Aula 6 FLEXAO ASSIMETRICA

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FLEXÃO ASSIMÉTRICA
Aula 6
Observe
𝑀𝑦 = 𝑀. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑒 𝑀𝑧 = 𝑀. cos(𝛼)
A tensão na seção transversal será a soma
das parcelas de tensões geradas pelos
momentos My e Mz no ponto desejado A.
𝜎𝑥 = −
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦. 𝑧
𝐼𝑦
Para obter a localização do eixo neutro, 
faz-se 𝜎𝑥 = 0
𝑦 =
𝑀𝑦. 𝐼𝑧
𝑀𝑧. 𝐼𝑦
𝑧
Onde
𝑡𝑔𝜙 =
𝑦
𝑧
=
𝑀𝑦. 𝐼𝑧
𝑀𝑧. 𝐼𝑦
=
𝑀. 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑀. cos(𝛼)
𝐼𝑧
𝐼𝑦
= 𝑡𝑔(𝛼)
𝐼𝑧
𝐼𝑦
flexão de uma viga simplesmente 
apoiada em dois planos
• Uma viga simplesmente apoiada, de seção retangular e comprimento L = 
2m, suporta uma carga obliqua P = 10 kN. O plano de atuação da carga é 
inclinado de 30° em relação ao eixo y. Determine: 
a) Tensão normal atuante na viga e orientação do EN.
Solução:
Observem que a carga P é decomposta em -y sendo 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 e em +z sendo 
𝑃𝑠𝑖𝑛𝛼. 
solução
• Os momentos fletores máximos ocorrem na seção transversal no meio do 
vão M = PL/4 em x = L/2.
𝑀𝑧 =
𝑃𝐿
4
cos 𝛼 𝑒 𝑀𝑦 =
𝑃𝐿
4
sin(𝛼)
𝑀𝑧 =
(10)(2)
4
cos 30 = 4.3𝑘𝑁.𝑚 𝑒 𝑀𝑦 =
(10(2)
4
sin 30 = 2.5𝑘𝑁.𝑚
Solução nos pontos A, B, D e E.
• Logo, analisando com a regra da mão direita o que cada momento faz nos pontos, temos:
𝜎𝐴 =
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦. 𝑧
𝐼𝑦
=
4300(0.045)
3.64 × 10−6
+
2500(0.03)
1.62 × 10−6
= 53.2 + 46.3 = 99.5𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐵 =
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
−
𝑀𝑦. 𝑧
𝐼𝑦
= 53.2 − 46.3 = 6.9𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐷 = −
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦. 𝑧
𝐼𝑦
= −53.2 + 46.3 = −6.9𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐸 = −
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
−
𝑀𝑦. 𝑧
𝐼𝑦
= −53.2 − 46.3 = −99.5𝑀𝑃𝑎
Eixo Neutro
• A orientação do eixo neutro é calculado da seguinte forma:
tan∅ =
𝐼𝑧
𝐼𝑦
tan 𝛼 =
3.64
1.62
tan 30 = 1.297 → ∅ = 52.4°
Observem que as maiores tensões ocorrem nos pontos A e 
E, que são os pontos mais afastados do EM.
Caso geral de carregamento axial 
excêntrico
• Considere um elemento submetido a força axial 
fora do plano de simetria.
• A força é deslocada para o centroide da seção 
transversal e assim transfere-se os momentos 
gerados:
𝑀𝑦 = 𝑃. 𝑎 𝑒 𝑀𝑧 = 𝑃. 𝑏
Caso geral de carregamento axial 
excêntrico
Observem como ficam os momentos:
Pelo principio da superposição das tensões temos:
𝜎𝑥 =
𝑃
𝐴
±
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
±
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
Linha Neutra
• Onde a tensão é zero:
𝑃
𝐴
±
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
±
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
= 0
Ex: uma força vertical 4.8kN é aplicada a uma bloco de madeira de seção
transversal 80x120mm. a) Determine as tesões nos pontos A, B, C e D; b)
Localize a linha neutra da seção transversal.
a) A força excêntrica é substituída por um sistema equivalente consistindo em uma força 
centrada P e dois momentos Mx e My.
𝑀𝑥 = 4.8𝑘𝑁 40𝑚𝑚 = 192 𝑁.𝑚
𝑀𝑧 = 4.8𝑘𝑁 60𝑚𝑚− 35𝑚𝑚 = 120 𝑁.𝑚
Calculando:
𝐴 = 0.08𝑚 0.120𝑚 = 9.6 × 10−3𝑚2
𝐼𝑥 =
1
12
0.120 0.08 3 = 5.12 × 10−6𝑚4
𝐼𝑧 =
1
12
0.080 0.120 3 = 11.52 × 10−6𝑚4
A tensão devido a P é negativa:
𝜎0 = −
𝑃
𝐴
= −0.5𝑀𝑃𝑎
As tensões devido aos momentos:
𝜎1 =
𝑀𝑥. 𝑧
𝐼𝑥
= 1.5𝑀𝑃𝑎
𝜎2 =
𝑀𝑧. 𝑥
𝐼𝑧
= 0.625𝑃𝑎
Solução
Assim,
𝜎𝑦 = −𝜎0 ± 𝜎1 ± 𝜎2
𝜎𝐴 = −𝜎0 − 𝜎1 − 𝜎2 = −2.625 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐵 = −𝜎0 − 𝜎1 + 𝜎2 = −1.375 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐶 = −𝜎0 + 𝜎1 + 𝜎2 = +1.625 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐷 = −𝜎0 + 𝜎1 − 𝜎2 = +0.375 𝑀𝑃𝑎
Linha neutra
𝐵𝐺
80𝑚𝑚
=
1.375
1.625 + 0.375
→ 𝐵𝐺 = 36.7𝑚𝑚
𝐻𝐴
80𝑚𝑚
=
2.625
2.625 + 0.375
→ 𝐻𝐴 = 70𝑚𝑚