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AP1 - Me´todos Determin´ısticos I - 2018-2 ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE Orientac¸o˜es gerais I 1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha de Respostas, para desenvolver suas resoluc¸o˜es. 2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova. Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel. 3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, escreva seu nome no Caderno de Questo˜es no local indicado para este fim. 4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, pre- encha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha. 5. Confira os nu´meros preenchidos e escreva seu nome em cada Folha de Respostas solicitada. 6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! 7. E´ expressamente proibido o uso de celular, bem como de qualquer outro aparelho que permita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas. 8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devida- mente identificadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos. Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas I 1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas. 2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las de acordo com as questo˜es! 3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. 4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. 5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina: I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assim como dequalquer material que sirva de consulta. ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade. Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 15/09/2018 Co´digo da disciplina EAD 06075 Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em negrito) e o nu´mero da folha. • Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! • Identifique a Prova, colocando nome, matr´ıcula e Polo. • Resoluc¸o˜es feitas nesta(s) folha(s) de questo˜es ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as instruc¸o˜es na capa deste caderno (Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.) Uma empresa de planos de assisteˆncia oferece treˆs produtos: plano de sau´de, plano de assisteˆncia odontolo´gica e seguro de acidentes pessoais. Sabe-se que • O plano de assisteˆncia odontolo´gica so´ pode ser contratado quando se contrata o plano de sau´de, embora seja poss´ıvel contratar plano de sau´de sem o plano de assisteˆncia odontolo´gica. • E´ poss´ıvel contratar um seguro de acidentes pessoais independentemente de se contratar um plano de assisteˆncia odontolo´gica ou um plano de sau´de. Ao analisar os dados de seus 840 clientes, que contrataram pelo menos um dos produtos, observou-se que: • Os clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica, um quinto dos clientes que contrataram plano de sau´de e um terc¸o dos que contrataram seguro de acidentes pessoais. • Todos os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de sau´de, tambe´m contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica. Questa˜o 1 (1.0 pt) Represente, por meio de um diagrama de Venn, a situac¸a˜o descrita, represen- tando por S o conjunto dos clientes que contrataram plano de sau´de, por O o conjunto dos que contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica e por A os que contrataram seguro de acidentes pessoais. Represente por x a quantidade de clientes que contrataram todos os treˆs produtos e, a partir da´ı, complete todas as partes do diagrama em func¸a˜o de x. Me´todos Determin´ısticos I AP1 3 Soluc¸a˜o: Como o todos os clientes que contrataram plano de assiteˆncia odontolo´gica tambe´m contrataram plano de sau´de, o conjunto O esta´ contido no conjunto S, logo podemos desenhar o diagrama de Venn como abaixo: Na˜o nos preocupamos em desenhar um conjunto Universo, ja´ que a situac¸a˜o se refere apenas a clientes que, como explicado, contrataram pelo menos um dos produtos. Se quise´ssemos representar este conjunto U , haveria 0 clientes fora na parte mais externa do diagrama, isto e´, fora dos conjuntos S, O e A, como abaixo: Assim, na˜o vamos mais nos preocupar com o conjunto U . A ana´lise dos clientes mostrou que “todos os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de sau´de, tambe´m contrataram plano de assisteˆncia”, logo, na˜o existem clientes no conjunto (A ∩ S) − O, logo podemos colocar um 0 (zero) na parte correspondente no diagrama. Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que contrata- ram plano de assisteˆncia odontolo´gica, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram plano de assiteˆncia odontolo´gica e´ 2x. Como x deles ja´ esta˜o representados na intersec¸a˜o O ∩ S ∩ A, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 4 o restante do conjunto O possui 2x− x = x elementos, como representado abaixo: Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um quinto dos clientes que contrataram plano de sau´de, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram plano de sau´de e´ 5x. Assim, a parte do conjunto S que ainda na˜o possui valor, no diagrama, representa 5x−x−x−0 = 3x clientes. Temos enta˜o o diagrama: Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um terc¸o dos clientes que contra- taram seguro de acidentes pessoais, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram seguro de acidentes pessoais e´ 3x. Assim, a parte do conjunto A que ainda na˜o possui valor, no diagrama, representa 3x− x = 2x clientes. Atualizando o diagrama, temos Questa˜o 2 (1.0 pt) Cada cliente pode contratar, no ma´ximo, um produto de cada tipo. Isto e´, na˜o e´ poss´ıvel um cliente contratar mais de um plano de sau´de, mais de um plano de assisteˆncia odontolo´gica ou mais de um seguro de acidentes pessoais. Desta forma, diga quantos produtos de cada tipo foram contratados. Observe que a soma destas quantidades deve ser maior que 840, pois este e´ o nu´mero de clientes, na˜o de produtos contratados, e alguns clientes contrataram mais de um produto. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 5 Soluc¸a˜o: Vamos determinar, no diagrama da questa˜o anterior, o valor de x. Observando o diagrama e sabendo que ha´ um total de 840 clientes, temos x+ x+ 3x+ 2x = 840 ∴ 7x = 840 ∴ x = 120. Assim, temos as seguintes quantidades de produtos contratados: • planos de sau´de: 5x = 5 · 120 = 600 contratac¸o˜es • planos de assistaˆncia odontolo´gicas:2x = 2 · 120 = 240 contratac¸o˜es • seguros de acidentes pessoais: 3x = 3 · 120 = 360 contratac¸o˜es Questa˜o 3 (1.0 pt) O nu´mero de contratac¸o˜es de planos de sau´de corresponde a que percentual do total de produtos contratados? (Observe que a pergunta e´ relativa ao total de produtos contratados, na˜o ao nu´mero de clientes.) Soluc¸a˜o: O total T de produtos contratados e´ dado por 600 + 240 + 360 = 1200. Assim, as 600 contratac¸o˜es de planos de sau´de corresponde, em relac¸a˜o ao total de produtos, a 600 1200 = 50 100 = 50%. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 a 6 e a seguir.) Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300 euros. Ao vender o produto, o comerciante devera´ recolher, como impostos, o equivalente a 20% do valor agragado, isto e´, da diferenc¸a V − C entre o prec¸o de venda V e o de compra C. Questa˜o 4 (1.0 pt) Deˆ o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o prec¸o de venda seja de 500 euros. Soluc¸a˜o: Com o prec¸o de venda V = 500, o valor agregado sera´ V − C = 500− 300 = 200 euros, logo o imposto sera´ de 20-% deste valor, ou seja 20% · 200 = 20100 · 200 = 40 euros. Questa˜o 5 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o do imposto que deve ser recolhido, caso o prec¸o de venda seja dado, em euros, por V . Soluc¸a˜o: Com o prec¸o de venda V , o valor agregado sera´ V − C = V − 300 euros, logo o imposto sera´ de 20% deste valor, ou seja, em euros, 20% · (V − 300) = 20100 · (V − 300) = 1 5 · (V − 300) = V 5 − 60. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 6 Questa˜o 6 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando apenas o prec¸o de venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto devera´ vender o produto? Soluc¸a˜o: O lucro L e´ dado pelo prec¸o de venda V , descontado o prec¸o de compra C = 300 e o imposto calculado na questa˜o anterior. Assim, L = V − 300− ( V 5 − 60 ) = V − V5 − 300 + 60 = 4V 5 − 240. Para que este lucro seja de 60 euros, teremos L = 60⇔ 4V5 − 240 = 60⇔ 4V 5 = 300⇔ V = 1500 4 = 375. Questa˜o 7 (1.0 pt) Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o a seguir e o escreva na forma de intervalo(s). (x− 1)2 − (x+ 1)2 ≥ −x3 + 5. Soluc¸a˜o: Resolvendo a inequac¸a˜o, temos (x− 1)2 − (x+ 1)2 ≥ −x3 + 5 ⇔ x 2 − 2x+ 1− (x2 + 2x+ 1) ≥ −x3 + 5 ⇔ x2 − 2x+ 1− x2 − 2x− 1 ≥ −x3 + 5 ⇔ −4x ≥ −x3 + 5 ⇔ −4x+ x3 ≥ 5 ⇔ −12x+ x3 ≥ 5 ⇔ −11x3 ≥ 5 ⇔ −11x ≥ 15 ⇔ x ≤ −1511 . Note que, na u´ltima passagem acima, como dividimos por −11, que e´ negativo, o sinal da inequac¸a˜o de inverte. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 e 10 a seguir.) Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questa˜o de Matema´tica: (1) Se eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente, enta˜o aprendi a resolver a questa˜o ou decorei a soluc¸a˜o da questa˜o. (2) Por outro lado, se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o certamente eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente (3) Se eu aprendi a resolver a questa˜o, enta˜o acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 7 (4) Se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova. (5) Se acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova, enta˜o, obviamente, acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova. Denote as proposic¸o˜es das sentenc¸as anteriores da seguinte forma: m: eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente a: aprendi a resolver a questa˜o d: decorei a soluc¸a˜o da questa˜o i: acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova p: acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova Questa˜o 8 (1.0 pt) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribu´ıdas acima a cada sentenc¸a (m, a, d, i e p) e os s´ımbolos da lo´gica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”). Soluc¸a˜o: Escrevendo as premissas com a notac¸a˜o dada, temos (1) m⇒ a ∨ d (2) d⇒ m (3) a⇒ i (4) d⇒ p (5) i⇒ p. Questa˜o 9 (1.0 pt) Se na˜o acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu nova- mente em uma prova, baseado nas premissas dadas, e´ verdadeiro ou falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente? Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para cada questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o. Soluc¸a˜o: Partindo da premissa de que na˜o acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova, temos que p e´ falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d e´ falsa. Pela premissa (5), temos tambe´m que i e´ falsa, logo por (3), a e´ falsa. Ate´ aqui, conclu´ımos que a e d sa˜o falsas, logo a ∨ d e´ falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se que m e´ falsa. Assim, e´ falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente. Questa˜o 10 (1.0 pt) Se acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que eu aprendi a resolver a questa˜o ? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 8 Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para cada questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o Soluc¸a˜o: Na˜o se pode concluir. Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposic¸o˜es i e p, e todas as demais falsas. Isto na˜o tornara´ falsas as premissas dadas, pois teremos (1) F ⇒ F ∨ F (2) F ⇒ F (3) F ⇒ V (4) F ⇒ V (5) V ⇒ V , que sa˜o implicac¸o˜es va´lidas (o que na˜o seria va´lido seria V ⇒ F ). Por outro lado, podem todas as proposic¸o˜es serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam sendo respeitadas, pois (1) V ⇒ V ∨ V (2) V ⇒ V (3) V ⇒ V (4) V ⇒ V (5) V ⇒ V . Assim, e´ poss´ıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a e´ verdadeira como em casos em que a e´ falsa. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ RASCUNHO Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
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