Cálculo1 2013.1 Repositiva

Prévia do material em texto

R1
EDUARDO TELES
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
CURSO DE LICENCIATURA EM F I´SICA
Data: 09/Abr/2013
Nome leg´ıvel:
Assinatura: Matr´ıcula:
E-mail leg´ıvel:
[ 01 ] (a) Efetue a multiplicac¸a˜o de a + 2b por c− 3d;
(b) Substitua a = 4, b = −1, c = 2
5
e d = 6 e simplifique a expressa˜o.
[ 02 ] Mostre que:
(a) (a + b)2 = a2 + 2ab+ b2
(b) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
(c) a2 − b2 = (a− b)(a + b)
(d) a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)
(e) an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + · · ·+ bn−1), n ∈ N∗
[ 03 ] Seja f(x) =
√
x+ 1 + 4.
(a) O domı´nio natural de f e´ (b) f(x) = 7 se x =
(c) f(3) = (d) A imagem de f e´
(e) f(t2 − 1) =
[ 04 ] Os segmentos de retas no plano xy formam letras, conforme indicado.
(a) Se o eixo y e´ paralelo a` letra I, quais das letras representam o gra´fico de y = f(x) para
alguma func¸a˜o f?
(b) Se o eixo y e´ perpendicular a` letra I, quais das letras representam o gra´fico de y = f(x)
para alguma func¸a˜o f?
[ 05 ] Dados os pontos A(2, 3) e B(−1, 5) determine a equac¸a˜o da reta que passa por eles.
Pa´g.: 1 de 4
[ 06 ] Use o gra´fico de s = g(t) em anexo para completar cada item.
(a) O domı´nio de g e´ (b) A imagem de g e´
(c) g(−3) = (d) g(1
2
) =
(e) As soluc¸o˜es de g(t) = −3
2
sa˜o
t = e t =
s
t−2 −1 1 2 3
2
1
−1
−2
[ 07 ] Encontre h(0), h(2), h(−2), h(3), h(√2) e h(3t).
(a) h(x) = 3x2 − 2
(b) h(z) =


1
z
, z > 3
2z, z ≤ 3
[ 08 ] Seja uma func¸a˜o f de R em R dada por f(x) =
2x− 3
5
. Qual e´ o elemento do domı´nio que tem
como imagem − 8
17
?
[ 09 ] Determine o domı´nio e a imagem das func¸o˜es cujos gra´ficos esta˜o exibidos abaixo.
a) b) c) d)
[ 10 ] Quais das curvas abaixo podem representar o gra´fico de alguma func¸a˜o real a` varia´vel real?
a) b) c) d)
[ 11 ] Determine as fo´rmulas para f ◦ g e g ◦ f e estabelec¸a os domı´nios das compostas.
Pa´g.: 2 de 4
(a) f(x) = x2 e g(x) =
√
1− x
(b) f(x) =
√
x− 3 e g(x) = √x2 + 3
(c) f(x) =
1 + x
1− x e g(x) =
x
1− x
(d) f(x) =
x
1 + x2
e g(x) =
1
x
[ 12 ] Encontre uma fo´rmula para f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x2 + 1, g(x) =
1
x
, h(x) = x3
(b) f(x) =
1
1 + x
, g(x) = 3
√
x, h(x) =
1
x3
[ 13 ] Expresse f como uma composic¸a˜o de duas func¸o˜es, isto e´, encontre g e h tais que f = g ◦ h.
[Nota: Cada exerc´ıcio possui mais de uma soluc¸a˜o.]
(a) f(x) =
√
x+ 2
(b) f(x) = |x2 − 3x+ 5|
(c) f(x) = x2 + 1
(d) f(x) =
1
x− 3
(e) f(x) = sen2 x
(f) f(x) =
3
5 + cosx
[ 14 ] Encontre
f(w)− f(x)
w − x e
f(x+ h)− f(x)
h
e simplifique tanto quanto poss´ıvel.
(a) f(x) = 3x2 − 5 (b) f(x) = 1
x
(c) f(x) = x2 − 6x (d) f(x) = 1
x2
[ 15 ] Determine as fo´rmulas para f + g, f − g, fg e f/g e estabelec¸a os domı´nios das func¸o˜es.
(a) f(x) = 2
√
x− 1, g(x) = √x− 1
(b) f(x) =
x
1 + x2
, g(x) =
1
x
[ 16 ] Sejam f(x) =
√
x e g(x) = x3 + 1. Determine
(a) (f ◦ g)(2) (b) f(g(4))
(c) (g ◦ f)(2) (d) (f ◦ f)(16)
(e) g(g(0)) (f) (g ◦ g ◦ f)(0)
[ 17 ] Classifique as func¸o˜es seguintes em: (I) injetora, (II) sobrejetora, (III) bijetora ou (IV) nem
sobrejetora e nem injetora.
Pa´g.: 3 de 4
(a)
f : R → R
x 7→ 2x+ 1 (b)
g : R → R
x 7→ 1− x2
(c)
h : R → R+
x 7→ |x− 1| (d)
p : R\{0} → R
t 7→ 1
t
(e)
p : R\{0} → R\{0}
t 7→ 1
t
[ 18 ] Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a)
f : R → R
x 7→ −3x+ 2
(b)
g : R → R
x 7→


1
x
, se x < 0
−3, se x = 0
2, se x ∈ (0, 1]
x+ 1, caso contra´rio
(c)
h : R → R
x 7→
{
2, se x ∈ Z
x− 2, caso contra´rio
Pa´g.: 4 de 4