, 
mesmo que a constante da mola seja diferente.
– A relação que acabamos de deduzir só pode ser usada 
quando as N molas:
● compartilharem a mesma coordenada;
● possuírem deslocamento iguais.
1
2
k eqΔeq=
1
2
k1Δ1
2+1
2
k2Δ2
2
keq=∑
i=1
N
k i
keq=k1+k2
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 28
Molas em Paralelo
● Exemplo 3: Achar a rigidez equivalente do sistema. Su-
ponha que os deslocamentos das molas paralelas sejam 
iguais.
● O primeiro passo neste problema, é reduzir as molas que estão em 
paralelo pelas suas equivalentes.
● O segundo passo, é reduzir as molas que estão em série pelas 
suas equivalentes.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 29
Molas em Paralelo
● Continuação exemplo 3: A partir de agora surge uma 
dúvida as molas abaixo estão em série ou em paralelo?
● Para responder esta pergunta, observe o diagrama de 
força da massa m, supondo um movimento no sentido 
mostrado abaixo, para obter o sistema equivalente.
● Uma outra forma é usar a energia do sistema das duas 
molas que é igual a da equivalente.
Eeq=Ek /2+ E2k /3
1
2
k eq x
2=1
2
k
2
x2+ 1
2
2k
3
x2 keq=
7k
6
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 30
Molas em Série
● Objetivo: Substituir as duas molas k
1
 e k
2
, por uma 
única mola de constante k
eq
.
● Quais as leis necessárias?
– Segunda Lei de Newton
∑ F=ma=m d vdt =m
d 2r
dt2
Em 3-D
∑ F x=m x¨
∑ F y=m y¨
∑ F z=m z¨
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 31
Leis de Newton
– Terceira lei de Newton
● O par ação reação é aplicado em corpos diferentes. 
F AB=−F BA
A ação corresponde a seta 
azul, e a reação, seta 
vermelha.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 32
Molas em Série
– Aplicando a 2º lei de Newton no ponto de 
aplicação de força (B), e no ponto (A):
– Analisando a figura, e usando o resultado anterior:
1 2= eq
F
k eq
=F
k1
F
k 2
1
k eq
= 1
k 1
 1
k 2
F=k1Δ 1=k2Δ 2
F=keqΔ eq
∑ FB=0
F−F k2=0
∑ F A=0
Fk2−Fk1=0
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 33
Molas em Série
● Usando a energia, chega-se ao mesmo resultado.
● Para N molas em série, temos:
● Características da associação de molas em série
– A mesma força é aplicada nas N molas.
– A distensão da mola equivalente é a soma das disten-
sões das N molas
– Cada interligação entre as molas corresponde a 1 GDL.
– Se a mola equivalente tiver uma extremidade fixa, ela 
terá um único GDL.
1
k eq
=∑
i=1
N 1
k i
1
2
k eq eq
2 =1
2
k 11
21
2
k 2 2
2 k eqF
2
k eq
2 =
k 1 F
2
k 1
2 +
k 2 F
2
k 2
2
1
k eq
= 1
k 1
 1
k 2
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 34
Molas em Série
● Exemplo 4: Um tambor de içamento equipado com um 
cabo de aço é montado na extremidade de uma viga em 
balanço, como mostrado abaixo. A viga em balanço pode 
ser substituída por uma mola na vertical de constante k
v
, e 
o cabo possui características elásticas (k
c
), determine a 
constante elástica equivalente.
● Observe que o tambor está 
extremidade da viga.
● A viga e o cabo suportam a 
mesma carga (configuração 
em série);
k eq=
k v k c
k vk c
1
k eq
= 1
k v
 1
k c
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 35
Molas
● Como foi visto no exemplo anterior, os componen-
tes podem ser substituídos por uma constante elás-
tica equivalente, e na prática esta constante é fun-
ção da geometria, do módulo de Young E e do mó-
dulo de elasticidade transversal G.
Barra sob carga axial, onde A = Área da seção transversal
Barra cônica sob carga axial, onde D, d = diâmetro das extremi-
dades.
k eq=
EA
L
k eq=
 E Dd
4 L
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 36
Molas
Mola helicoidal sob carga axial, onde d = diâmetro do arame; D 
= diâmetro médio do enrolamento; n = número de espiras. 
k eq=
Gd 4
8n D3
Viga fixa fixa com a carga no ponto médio, viga em balanço com 
carga na extremidade, viga simplesmente apoiada com carga no 
meio, onde I é o momento de inércia da área (seção transversal).
k eq=
192E I
L2
k eq=
3E I
L3
k eq=
48E I
L3
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 37
Molas
● Exemplo 5: Para o exemplo anterior, admita que o cabo 
possua comprimento l e diâmetro da seção transversal d, e 
que o módulo de Young da viga e do cabo é E. Na enge-
nharia se usa muito o momento de inércia da área, neste 
caso para viga é 1/12 at3, que é diferente do momento de 
inércia J que será visto na próxima parte.
k v=
3E I
b3
=3E
b3
1a t 3
12
k c=
AE
l
= d
2E4 l
k eq=
E
4   a t
3d 2
 d 2b3l a t 3 
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 38
Mola Inclinada (concorrente 
ou radial
● Objetivo:Substituir a mola k
1
, in-
clinada de um ângulo α, por 
uma mola de constante k
eq
 na 
direção horizontal.
● Qual a restrição do modelo?
– A massa só se move na ho-
rizontal.
– Pequenas oscilações.
– O ângulo α≈constante 
quando x é pequeno.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 39
Mola Inclinada (concorrente 
ou radial
– Para N molas inclinadas com ângulos α
i
 com a ho-
rizontal, que convergem para o mesmo ponto:
xm=x cos
F x=F cos
F=k 1 xm
k eq x=k 1 x cos
2
k eq=k 1 cos
2
k eq=∑
i=1
N
k i cos
2i
F eq=k eq x=F x
AB ≈ AC
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 40
Mola Inclinada (concorrente 
ou radial
● Exemplo 6: A lança AB de um guindaste é feito de uma 
barra de aço uniforme e possui uma rigidez k
2
. Um peso W 
é suspenso pelo cabo CDBEF, que é feito de aço (k
1
), en-
quanto o guindaste permanece estacionário. Desprezando 
o efeito do cabo CDEB, determine a constante elástica 
equivalente do sistema na direção vertical.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 41
Mola Inclinada (concorrente 
ou radial
● Continuação exemplo 6: Temos duas molas inclinadas, 
com um dos ângulos desconhecidos (θ). A primeira 
observação a ser feita é que o sistema equivalente é na 
vertical, diferente da dedução que fizemos que foi na 
horizontal, logo devemos levar em conta os ângulos do 
vértice B, na cor vermelha, para poder usar a fórmula que 
deduzimos:
h=10 cos 45º=5 2
cos 90º−= h
 h23h2
k eq=k 1 cos
290º−k 2 cos
2 45º
onde:
k eq≈0,3302∗k 1
k 2
2
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 42
Polias
● Polias associadas com cabos ou correntes são 
bastante utilizadas para facilitar o içamento de car-
gas.
● A razão entre o peso da carga e a força aplicada é 
mostrada na parte de baixo de cada ilustração.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 43
Polias
● A força aplicada pelo homem da figura abaixo é a 
metade do peso P. 
● Para o bloco de peso de P subir 0,5 m, qual o 
comprimento de cabo que o homem tem que pu-
xar?
O homem tem que puxar 1 m.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 44
Polias
● A figura abaixo mostra diferentes configurações de 
polias fixas e móveis.
● Nas quatros configurações as forças são diferentes 
nos ganchos.
● O tamanho do cabo “s” a ser puxado também são 
diferentes para movimentar a carga em 10 cm.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 45
Molas + Polia
● Todo cabo possui alguma característica elástica, 
logo obtém-se uma associação de mola com polia.
● A configuração mostrada na figura a), pode ser 
substituída por uma única mola, como pode ser 
visto na figura b).
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 46
Mola + Polia
● Para encontrar a k
eq
, que equivale a configuração 
da figura a), será desprezado a massa da polia que 
implica em:
Ek=Ek eq
1
2
k x1
2=1
2
keq x
2
k x1=P /2 k eq x=P
∑ F=0 ∑ τ=0
A mola equivalente possui a mesma 
energia da mola de constante k.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 47
Mola + Polia
● Substituindo as relações da força na relação da energia, 
obtém-se:
● Uma outra maneira de fazer este problema é relacionar x e 
x
1
.
● Quando a massa m se desloca x, a mola k
1
 se distender 
2x, ou seja, x
1
= 2x.
● Substituindo a relação anterior na relação das forças ou 
das energias, obtém-se o mesmo resultado acima.
k 2 x=keq x /2
P=k eq x
k x1=P /2
keq=4 k
1
2
k ( P2k )
2
=1
2
keq( Pk eq )
2
1
2
k x1
2=1
2
keq x
2
k 4 x2=k eq x
2
keq=4 k
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 48
Mola + Polia
● Exemplo 7: Substitua o sistema mola polia por uma mola 
equivalente.
k 1 x1=2P k eq x=P
Desprezando a massa da polia
E k1=E k eq
1
2
k 1 x1
2=1
2
k eq x
2
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 49
Mola + Polia
● Continuação do exemplo 7:
– Substituindo as relações de x
1
 e x, na expressão 
da energia, obtém-se: 
– Analisando a geometria, observa-se que a mola se 
distende x/2 quando a massa m se desloca x.
– Substituindo nas relações das forças, obtém-se o 
mesmo resultado para k
eq
.
2P=k 1 x /2P=k eq x k eq=
k 1
4
2 k eq x=k 1 x /2
k eq=
k 1
4
k 1 2Pk 1 
2
=k eq  Pk eq 
2 4
k 1
= 1
k eq
x1=
x
2
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 50
Amortecedor
● Amortecedor
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 51
Amortecedor
– A força de amortecimento (força não conservativa) 
dissipa a energia mecânica (calor, som, etc) e 
sempre se opõe ao movimento. 
– Tipos de Amortecimento
● Viscoso → EAD
● Constante ou Coulomb (atrito seco)
– Acontece quando corpos deslizam sobre superfícies 
secas. 
● onde N é a força normal e μ é o coeficiente de 
atrito dinâmico (adimensional).
F a= N
Materiais µ
c
madeira/madeira 0,2
gelo/gelo 0,03
metal/metal (sem lubrif.) 0,07
aço/aço (sem lubrif.) 0,6
borracha/cimento seco 0,8
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 52
Atrito Seco
– Dedução das equações de movimento de um sis-
tema massa mola com 1 GDL, mostrado abaixo, 
onde o atrito passa a ser relevante no movimento 
(amortecimento seco).
– A força de atrito varia com o sentido da velocidade 
(movimento), como pode ser visto nos diagramas 
de forças mostrados abaixo e a cada meio ciclo as 
forças mudam de sentido.
x0
x˙0
ou
x0
x˙0
x0
x˙0
ou
x0
x˙0
Situação 2Situação 1
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 53
Atrito Seco
– Para encontrar as equações de movimento, temos 
que convencionar um sentido positivo na direção 
x, para ambos os casos da esquerda para direita e 
aplicar a segunda lei de Newton para ambas situ-
ações.
– As duas ED's acima são não homogêneas de se-
gunda ordem e a forma de resolvê-las é fazer uma 
mudança de variável.
∑ F y=0
∑ F x=m x¨
P−N=0
−kx1 N=m x¨1
m x¨1kx1− N=0
P−N=0
−kx2− N=m x¨2
m x¨2kx2 N=0
Situação 2Situação 1
xm1=x1−
 N
k
x1t =A1 cos wn t A2 senwn t  N / k
xm2=x 2
 N
k
x2 t =A3 coswn t A4 sen wn t − N / k
Situação 2Situação 1
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 54
Atrito Seco
● Até o momento a situação só foi resolvida matematicamen-
te, e para ter significado físico é necessário as condições 
iniciais. 
● Para as condições iniciais x(0) = x
0
 e v(0) = 0, nota-se que 
o bloco está no extremo, e o seu movimento será dado 
pela equação x
1
(t) cujo domínio será 0≤t≤π/w
n
.
● Para π/w
n
≤t≤2π/w
n
, usa a equação x
2
(t) com as condições 
x
1
(π/w
n
) = x
2
(π/w
n
) e v
1
(π/w
n
) = v
2
(π/w
n
),ou seja, as funções 
são contínuas.
x10=A1 N /k=x0
x˙10=0 A2=0 x1t = x0− N /k  cos wn t  N /k
x1  /wn=−x02 N /k=−A3− N /k
x˙1  /wn= x˙2 /wn=0 A4=0
x2 t = x0−3 N /k  coswn t − N /k
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 55
Atrito Seco
● Quando t = 2π/w
n
, no terceiro ciclo se usa x
1
(t) com novos 
valores de A
1
 e A
2
 que são definidos x
2
(2π/w
n
) = x
3
(2π/w
n
) 
e v
2
(2π/w
n
) = v
3
(2π/w
n
), e o procedimentopode ser conti-
nuado até até o movimento parar ou seja, X
n
 ≤ μN/k.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 56
Atrito Seco
● Algumas observações de um sistema sujeito ao 
amortecimento Coulomb. 
– A equação de movimento é não linear, pois pode 
ser escrita usando a função sigmum
– A frequência natural não é modificada;
– O movimento é periódico;
– A amplitude é reduzida linearmente;
m x¨+kx+sgn( x˙)μ N /k=0 sgn( x˙)=1 para x˙>0
sgn( x˙)=−1 para x˙<0
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 57
Atrito Seco
– Em cada ciclo completo, a amplitude é reduzida 
pela quantidade 4μN/k.
– A posição é afastada em relação a posição de 
equilíbrio e seu valor é <= μN/k.
– O número de meios-ciclos, que transcorrem antes 
de o movimento cessar é dado por:
xm=xm−1−
4μN
k
x0−r
2μN
k
⩽
μN
k
r⩾{x0−μNk2μN
k
}
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 58
Atrito Seco
● Exemplo 8: Um bloco de metal colocado sobre uma su-
perfície irregular está ligada uma mola e recebe um deslo-
camento inicial de 10 cm em relação à sua posição de 
equilíbrio. Após cinco ciclos de oscilação em 2 s, constata-
se que a posição final do bloco de metal é 1 cm em rela-
ção a sua posição de equilíbrio. Determine o coeficiente de 
atrito entre a superfície e o bloco de metal.
Período
T=2 /5=0,4 s
Frequência Angular
wn=
2
T
=15,708 rad / s
wn= km
5 4mgk =0,1−0,01=0,09m
5 4 gwn2 =0,09m
=
0,09wn
2
20 g
=0,1132
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 59
Modelagem de Sistema 
com 1 GDL
● Exemplo 9: O martelo de uma prensa mecânica realiza 
um movimento periódico para conformar de chapas de aço 
no formato da bigorna. Para uma modelagem física, quais 
elementos mecânicos podem formar o sistema? 
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 60
Modelagem de Sistema 
com 1 GDL
● Continuação exemplo 9: Suponha inicialmente que a 
bigorna e a fundação seja um único componente 
representado pela massa m, e que tenha um 1 GDL. 
● O deslocamento sofrido por m é x
1
;
● O solo funciona como mola (rigidez 
k) e amortece parte da impacto do 
martelo (b).
● O próximo passo é o diagrama de 
força.
x¨1
b
m
x˙1
k
m
x1=0
=mg
k
m x¨1=−b x˙1−k  x1P
Da situação 
de equilíbrio
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 61
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 10: Determine o efeito da massa da mola m
m
 
sobre a frequência natural do sistema mostrado abaixo.
● Considerações:
● a densidade da massa da mola seja constante.
● a velocidade do elemento dy varie linearmente 
com y.
●O próximo passo é calcular a energia cinética da 
mola (m
m
≠0) e ver a sua influência no movimento.
dmm=
mm
l
dy y˙=
y
l
x˙
dE cm=
1
2
dmm y˙
2
dE cm=
1
2
mm
l
dy  yl x˙ 
2
E cm=∫
0
l
dE cm
E cm=
1
2
mm
3
x˙2
E c=
1
2
m x˙21
2
mm
3
x˙2
Energia cinética total
Equação de movimento
mmm /3  x¨kx=0
wn= kmmm/3
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 62
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
● Exemplo 11: Quatro barras rígidas idênticas, cada uma 
de comprimento “a”, estão conectadas a uma mola de rigi-
dez “k” para formar uma estrutura que deve suportar uma 
carga vertical P, como mostrado nas figuras abaixo. De-
termine a constante equivalente do sistema (k
eq
) para 
caso. Despreze as massas das barras e o atrito nas jun-
ções, e considere pequenos deslocamentos.
1
2
k eq xeq
2 =1
2
k x2
k eq=k
xeq=x
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 63
Sistemas Mecânicos 
Translacionais
y0=2a2− b24 y=2a2−b−x24
y− y0=2a2−b24  a2−b−x 2 /4a2−b2/4 −1
1
2
k eq y−y0
2=1
2
k x2
y− y0=2a2−b24 1 2bxa2−b2 /4− x2a2−b2/4−1
√ 1+ x '≈1+ x ' /2
k eq=
k
b2
4a2−b2
y− y0=
1
2
b x
a2−b2/4≈0
● Continuação do exemplo 11:
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 64
Modelagem de Sistema 
com 1 GDL
● Exemplo 12: A bigorna de um martelo de forjar pesa 
5x103 N e está montada sobre uma base que tem uma ri-
gidez de 5x106 N/m e um amortecimento viscoso de 104 
Ns/m. Durante a operação de forjamento, o martelo-pilão 
(peso de 103 N), parte do repouso de uma altura de 2 m 
sobre a bigorna. O coeficiente de restituição entre a bigor-
na e o pilão é 0,4. Determine as velocidades antes e de-
pois do impacto e a resposta da bigorna após o impacto.
● Sentido positivo para baixo
● A resolução deste problema será feito 
em duas etapas:
● 1º Etapa → Antes do impacto (prin-
cípio da conservação da energia);
● 2º Etapa → Antes e depois do impac-
to (conservação do momento linear.
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 65
Modelagem de Sistema 
com 1 GDL
● Continuação do exemplo 12: 
V
m1
 – Vel. do martelo antes do impacto
V
m2
 – Vel. do martelo depois do impacto
V
M1
=0 – Vel. da bigorna antes do impacto
V
M2
 – Vel. da bigorna depois do impacto
E pg=E c
mgh=1
2
mvm1
2
vm1=√2gh=6,26099m / s
Pantes=Pdepois
mvm1+ M vM1=mvm2+ M vM2
r=−
vM2−vm2
vM1−vm1
Conservação da energia
Conservação do momento
1000
9,8
vm1=
1000
9,8
vm2+
5000
9,8
vM2
6,26099=vm2+ 5 vM2
Coeficiente de restituição
2,5044=vM2−vm2
vM2=1,4609m / s vm2=−1,0435m / s
Resposta da bigorna
k
M
=9800 s−2>( b2M )
2
=192,08 s−2Subamortecido
x (t )=c0 e
−b
2M
t
cos (wd t−ϕ0 )
Dados: x
0
 = 0 (Φ
0
 = π/2) e v
0
 = 1,4609m/s
x (t )=0,0149e−9,8 t cos (98,025 t−π/2 )
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51
	Slide 52
	Slide 53
	Slide 54
	Slide 55
	Slide 56
	Slide 57
	Slide 58
	Slide 59
	Slide 60
	Slide 61
	Slide 62
	Slide 63
	Slide 64
	Slide 65