FLEXÃO PURA_ARMADURA DUPLA

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Universidade Católica de Goiás - Departamento de Engenharia 
Estruturas de Concreto Armado I - Notas de Aula 
 
 
 
Alberto Vilela Chaer, M.Sc., Professor Adjunto-I, chaer@ucg.br 
Maria das Graças Duarte Oliveira, Acadêmica de Engenharia Civil, duarts@cultura.com.br 
(organizadores) 
28.1 
conteúdo 28 flexão pura – armadura dupla 
 
 
28.1 Domínio 4 
 
A análise do diagrama de tensão do aço da figura 28.1, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
resulta que no domínio 4 a deformação e tensão do aço serão: 
 
0 ≤ εs ≤ εyd  fsd < fyd (28.1) 
 
Para o concreto temos que no domínio 4: 
 
εc = 3,5 %ο  fc = 0,85.fcd 
Observamos que: 
 
 
 Domínios: 2 Kz diminui 
 
 Md aumenta 
 
 3 fs = fyd = constante 
 
 
 
 Domínio: 4 Kz e fs diminuem 
 
 Md aumenta 
 
 fsd < fyd 
 
 
 
O dimensionamento com armadura simples (onde apenas a armadura de tração está 
trabalhando mecanicamente) no domínio 4, conduz a duas situações: 
 
1) Aumento significativo da armadura; 
 
2) fsd < fyd  a armadura não está em escoamento e, numa provável ruptura o concreto 
“rompe-se sem aviso prévio”, ou seja, o concreto se rompe bruscamente por compressão, sem 
que a armadura escoe. 
 
fs 
fyd 
εyd 10%o εs 
dom.4 dom.3 dom.2 
Figura 28.1 – Diagrama de tensão do aço 
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28.2 
Uma peça dimensionada a flexão pura no Domínio 4 com armadura simples é portando 
chamada “peça superarmada”. Esta situação deve ser “evitada” para as vigas. 
 
28.1.1 Como evitar o domínio 4 
 
 Aumentando a altura da seção; 
 aumentando a base da seção; 
 optar por armadura dupla; 
 optar por seção T. 
 
28.2 Armadura Dupla 
 
A utilização da armadura dupla se faz necessária nos casos em que se deseja evitar o domínio 
4 e não podemos aumentar a altura da seção devido às restrições arquitetônicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 
Asc = armadura comprimida; 
Ast = armadura tracionada; 
Md = momento de cálculo atuante; 
x = posição da linha neutra. 
 
28.2.1 NBR6118/2003 – Item 14.6.4.3 
 
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com 
outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços 
solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos limites seguintes: 
 
a) Kxlim 0,50 para concretos com fck 35 MPa; ou (28.2) 
 
b) Kxlim 0,40 para concretos com fck 35 MPa. (28.3) 
 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como 
por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões. 
Figura 28.2 – Seção transversal de viga retangular com armadura dupla 
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28.3 
28.2.2 Momento Limite 
 
É o momento máximo para se dimensionar uma viga com armadura simples. 
 
 
bw.
Kc
d
Md
2
lim
lim
 (28.4) 
 
 
28.2.3 Dimensionamento das armaduras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o momento solicitante for maior que o momento limite, desmembra-se este momento: 
 
 
 Md > Mdlim  Md = Mdlim + ΔMd (28.5) 
 
Temos que: 
 
 Mdlim = Rs1.z.(
d
d
) 
 
onde z é o braço de alavanca e Rs1 é a força resultante na armadura na etapa I do 
desmembramento, obtida por analogia da figura 28.2 com a figura 27.2. 
 
 Mdlim = Rs1.
d
z
.d 
 
 Mdlim = fsd.Astlim.Kzlim.d 
 
 
 
d.Kz.fsd
Md
Ast
lim
lim
lim
 (28.6) 
 
 
Figura 28.3 – Desmembramento de uma seção com armadura dupla 
 II I 
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28.4 
onde: z = d - d” (28.7) 
 Kzlim = 1 – 0,4.Kxlim (28.8) 
 fsd = fyd (28.9) 
 
 
a parcela do momento Md será: 
 
 
 ΔMd = Md – Mdlim (28.10) 
 
 
que será resistido pela armadura Ast + Asc. 
 
 
 Md = Rs2.z 
 
 
Rs2 é a força resultante na armadura na etapa II do desmembramento, obtida por analogia da 
figura 28.2 com a figura 27.2. 
 
 
 Md = Rsd2.(d-d”) 
 
 
 Md = fyd. Ast.(d-d”) 
 
 
 
)"dd.(fyd
Md
Ast
 (28.11) 
 
 
A armadura tracionada total Ast será: 
 
 
 Ast = Astlim + Ast 
 
 
 
)"dd.(fyd
Md
d.Kz.fyd
Md
Ast
lim
lim
 (28.12) 
 
A armadura comprimida Asc é dada por: 
 
 Md = Rsd2.z 
 
 Md = fsc.Asc.(d-d”) 
 
 
)"dd.(fsc
Md
Asc
 (28.13) 
 
onde fsc é a tensão no aço comprimido, que é dada por: 
 
 fsc = Es. sc (28.14) 
 
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28.5 
 
28.2.4 Determinação de esc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por semelhança de triângulos, no diagrama de deformação, temos que: 
 
 
 
)''dx(
sc
x
%5,3
limlim
o
 
 
 
 
o
lim
lim %5,3.
x
''dx
sc
 (28.15) 
 
 
onde: 
 
 xlim= Kxlim.d (28.16)Figura 28.4 – Diagrama de deformação em uma seção retangular com armadura dupla 
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28.6 
28.3 Aplicação 
 
Exemplo 28.1 – Considere a viga de seção retangular com as seguintes características: 
 
fck = 25 MPa 
aço CA-50 
bw = 12 cm 
h = 40 cm 
d’ = 4 cm 
d” = 4 cm 
 
Determinar a armadura corresponde à solicitação de 95 KN.m. 
OBS.: Devido a restrições construtivas não é possível alterar a seção. 
 
4,1
fck
fcd
 = 17,86 MPa = 1,786 KN/cm2 
15,1
fyk
fyd
 = 434,78 MPa = 43,48 KN/cm2 
d = h – d’ = 36 cm 
z = d – d” = 32 cm 
 
1º.) Verificação do domínio da solicitação 
 
2d.bw.fcd.425,0
Md
11.d.25,1x
  x = 25,12 cm 
 
d
x
Kx
  Kx = 0,698 portanto 0,628 < Kx < 1  Domínio 4 
 
Para evitarmos peça superarmada, adotaremos armadura dupla. 
 
 
 
2º.) Momento limite para armadura simples 
 
De acordo com item 28.2.1 deste conteúdo, para fck 35 MPa  kxlim 0,5, portanto 
adotaremos: 
 
Kxlim = 0,5 
 
Kzlim = 1 – 0,4.Kxlim  Kzlim = 0,8 
 
limlim
lim
kz.Kx.fcd.68,0
1
Kc
  Kclim = 1,435 
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28.7 
bw.
Kc
d
Md
2
lim
lim
  Mdlim = 75,52 KN.m 
 
75%Md = 71.25 KN.m 
 
Mdlim > 75%Md - De acordo com expressões 28.17 podemos adotar armadura dupla. 
 
 
3º.) Variação do momento 
 
 Md = Md - Mdlim  Md = 19,48 KN.m 
 
 
4º.) Armadura tracionada 
 
)"dd.(fyd
Md
d.Kz.fyd
Md
Ast
lim
lim
  Ast = 7,43 cm2 
 
 
5º.) Resistência do aço comprimido 
 
xlim = Kxlim.d  xlim = 18 cm 
 
o
lim
lim %5,3.
x
dx
sc
  sc = 2,72%o mas yd = 2,07%o 
 
A deformação é maior que a de início de escoamento ( sc > yd)  fsc = fyd. 
 
 
6º.) Armadura comprimida 
 
)"dd.(fyd
Md
Asc
  Asc = 1,40 cm2