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Última atualização: 15/08/2011 O conceito de Limite é o pilar do Cálculo Diferencial e Integral desenvolvido por Isaac Newton(1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). ÁREA 1 - FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Disciplina: Cálculo Instrumental Professor(a): _______________________________ Data: ___ / ___ / ______ Aluno(a): _______________________________________________________ 1ª Lista de Exercícios x y 0 x 1 sen.xlim 0x Cálculo Instrumental – Limites ______________________________________________________________________________________ 2 Questão 1. Considere a função xff abaixo definida no domínio 2 , 2 . Analisando o gráfico de f , responda, justificando: (a) xflim 0x (f) xflim x (k) xflim 2 3 x (p) xflim x (u) f é contínua em 0xo ? (b) xflim 2 x (g) xflim x (l) xflim x (q) f (v) f é contínua em ox ? (c) xflim 2 x (h) xflim 2 x (m) xflim x (r) 0f (w) f é contínua em 23xo ? (d) xflim 2 x (i) xflim 2 3 x (n) xflim x (s) f (x) f é contínua em ox ? (e) xflim x (j) xflim 2 3 x (o) xflim x (t) 23f (y) xflim 2 x Questão 2. Esboce o gráfico das funções abaixo e determine xflim ax , xflim ax e, caso exista, xflim ax : Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos. (a) )2a( 1x,3x 1x2,x 2x,12x4 xf 2 2 (b) )1a( 1x,x2 1x,1x 1x0,x1 0x,2 xf 2 x (c) )0a( 0x,x1 0x,21 xf x (d) )a( 2x,xcos x0,senx xf Cálculo Instrumental – Limites ______________________________________________________________________________________ 3 Questão 3. Considere as funções do exercício 2. Verifique se f é contínua em ax . Justifique a sua resposta. Questão 4. Determine, se possível, as constantes ba e de modo que f seja contínua em ox , sendo: (a) 1x 1x,2x 1x,2ax3 xf o 2 (b) 1x 1x,b 1x,2bx xf o2 2 (c) 3x 3x,1x 3x,ax 3x,3x3 xf o 2 (d) 0x 0x,x2b 0x,a3x7 0x,1xcos.a2 xf o 2 Questão 5. Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações): (a) x2x 4x lim 2 2 2x (b) 4x4x3 8x2 lim 2 2 2x (c) 2 31 2 1 1x x x lim x (d) 27x 3x4x lim 3 2 3x (e) 2x 24x3 loglim 3 6 2x (f) 2 22 4 3 4 4x x lim x x (g) 1 2x 2x.8xsenlim 3 (h) 1 316 8 2 2x x x lim 2 (i) 3 25 2 250 6 5x x lim x x Questão 6. Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais): (a) 1x 1x lim 1x (b) x3 x11x lim 0x (c) x2x x1 lim 2 1x (d) 1x 32x lim 31x (e) 4 3 5 1 5x x lim x (f) 4x 2x lim 4x (g) 4 3 5 2x x x lim x (h) 32x2 4x lim 16x Questão 7. Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e k 0): (a) 24x 4x 5x lim (b) xsen.x xcos lim 0x (c) 2 2 5x 5x 3x2 lim (d) 4x5x 5x lim 21x (e) 3x 11x3 lim 3x (f) 3 2x )2x( x3 lim Cálculo Instrumental – Limites ______________________________________________________________________________________ 4 Questão 8. Calcule os limites a seguir (do tipo ): (a) 23 2 x x9x18 25x4x2 lim (b) x24x31x 5x23xx lim x (c) 1x 4x3x2 lim 4 2 x (d) 1x23.1x x 2lim (e) x2x4 1xx3 lim 3 5 x (f) 123 1x.x x lim 1 (g) 2n n n321 lim (***) (h) 3 2222 n n n321 lim (***) (***)Sugestão: A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula 21nn . A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula 61n21nn . Questão 9. Calcule os limites a seguir (do tipo ): (a) 36 x lim x x (b 2 x lim x x (c) 22 x lim x x (d) 42 x lim x x x Aplicações Questão 10. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima-se que um novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha de produção produzirá 9 t e1030)t(Q novas unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se (a) Qual a produção do funcionário quando terminar o treinamento? (b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo ? Questão 11. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que tomaram conhecimento é dado por t5,0e241 600 )t(N , onde t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-se (a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato? (b) Determine )t(Nlim t e explique o seu resultado. Questão 12. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela função 4x x120 )x(A 2 2 , onde )x(T é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. Pergunta-se: (a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês? (b) Qual será a arrecadação do filme ao longo do prazo? Cálculo Instrumental – Limites ______________________________________________________________________________________ 5 . axse, x 1 ax0se,0 )x(E 2 Questão 13. Se uma esfera oca de raio cm2a é carregada com unidade de eletricidadeestática, a intensidade de campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei: Estude a continuidade do campo na superfície da esfera. Cálculo Instrumental – Limites ______________________________________________________________________________________ 6 Questão 1. (a) 2 (f) 2 (k) 3 (p) (u) não, pois (a) (r) (b) (g) não existe (l) 2 (q) 1 (v) não, pois (n) (q) (c) (h) (m) 2 (r) 1 (w) sim, pois (k) = (t) (d) não existe (i) 3 (n) 2 (s) 2 (x) não por (g) (e) 3 (j) 3 (o) 1 (t) 3 (y) Questão 2. (a) 4x flimx flimx flim 2x2x2x (b) x y ,0xflimxflimxflim 1x1x1x (c) x y 1xflim,xflim 0x0x , não existe xflim 0x (d) x y 1xflim,0xflim xx , não existe xflim x Questão 3. (a) É contínua em -2 pois 42fxflim 2x . (b) Não é contínua em 1x pois 1fxflim 1x . (c) Não é contínua em 0x pois não existe xflim 0x . (d) Não é contínua em x pois não existe xflim x . Questão 4. (a) 1a (b) 2b1b ou (c) Não é possível pois a , o limite xflim 3x não existe. (d) 3b1b ou Respostas x y Cálculo Instrumental – Limites ______________________________________________________________________________________ 7 Questão 5. (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 2/27 (e) 2 (f) 2 2/ (g) 0 (h) 2 8/3 (i) 75/2 Questão 6. (a) ½ (b) 1/3 (c) 4/3 (d) 361 (e) -1/3 (f) 0 (g) 4 (h) 1/16 Questão 7. (a) (b) (c) (d) Não existe, pois 4x5x 5x lim 2 1x e 4x5x 5x lim 2 1x . (e) Não existe, pois 3x 11x3 lim 3x e 3x 11x3 lim 3x . (f) Não existe, pois 3 2x 2x x3 lim e 3 2x 2x x3 lim . Questão 8. (a) 0 (b) –2/3 (c) 0 (d) 502 , (e) (f) 0 (g) ½ (h) 1/3 Questão 9. (a) (b) 0 (c) 0 (d) 2 Questão 10. (a) 20 unidades (b) se aproxima de 30 unidades Questão 11. (a) 24 unidades (b) 600)t(Nlim t ; Questão 12. (a) 24 e 60 milhões (b) 120 milhões; a arrecadação fica próxima desse valor. Questão 13. É descontínuo, pois )2(E)x(Elim 2x .
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