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Lei de Gauss
PROFESSOR: DIEGO SANTANA CONCEIÇÃO
Fluxo Elétrico
Considere um campo elétrico uniforme em 
modulo e sentido. As linhas de campo 
penetram uma superfície retangular de área 
A, cujo plano esta perpendicularmente ao 
campo. Portanto, o numero total de linhas 
que irão penetrar na superfície é 
proporcional ao produto EA. Esse produto 
recebe o nome de fluxo elétrico (ф), então, 
podemos dizer que:
ф = 𝑬𝑨
Onde o fluxo elétrico é dado em 𝑵 ∙ 𝒎𝟐/𝑪.
Fluxo Elétrico
Caso a superfície não seja perpendicular ao 
plano, o fluxo que atravessa a superfície 
será menor. Observando a figura, podemos 
ver que a normal à superfície da área A está 
em um ângulo Ѳ em relação ao campo 
elétrico uniforme. Então devemos 
decompor esse vetor do campo elétrico até 
que ele fique perpendicular ao plano. 
Assim, temos que:
ф = 𝑬𝑨 𝒄𝒐𝒔Ѳ
Fluxo Elétrico
Em uma superfície muito grande, o campo 
elétrico pode variar, portanto, as equações 
vistas anteriormente não poderão ser 
aplicadas para esse caso, visto que elas são 
utilizadas apenas para um elemento de área 
pequena na qual o campo elétrico seja 
uniforme. Mas, como já vimos anteriormente 
em Cálculo, é possível definir um fluxo 
elétrico através da variação da área, para isso 
usamos o conceito de integrais, assim, 
podemos reescrever a equação como sendo: 
ф = න𝑬 ∙ 𝒅𝑨
Fluxo Elétrico
Fluxo Elétrico
Exemplo 1) Considere um 
campo elétrico uniforme 𝐸
orientado no sentido x. Um 
cubo de comprimento de 
aresta L é colocado no 
campo. Determine o fluxo 
elétrico líquido através da 
superfície do cubo.
Lei de Gauss
A Lei de Gauss é uma relação geral entre o fluxo 
elétrico liquido através de uma superfície fechada 
(denominada também como superfície gaussiana) e 
a carga elétrica que existe dentro do volume limitado 
por esta superfície.
Lei de Gauss
Considere uma carga pontual positiva q localizada no centro de uma esfera de 
raio r. Pela definição, sabemos que o campo elétrico em toda superfície da 
esfera é dado por 𝑬 =
𝒌𝒒
𝒓𝟐
. As linhas do campo elétrico são direcionadas 
radialmente para fora, logo, são perpendiculares à superfície da esfera. Logo, 
podemos reescrever a equação de fluxo como sendo:
ф = ර𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = ර𝐸 𝑑𝐴 = 𝐸ර𝑑𝐴
Lei de Gauss
Sabemos que o campo elétrico é dado por 𝐸 = 𝑘𝑞/𝑟². Sabemos também que a 
área da superfície esférica é dada por ׯ𝑑𝐴 = 𝐴 = 4𝜋𝑟². Então, podemos 
reescrever o fluxo da superfície gaussiana como sendo:
ф = 𝑘
𝑞
𝑟2
4𝜋𝑟2 = 4𝜋𝑘𝑞
Sabendo que 𝑘 = 1/4𝜋𝜀0, logo, podemos expressar a equação da forma:
ф =
𝑞
𝜀0
Então, podemos concluir que o fluxo liquido através da superfície esférica é 
proporcional à carga que ela contem.
Onde 𝛆𝟎 é a permissividade do espaço livre: 𝜺𝟎 = 𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟏𝟐 𝑪𝟐/𝑵 ∙ 𝒎²
Lei de Gauss
A forma matemática da Lei de Gauss é uma generalização do que descrevemos e 
afirma que o fluxo liquido através de QUALQUER superfície fechada é igual a:
ф = ර𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 =
𝑞𝑖𝑛
𝜀0
Onde E representa o campo elétrico em qualquer ponto sobre a superfície e 𝑞𝑖𝑛 é 
a carga liquida no interior da superfície.
Lei de Gauss
A lei de Gauss é válida para qualquer situação com campo uniforme, ou não, e 
para qualquer tipo de superfície fechada. Porém, para ser útil ela deve ser usada 
apenas em determinadas circunstâncias. Uma circunstância favorável ocorre 
quando a superfície Gaussiana é tal que o produto escalar entre o campo e o 
vetor superfície é facilmente obtido. Isso é sempre possível quando a 
distribuição de cargas apresenta alta simetria. Existem três tipos de simetrias 
que facilitam o uso da lei de Gauss 
Simetria planar; 
Simetria cilíndrica ou axial; 
Simetria esférica 
Lei de Gauss
A simetria planar aplica-se no caso de uma distribuição de cargas num plano 
infinito, ou no caso em que se possa fazer a aproximação de plano infinito. Por 
exemplo, um plano finito pode ser considerado infinito, se o campo elétrico for 
calculado num ponto muito próximo do plano. Isto é, se a distância do plano ao 
ponto for muito menor do que as dimensões do plano 
A simetria cilíndrica, ou axial, aplica-se no caso de uma distribuição linear 
infinita. Existem dois casos clássicos: Linha infinita de cargas; Cargas distribuídas 
num cilindro infinito. 
Existem dois casos típicos de simetria esférica: Carga puntiforme; Distribuição 
esférica de cargas. 
Aplicação da Lei de Gauss a várias 
distribuições de cargas
De acordo com o que foi estudado, a Lei de Gauss é útil na determinação de campos elétricos 
quando a distribuição de cargas é simétrica. Sempre que escolhermos uma superfície, iremos 
utilizar a simetria da distribuição de cargas, de modo que o campo elétrico possa ser removido da 
integral. O objetivo desse calculo é determinar a superfície para a qual cada porção sua satisfaça 
uma ou mais das seguintes condições:
1. Pode-se demonstrar que o valor do campo elétrico é, por simetria, constante sobre a porção 
da superfície;
2. O produto escalar da equação ф = ׯ𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 pode ser escrito de forma algébrica E e dA, visto 
que 𝐸 e 𝑑 Ԧ𝐴 serão paralelos;
3. O produto escalar da equação ф = ׯ𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 é igual a zero, pois 𝐸 e 𝑑 Ԧ𝐴 são perpendiculares;
4. O campo elétrico é igual a zero sobre a porção da superfície.
Aplicação da Lei de Gauss a várias 
distribuições de cargas
Distribuição de cargas esfericamente simétricas.
Exemplo 2) Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade 
volumétrica de carga uniforme p e carga total positiva Q. Calcule:
A) o modulo do campo elétrico em um ponto fora da esfera.
B) o modulo do campo elétrico no interior da esfera.
Aplicação da Lei de Gauss a várias 
distribuições de cargas
Distribuição de cargas 
cilindricamente 
simétricas.
Exemplo 3) Determine o 
campo elétrico a uma 
distancia r de uma linha 
de cargas positivas de 
comprimento infinito e 
carga constante por 
unidade de comprimento 
λ.
Aplicação da Lei de Gauss a várias 
distribuições de cargas
Distribuição de carga em um plano
Exemplo 4) Determine o campo 
elétrico estabelecido por um plano 
infinito de carga positiva com 
densidade superficial de carga igual a 
δ.
Condutores em equilíbrio eletrostático
Como já discutimos, um condutor elétrico é aquele que possui elétrons que não estão 
ligados a nenhum átomo e, portanto, pode se mover livremente pelo material. Quando 
NÃO há movimento de cargas em um condutor, esse condutor está em equilíbrio 
eletrostático. Logo, ele possui as seguintes propriedades:
1. O campo elétrico é igual a zero em todos os pontos no interior do condutor;
2. Se o condutor for isolado e tiver uma carga, esta se localizará sobre sua superfície;
3. O campo elétrico em um ponto fora de um condutor carregado e próximo a este é 
perpendicular à sua superfície e possui um modulo δ/𝜺𝟎, onde δ é a densidade 
superficial da carga no ponto em questão.
4. Em um condutor de forma irregular, a densidade superficial da carga é maior em 
pontos nos quais o raio de curvatura da superfície é maior.
Condutores em equilíbrio eletrostático
1ª propriedade: O campo elétrico é igual a zero em todos 
os pontos no interior do condutor
Considerando uma placa condutora em um campo 
elétrico externo 𝑬, o campo elétrico interno ao condutor 
DEVE ser igual a zero, supondo o equilíbrio eletrostático. 
Se o campo não for igual a zero, os elétrons livres no 
condutor seriam afetados por uma força elétrica e 
acelerados por ela, significando que o condutor não se 
encontra em equilíbrio eletrostático. Logo, a existência 
do equilíbrio eletrostático é consistente apenas com um 
campo igual a zero no condutor.
Condutores em equilíbrio eletrostático
Para que haja um campo elétrico igual a zero, os elétrons 
livresdevem estar distribuídos de modo uniforme em todo 
condutor. Após a aplicação do campo elétrico externo, os 
elétrons irão acelerar para a esquerda, resultando em um 
acumulo de cargas negativas do lado esquerdo e um 
acumulo de cargas positivas do lado direito, criando assim 
um plano negativo e um plano positivo. Esses planos irão 
criar um campo elétrico adicional no interior do condutor, 
que se comporta de forma oposta ao campo elétrico 
externo. Quando os eletros começam a se mover, as 
densidades superficiais de carga nas superfícies da direita e 
da esquerda irão aumentar até que a intensidade do campo 
interno seja igual a do campo externo, resultando em um 
equilíbrio entre os campos elétricos.
Condutores em equilíbrio eletrostático
2ª propriedade: Se o condutor for isolado e tiver uma 
carga, esta se localizará sobre sua superfície.
Para estudarmos essa propriedade, iremos utilizar a Lei 
de Gauss em um condutor em equilíbrio eletrostático. 
Agora, iremos traçar uma superfície gaussiana dentro do 
condutor, e ela pode estar muito próximo da superfície. 
Como sabemos, o campo elétrico em todos os pontos no 
interior do condutor será igual a zero quando ele estiver 
em equilíbrio eletrostático, assim, de acordo com a regra 
(4) da Aplicação da Lei de Gauss a várias distribuições de 
cargas, o fluxo através dessa superfície gaussiana será 
igual a zero. 
Condutores em equilíbrio eletrostático
Assim, podemos concluir, pela Lei de Gauss, que a 
carga liquida no interior da superfície gaussiana é 
igual a zero, porém, visto que não pode existir carga 
dentro da superfície gaussiana, qualquer carga no 
condutor deve estar localizada em sua
Condutores em equilíbrio eletrostático
3ª propriedade: O campo elétrico em um ponto fora de 
um condutor carregado e próximo a este é perpendicular 
à sua superfície e possui um modulo δ/𝜺𝟎, onde δ é a 
densidade superficial da carga no ponto em questão.
Para estudarmos a terceira propriedade, iremos começar 
pela perpendicularidade do campo em relação à 
superfície. Se o vetor do campo elétrico tivesse uma 
componente paralela à superfície do condutor, os eletros 
livres seriam afetados por uma força elétrica e se 
deslocariam ao longo da superfície, assim, o condutor 
não estaria em equilíbrio. Então, o vetor campo elétrico 
só pode estar perpendicular à superfície.
Condutores em equilíbrio eletrostático
Para determinar o modulo do campo elétrico, 
aplicaremos a lei de Gauss e iremos traçar uma superfície 
gaussiana na forma de um pequeno cilindro, cujas faces 
serão paralelas à superfície do condutor. O campo será 
perpendicular à superfície do condutor, de acordo com a 
condição de equilíbrio eletrostático. Assim, a condição (3) 
da Aplicação da Lei de Gauss a várias distribuições de 
cargas será satisfeita para a parte curva da superfície 
gaussiana cilíndrica, visto que o fluxo será paralelo a ela. 
Não haverá fluxo na face interna da superfície gaussiana, 
satisfazendo a condição (4). 
Condutores em equilíbrio eletrostático
Assim, o fluxo liquido será apenas através da face da 
superfície gaussiana que se encontra fora do condutor, 
onde o campo será perpendicular a ela. Ao aplicarmos as 
condições (1) e (2) nessa face, observamos que o fluxo 
será dado por EA, assim, pela Lei de Gauss:
ф = ර𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸𝐴 =
𝑞𝑖𝑛
𝜀0
=
δA
𝜀0
𝑬 =
δ
𝜺𝟎
Condutores em equilíbrio eletrostático
Exemplo 5) Uma esfera isolante solida de raio a 
tem uma carga liquida positiva Q uniformemente 
distribuída em todo o volume. Uma carcaça 
condutora esférica de raio interno b e externo c é 
concêntrica com a esfera solida e tem uma carga 
liquida -2Q. Aplicando a Lei de Gauss, determine 
o campo elétrico nas regiões identificadas como 
1, 2, 3 e 4, e a distribuição de cargas na carcaça 
quando todo o sistema estiver em equilíbrio 
eletrostático.
Exercícios
Bibliografia: TIPLER, Paul Allan; MOSCA, Gene. Física para cientistas e 
engenheiros: eletricidade e magnetismo. 6. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2012. 759p. v2.
Cap22, Exercícios: 13, 15, 27, 28, 29, 31, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 56, 47, 49, 
51, 53, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 66, 68, 70, 74, 77, 79, 87.