UNIDADE 8 - REGRESSÃO E CORRELAÇÃO

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REGRESSÃO E CORRELAÇÃO 
Alexandra Augusti Boligon 
 A busca de associação entre variáveis é frequentemente um dos 
propósitos das pesquisas empíricas. A possível existência de relações entre 
variáveis orienta análises, conclusões e evidenciação de achados da 
investigação. A seguir são apresentadas algumas medidas de associação entre 
variáveis. 
 
1 . CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS 
1.1 – Coeficiente de correlação de Pearson (r) 
Também conhecido como coeficiente de correlação linear simples, indica 
a força de uma relação linear entre duas variáveis intervalares. Trata-se de 
uma medida de associação que independe das unidades de medida das 
variáveis. Varia entre -1 e +1 ou, expresso em percentagem, entre -100 e 
+100%. Quanto maior a qualidade do ajuste, ou seja, quanto maior a relação 
linear entre as variáveis, mais próximo dos extremos (-1 e +1) estará o valor do 
coeficiente r. 
A interpretação do coeficiente de correlação como medida de 
intensidade da relação entre duas variáveis é puramente matemática e está 
completamente isenta de qualquer implicação de causa e efeito. O fato de duas 
variáveis aumentarem ou diminuírem juntas não implica que uma delas tenha 
algum efeito direto, ou indireto, sobre a outra. Ambas podem ser influenciadas 
por outras variáveis de maneira que dê origem a uma forte correlação entre 
elas. 
Na prática, se 
7,0r
 ou 
7,0r
, e 
30n
, dizemos que há forte 
correlação linear entre as variáveis. 
 
Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson – variáveis contínuas 
Seja 
       nn yxyxyxyx ,...,,,,, 332211
 uma amostra aleatória das variáveis 
(X,Y), o cálculo do coeficiente de correlação entre X e Y é dado por: 
yyxx
xy
SS
S
r
*

 
Onde: 
2 
 

 

n
YX
XYS xy
* 
 


n
i
ii yxxy
1
*
 
 



n
X
XS xx
2
2
  



n
Y
YS yy
2
2
 
Os diagramas de dispersão abaixo ilustram as variações do coeficiente de 
correlação linear: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r = 1 
Correlação perfeita positiva 
 
r >0 
Correlação imperfeita positiva 
 
r = -1 
Correlação perfeita negativa 
ou inversa e perfeita 
 
r <0 
Correlação imperfeita negativa 
ou inversa imperfeita 
 
r = 0 
Ausência de correlação linear 
 
3 
 
EXEMPLO: Calcular o coeficiente de correlação entre as notas finais de física e 
matemática para um grupo de 22 estudantes, sendo: 
Alunos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Mat. 4,5 8 7,5 2 5 7 9 1,5 3,5 6 10 
Fís. 5 9 8,5 1 6 8 5 3 4 7 9,5 
Alunos 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 
Mat. 8,5 3 4 5,5 5,5 6,5 1 2 3 4 5 
Fís. 9 2 5 5,5 7 7 2 1 2 3 8 
 
É importante que se construa, a partir dos dados da tabela 1, a seguinte tabela: 
X - Notas de física Y - notas de matemática X*Y X² Y² 
4,5 5 22,5 20,25 25 
8 9 72 64 81 
7,5 8,5 63,75 56,25 72,25 
2 1 2 4 1 
5 6 30 25 36 
7 8 56 49 64 
9 5 45 81 25 
1,5 3 4,5 2,25 9 
3,5 4 14 12,25 16 
6 7 42 36 49 
10 9,5 95 100 90,25 
8,5 9 76,5 72,25 81 
3 2 6 9 4 
4 5 20 16 25 
5,5 5,5 30,25 30,25 30,25 
5,5 7 38,5 30,25 49 
6,5 7 45,5 42,25 49 
1 2 2 1 4 
2 1 2 4 1 
3 2 6 9 4 
4 3 12 16 9 
5 8 40 25 64 

 112 117,5 725,5 705 788,75 
 
32,127
22
)5,117(*)112(
5,725 xyS
 
82,134
22
)112(
705
2
xxS
 
19,161
22
)5,117(
75,788
2
yyS
 
4 
 
Assim: 
886,0
19,161*82,134
32,127
*

yyxx
xy
SS
S
r
 
Logo, o coeficiente de correlação mostra que as notas finais das 
disciplinas são altamente correlacionadas entre si. Ou seja, alunos com notas 
altas em matemática, possuem também, notas altas em física. 
Abaixo a representação gráfica. 
 
 
 
 
Teste de hipótese para a existência de correlação 
Para aplicar o teste de hipótese para existência de correlação linear, é 
necessário que as variáveis populacionais (X, Y) tenham distribuição normal 
bivariada, o que normalmente ocorre quando temos n > 30. 
O coeficiente de correlação linear da população (X,Y) é designado por 

. 
Se o teste indicar rejeição da hipótese 
0
, podemos concluir que existe 
correlação entre as variáveis ao nível de significância admitido. Eis o 
procedimento para realizar o teste: 
1º passo: 
0:
0:
1
0




H
H 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12
Matemática 
Física 
5 
 
2º passo: fixar 

 e escolher uma distribuição t de Student com 
2 n
 graus 
de liberdade. 
3º passo: Determinar as regiões de rejeição e aceitação para H0, com auxílio 
da tabela t de Student. 
 
 
 
 
 
 
4º passo: Cálculo do valor da variável: 
21
2*
r
nr
tcalculado



 
5º passo: Conclusão: 
Se 
2/ttcalc 
 ou 
2/ttcalc 
, rejeita-se H0, concluindo com risco  , que há 
correlação entre as variáveis. 
Se 
2/2/  ttt calc 
, não se rejeita H0, concluindo que não há correlação entre 
as variáveis. 
 
EXEMPLO: 
Uma amostra revelou que o coeficiente de correlação entre o salário e o 
número de anos de escolaridade de um grupo de 60 pessoas é 0,78. Teste a 
hipótese de existência de correlação entre essas variáveis, ao nível de 5%. 
1º passo: 
0:
0:
1
0




H
H 
 
2º passo: 
%5
. 
58260 
. 
0017,0)58%;5( t
. 
3º passo: Determinar as regiões de rejeição e aceitação para H0, com auxílio 
da tabela t de Student. 
6 
 
 
 
 
 
 
4º passo: Cálculo do valor da variável: 
49,9
78,01
260*78,0
2



calculadot
 
5º passo: Conclusão: 
Se 
0017,2calct
, rejeita-se H0, concluindo com risco de 5%, que há correlação 
entre salários e número de anos de escolaridade. 
 
OBS.: 
 Os principais softwares de análises estatísticas mostram se um 
coeficiente é ou não significativo. Assim, fornecem o valor do coeficiente 
e também a significância, a qual deve ser menor que o 

 escolhido 
inicialmente. 
 
 Quando o coeficiente de correlação é elevado ao quadrado, o resultado 
indica a porcentagem da variação de uma variável que é explicada pela 
outra variável. Assim, considerando o coeficiente 0,886, calculado no 
exemplo inicial, podemos dizer que a nota de matemática explica 
78,50% (0,886²) da variação da nota de física e vice-versa. 
 
 Nos artigos publicados em revistas científicas, geralmente são utilizadas 
as seguintes notações: 
r = 0,72* *p<0,05 
*significativo ao nível de significância de 5%. 
 
7 
 
Exercícios: 
1 – Dados os resultados da temperatura média diária (ºC) e do consumo de 
massa verde da planta pela lagarta desfolhadora do eucalipto, em mg dia-1. 
T 30 32 24 30 26 35 25 23 35 31 29 28 25 29 30 
mg 145 150 125 157 127 140 132 107 155 145 140 142 130 135 138 
T 31 32 33 25 26 28 29 30 31 35 34 33 32 28 30 
mg 140 150 157 144 145 147 150 152 150 160 149 150 129 130 140 
 
Ao nível de 5% calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre a 
temperatura e o consumo de massa verde. Teste a hipótese de existência de 
correlação e interprete o resultado. 
 
Cálculo do coeficiente de correlação entre variáveis com mensuração 
nominal ou ordinal 
Para avaliar a correlação entre duas variáveis com mensuração nominal ou 
ordinal utilizamos alguma medida não paramétrica de correlação entre essas 
variáveis. Dentre as medidas não paramétricas podemos citar: Coeficiente de 
contingência, Coeficiente V de Cramer, Coeficientede correlação por postos de 
Spearman, coeficiente de correlação por postos de Kendall e coeficiente de 
concordância de Kendall. 
No caso paramétrico, a medida usual é o coeficiente de correlação de 
Pearson (r), como já vimos. A estatística r exige mensuração intervalar e o 
teste para existência de correlação supõe que os dados provenham de uma 
distribuição normal bivariada. As opções não paramétricas devem ser 
consideradas, pelo pesquisador, quando suspeitar que seus dados não 
satisfazem às pressuposições para o cálculo do coeficiente r, ou quando as 
variáveis são medidas em escala nominal ou ordinal. 
Estas medidas de associação não serão trabalhadas na disciplina, mas 
estão disponíveis em bibliografias específicas do assunto, como Martins 
(2010). 
 
 
8 
 
2. ANÁLISE DE REGRESSÃO 
Em muitos estudos não temos apenas uma ou duas variáveis avaliadas, 
mas sim um número maior destas. Assim, por exemplo, podemos estar 
interessados em avaliar a altura de uma planta, o número de folhas, o diâmetro 
do caule, a percentagem de lignina e de outras substâncias, entre outras. A 
análise de regressão é utilizada prioritariamente com o propósito de previsão. 
O objetivo é desenvolver um modelo estatístico que pode ser usado para 
prever valores de uma variável dependente, determinada por Y, em função de 
valores de uma variável independente (X) ou várias variáveis independentes 
(X1, X2,..., Xn). 
Considerando apenas modelos de regressão linear, temos o modelo de 
regressão linear simples quando dispomos de apenas uma variável 
independente, e o modelo de regressão linear múltiplo quando dispomos de 
mais de uma variável independente. 
 Vamos considerar, por exemplo, que queremos relacionar através de um 
modelo matemático, o consumo de alimento de determinada espécie de animal 
com a temperatura do ar no ambiente em que esta espécie se encontra. Assim, 
o consumo de alimento será a variável dependente (Y), a qual queremos 
estimar, e a temperatura do ambiente será a variável independente ou 
explicativa (X). 
 Se além da temperatura, queremos relacionar a umidade relativa do ar 
.Assim, temos o consumo de alimento será a variável dependente (Y), a 
temperatura do ar como a primeira variável independente ou explicativa (X1) e 
a umidade do ar com a segunda variável independente ou explicativa (X2). 
Podemos utilizar quantas variáveis independentes acharmos necessário para 
estimar a variável dependente. 
2.1 – Diagrama de dispersão 
Para análise de regressão linear simples (uma variável independente ou 
explicativa), é desejável a construção de um gráfico bidimensional denominado 
diagrama de dispersão. Cada valor é marcado em função das coordenadas de 
X e Y, como mostrado abaixo: 
Exemplo: 
Consideramos o exemplo comentado anteriormente, temos abaixo o consumo 
de alimento por determinado inseto (em g) de acordo com a temperatura do ar 
(ºC). 
Consumo 5,1 4,1 3,2 1,2 1,6 2,9 4,5 8,0 7,3 5,6 
Temperatura 10,1 9,5 7,8 3,6 4,8 5,1 8,0 12,1 12,5 11,6 
9 
 
 
 
Figura 1 – Diagrama de dispersão. 
 O gráfico indica uma relação entre o consumo de alimento e a 
temperatura, sendo que com o aumento da temperatura há aumento do 
consumo de alimento pela espécie considerada. A utilização deste diagrama de 
dispersão é importante na identificação de pontos extremos, os chamados 
outliers, os quais causam problemas na determinação do modelo de regressão. 
 
2.2 – Modelo de regressão linear simples 
 Pelo diagrama de dispersão, podemos ter uma idéia do tipo de relação 
entre duas variáveis. A natureza da relação pode ser de várias formas, desde 
uma simples relação linear até uma complicada função matemática. 
O modelo de regressão linear simples é representado por: 
iii XY  
 
Onde: 

 é o intercepto; 

 é a inclinação da reta e 
i
 é o erro aleatório de Y 
para a observação i. 
 Assim, a inclinação  representa a mudança esperada de Y por unidade 
de X; isto é, representa a mudança de Y (tanto positiva quanto negativa) para 
uma particular unidade de X. Por outro lado 
 representa o valor de Y quando 
X=0, enquanto i representa uma variável aleatória que descreve o erro de Y 
para cada observação i. 
 
Determinação da equação de regressão linear simples 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10
Temperatura (ºC) 
Consumo de alimento (g) 
10 
 
 Precisamos determinar, com base em uma amostra, a equação de 
regressão linear simples que melhor se ajuste aos dados amostrais. Isto é, 
encontrarmos os coeficientes da reta: 
ii bXaY 
ˆ
 
Onde: 
iYˆ
 é o valor da previsão de Y para uma observação 
iX
; 
iX
 é o valor de 
X para cada observação de i; a é o estimador de 
 ; b é o estimador de  . 
 O problema é determinar os valores dos parâmetros a e b, de modo que 
a reta se ajuste ao conjunto de pontos, isto é: estimar a e b de algum modo 
eficiente. Há vários métodos para encontrar as estimativas de tais parâmetros, 
sendo mais eficaz o Método dos Mínimos Quadrados. 
 Como a reta desejada vai ser utilizada para fins de previsão, é razoável 
exigir que ela seja tal que torne pequenos os erros desta previsão. Um erro de 
previsão significa a diferença entre um valor observado de Y e o valor 
correspondente de 
Yˆ
 da reta. Isto é: tornar pequeno o erro: 
)ˆ( YY 
. Veja a 
ilustração, para melhor compreender o que se busca: 
 
Figura 2 – Desvio entre uma observação e a reta de mínimos quadrados. 
 Os pontos acima da reta dão erros positivos, os situados abaixo da reta 
dão erros negativos. Como a soma dos erros é zero, isto é, 
 


n
i
ii YY
1
0ˆ
, o 
método utiliza a soma dos quadrados dos erros, daí o nome Mínimos 
Quadrados. Assim, 
 


n
i
iii YY
1
2
0ˆ
 deverá ser minimizada. 
 Como 
ii bXaY 
ˆ
, para obtermos a e b, vamos minimizar: 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y = a + bX
11 
 
  


n
i
ii bXaY
1
2
 
Aplicando a método dos mínimos quadrados, obtemos; 
xx
xy
S
S
b 
 e 
xbya 
 
Onde: 



n
i
i xX
1
 



n
i
i yY
1
 
n
y
y 
 
n
x
x 
 
 



n
y
yS yy
2
2
 

 

n
yx
xyS xy
*  



n
x
xS xx
2
2
 
OBS.: As fórmulas para o cálculo de Sxy, Sxx e Syy são as mesmas utilizadas 
para o cálculo do coeficiente de correlação r, visto anteriormente. 
 
Exemplo: 
Considerando o exemplo apresentado no diagrama de dispersão, estime uma 
equação linear simples do consumo de alimento em função da temperatura do 
ar. 
1º passo: construção da tabela auxiliar: 
x y x² xy y² 
5,1 10,1 26,01 51,51 102,01 
4,1 9,5 16,81 38,95 90,25 
3,2 7,8 10,24 24,96 60,84 
1,2 3,6 1,44 4,32 12,96 
1,6 4,8 2,56 7,68 23,04 
2,9 5,1 8,41 14,79 26,01 
4,5 8 20,25 36 64 
8 12,1 64 96,8 146,41 
7,3 12,5 53,29 91,25 156,25 
5,6 11,6 31,36 64,96 134,56 
43,5 85,1 234,37 431,22 816,33 
 
2º passo: Cálculo de Sxy, Sxx e x e 
y
. 
   
145,45
10
5,43
37,234
22
2 

n
x
xS xx
 
12 
 
   
035,61
10
1,85*5,43
22,431
*

 
n
yx
xyS xy
 
351976,1145,45/035,61 
xx
xy
S
S
b
 
35,410/5,43 
n
x
x
 
51,810/1,85 
n
y
y
 
Então: 
6289,2)35,4*35198,1(51,8  xbya
 
Portanto, a equação da reta estimada é: 
xy 3520,16289,2ˆ 
 
 
Coeficiente de determinação ou coeficiente de explicação (R²) 
 O coeficiente de determinação é um indicador da qualidadedo 
ajustamentos dos dados amostrais ao modelo utilizado e sempre deve ser 
calculado quando se ajusta um modelo de regressão. É dado por: 
 
yy
xy
S
Sb
R
*
2 
 
 O coeficiente de determinação varia de 0 a 1, sendo que, quanto mais 
próximo de um estiver, melhor a qualidade do ajuste. Assim, o R² representa a 
proporção de variação total de Y que é explicada por X. 
10 2  R
 ou 
%1000 2  R
 
OBS.: O coeficiente de determinação (R²) é igual ao quadrado do coeficiente 
de correlação linear de Pearson (r), calculado anteriormente. 
No exemplo anterior: 
3º passo: cálculo do coeficiente de determinação: 
   
129,92
10
1,85
33,816
22
2 

n
y
yS yy
 
 
89,0
129,92
)035,61(*351976,1*2 
yy
xy
S
Sb
R
 
13 
 
Interpretação: a temperatura explica 89% da variação do consumo de alimento 
pela espécie em questão. 
 
Teste de hipótese para existência de regressão linear – coeficiente 
 
 Após o ajustamento da reta e cálculo de R², podemos realizar a 
qualidade do modelo pela realização de inferências estatísticas sobre seus 
parâmetros. A partir de agora iremos testar o modelo, isto é: verificarmos a 
existência, ou não, de regressão linear entre as variáveis X e Y. Para tanto, 
testamos as hipóteses: 
1º passo: 
0:
0:
1
0




H
H 
2º passo: fixar 

 (probabilidade de erro) e escolher a variável de teste, no 
caso, distribuição t de Student, com 
2 n
. 
3º passo: com auxílio da tabela t, construir as regiões de rejeição (RR) e de 
aceitação (RA) de H0. 
 
 
 
4º passo: com os dados amostrais, calcular o valor da variável: 
xx
calc
S
S
b
t 
 sendo 
2
*



n
SbS
S
xyyy
 
5º passo: Caso 
2/ttcalc 
, rejeita-se H0, concluindo-se, com risco  , que há 
regressão linear entre as variáveis. 
Exemplo: considerando o exemplo anterior: 
1º passo: 
0:
0:
1
0




H
H 
14 
 
2º passo: 
05,0
. Variável de teste: distribuição t de Student, com 
8210 
. 
3º passo: regiões de rejeição (RR) e de aceitação (RA) de H0. 
 
 
 
4º passo: cálculo do valor da variável: 
2116,3
210
035,61*351976,1129,92
2
*







n
SbS
S
xyyy
 
8285,2
145,45
2116,3
351976,1

xx
calc
S
S
b
t
 
5º passo: Como 
2622,28285,2 
, rejeita-se H0, concluindo-se, com risco  , que 
há regressão linear entre as variáveis. 
 
2.2 – Modelo de regressão linear múltipla 
 Muitas aplicações práticas da análise de regressão exigem modelos 
mais complexos do que o modelo de regressão linear simples. Por exemplo, se 
desejamos estimar o crescimento em altura de mudas de araucária em função 
da temperatura do ar, umidade relativa do ar e temperatura do solo. 
 O modelo de regressão linear múltipla pode ser representado da 
seguinte maneira: 
ikikiii XXXY   ...2211 
Onde: 
Yi é a variável dependente – variável que queremos estimar. No nosso 
exemplo, a altura das mudas. 
X1i, X2i,...,Xki são as variáveis independentes. No exemplo, a temperatura do ar 
e do solo e a umidade relativa do ar. 
i
 determina a contribuição da variável independente Xi, ou seja, representa os 
coeficientes. 
15 
 
i
 é o erro aleatório componente do modelo. 
Determinação da equação de regressão linear múltipla 
 Quando o número de variáveis independentes for superior a dois, os 
cálculos tornam-se excessivamente trabalhosos, exigindo auxílio de software 
específico. Como na maioria dos casos, temos um número superior a dois de 
variáveis independentes, a equação de regressão linear múltipla é determinada 
por meio de softwares estatísticos. Dentre eles podemos citar 
 
16 
 
Exercícios: 
1 – Dados os resultados da temperatura média diária (ºC) e do consumo de 
massa verde da planta pela lagarta desfolhadora do eucalipto, em mg dia-1. 
T 30 32 24 30 26 35 25 23 35 31 29 28 25 29 30 
mg 145 150 125 157 127 140 132 107 155 145 140 142 130 135 138 
T 31 32 33 25 26 28 29 30 31 35 34 33 32 28 30 
mg 140 150 157 144 145 147 150 152 150 160 149 150 129 130 140 
 
Ao nível de 5% calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre a 
temperatura e o consumo de massa verde. Interprete o valor. 
 
2 – Dados os valores de matéria seca de plantas aquáticas e de temperatura 
da água de um curso d’água, calcule o coeficiente de correlação de Pearson, 
estime uma equação de regressão linear simples (massa seca=Y) e interprete 
os resultados. 
 
 
Bibliografia recomendada: 
MARTINS, G.A. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Atlas, 2010. 419 p. 
Massa seca (mg) Temperatura (ºC) 
20,5 17,5 
13,6 13,2 
36,2 19,6 
36,6 39,0 
15,3 38,2 
14,6 36,7 
18,7 37,8 
12,6 21,3 
11,9 22,1 
14,6 12,6 
26,9 19,8 
27,5 20,0 
29,1 21,0 
31,2 29,0 
33,6 28,1 
31,5 29,0 
21,0 15,6 
22,9 16,0 
11,6 14,5 
35,9 28,2