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Flexão oblíqua, composta e flambagem
Você vai compreender a aplicação e o entendimento das principais expressões matemáticas e dos
conceitos físicos no estudo de elementos prismáticos sob a ação da flexão oblíqua/composta e da
flambagem, além da compreensão do centro de cisalhamento.
Prof. Julio Cesar José Rodrigues Junior
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender que no dimensionamento de estruturas, seja na Engenharia Mecânica, seja na Engenharia Civil,
os fenômenos da flexão e da flambagem são recorrentes. Dessa forma, os conhecimentos das principais
relações matemáticas são fundamentais para o desenvolvimento do profissional. Ademais, é importante o
reconhecimento do centro de cisalhamento como uma situação em que a torção das vigas não ocorre.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
Objetivos
Calcular a flexão oblíqua.
 
Calcular a flexão composta.
 
Reconhecer o centro de cisalhamento.
 
Formular a flambagem de colunas.
Introdução
Assista ao vídeo e conheça mais sobre flexão oblíqua, composta e flambagem.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Cálculo da Flexão Oblíqua
Princípio da superposição
A flexão oblíqua
Assista ao vídeo e conheça mais sobre a flexão oblíqua.
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A primeira parte do estudo da flexão tinha como pressuposto que a seção reta apresentava pelo menos um
eixo simétrico e que o vetor momento fletor atuava em um desses eixos. Ademais, considerava-se o regime
elástico. Neste módulo, será apresentada a flexão, tal que o vetor momento fletor não coincida com nenhum
dos eixos principais. A partir do teorema da superposição, poderá ser feita uma análise parcial desse momento
e chegar-se a uma expressão genérica para a flexão oblíqua.
 
Inicialmente, será considerada uma seção reta com um eixo de simetria (y) e os conjugados M e M' atuando
num plano cujo ângulo é igual a com o plano xy. Confira na imagem a seguir.
Momento fletor fora do eixo de simetria.
Como o vetor M é perpendicular ao plano indicado na imagem anterior, é possível, por meio de argumentos
geométricos, concluir que o vetor momento fletor formará o mesmo ângulo com o eixo . Confira na
imagem a seguir.
Vista frontal da seção reta.
Para auxiliar no entendimento da flexão composta, serão consideradas as projeções do vetor momento 
nos eixos principais y e . Cada uma das projeções poderá ser entendida como a flexão pura, avaliando-se o
efeito individualmente sobre a seção reta. Pelo princípio da superposição, poderá ser feita a superposição dos
efeitos e concluir sobre o efeito final da flexão oblíqua. A imagem a seguir mostra as projeções de M nas
direções dos eixos y e , ou seja, e Confira na imagem a seguir.
Projeções do vetor M.
Os eixos y e são eixos principais, e cada projeção de atuará como na flexão pura, o que permitirá
utilizar a expressão para determinar a tensão normal por flexão (em flexão pura). Inicialmente, é necessário
identificar os módulos das projeções nos eixos y e z. Assim, tem-se:
Agora, confira a a segunda equação:
As imagens 4 e 5 mostram os efeitos qualitativos de cada projeção do momento fletor sobre a estrutura.
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abaixo.
Projeção do momento fletor no eixo y.
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Projeção do momento fletor no eixo z.
A partir das imagens anteriores, é possível entender como cada projeção do momento fletor atua na seção,
comprimindo ou tracionando as fibras. A imagem seguinte esboça esses efeitos.
 Regiões sob compressão ou sob tração na flexão.
Fórmula da tensão normal por flexão
Serão abordadas as flexões pelos momentos fletores e , separadamente. Assim, por conta do
momento , tem-se:
Em que e são valores positivos. Na imagem 6 , acima do eixo , ou seja, , as tensões são
compressivas ( ). Assim, o sinal negativo na equação anterior justifica-se.
 
De maneira análoga, quando o momento fletor atua, a expressão que determina as tensões normais de
flexão é apresentada na equação a seguir:
Fazendo a mesma análise, sabe-se que e são valores positivos. À esquerda do eixo y (imagem 6), os
valores de z são positivos e as tensões são trativas ( ). Assim, o sinal positivo na equação anterior
justifica-se.
 
Utilizando o princípio da superposição, considera-se que para dado ponto da seção, a tensão normal por
flexão será soma dos efeitos das projeções do momento. Assim, a equação a seguir determina a tensão num
ponto genérico da seção reta.
Exemplo
A seção transversal retangular mostrada na imagem a seguir está sujeita a um momento fletor 
. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.
Seção reta sob flexão oblíqua.
Confira a resolução! Inicialmente, será feita a projeção do momento fletor nos eixos y e .
Projeções do momento fletor M.
Do triângulo de lados 3, 4 e 5 da imagem 7, tem-se:
Projeções do momento fletor M:
 
Momentos de inércia da seção, em relação aos eixos y e z:
 
 
 
 
 (é negativo, pois a projeção tem sentido oposto ao y)
 
Momentos de inércia da seção, em relação aos eixos y e z:
 
 
 
Coordenadas para os pontos B, C, D e E:
 
Ponto B: e 
 
Ponto C: e 
 
Ponto D: e 
 
Ponto E: 
 
Determinação da tensão por flexão a partir da equação 5:
Ponto B:
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Ponto C:
Ponto D:
Ponto E:
Na imagem a seguir, tem-se a distribuição de tensões por flexão na seção estudada no exemplo anterior.
Superfície neutra e eixo neutro.
Perceba que, na imagem 9, existem duas regiões distintas: uma sob compressão e outra sob tração. A
transição entre essas regiões ocorre na linha neutra ou eixo neutro (NA), onde a deformação e a tensão
normais são nulas.
Eixo neutro: orientação
A linha neutra (ou eixo neutro), diferentemente do que ocorre na flexão pura, não coincide com um dos eixos
de simetria. O eixo neutro ocorrerá de forma oblíqua, em relação aos eixos y e z. Na imagem seguinte, tem-se
uma seção reta de uma viga submetida a um momento fletor oblíquo M , formando um ângulo igual a , com
o eixo z.
Momento oblíquo aplicado numa seção reta.
Determinando as projeções de M, tem-se:
A partir do conceito de que na linha neutra a tensão normal por flexão é nula e, utilizando a equação a seguir e
as projeções de M, tem-se:
Mas, a partir da observação da imagem anterior, é possível afirmar que . Substituindo na expressão
anterior, tem-se:
 
Observe a imagem, onde são destacados os ângulos e .
Orientação da Linha neutra.
Observações sobre a equação anterior.
 
Como e são positivos, e apresentam mesmo sinal.
 
Quando , ou seja, a linha neutra e o momento apresentam mesma inclinação.
 
Seções quadradas, circulares etc. apresentam .
 
A linha neutra está sempre entre o vetor M e o eixo de menor momento de inércia.
Mão na Massa
Questão 1
Suponha uma viga de base 50 mm e altura 100 mm , conforme a imagem. O momento fletor M atuante na viga
é tal que o ângulo é igual a . Determine a inclinação da linha neutra, em relação ao eixo .
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• 
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Inicialmente, serão determinados os momentos de inércia da seção retangular em relação aos eixos y e z,
ou seja:
A partir da equação 6, tem-se:
Questão 2
Seja uma seção reta quadrangular em que o momento fletor forma um ângulo de com o eixo principal z. A
intensidade do momento fletor é igual a 1.200 N .m. A inclinação da linha neutra ou eixo neutro, em relação ao
eixo , vale:
A
B
C
D
E Faltam dados
A alternativa C está correta.
A seção reta é um quadrado. Assim, os momentos de inércia em relação aos eixos principais y e z são
iguais, ou seja, . A partir da equação 6 , tem-se:
Questão 3
Considere uma viga cuja seção reta é um retângulo de base 100mm e altura 200mm. Um momentode
intensidade 200N.m é aplicado tal que o seu vetor forme um ângulo de 300 com o eixo principal z (observe a
imagem). Determine a tensão normal por flexão no ponto A.
 
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Inicialmente, serão determinadas as projeções de M em y e em z:
Coordenadas do ponto A, em relação aos eixos adotados:
Momentos de inércia:
Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
Questão 4
(COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil - adaptada) A imagem a seguir representa a seção
transversal de um pilar retangular de área submetido à flexão oblíqua, em que os momentos 
 e nos sentidos representados na imagem. Pode-se afirmar que a tensão
normal atuante no ponto A vale:
 
 
 
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
É possível inferir, a partir da imagem, que os dois momentos fletores aplicados provocam tensão normal
trativa no ponto A. Momentos de inércia da seção reta em relação aos eixos principais:
Efeitos separados de cada momento fletor:
Fazendo a superposição dos efeitos, a tensão normal trativa em A é .
Questão 5
Uma viga de seção circular com 40mm de raio está sob ação de dois momentos fletores em torno dos eixos
principais y e z, conforme a imagem a seguir. Determine a tensão normal em A.
A
B
C
 
 
D
E
A alternativa C está correta.
Considerando os eixos y e z apresentados, os momentos são positivos. Assim:
Momento de inércia em relação aos eixos y e z:
Localização do ponto A:
Questão 6
(Questão 6.103, HIBBELER, R. C, 2010, p. 222). Determine o valor máximo do momento fletor M de modo que a
tensão de flexão no elemento não ultrapasse 100 MPa .
 
 
 
Determinação da tensão por flexão no ponto A, a partir da equação 5:
 
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Neste vídeo, apresentaremos como determinar o momento fletor oblíquo máximo a ser aplicado numa dada
seção de uma viga.
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Teoria na prática
Durante a fase de projeto, um engenheiro está modelando o efeito da flexão oblíqua sobre parte da estrutura,
cuja seção reta é um retângulo ABCD de base e altura . Um momento de intensidade M
forma um ângulo com o eixo z , conforme a imagem.
O engenheiro deseja uma expressão que determine a tensão máxima compressiva em função dos seguintes
parâmetros: .
Chave de resposta
Neste vídeo, falaremos como determinar a tensão normal máxima numa seção retangular sob ação de um
momento fletor oblíquo
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(IESES - 2015 - TRE-MA - Técnico Judiciário - Edificações – adaptada) Nas estruturas usuais de edificações
compostas por vigas, lajes e pilares, o caminho das cargas começa pelas lajes, que transferem o
carregamento para as vigas e em seguida para os pilares que as transferem para as fundações. Existe uma
diferença na excentricidade do carregamento que depende do fato de o pilar ser de canto (submetido ao
carregamento de duas vigas), de borda (submetido ao carregamento de três vigas) ou interno (submetido ao
carregamento de quatro vigas). Assinale o tipo de solicitação a que estão submetidos os pilares de canto.
A Flexão oblíqua
B Compressão simples
C Flexão composta
D Flexão confinada
E Flexão pura
A alternativa A está correta.
Os pilares dos cantos sustentam duas vigas que são perpendiculares. O efeito de cada uma é a flexão.
Como são duas “flexões” perpendiculares, equivale às projeções ortogonais de um vetor momento oblíquo.
Por isso, a flexão é obliqua.
Questão 2
Uma estrutura tem uma viga de seção reta quadrada com 200 mm de aresta sob flexão oblíqua. O momento
aplicado tem intensidade igual a 20 kN . m e forma um ângulo com o eixo principal z. A linha neutra tem
uma orientação dada pelo ângulo com o mesmo eixo . Determine a razão entre as tangentes desses
ângulos, ou seja, .
A 0,5
B 0,8
C 1,0
D 1,2
E 1,5
A alternativa C está correta.
A orientação da linha neutra ou eixo neutro é dada pela expressão:
Os momentos de inércia, em relação aos eixos y e z:
Assim:
 
2. Cálculo da Flexão Composta
Tensão normal média devido à carga aplicada no
centroide
Flexão composta
Assista ao vídeo e conheça mais sobre flexão composta.
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A apresentação da flexão, até agora, foi de que um momento fletor atuava em torno de um dos eixos
principais (flexão pura) ou tal que suas projeções atuavam em torno desses eixos (flexão oblíqua). A partir
deste instante, será apresentada a situação em que existe uma carga excêntrica atuando, o que implicará um
sistema equivalente de uma carga axial mais o momento fletor (flexão pura ou oblíqua).
 
Neste tópico, revisaremos a atuação de uma carga no centroide de uma seção. A imagem a seguir apresenta a
atuação dessa força (intensidade F) num corpo de seção reta constante de área A, em equilíbrio, no regime
elástico.
Força normal de tração num corpo em equilíbrio.
A força atuante na imagem faz o corpo ter seu comprimento alongado (no regime elástico): é a força trativa.
De maneira oposta, a força pode atuar no corpo, diminuindo seu comprimento: é a força compressiva. A
tensão normal média atuante na seção reta é calculada a partir da equação a seguir:
Convenciona-se que tensões positivas são as trativas, e as tensões negativas são as compressivas.
 
Um corte é feito no corpo representado na imagem anterior, e o equilíbrio é imposto (imagem a seguir). Assim,
o esforço interno normal N terá a intensidade F. A distribuição da tensão média na seção em que foi efetuado
o seccionamento também é representada.
 DCL do corpo e distribuição de tensões.
Exemplo
Considere uma barra de material homogêneo, comprimento 2,0m e seção reta retangular de dimensões 
 engastada em uma estrutura. Supondo a barra disposta horizontalmente, uma força normal
trativa de intensidade passa a atuar no centroide da seção reta da extremidade livre. Considerando o
regime elástico, determine a tensão média atuante na seção reta distante da extremidade livre.
 
Confira a resolução! Veja o croqui da situação descrita.
Barra de material homogêneo de comprimento 2,0m.
Área da seção reta: .
Intensidade da força: 
A partir da equação, determina-se a tensão normal média trativa:
 
Carga excêntrica num eixo de simetria
Neste ponto, analisaremos uma carga excêntrica (fora do centroide) atuando num corpo (em um eixo de
simetria da seção). Para a utilização da equação: , é necessário que a força normal atuante na
seção reta tenha linha de ação passando pelo centroide. Dessa forma, um corte na seção de interesse é feito
e, a partir das equações do equilíbrio, os esforços atuantes serão: uma força normal (N) e um momento fletor
(M). Confira na imagem.
Esforços internos em um corpo com força não atuante no centroide.
A partir da análise dessa imagem, as tensões atuantes na seção do corte serão provocadas pelo esforço
normal (atuante no centroide) mais a flexão pura. Assim, utilizando-se o teorema da superposição, tem-se :
Veja a distribuição da tensão resultante dos dois efeitos.
Distribuição da tensão normal resultante.
Carga excêntrica geral – flexão composta
Anteriormente, foi feita uma análise considerando a carga excêntrica numa condição particular (pertencente a
um eixo de simetria da seção). Generalizando, será considerada a carga excêntrica em qualquer posição da
seção. A argumentação aqui é análoga à do tópico anterior, exceto pelo fato de dois conjugados atuarem
juntos ao esforço normal (no centroide). Esses dois conjugados são denominados e , ou seja,
momentos fletores em torno dos eixos principais y e z da seção reta.
Distribuição da tensão normal resultante.
Nessa imagem, o corpo está no regime elástico sob ação das forças e , de mesma intensidade. Note
que as forças atuam num ponto genérico da seção. É possível fazer a substituição de por uma força de
mesma intensidade atuante no centroide, e dois conjugadosem torno dos eixos y e (diz-se que a força P é
estaticamente equivalente ao conjunto). A intensidades dos momentos e são determinadas por P.a
e P.b.
 
É possível analisar cada um dos efeitos: as tensões resultantes do esforço normal e dos momentos fletores.
Do teorema da superposição, é possível escrever a equação da flexão composta, veja:
Analisando a equação 9, dependendo das intensidades/sentidos dos momentos e da força normal, é possível
que a tensões normais resultantes assumam valores apenas positivos, apenas negativos ou uma combinação
desses. Na última situação, existem pontos de transição entre os sinais, ou seja, pontos em que a tensão
normal é nula. Essa linha é denominada neutra (ou eixo neutro). Para determinar a equação da linha neutra
basta, na equação 9 , tomar .
 
Linha neutra da flexão composta – Como a equação da linha neutra ou eixo neutro é um
polinômio do primeiro grau e existe o termo independente , sua representação será uma reta que não
passa pela origem.
Exemplo
O bloco retangular de peso desprezível mostrado na imagem está sujeito a uma força vertical de 40 kN
aplicada em um dos vértices. Determine a distribuição da tensão normal que age numa seção que passa por
ABCD.
Bloco retangular sujeito a uma força vertical.
Fazendo a substituição da força de 40 kN pelo efeito equivalente, tem-se uma força de mesma intensidade e
os momentos e , confira na imagem.
Substituição da força pelo efeito equivalente.
Determinação dos módulos dos momentos fletores e :
Momentos de inércia da seção em relação aos eixos principais:
Área da seção:
Tensão normal, em módulo, devido à força P:
 
 
 
Flexões puras de cada momento: tensões, em módulo, máximas:
Tensão devido ao momento :
Tensão devido ao momento :
Análise dos sinais das tensões:
 
Tensão normal devido à força P é compressiva (sinal negativo).
 
Tensão normal devido ao momento : na aresta AD ocorrem as tensões máximas trativas; na aresta
BC, as máximas compressivas.
 
Tensão normal devido ao momento : na aresta AB ocorrem as tensões máximas trativas; na aresta
BD, as máximas compressivas.
 
Fazendo a superposição dos efeitos para cada aresta do vértice, tem-se:
 
 
 
 
 
Veja a imagem com a distribuição das tensões devido a cada efeito, e a superposição (tensão resultante final).
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abaixo.
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Distribuição das tensões devido a cada efeito, e a superposição.
Na imagem anterior (carga combinada), é possível perceber a linha que divide a seção reta em regiões com
tensões trativas e com tensões compressivas. É a linha neutra ou eixo neutro.
Mão na Massa
Questão 1
(CS-UFG - 2014 - UEAP - Técnico em Infraestrutura - Engenharia Civil – adaptada). Um pilar com seção
transversal 0,20m x 0,50m está submetido a uma solicitação normal cuja resultante de 100,0kN localiza-se no
eixo de menor inércia, a 0,20m do centroide da seção. Qual é o valor da tensão normal, em MPa, nesse
centroide?
A 1,0
B 2,0
C 2,4
D 3,4
E 4,0
A alternativa A está correta.
Inicialmente, deve-se substituir a força normal por um sistema equivalente no centroide. Assim, no
centroide, uma força normal de intensidade 100kN, e um momento fletor ao longo de um dos eixos
principais. Analisando cada efeito isoladamente: o momento é uma flexão pura. Logo a linha neutra coincide
com o eixo principal, ou ainda no centroide esse momento não exerce tensão por flexão. Assim, o efeito
resultante é apenas a tensão provocada pelo esforço normal.
Questão 2
Em dada seção reta de uma viga, atua uma carga normal excêntrica de 10kN (não localizada em nenhum eixo
principal). A seção é retangular de dimensões 100mm de base e 200mm de altura. Supondo que nessa seção
existam tensões por flexão compressivas e trativas, a linha neutra da seção é uma função:
A Polinomial do 4º grau.
B Polinomial do 3º grau.
C Polinomial do 2º grau.
D Polinomial do 1º grau.
E Não existe linha neutra.
A alternativa D está correta.
Como na seção existem tensões de sinais distintos, há uma linha de transição em que as tensões são nulas,
ou seja, a linha neutra. A partir da equação 9, tem-se:
 e são valores constantes. Substituindo os valores hipotéticos e utilizando o fato de a
tensão ser nula na linha neutra, tem-se:
Assim, a equação é uma função polinomial do primeiro grau.
Questão 3
 
 
(COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil). A figura representa a seção transversal de um pilar de 
, submetido à flexão composta oblíqua, sendo uma força de compressão de valor ,
e os momentos e , nos sentidos representados na figura. Pode-se afirmar
que a tensão normal característica atuante no ponto A vale:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Confira a resolução a seguir:
Momentos de inércia:
Calculando a tensão normal devido a cada efeito:
Força normal:
Tensão devido ao momento :
Por inspeção, é trativa: 
Tensão devido ao momento :
Por inspeção, é trativa: 
Assim, a tensão resultante em A é:
Questão 4
Em uma estrutura, uma viga retangular de dimensões 100mm de base e 200mm de altura apresenta uma
carga excêntrica compressiva de 200kN aplicada no vértice A paralela ao eixo x. Determine neste ponto, a
tensão normal.
 
 
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Confira a resolução no vídeo a seguir.
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Questão 5
(CESPE - 2018 - TCM-BA - Auditor Estadual de Infraestrutura). As peças submetidas à flexão composta
sofrem ação de flexão acompanhada de:
A Torção
B Força normal
C Esforço cortante
D Momento fletor
E Deformações excessivas
A alternativa B está correta.
A flexão composta é a superposição dos efeitos de uma carga normal (compressiva ou trativa) e dois
momentos fletores em torno dos eixos principais de inércia.
Questão 6
Considere uma seção reta ABCD na forma retangular (80mm de base e 120mm de altura) em que atua uma
carga concêntrica P. A flexão composta apresenta linha neutra dada pela equação y – 3, 6z – 0,048 = 0 (y e z
em metros), conforme a figura. Determine o valor do segmento DI, em milímetros.
A 35mm
B 30mm
C 25mm
D 20mm
E 10mm
A alternativa E está correta.
A interseção da linha neutra com a aresta AD ocorre para y = - 60mm = - 0,06m. Substituindo na equação
da linha neutra, tem-se:
Assim:
Teoria na prática
Uma carga horizontal P é aplicada no ponto indicado na figura a um perfil S250 x 37,8, de aço laminado. Sabe-
se que a tensão de compressão não deve ultrapassar 80MPa. Determine a maior força P que pode ser
aplicada.
Dados geométricos do perfil (tabelado):
 
 
 
 
Abas: 118mm
 
Altura do perfil: 254mm
 
Confira a resolução no vídeo a seguir.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal - Engenharia Civil – adaptada). Considerando: 
 
I - Flexão pura, 
 
II - Flexão oblíqua, e 
 
III - Flexão composta para um elemento estrutural de seção transversal retangular.
 
Podemos afirmar que:
A
I - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; II - o eixo neutro coincide
com um dos eixos principais de inércia da seção transversal; III - o eixo neutro afasta-se do centroide da
seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.
B
I - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal; II - o eixo neutro
passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutro afasta-se do centroide
da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.
C
I - o eixo neutro não coincide com os eixos principais de inércia da seção transversal; II - o eixo neutro não
passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III - o eixo neutro afasta-se do centroide
da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos principais de inércia.D
I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos
principais de inércia; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal, porém sofre rotação; III -
o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção transversal.
E
I - o eixo neutro afasta-se do centroide da seção transversal e sofre rotação em relação aos eixos
principais de inércia; II - o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal e coincide com um dos
eixos principais de inércia; III - o eixo neutro coincide com um dos eixos principais de inércia da seção
transversal de forma similar à flexão oblíqua.
A alternativa B está correta.
Na flexão pura, a linha neutra coincide com um dos eixos principais. Na flexão oblíqua, a linha neutra passa
pela interseção dos eixos principais, não coincidindo com os eixos principais. Na flexão composta, a linha
neutra sofre uma translação em relação à linha neutra da flexão oblíqua.
Questão 2
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• 
• 
(COPESE - UFPI - 2016 - UFPI - Engenheiro Civil - adaptada). A figura representa a seção transversal de um
pilar de área retangular submetido à flexão composta oblíqua, sendo uma força de compressão
de valor , e os momentos . m e . , nos sentidos representados na
figura. Pode-se afirmar que a tensão normal característica atuante no ponto B vale:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Cálculo dos momentos de inércia principais:
Em B, os momentos fletores atuam no sentido de comprimir o ponto, assim como a força norma.
Determinado o módulo da tensão normal no ponto B, devido a cada efeito, tem-se:
Força normal:
Tensão devido ao momento :
Por inspeção, é compressiva: 
Tensão devido ao momento :
Por inspeção, é compressiva: 
Assim, a tensão resultante em A é:
 
 
3. Centro de Cisalhamento
Centro de cisalhamento: análise qualitativa
O centro de cisalhamento
Neste vídeo, conheça mais sobre o centro de cisalhamento.
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Neste módulo, estudaremos um ponto denominado centro de cisalhamento. A resultante dos esforços
cortantes tem linha de ação passando por esse ponto. Ademais, o momento de todas as tensões cisalhantes
(forças associadas), em relação ao centro de cisalhamento, é zero. Portanto, não ocorrerá torção da viga,
apenas flexão.
 
Inicialmente, deve ser lembrado que o estudo do cisalhamento e da flexão tomou como premissa um eixo
vertical y de simetria. Assim, ocorria a flexão e o cisalhamento conforme a imagem a seguir.
Estrutura com eixo de simetria vertical.
A imagem mostra a situação já apresentada para o cisalhamento e para a flexão. Assim, as equações
correspondentes podem ser utilizadas, visto que tomam como premissa o eixo y simétrico. A seguir, as
expressões para o cálculo da tensão normal por flexão e da tensão cisalhante :
Devido à simetria, apresentada na imagem anterior, as tensões de cisalhamento provocarão momento nulo em
relação ao ponto C. Como o esforço cortante tem linha de ação passando pelo ponto C, seu momento também
é nulo. Assim, não ocorre torção na viga apresentada.
 
Neste módulo, a premissa de que o eixo y vertical é simétrico deixará de ser assumida. Em consequência, a
expressão anterior para a determinação da tensão cisalhante não poderá mais ser utilizada. Será admitido
para o estudo do centro de cisalhamento que as paredes das barras sejam delgadas.
 
A próxima imagem mostra uma barra em que o eixo vertical não é de simetria, e uma força vertical P atua,
passando pelo centroide da seção reta.
Seção sem simetria vertical sob ação de uma força vertical.
Dos conceitos da mecânica dos corpos rígidos, é possível transladar uma força F e ter um sistema
estaticamente equivalente com uma força de mesmo módulo e um conjugado. A partir dessa argumentação, o
que se pretende é substituir a força P atuante na peça (imagem anterior) por um sistema equivalente, de tal
forma que o elemento prismático não sofra rotação, apenas flexão e cisalhamento. O ponto para o qual a força
P será deslocada denomina-se centro de cisalhamento.
Centro de cisalhamento: seções abertas de paredes
delgadas
Para a determinação da posição do centro de cisalhamento O, deve-se lembrar que a força vertical P aplicada
nesse ponto garante que não ocorra a torção da viga. Na imagem, a força vertical atua no centroide da seção
reta. Após o deslocamento de P, ou seja, quando estiver atuando no centro de cisalhamento, a viga não
sofrerá rotação. Observe a próxima imagem.
Imagem
Seção sem simetria vertical sob ação de uma força vertical.
Para determinar o deslocamento horizontal da força P, é necessário o entendimento de algumas passagens
matemáticas/físicas. Inicialmente, uma seção reta da viga será desenhada, e as resultantes das forças nas
abas superior/inferior e na alma são destacadas. Confira.
Seção reta, a viga em estudo e as resultantes.
A substituição da força P por um sistema estaticamente equivalente, tal que não ocorra torção em torno do
centro de cisalhamento, deve garantir que o momento na situação da imagem a seguir seja nulo.
Força P atuando no centro de cisalhamento.
O conjugado proveniente das forças nas abas pode ser eliminado com o momento de em
sua translação da força P para o centro de cisalhamento 0 . Assim, é verdade que:
Portanto, o deslocamento horizontal pode ser calculado pela equação 10:
É possível relacionar as forças que atuam na aba (F) e a força que atua na alma (P) com parâmetros
geométricos da viga. Assim, a equação 10 será função exclusiva dos parâmetros geométricos da viga. Ou seja,
a distância e depende apenas das dimensões da seção reta em estudo.
 
Considere a seção reta mostrada na imagem 21 , onde as abas têm comprimento e a espessura da viga é
constante e pequena. O afastamento do centro de cisalhamento em relação à parede média da alma é
dado pela equação 11:
Exemplo 1
Considere uma viga engastada com uma extremidade livre, conforme a imagem seguinte, em que a força
vertical atua de tal forma que não ocorra torção da viga.
Viga engastada com uma extremidade livre.
Uma seção é individualizada para estudo, conforme croqui a seguir.
Croqui da seção individualizada para estudo.
As dimensões são e . Determine a distância , relacionando essa
distância com a não torção da viga na situação descrita.
Confira a solução a seguir!
Chave de resposta
Uma vez que não ocorre a torção, apenas flexão, o ponto de aplicação da força P de 2 kN é o centro de
cisalhamento. Sua determinação é dada pela equação 11, independentemente da espessura t e da carga
aplicada.
Substituindo os valores, tem-se:
Exemplo 2
Suponha a viga representada na imagem a seguir, em que a carga V é aplicada no centro de cisalhamento. As
dimensões são apresentadas na imagem, sendo a espessura uniforme e igual a t. Determinar a tensão de
cisalhamento em A (na aba superior).
Chave de resposta
A tensão de cisalhamento no ponto A é dada por:
Em que:
 - Momento estático da área .
 - Esforço cortante.
I - Momento de inércia da seção.
Confira na imagem.
• 
• 
• 
Momento estático da área em destaque:
Substituindo, tem-se:
Momento de inércia da seção da viga, em relação à linha neutra:
Como a espessura é pequena, o termo pode ser desprezado. Assim:
Substituindo na expressão do fluxo do cisalhamento:
 
 
Mão na Massa
Questão 1
Suponha uma viga apenas com simetria na direção horizontal, submetida a um carregamento vertical P
aplicado no centroide da seção, conforme a imagem. A espessura t é considerada desprezível frente às outras
dimensões. Quanto ao centro de cisalhamento (O), é correto afirmar que:
A Se a força P for aplicada no centro de cisalhamento (O), ocorrerá torção na viga, denominada pura.
B Se a força for oblíqua e aplicada no centro de cisalhamento, a torção poderá ocorrer dependendo do
ângulo que P faz com a horizontal.
C Se a força P tiver sua linha de ação passando pelo centro de cisalhamento, não provocarátorção na
viga.
D Para evitar a torção na viga, o centro de cisalhamento deve estar localizado na parede vertical da
seção reta.
E A torção na viga poderá ser evitada caso o centro de cisalhamento esteja localizado em uma das abas
(inferior ou superior).
A alternativa C está correta.
A forças resultantes que atuam nas abas geram um conjugado que pode ser “anulado” com o deslocamento
da linha de ação da força P. O ponto de aplicação de P é denominado centro de cisalhamento e é calculado
por:
Questão 2
Seja uma viga metálica com uma extremidade engastada e a outra livre. Pelo centroide da seção reta passa a
linha de ação da força F = 30 kN . Nessa situação, ocorre a torção da viga. Um engenheiro deseja eliminar o
efeito de torção, deslocando a linha de ação da força para o centro de cisalhamento. Considerando como
referencial a parede média da alma da seção (linha tracejada em destaque), determine a distância e. A
imagem apresenta a situação descrita e as dimensões da seção reta são b = e a
espessura .
A 80 mm
B 75 mm
C 70 mm
D 65 mm
E 60 mm
A alternativa A está correta.
A distância do centro de cisalhamento à parede média da alma da seção (vertical) é determinada por:
Substituindo os valores apresentados, tem-se:
Questão 3
Para a viga em forma de U, o centro de cisalhamento apresenta-se a distância e da parede média vertical da
seção. Seu valor pode ser determinado pela expressão:
Em que b é a dimensão das abas e h a altura da alma da viga. Supondo que a espessura t seja uniforme e bem
menor que os valores de b e h, que valores o 
pode assumir:
A De 0 a h
B De 0 a b
C De 0 a h/2
D De 0 a b/2
E De b a h
A alternativa D está correta.
A expressão que determina a distância do centro de cisalhamento é:
É possível dividir o numerador e o denominador da fração por 3b. Assim:
A razão pode assumir valores pequenos (tendendo a zero) ou valores grandes (tendendo a infinito). Em
cada situação tem-se:
Logo, a distância e varia de 0 a b/2.
Questão 4
Suponha uma cantoneira, conforme a figura a seguir. Os pontos A e C localizam-se nas extremidades das
abas. B está no vértice da cantoneira, enquanto D e E estão nos pontos médios das abas. Para que não ocorra
torção, a força atuante deve ter linha de ação passando pelo centro de cisalhamento. Dentre os pontos
apresentados, qual pode representar o centro de cisalhamento para a seção reta?
 
A A
B B
C C
D D
E E
A alternativa B está correta.
As forças atuantes nas abas concorrem no ponto B. Para que não ocorra torção, a força cortante deve ser
aplicada tal que sua linha de ação passe pelo ponto B. Matematicamente, tem-se:
Como as forças concorrem em . Logo, a equação é satisfeita se a força for aplicada
de tal forma que a linha de ação passe pelo ponto B .
Questão 5
Considere uma seção reta de uma viga U, com espessura t constante, conforme a figura. A tensão na aba
superior tem variação linear, porém na extremidade da esquerda e máxima. O fluxo de cisalhamento na aba é
dado por:
Determine a expressão que define a intensidade da força F na aba.
 
Dado: 
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Substituindo-se q na expressão para a determinação da força F, tem-se:
Substituindo os limites de integração: 0 e b
 
Questão 6
Considere uma viga U engastada em uma das extremidades e com o carregamento mostrado na imagem.
O centro de cisalhamento é o ponto O, onde a força de 1000N é aplicada. As dimensões da seção reta da viga
são: b = 100mm, h = 200mm e a espessura t = 2mm. Sabe-se que a tensão cisalhante na aba superior é dada
pela seguinte expressão:
Qual a tensão no ponto médio da aba superior?
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
A alternativa correta é "A".
Confira no vídeo como determinar a tensão cisalhante em um dado ponto da aba de uma viga U.
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Teoria na prática
Em uma empresa de Engenharia, o projeto que está em desenvolvimento prevê uma viga AB em U de
comprimento L engastada em uma das extremidades e livre na outra com carregamento concentrado.
Supondo que as dimensões sejam as apresentadas na figura, e considerando t a espessura uniforme da viga,
o engenheiro deseja determinar a expressão que calcula a força resultante na aba superior. Aplicar para V =
1,0kN, b = 120mm, h = 150mm e t = 2mm.
Chave de resposta
Expressão que determina a força em uma aba de uma viga U.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Um engenheiro determinou uma expressão para calcular a distância do centro de cisalhamento para
determinada viga, em função dos parâmetros geométricos da seção reta (b e h).
Considerando que a razão é muito menor que 2 , qual o valor da distância ?
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
É possível reescreve a expressão que calcula :
Se a razão for muito menor que 2 , pode ser desprezada (em relação ao 2 ). Assim:
Questão 2
A tensão de cisalhamento nas abas da seção reta de uma viga é determinada a partir da expressão:
Confira a imagem.
Em que é o esforço cortante na alma da viga, a distância entre as abas e o momento de inércia da
seção em relação ao eixo centroide horizontal. É correto afirmar que, ao longo da aba:
A A variação da tensão cisalhante é linear, sendo nula na extremidade A.
B A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo nula na extremidade A.
C A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima na extremidade A.
D A variação da tensão cisalhante é quadrática, sendo máxima no ponto B.
E A variação da tensão cisalhante é linear, sendo máxima no ponto médio de AB.
A alternativa A está correta.
A equação que determina a tensão cisalhante é linear (depende de x). A partir do eixo x, na figura, é
possível determinar a tensão cisalhante em A, x = 0 e, em B, x = b. Assim, a tensão no ponto A é:
 
4. Flambagem de Colunas
Estabilidade das colunas: carga crítica
A Flambagem de Colunas
Neste vídeo, conheça mais sobre a flambagem de colunas
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Neste conteúdo, será analisado o efeito conhecido como flambagem. Suponha uma coluna perfeitamente reta
(ideal) de comprimento L e área de seção reta A, em que atua uma carga P no centroide da seção transversal
de forma a comprimir a coluna. Sob determinada condição, a coluna perde sua estabilidade, sofrendo uma
deflexão lateral – a flambagem. Eventualmente a flambagem ocorre de maneira abruta e rompe o material.
Confira a imagem.
Coluna sob carregamento normal compressivo.
Elementos estruturais compridos e esbeltos (colunas) submetidos a esforços de compressão são
particularmente suscetíveis à flambagem após a carga aplicada ultrapassar um valor denominado de carga
crítica ( ). Confira a imagem.
Coluna sob carregamento normal compressivo maior que a carga crítica.
Suponha que um coluna de comprimento seja carregada com uma carga que gradual e lentamente vai
aumentando até que a coluna fique na iminência de sofrer flambagem, ou seja, apresentar uma deflexão
lateral (imagem anterior). Essa carga é , a carga crítica.
 
Inicialmente, será apresentada uma situação idealizada e simplificada para que o fenômeno físico da
flambagem possa ser entendido. Nos próximos tópicos, a abordagem amplia as condições impostas às
colunas, aproximando-se das situações reais de Engenharia. Suponha duas colunas de comprimento ,
unidas por meio de um pino ideal em A, e que suas extremidades sejam articuladas. Ademais, uma mola de
constante elástica K está ligada em A, e é capaz de restaurar a posição das colunas. A imagem a seguir
apresenta o croqui da situação descrita.
Coluna ideal com mola restaurado da posição de equilíbrio.
Supondo que a força aplicada P desloque o ponto de união A das barras lateralmente para a direita, tal que
cada coluna sofra uma pequena rotação vertical de .
Deslocamento lateral da coluna sob ação da força P.
Antes de se fazer a análise de forças no pino A, algumas premissasdevem ser atendidas. A suposição inicial é
que os ângulos (em radianos) são pequenos, logo a seguinte aproximação é válida: . Ademais, o
deslocamento do pino A lateralmente pode ser determinado a partir da relação geométrica entre o
comprimento de um arco, raio e ângulo (em radianos), ou seja, . . Assim, o deslocamento lateral 
é dado pela equação:
Analisando as forças atuantes no ponto A, tem-se o seguinte diagrama do corpo livre (DCL).
DCL do ponto A.
Do equilíbrio na direção horizontal, ou seja, :
Porém, foi adotada a premissa de pequenos ângulos, logo Ademais, considerando a mola no
regime elástico, é possível aplicar a Lei de Hooke . . Substituindo na equação do equilíbrio,
tem-se:
Mas da equação . Logo:
Agora, confira.
 
Da equação anterior, conclui-se que para cargas P maiores que a carga crítica o sistema é instável. De
maneira inversa, para cargas P menores que a crítica, o sistema é estável.
Fórmula de Euler para a flambagem
Seja uma coluna AB de comprimento L em que uma carga P é aplicada de maneira compressiva. O objetivo
deste ponto do estudo é determinar o valor limite da carga P que mantém a estabilidade da coluna em relação
à flambagem.
Coluna de comprimento L sob carregamento compressivo.
A equação diferencial ordinária (EDO) de coeficiente constantes e de segunda ordem que rege o fenômeno é
dada pela equação:
Em que:
 
 - Deslocamento lateral horizontal.
 
 - Distância vertical, a partir da extremidade em que a carga é aplicada.
 
 - Intensidade da carga compressiva aplicada à coluna.
 
 - Módulo de elasticidade do material da coluna.
 
 - Momento de inércia da seção reta.
 
Determinando-se a solução geral da solução da EDO e aplicando-se as condições de contorno, tem-se a
equação:
• 
• 
• 
• 
• 
O menor valor que assume, de acordo com a equação 15 , é para . Assim, substituindo-se por 1
na equação 15 , tem-se a carga crítica .
A equação 16 é conhecida como fórmula de Euler.
Atenção
Vale ressaltar sobre o da equação 16. Para colunas com seções retas duplamente simétricas, como
quadrados, círculos ou tubos, os momentos de inércia , em relação aos eixos principais, são iguais. Para
outras seções, o momento de inércia a ser utilizado é o de menor valor. 
A partir da equação 16, da definição de tensão normal e do raio de giração (k) de uma seção, é possível
escrever uma relação para a tensão crítica. Relembrando que e que e substituindo em 16 ,
tem-se a equação:
Agora, confira.
A razão é denominada indice de esbeltez da coluna. Como o momento de inércia, que se relaciona com o
raio de giração k, é o mínimo, o raio de giração a ser utilizado na equação 17 também deve ser o de menor
valor.
Fórmula de Euler para colunas com vínculos diversos
No tópico anterior, foi feito o estudo de uma coluna com articulação nas duas extremidades, o que resultou
nas equações já estudadas, mas que apresentaremos novamente a seguir, confira.
Algumas situações particulares de vinculação da coluna serão apresentadas:
 
Coluna com uma extremidade engastada e a outra livre.
 
Coluna engastada em uma extremidade e outra articulada.
 
Coluna biengastada.
 
As equações apresentadas poderão ser ajustadas para a utilização nos casos já descritos. A equação a seguir
utilizará o conceito de comprimento efetivo de flambagem .
A equação a seguir será função do índice efetivo de esbeltez da coluna, denominado . Dessa forma, a
equação ficará escrita como:
A imagem seguinte tem um resumo de algumas colunas sob determinados vínculos e seus comprimentos
efetivos ( ) em função do comprimento da coluna.
Comprimentos efetivos de colunas com vinculações distintas.
1. 
2. 
3. 
Mão na Massa
Questão 1
(IADES - 2014 - UFBA - Engenheiro Mecânico). Um componente mecânico sujeito a severas cargas de
compressão precisa ser investigado quanto à flambagem. Considerando que seu momento de inércia é X, que
a área de seção transversal é Y e que o comprimento é Z, é correto afirmar que o índice de esbeltez desse
componente, definido como a razão do comprimento pelo raio de giração, é:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Inicialmente, será determinado o raio de giração:
O índice de esbeltez da coluna é dado por . Substituindo, tem-se:
Questão 2
Uma coluna tem seção reta quadrada e 2m de comprimento. Supondo que as extremidades da coluna sejam
articuladas e uma força compressiva de 350kN seja aplicada, determine a aresta mínima da seção reta para
que a coluna não sofra flambagem. Considere que o material apresenta módulo de elasticidade E = 70GPa e
que a tensão admissível do material não seja alcançada.
 
A 50,28mm
B 55,62mm
C 60,75mm
D 65,42mm
E 70,25mm
A alternativa E está correta.
A partir da equação da carga crítica para colunas biarticuladas, tem-se:
Mas o momento de inércia da seção quadrangular é dado por: . Portanto:
Questão 3
Considere uma pequena coluna cilíndrica biarticulada de seção circular de raio 20mm que está submetida a
uma força F compressiva. O material da coluna é tal que seu módulo de elasticidade é 200GPa, e a tensão de
escoamento à compressão é 320MPa. Determine a carga crítica, sendo o comprimento da coluna de 1m.
A
B
C
 
D
E
A alternativa E está correta.
Análise para a flambagem:
Momento de inércia para a seção circular: 
Para colunas biarticuladas, a equação de Euler é:
Análise para o escoamento.
Logo, a flambagem é mais crítica que o escoamento.
Questão 4
(FGV - 2016 - COMPESA - Analista de Saneamento - Engenheiro Mecânico). A imagem a seguir apresenta
duas barras constituídas pelo mesmo material e que possuem também o mesmo comprimento e seção
transversal.
 
A viga (1) tem uma das extremidades fixa (engastada) e a outra fixa por pino. A viga (2) tem as extremidades
fixas (biengastada). A relação entre as cargas críticas de flambagem de Euler das colunas (2) e (1), nessa
ordem, vale:
A 0,25
B 0,50
C 1,40
D 1,96
E 4,00
A alternativa D está correta.
Inicialmente, deve-se encontrar o comprimento efetivo para cada coluna.
Coluna 2: 
Coluna 1: 
Questão 5
(UECE-CEV - 2018 - Prefeitura de Sobral - CE - Analista de Infraestrutura - Engenharia Mecânica – adaptada).
Um pilar de aço de seção retangular maciça (0,12m x 0,01m) e 20m de comprimento está engastado em
ambas as suas extremidades e é submetido a um carregamento de compressão, conforme apresentado na
imagem a seguir.
Sabendo que o módulo de elasticidade do aço é de e considerando , é correto
afirmar que a carga crítica de flambagem é igual a:
• 
• 
 
A 30.000N
B 28.800N
C 7200N
D 200N
E 50N
A alternativa D está correta.
Confira no vídeo a seguir a determinação da carga crítica de flambagem em uma coluna biengastada.
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Questão 6
(FCC - 2007 - MPU - Analista - Engenharia Civil - adaptada). O comprimento de flambagem das colunas de
comprimento L submetidas a esforços de compressão é função de suas extremidades, sendo dado pela
expressão do comprimento efetivo . O valor de K, para as colunas abaixo representadas, é,
respectivamente:
A 0,3; 0,5; 0,7; 1,0
B 0,5; 0,7; 0,8; 1,5
C 1,0; 1,5; 2,0; 2,5
D 0,7; 1,0; 1,5; 2,0
E 0,5; 0,7; 1,0; 2,0
A alternativa E está correta.
A expressão geral para determinar a carga crítica para colunas sob compressão é dada por:
Dependendo da vinculação que a coluna tenha, o comprimento efetivo será diferente:
Coluna biengastada: 
Coluna engastada /rotulada: 
Coluna birrotulada: 
Coluna engastada/livre: 
Assim, o K para cada situação será: 0,5 / 0,7 / 1,0 / 2,0
Teoria na prática
Um projeto está sendo desenvolvido para uma estrutura metálica. Uma das colunas (AB) dessa estrutura
ficará submetida à compressão de uma força de intensidade F. Em termos de vinculação, uma de suas
extremidades ficará engastada e a outra livre. Com relação aos parâmetros geométricos, o comprimento da
coluna AB é L e sua seção reta é quadrada de lado l. O fenômeno da flambagem será avaliado para essa
coluna. Dessa forma, o engenheiro desejadeterminar uma expressão, em função de l e L, para o índice efetivo
de esbeltez da coluna.
• 
• 
• 
• 
Chave de resposta
Confira no vídeo a demonstração da expressão para o índice efetivo de esbeltez de uma coluna com uma
extremidade engastada.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(FEPESE - Engenheiro (CELESC)/Engenharia Civil/2018). Fenômeno de instabilidade elástica que pode ocorrer
em elementos compridos delgados, e que se manifesta pelo aparecimento de movimentos significativos
transversais à direção principal da força. Essa definição refere-se à:
A Flambagem
B Flexão oblíqua
C Flexão composta
D Flexão pura
E Torção
A alternativa E está correta.
A flambagem caracteriza-se pela aplicação de uma força compressiva em elementos compridos e esbeltos
(colunas). Na flambagem, ocorre um deslocamento lateral, na situação de equilíbrio instável.
Questão 2
(IBADE - 2019 - Prefeitura de Vilhena - RO - Engenheiro Civil - adaptada). No que tange ao cálculo de
flambagem de colunas de comprimento 2,0m engastadas em ambas as extremidades, o valor do comprimento
efetivo é:
A 4,0m
B 3,0m
C 2,0m
D 1,0m
E 0,5m
A alternativa D está correta.
Para colunas biengastadas, a fórmula para a determinação da carga crítica de flambagem é dada por:
Em que é o comprimento efetivo.
Para essa vinculação particular, . Logo:
 
5. Conclusão
Considerações finais
Neste conteúdo, abordamos os principais aspectos das flexões oblíqua/composta, do centro de cisalhamento
e da flambagem em colunas. Inicialmente, falamos sobre a flexão oblíqua: um momento oblíquo é aplicado em
uma seção reta de uma viga. Vimos que a decomposição do momento nos eixos principais possibilita o
entendimento da tensão resultante em cada ponto da seção, a partir da superposição dos efeitos.
 
Caracterizamos a linha neutra (em que a tensão é nula) e determinamos a sua orientação. Ampliando-se o
estudo da flexão, abordamos o efeito de uma carga excêntrica em dada seção de um elemento estrutural.
Conceituamos o centro de cisalhamento e determinamos a expressão de seu cálculo para uma seção
particular.
 
Por fim, falamos sobre flambagem em colunas. Definimos a carga crítica, o comprimento efetivo e o índice de
esbeltez de uma coluna, bem como variamos as condições de vinculação das colunas, mostrando o
comprimento efetivo em cada uma delas.
Podcast
Para encerrar, ouça e conheça mais sobre como a flexão oblíqua e composta afeta elementos
estruturais, o papel do centro de cisalhamento no equilíbrio das seções e os principais conceitos ligados
à flambagem em colunas.
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Explore um pouco mais sobre o papel da flexão composta oblíqua da Ciência, e qual contribuição ela pode
trazer para um estudo de determinado material em: Flexão composta oblíqua em pilares curtos de concreto
armado em situação de incêndio: curvas do estado - limite último pelo método da isoterma de 500°C. Revista
IBRACON de Estruturas e Materiais.
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
 
MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. 2. ed. Reimpressão. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2010.
	Flexão oblíqua, composta e flambagem
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Cálculo da Flexão Oblíqua
	Princípio da superposição
	A flexão oblíqua
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Fórmula da tensão normal por flexão
	Exemplo
	Eixo neutro: orientação
	Mão na Massa
	Questão 1
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Cálculo da Flexão Composta
	Tensão normal média devido à carga aplicada no centroide
	Flexão composta
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Carga excêntrica num eixo de simetria
	Carga excêntrica geral – flexão composta
	Exemplo
	Conteúdo interativo
	Mão na Massa
	Questão 3
	Questão 4
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	3. Centro de Cisalhamento
	Centro de cisalhamento: análise qualitativa
	O centro de cisalhamento
	Conteúdo interativo
	Centro de cisalhamento: seções abertas de paredes delgadas
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Mão na Massa
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	4. Flambagem de Colunas
	Estabilidade das colunas: carga crítica
	A Flambagem de Colunas
	Conteúdo interativo
	Fórmula de Euler para a flambagem
	Atenção
	Fórmula de Euler para colunas com vínculos diversos
	Mão na Massa
	Questão 4
	Questão 5
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências